Übersicht Analytische Geometrie Grundkurs bis zur 4 Klausur Q1

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1 Übersicht Analytische Geometrie Grundkurs bis zur 4 Klausur Q1 F Vektorrechnung F1 Verschiebungen durch Vektoren sowie Punkte im Raum durch Ortsvektoren und Vektorketten beschreiben und damit realitätsnahe Situationen mathematisch modellieren. F Das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnen und damit entscheiden, ob die Vektoren zueinander orthogonal sind. F3 Längen von Strecken im Raum und den Betrag von Vektoren berechnen. G Geraden und Ebenen im Raum Parameterdarstellungen für Geraden aus zwei gegebenen Punkten ermitteln sowie G1 überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Gerade liegt (Punktprobe) und die Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren. Geraden auf ihre gegenseitige Lage untersuchen und möglicherweise vorhandene G Schnittpunkte bestimmen. H Abstände, Volumina im Raum Lösungen von Aufgaben aus dem Buch Drachenprisma Aufgabe

2 F1 Verschiebungen durch Vektoren sowie Punkte im Raum durch Ortsvektoren und Vektorketten beschreiben und damit realitätsnahe Situationen mathematisch modellieren. Regeln Den Vektor AB kann man als eine Verschiebung interpretieren, die den Punkt A auf den Punkt B abbildet. Allgemein ist ein Vektor eine gerichtete Größe. In der analytischen Geometrie ermittelt man meistens einen Punkt P, indem man den Ortsvektor OP mit Hilfe einer Vektorkette ermittelt, z.b. OP OB BC CP. (Beachte die Dreiecksregel.) 1 1 Beispiel: A( 4 4), B(1 6 5) AB ( 4) 9 Typische Anwendungsaufgaben Drei Punkte zu einem Quadrat/Rechteck ergänzen. Restliche Eckpunkte eines Körpers (z. B. Quaders, Prismas) ermitteln. Überprüfen, ob ein Viereck ein Parallelogramm /ein Trapez ist. Mittelpunkte, Schwerpunkte bestimmen Beachte: Mittelpunktsformel lautet 1 OM AB (OA OB)! Vektorkette beginnt (zunächst) im Ursprung OP O Richtung des Vektors beachten 1. Beispiel: Die nebenstehende Figur zeigt eine quadratische Pyramide, d. h. das Viereck ABCD ist ein Quadrat. Drücke die Vektoren AB, BC, DA. CD und SD durch die Vektoren SA, SB und SC aus. Lösung AB = SA +SB ; BC = SB +SC ; DA = BC =SB SC ; CD = AB = SA SB ; SD = SC +CD = SC + SA SB ;. Beispiel Gib mit Hilfe der eingezeichneten Eckpunkte an: (Du kannst gegebenenfalls Mittelpunkte in der üblichen Art benutzen, z.b. M AB als Mittelpunkt von AB.) a) b c b) c a c) a c,5b Drücke durch a, b und c aus: d) AD = e) EM CG = Lösung: 1a) b c OD b) c a= AC c) a c,5b AM FG

3 3. Beispiel Gegeben sind A(13 5 3), B (11 3 1), C (5 3 7) und S 1 (13 1 9) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte P 6 und P 8 des abgebildeten Würfels, falls die Eckpunkte des Oktaeders auf den Mittelpunkten der Seitenflächen liegen. Lösung: Beachte: AB S1P 6; BA S1P 8, da die Pfeile gleich lang, gleich orientiert und parallel sind. OP6 OS1 OP8 OS1 AB = BA =

4 F Das Skalarprodukt (SP) zweier Vektoren berechnen und damit entscheiden, ob die Vektoren zueinander orthogonal sind. Regeln Rechnerische Ermittlung des SP: a b 1 1 a b a b a b a b a b 3 3 Skalarprodukt = Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Bei Formulierungen wie senkrecht oder orthogonal sollte man immer an diesen Satz denken. Typische Anwendungsaufgaben Zeige, dass das Viereck ein Rechteck ist / ein Drachenviereck / eine Raute ist. (Beim Drachenviereck stehe die Diagonalen senkrecht aufeinander.) Zeige, dass das Dreieck rechtwinklig ist. Zeige, dass sich zwei Geraden senkrecht schneiden. Beachte: Das Skalarprodukt ergibt (im Unterschied zum Vektorprodukt) immer eine Zahl, nie einen Vektor. 1 Beispielsaufgabe Gegeben sind die Punkte A( 8 4 ), B( 1 4 ), C( ) und D( ). a) Untersuche, ob ABCD ein besonderes Viereck ist. Lösung: DC Zusätzlich gilt: = AB ABCD ist ein Parallelogramm. AB AD 8 4 = ABCD ist ein Rechteck. Aber: AB 4 AD 644 ABCD ist kein Quadrat.

