Mathematik Vektorrechnung

Transkript

1 Mthemti Vetoechnng Definitionen Rechnen mit Vetoen Linee Ahängigeit nd Unhängigeit on Vetoen Geden Gegeneitige Lge on Geden 9 Betg eine Veto Winel zwichen zwei Vetoen Eenendtellng mit Vetoen 9 Gegeneitige Lge on Eenen Gegeneitige Lge on Eenen nd Geden 9

2 Vetoechnng Definitionen Vetoechnng Definitionen Gegeen eien die Pnte A nd B Dnn it de zgehöige Veto : AB AB De z AB pende Gegeneto it l BA definiet: BA Al Oteto ezeichnet mn einen Veto, OP wenn de Veto om Upng zm Pnt P zeigt Sei, P o it de Oteto: OP

3 Vetoechnng Rechnen mit Vetoen Rechnen mit Vetoen ) Addition on Vetoen Gegeen eien die Pnte, P Q nd R A den Pnten, P Q nd R folgen znächt die Vetoen nd : PQ nd QR Diee eiden miteinnde ddiet, egit ich c zw : PR PR c ) ) ) Sttion zweie Vetoen Gegeen eien im zweidimenionlem Rm die Vetoen nd Die Sttion de Veto meint dgleiche wie die Addition de Gegeneto on Fü dieen gilt: Fü die Sttion de Vetoen on gilt lo llgemein: ) E egit ich fü nd : ) ) ) ) ) Mltiplition on Vetoen Soll eipielweie de Veto m d Deifche elänget weden, wid de Veto mit dem Fto mltipliziet: )

4 Vetoechnng Rechnen mit Vetoen ) Mltiplition zweie Vetoen Slpodt) Mltipliziet mn zwei Vetoen nd miteinnde, gechieht die ähnlich de Addition Sind die Vetoen nd gegeen nd ollen miteinnde mltipliziet weden, egit ich: 9 ) ) ) Ineondee gilt, wenn, o ind die eiden Vetoen othogonl zeinnde Umgeeht gilt deele Zmmenhng Sind lo 9 nd gegeen, o egit ich gemäß de Slpodt: ) ) 9) Diee eiden Vetoen nd ind demnch othogonl zeinnde

5 Vetoechnng Linee Ahängigeit nd Unhängigeit on Vetoen Linee Ahängigeit nd Unhängigeit on Vetoen O zwei Vetoen ttächlich zeinnde line hängig ind ode een nicht, lät ich gnz einfch etimmen So ind zwei Vetoen gen dnn line hängig, wenn gilt: Beipiele: ) Gegeen ind die Vetoen nd nn, o nd line hängig oneinnde ind Gepüft weden oll Dmit die eiden Vetoen line hängig oneinnde ind, m gelten E folgt folgende Zmmenhng:, D fü dei echiedene Wete die Löng ind, ind die Vetoen nicht line hängig oneinnde ) Üepüft weden oll nn, o oneinnde ind nd line hängig Dmit die eiden Vetoen line hängig oneinnde ind, m gelten E folgt folgende Zmmenhng: D fü gilt, ind die Vetoen line hängig oneinnde Sind nn dei Vetoen gegeen nd ollen diee line hängig oneinnde ein, m gelten: n m c

6 Vetoechnng Linee Ahängigeit nd Unhängigeit on Vetoen Liegt diee Zmmenhng o, lät ich c l Lineomintion on nd dtellen Beipiel: Gegeen ind die Vetoen, nd c Lät ich de Veto c l Lineomintion de ndeen eiden Vetoen dtellen? Um z üepüfen, o ich Veto c l Lineomintion de ndeen eiden dtellen lät, gilt c m n nd omit: m n m n m n m n m n D LGS it lö De Veto c lät ich l Lineomintion de eiden ndeen Vetoen dtellen:

7 Vetoechnng Geden Geden Geden ind owohl im zwei- l ch im deidimenionlen Rm dtell Allgemein lät ich die Pmetegleichng wie folgt echeien: p, woei Veto p den Stützeto nd Veto den Richtngeto de Geden ezeichnet Angeen eine Gedengleichng Sind zwei Pnte A nd B ngegeen, it e möglich eine Gedengleichng z etellen Folgende Schitte ind dfü ngecht: Emitteln eine Stützeto eipielweie Pnt A: OA imme om Upng ) Emitteln eine Richtngeto üe AB ) Angeen de Gedengleichng gemäß llgemeine Pmetegleichng Pntpoe Soll üepüft weden, o ein Pnt A f de Geden g liegt, nn die üe die Pntpoe ntecht weden Annhme, de Pnt A liege f g Pnt A l Veto ntelle on einetzen LGS liefet fü einen oneten Wet, omit liegt A f g Beipiele: ) Vecht weden oll mit den gegeenen Pnten B eine mögliche Gedengleichng nzgeen A nd Um die Gedengleichng nzgeen, cht mn ich znächt einen de eiden Pnte eide Pnte müen f de Geden A f de Geden g liegt, it g liegen) D zm Beipiel ein mögliche Stütz-eto de Geden D A nd B f g liegen, m on A nch B AB ) ein mögliche Richtngeto oliegen: AB