5 F3: Längen von Strecken im Raum und den Betrag von Vektoren berechnen. Regeln Die Länge/der Betrag eines Vektors berechnet sich mit a = Typische Anwendungsaufgaben Zeige, dass ein(e) Quadrat / Rechteck / Raute, vorliegt. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig/gleichseitig ist. a b a b c Vektor n mit Länge 1 und gleicher Richtung wie n ermitteln: n = n n c Beispielsaufgabe Gegeben sind die Punkte A( 5 4), B(3 8 7), C(8 5 6). a) Überprüfe, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist, d.h. gleich lange Seiten hat. b) Bestimme D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist. c) Untersuche, ob der Mittelpunkt M AC gleich dem Mittelpunkt M BD ist. e) E teilt BC von B aus im Verhältnis 3:1. Ermittle E. f) Damit drei Punkte ein echtes Dreieck bilden dürfen sie nicht auf einer Geraden liegen. Beschreibe ein Verfahren, wie man mit Hilfe der Vektorrechnung rechnerisch überprüfen kann, ob drei Punkte E, F und G auf einer Geraden liegen. Lösung a) 8 AB ; 3 Alle Seiten sind verschieden lang. 5 5 b) OD OA BC = c) AC 1,5 OM 1,5 5 ; BD ,5 OM 1, AC 7 ; D( 11 3) 5 BC Die beiden Mittelpunkte sind gleich, d.h. die Diagonalen halbieren sich. (Das ergibt sich eigentlich schon aus der Parallelogrammeigenschaft aus b)). 1 d) OS (OA OB OC) = 5 / 3 S( ) 17 / 3 e) 5 3, OE OB BC 11 13, ,5 ; E(3,75.75,5) f) Die Vektoren EF und FG müssen in die gleiche Richtung zeigen, d. h. es muss EF k FG für eine Zahl k gelten (die Vektoren müssen kollinear sein). 1

6 G1 Parameterdarstellungen für Geraden aus zwei gegebenen Punkten ermitteln sowie überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Gerade liegt (Punktprobe) und die Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren. Regeln Parameterform einer Geraden Eine Gerade wird durch eine Gleichung g: x(r) p r u (r IR) beschreiben. p heißt Stützvektor (SV) und u Richtungsvektor der Geraden. Meistens hat man zwei Punkte A und B einer Geraden gegeben. Dann gilt: g(a,b): x(r) OA r AB, r IR. Beispiel: A( 4 4), B(1 6 5) g(a,b): 1 x 4 r Punktprobe: ein Punkt C liegt auf g, wenn OC OA r AB erfüllt ist, d.h. wenn das LGS aus drei Koordinatengleichungen mit einer Variablen erfüllt ist. Beispiel: 1 1 P( 1 6 3) g(a,b), da 4 r 1 6 für r=3 gilt Q(5 34 ) g(a,b), da aus 4 r 1 34 folgt: r= 3 r= 3 r= Spezialfall: liegt ein Punkt auf einer Strecke? Ein Punkt C liegt auf AB, wenn OC OA r AB für r 1 erfüllt ist. Beispiel: der Punkt P( 1 6 3) liegt nicht auf der Strecke AB. G Geraden auf ihre gegenseitige Lage untersuchen und möglicherweise vorhandene Schnittpunkte bestimmen. Regeln Mögliche Lage von Geraden zueinander: echt parallel, identisch, schneidend, windschief Vorgehen, um die Lage von g: x a r b und h : x c r d zueinander zu untersuchen: Zuerst untersucht man auf Parallelität, weil man das im Kopf ausrechnen kann: Sind die RV kollinear (das kann man i. A. ohne Rechnung sehen), so sind die Geraden parallel. Die zusätzliche Punktprobe c a r b zeigt dann, ob sie echt parallel oder identisch sind. Sind die RV nicht kollinear, so versucht man den Schnittpunkt zu ermitteln: hat das LGS aus 3 Gleichungen und Unbekannten eine Lösung (TR errechnet diese Lösung), so schneiden die Geraden sich, ansonsten (TR zeigt Error ) verlaufen sie windschief.