8 Vetoechnng Geden Mit dem eechneten Stütz- nd Richtngeto, lät ich die Geden-gleichng de Geden g mittel de Pmetegleichng etimmen: ) Gegeen ei fü eine Gede : g Üepüft oll mittel de Pntpoe, o A f de Geden g liegt Geht mn don A liege f de Geden g, müte diee Pnt die Gedengleichng efüllen, wenn A zw it E folgt: D die Gleichng löt, liegt de Pnt A f de Geden g

9 Vetoechnng Gegeneitige Lge on Geden Gegeneitige Lge on Geden In de Eene ind zwei Geden entwede pllel zeinnde zw identich ode chneiden ich nd hen omit einen gemeinmen Schnittpnt Im Rm önnen Gede düe hin noch windchief zeinnde ein Folglich önnen Gede im Rm ) zeinnde pllel ein ode ind og identich), ) ich chneiden e git einen Schnittpnt) c) ode ind windchief zeinnde Im Folgenden oll gelten: g : p nd h : q Betimmen gegeneitige Lgen on Geden Um die Lge de Geden zeinnde z etimmen, nn gemäß folgende Apete ogegngen weden: Nch dem Gleichetzen de Geden liefet d LGS ) n eine Löng g nd h chneiden ich Schnittpnt üe Einetzen de Löngen in die Gleichngen ) nendlich iele Löngen g nd h ind identich c) eine Löngen/ it nicht lö g nd h ind entwede pllel ode windchief zeinnde Üepüfen de Richtngetoen linee Ahängigeit: g nd h ind pllel linee Unhängigeit: g nd h ind windchief Beipiele: ) Betimmt weden oll die Lge de Geden h : zeinnde g : nd Gleichetzen eide Gedengleichngen liefet: 9

10 Vetoechnng Gegeneitige Lge on Geden D LGS it demnch nicht lö Alo önnen g nd h pllel ode windchief zeinnde ein D Üepüfen de Richtngetoen echfft Klheit:,,, D die Richtngetoen line oneinnde hängig ind, ind die Geden g nd h pllel zeinnde ) Betimmt weden oll die Lge de Geden : g nd : h zeinnde Gleichetzen eide Gedengleichngen liefet: D d LGS mit n eine Löng lö it, hndelt e ich ei den Geden m ich zwei chneidende Geden Einetzen on ode ingt de Schnittpnt Beipielweie in die Gedengleichng h eingeetzt, liefet: : h Folglich hen die eiden Geden einen gemeinmen Schnittpnt n de Stelle P c) Betimmt weden oll die Lge de Geden : g nd : h zeinnde

11 Vetoechnng Gegeneitige Lge on Geden Gleichetzen eide Gedengleichngen liefet: D d LGS nicht lö it, ind die Geden g nd h entwede pllel ode windchief zeinnde Üepüfen de Richtngetoen emöglicht eine Lgeetimmng:, D die Richtngetoen nicht line oneinnde hängig ind it nicht gleich), liegen die Geden g nd h windchief zeinnde

12 Vetoechnng Betg eine Veto Betg eine Veto Fü einen Veto mit lät ich de Betg entpicht de Länge eine Veto) wie folgt etimmen: - It nennt mn dieen Veto den Einheiteto - De Einheiteto ht dieele Richtng wie de Veto E gilt fü den Einheiteto : Beipiele: ) Gegeen it de Veto mit Im Folgenden oll nn owohl de Betg de Veto l ch deen Einheiteto etimmt weden De Betg de Veto etimmen: 9 lät ich gemäß D nn de Betg de Veto ennt it, nn mittel de Einheiteto ngegeen weden: ) Gegeen ind die eiden Pnte A nd B weden oll Atnd diee eiden Pnte z einnde Betimmt Um den Atnd zweie Pnte zeinnde z etimmen, gilt znächt folgende Antz, indem de Betg de Veto ngegeen weden oll, de on A nch B zeigt:

13 Vetoechnng Betg eine Veto AB Nch dem ennten Schem nn üe de Betg de Veto etimmt weden E egit ich: AB De Atnd diee eiden Pnte nn omit l AB ngegeen weden

14 Vetoechnng Winel zwichen zwei Vetoen Winel zwichen zwei Vetoen Gegeen eien zwei Vetoen nd, die on einem gemeinmen Pnt elfen nd zwichen denen ein Winel entteht, on dieem eide Vetoen wegzeigen Fü dieen Winel gilt llgemein: co Dei gilt fü den Winel: Mn chte ei de Beechnng f d Slpodt im Zähle nd den Betg de jeweiligen Vetoen im Nenne Beipiel: Gegeen eien die eiden Vetoen nd Gecht it nn die Göße de Winel, de ich zwichen den eiden Vetoen ftt Gemäß de Fomel z Betimmng de Winel üe co lät ich znächt diee mittel een diee Fomel co etimmen: co Um nn den Winel z etimmen, gilt: cco D folgt letztlich fü den zwichen den eiden Vetoen nd efindlichen Winel :,

15 Vetoechnng Eenendtellng mit Vetoen Eenendtellng mit Vetoen Z Dtellng eine Eene im Rm nn mn ich Vetoen emächtigen Allgemein echeit folgende Pmetegleichng die Dtellng eine Eene dch Vetoen: E : p Dei ezeichnet p den Stützeto nd owie die Spnnetoen, nte denen ich die Eene etect, die eide line nhängig oneinnde ind Etellen eine Eenengleichng Sind dei Pnte A, B nd C gegeen, nn eine Eenengleichng in folgende Weie etimmt weden: Emitteln de Stützeto eipielweie üe OA) Emitteln de Spnnetoen üe AB nd AC ) Einetzen de emittelten Stütz- nd Spnnetoen in die llgemeine Pmetegleichng liefet die Eenengleichng Beipiele: ) Gegeen ind die Pnte A, B nd C Unte Beücichtigng diee Angen oll eine Eenengleichng etimmt weden Znächt egit ich de Stützeto p z, wenn mn don geht de Stützeto etece ich om Upng imme) zm Pnt A 9 Im Weiteen len ich die Spnnetoen z nd z emitteln Dei egit ich üe AB nd üe AC Nn lät ich die Eenengleichng etimmen E folgt lo üe den Antz de llgemeinen Pmetegleichng:

16 Vetoechnng Eenendtellng mit Vetoen 9 : E ) Gefgt it, o de Pnt A f de Eene mit de Eenengleichng : E liegt Üe die Pntpoe nn üepüft weden, o A f E liegt Dfü gilt znächt A de Veto Die fü eingeetzt, folgt: D d LGS eine Löng fweit, it nchgewieen, d de Pnt A f de Eenen E liegt

17 Vetoechnng 9 Gegeneitige Lge on Eenen 9 Gegeneitige Lge on Eenen Gleich wie Geden nn ch ei Eenen die gegeneitige Lge zeinnde etimmt weden Hie lät ich ntecheiden zwichen pllele Lge, identiche Lge nd de Lge, die eine Schnittgede heoft Betimmen gegeneitige Lge on Eenen Um die Lge zweie Eenen zeinnde z definieen, gilt e znächt die eiden Gleichngen gleichzetzen Dnch it d LGS ) nicht lö Eenen ind pllel zeinnde ) lö Einetzen de Egenie in die Eenengleichng Eliminieng eine Pmete: Enttehng eine Schnittgede eine Eliminieng eine Pmete: identiche Lge Beipiel: Gegeen eien die eiden Eenengleichngen : E nd : E Diee gilt e nn f eine gegeneitige Lge hin z ntechen Um eide Eenen f gegeneitige Lge zeinnde z ntechen, gilt de Antz eide Eenengleichngen gleichzetzen, gemäß E E E folgt: Somit egit ich weitehin: D d LGS lö it zw nendlich iele Löngen ht, gilt e nn dch Einetzen de Egenie z üepüfen, o ein Pmete eliminiet weden nn nd e o eine Schnittgede git ode o doch ein Pmete eliminiet weden nn nd die Eenen omit identich wäen Stellt mn nch m, gilt fü :

18 Vetoechnng 9 Gegeneitige Lge on Eenen Die eingeetzt in E önnte eine Eliminieng eine Pmete zfolge hen, w eine Schnittgede heoft E folgt: : g Und weitehin dch Almmen: : g E folgt lo: : g D ein Pmete eliminiet weden onnte nd mn omit eine Gedengleichng ehält, gilt fü diee Gedengleichng zw Schnittgede: : g

19 Vetoechnng Gegeneitige Lge on Eenen nd Geden 9 Gegeneitige Lge on Eenen nd Geden Üe die Lgeetimmng on Geden zeinnde ode ch Eenen zeinnde, it e ch möglich die gegeneitige Lge eine Eene nd eine Gede z etimmen Betimmen gegeneitige Lge on Eenen nd Geden Um die Lge eine Eene nd eine Geden z echeien, gilt e znächt die eiden Gleichngen gleichzetzen Dnch liefet d LGS ) gen eine Löng Gede chneidet Eene in einem etimmten Pnt ) eine Löng Gede eläft pllel z Eene c) nendlich iele Löngen Gede liegt in de Eene Beipiel: Gegeen ei eine Gedengleichng : g nd eine Eenengleichng : E Im Folgenden gilt e nn, die gegeneitige Lge diee Eene nd Gede z üepüfen Um diee gegeneitige Lge de Eene nd Gede z üepüfen, gilt de Antz, E g lo d Gleichetzen de Eenen- nd de Gedengleichng E egit ich: Alo folgt nn: D d LGS gen diee eine Löng ht, chneidet die Gede die Eene in einen etimmten Pnt Dieen ehält mn dch Einetzen de Pmete Beipielweie dch Einetzen on in die Gedengleichng: 9

20 Vetoechnng Gegeneitige Lge on Eenen nd Geden Folglich chneidet die Gede die Eene im Pnt 9 P Beipielfgen ind dem Schlch Lmche Schweize /, Mthemti fü Gymnien, Gemtnd Oetfe, Niedechen; Klett-Velg) entnommen