7 Typische Anwendungsaufgaben Fluggeraden ermitteln Untersuchen, ob sich die Bahnen kreuzen Diagonalen/Strecken in einem Körper schneiden. Unnötige Arbeit: es soll nur Parallelität nachgewiesen werden soll, der Schüler untersucht aber zusätzlich ob sogar Identität vorliegt. Beachte: Bei der Untersuchung von zwei Geraden müssen ggf. die Parameter unterschiedlich benannt werden. 1. Beispiel Gegeben sind zwei Flugbahnen 1,1 g : x(t) 55 t 8,75 1,5 53 h : y(t) 41 t 3 43,75 4 ; t in min; gleiche Zeitrechnung a) Zeige, dass die Flugbahnen sich kreuzen. b) Begründe, ob es zu einem Zusammenstoß beider Flugzeuge kommt. Lösung: a) RV sind nicht kollinear (=( ) (,1); 4 (-) ( 1,5)) g h:,1t r= 47 t+3r=14 1,5t 4r= 185 t=7 r= 14=14 Die Geraden schneiden sich im Punkt S( ,75). b) Keine Kollision, da das erste Flugzeug 5 Minuten später am Schnittpunkt ankommt. Beispiel Untersuche die Lagebeziehung von g, h und k 3,5 1 1 g : x r Lösung: 5 1 ; h: x 1 s 4 1 ; k: 1,5 x 3 r u 1, u und u3 seien die Richtungsvektoren der drei Geraden g, h und k. Man sieht, dass u u 1, u3 3 u 1 ist. die RV sind kollinear und damit sind die Geraden g, h und k parallel. Gilt g=h? r Gilt g=k? 3 1,5 3 r r= r= 3 4 r= 3 r= 5 6 g und h sind echt parallel. g und k sind echt parallel.

8 Gilt h=k? 1 1,5 1 3 r r= 3 r=1 3 h und k sind echt parallel.

9 Übungsaufgaben Dreiecke und Vierecke Aufgabe 1 Gegeben sind die Punkte A(4 1 1), B(7 1 ), C(4 7 3), D(1 1 ) und F(3 6). F I a) Zeichne zunächst das Viereck ABCD in ein Standard Koordinatensystem. G b) Zeige rechnerisch, dass die Dreiecke ABD und BCD gleichschenklig sind. c) Berechne den Schnittpunkt M der Geraden D g(b,d) und h(a,c). A Welche besondere Lage hat M? M d) Bestimme den Punkt E so, dass BEDA ein Parallelogramm ist. Welches besondere Parallelogramm liegt vor? B e) Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(4 3 1) auf der Geraden h(a,c) liegt. C f) Ermittle den Flächeninhalt des Vierecks ABCD. g) Durch das Viereck ABCD und den Punkt F wird ein Prisma festgelegt (siehe Zeichnung; die Flächen ABCD und FGHI sind parallel). Bestimme die Koordinaten der Punkte G, H und I und trage die Punkte in deine Zeichnung ein. Verbinde so wie in der Skizze zu einem Prisma. h) Ermittle die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke BH. i) Untersuche, ob das Viereck BCHG ein Rechteck ist. j) Um wie viel Prozent ist die Strecke AM kürzer als die Strecke AC? Aufgabe Berechnungen an einem Tetraeder Gegeben sind die Punkte A(9 4 ), B( 3 8 ), C( 3 4 1), P(3 4) und Q( 3 1). a) Zeige rechnerisch, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. b) Berechne den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. c) Das Dreieck ABC bildet mit dem Punkt D(9 8 1) eine dreiseitige Pyramide. Untersuche, ob die Pyramide ein regelmäßiges Tetraeder ist, d. h. ob alle Seitendreiecke gleichseitig sind. d) (1) Ermittle die Koordinaten des Eckpunkts W des Würfels. () Ermittle zu allen 4 Kanten des Tetraeders die Mittelpunkte M AB, M BC, M CD und M DA. (3) Untersuche, welche speziellen Eigenschaften das Viereck M AB M BC M CD M DA hat. (4) Ermittle den Abstand des Punktes T(3 4) von der Kante AD. k) Untersuche, ob sich die Geraden k(a,h) und l(b,i) schneiden. H

10 Lösung Aufgabe 1 Drachenprisma a) Zur Kontrolle: Koordinaten der Punkte im xy Koordinatensystem: A ( 3 1); B (,5 3,5); C (5 5); D (,5,5); F ( 1,5 4,5) b) AB 14 ; AD 14 ; BC 6 54 ; DC c) Nach b) ist ABCD ein Drachenviereck, sodass M auf der Mitte von BD liegt M(4 1 ) d) OE OB AD = 1 3 ; E(4 3 1). DA ABED ein Parallelogramm ist und zudem nach 1 1 Aufgabe b) AB AD gilt, muss ABED (mindestens) eine Raute sein. Ist das Viereck sogar ein Quadrat? Dazu müssten zusätzlich die Diagonalen gleich lang sein: 6 AE 4 BD 6 ABED kein Quadrat. e) Da das Viereck ABCD ein Drachenviereck ist, und P gleich E ist, muss der P auf der Diagonalen liegen. f) A Drachenviereck = 1 e f (halbes Produkt der Diagonalen): A = 1 AC BD = = 3 8 6,83 FE g) Alle Punkte des Drachens werden mit dem Vektor AF = 1 1 verschoben: 5 OG OB AF ; G(6 5) ; OH OC AF ; H(3 8 ) ; OI OD AF ; I( 5) h) M BH (5 4,5 1) 4 i) BH 7 69 j) AC 8 (s. o.); CG 5 93 Diagonalen verschieden lang kein Rechteck 8 AM 5 ; 1 5,5 ; AM ist um 75% kürzer als AC. 8

11 Lösungen zu Aufgabe Berechnungen an einem Tetraeder a) Alle drei Seiten sind 1 LE lang; b) S((9 3 3):3 ( 4+8 4):3 ( +1):3) = S(1 ) c) Die Seitenlängen AD, BD und CD betragen alle 88 = 1 LE. 1 d) (1) OW OMCD AB W( 3 8 1) (Achtung! Man kann W aus der Zeichnung ablesen, wenn man nachweist, dass die Kanten des Würfels parallel zu den Achsen verlaufen.) () M AB (3 ); M BC ( 3 4); M CD (3 1); M DA (9 4); (3) MABMBC 7 = MDAM CD Das Viereck ist ein Parallelogramm. Diagonalen: MABMCD MBCM SDA 1 Rechteck; benachbarte Seitenlängen: MABMAD MABMBC 1 Quadrat 1 M M = BC DA Diagonalen mit 1 LE gleich lang Rechteck. MABMCD M M ; MDAMCD Das Viereck ist ein Parallelogramm Zudem: MABM CD = MBCMDA Diagonalen mit 1 LE gleich lang Rechteck. 1 (3) AB BC 6 Zudem: MABMDA 6 6 = MABM BC gleich lange benachbarte Seiten Quadrat (4) T(3 4) ist der Mittelpunkt der Strecke AW und somit der Mittelpunkt des Würfels. Daher ist der gesuchte Abstand eine halbe Würfellänge : d(t, AD) = 6 LE.

12 Lösungen von Aufgaben aus dem Buch Seite 117 Aufgabe 1a): Setze für t verschiedene Werte ein, z.b. t=; t=1; t = ; Man erhält die Ortsvektoren zu den Punkten P(1 1 ); Q(1 1 9); R(1 5 1) b) Man kann den SV durch den Ortsvektor eines beliebigen anderen Punktes, also z. B. P, Q oder r austauschen, und den RV beliebig verlängern oder verkürzen, also z. B: 1 1 g: x(t) OP t u= 1 r 4 ; oder: x(r) 5 r Aufgabe a) 7 t = t = 1 t = 3 t = /3 X liegt nicht auf g. b) X g (t = 1); c) 7+5t = 3t = t = 1 t= 1 X g d) X g (t=,5 t = 1/ Aufgabe 3a) g(a,b): x(t) OA t AB t 6 ; x(t) OB t 3 AB 4 t Aufgabe 4a) wie 1a) b) Wenn die erste (zweite; dritte) Koordinate werden soll, muss gelten 1+t= ( 3+t=; +t=) t=,5 (t= 1,5; t= 1) Durch Einsetzen in die Geradengleichung erhält man die Punkte ( 4 1), (4 5); ( 1 5 ) c) Die z Koordinate muss sein P( 1 5 ) (siehe b)) d) Zeichne zwei Punkte, z.b. (1 1 1) und (11 7 1) sowie die Gerade durch diese Punkte Als SV kann man nehmen, als RV für die x Achse (y Achse; z Achse), 1 ; g(a,c): x t 4 ; g(b, D): x 4 t 4 ; g(e,g): x t 4 dd 4 Seite 1 Aufgabe 1 a) identisch, die RV kollinear sind ( v u) und (1 3) auf h liegt (t=,5) b) echt parallel c) identisch d) weder parallel noch identisch a) Mit TR erhält man r= s = ; 3. Gkeichung kontrollieren: 6+=+4 (w); Einsetzen von r in g: S(9 6) b) S(1 3 1) c) (3 4) d) S(3 13 9) 3. g und h schneiden sich im Stützpunkt S(1 3); h und i verlaufen parallel g und i verlaufen windschief. 4. a) g und h sind echt parallel; b) g und h sind windschief; c) g und h schneiden sich in S( 1 3). d) S( )

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