Kapitel VI. Euklidische Geometrie

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1 Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und λ, µ R (1) u, λv + µw = λ u, v + µ u, w (2) v, w = w, v (3) v, v, 0; Gleichheit gilt nur, falls v = 0. Damit wird R n zum euklidischen Vektorraum. M.H. des Skalarprodukts kann man wie folgt Abstände und Winkel ausdrücken. x := x, x = x x2 n ist die Länge des Vektors x. Grundlegende Eigenschaften sind ( ) v, w v w (Schwarzsche Ungleichung) v 0; Gleichheit gilt nur für v = 0 λv = λ v v + w v + w (Dreiecksungleichung) Insbesondere gilt wg. ( ) 1 v, w v w +1 für alle v, w Rn \{0} Es gibt also genau ein α [0, π], so dass cosα = v,w. v w α heißt Winkel zwischen v und w. In IV 1 gesehen: Diese Definition stimmt in R 2 mit der üblichen überein. Ferner ist α = π v, w =

2 Allgemeine Definition (im R n ) v steht senkrecht auf w, wenn v, w = 0. Schreibe dafür v w. Abstände zwischen Punkten: d(x, y) := x y = (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2 ist der Abstand zwischen den Punkten x und y. Es gilt d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y d(x, y) = d(y, x) (x, z) d(x, y) + d(y, z) Orthogonale Unterräume: Seien U, V R n Untervektorräume. U := {v R n v u für alle u U} U und V heißen orthogonal zueinander ( U V ), wenn u v für alle u U, v V. Insbes.: U U. Es gilt (U ) = U und R n = U U, also auch dim U + dim U = n. Affine Unterräume A = p + U und B = q + V heißen orthogonal zueinander, wenn U V. Damit ist die Wiederholung abgeschlossen. (1.1) Satz des Pythagoras: Sind x, y, z R n paarweise verschieden, so ist x y y z genau dann, wenn d(x, z) 2 = d(x, y) 2 + d(y, z) 2. Beweis: d(x, z) 2 = x z, x z = x y + y z, x y + y z = = x y, x y + y z, y z + 2 x y, y z = = d(x, y) 2 + d(y, z) 2 genau dann, wenn (x y) (y z). Kugeln: Sei A R n ein affiner Raum, r R, r 0, m A. Die Kugel in A mit Mittelpunkt m und Radius r ist K = K r (m) := {x A d(m, x) = r}, d.h. K : x m, x m = r 2 ; wenn m = (m 1,...,m n ) t ; ausgeschrieben: K : (x 1 m 1 ) (x n m n ) 2 = r 2 Sei nun K = K r (m) A, r 0, dim A 2. Sei p K und g = p + R v A die Gerade durch p mit Richtung v. 2

3 (1.2) Bemerkung: g K 2 Beweis: p + λv K r 2 = p + λv m, p + λv m = = p m, p m + 2λ p m, v + λ 2 v, v = r 2 + 2λ p m, v + λ 2 v, v (1) λ 2 v, v + 2λ p m, v = 0 In Übereinstimmung mit Kap V definieren wir g heißt Tangente an K, falls g K = 1. g heißt Sekante von K, falls g K = 2 Der 1. Fall tritt offenbar ein, wenn p m, v = 0, also gilt (1.3) Bemerkung: g ist Tangente an K genau dann, wenn g m p (1.4) Bemerkung: Der Tangentialraum T p (K) (= Vereinigung aller Tangenten an K in p) ist die Lösungsmenge der Gleichung p m, x m = r 2 in den Unbestimmten x 1,...,x n. Beweis: Für x = p ist die Gleichung erfüllt. Sei x p, v = x p und g = p+rv = x p. Dann ist x T p (Q) g ist Tangente an K (1.3) p m, v = 0, d.h. p m, x m = p m, p + v m = p m, p m + p m, v = r 2 + p m, v = r 2 (1.5) Satz: Sei B R n ein affiner Unterraum und p B. Dann gibt es genau ein f B, so dass die Gerade p f senkrecht auf B steht. Beweis: Schreibe B in der Form B = q + V mit einem Untervektorraum V von R n. Wegen R n = V + v schreibt sich p q in der Form p q = v + w mit v V und w V. Setze f = q + v. Dann ist f B und fp = w V. Also ist l = p f eine Gerade mit p f B. Sei umgekehrt f B mit p f B. Scheibe f in der Form f = q + v mit v V. Dann ist p q v = f p = w V und p q = v + w = v + w. Es folgt v v = w w V V = {0} und v = v. Also ist f = f. 3

4 Die obige Gerade l = p f heißt das Lot von p auf B und f sein Fußpunkt. Für p B nennt man jede Gerade l durch p mit l B ein Lot im Punkt p. Der Normalenvektor einer Hyperebene: Sei H R n eine Hyperebene (affiner Unterraum der Dimension n 1). Es ist H = p + V, wobei V = T(H), dimv = n 1. Dann ist V R n eine Gerade. Ist H : a 1 x a n x n = b, a 0, so ist V : a 1 x a n x }{{ n = 0 und a V, somit } a,x T(H) = R a Definition: Ein Normalvektor von H ist ein n T(H) \{0}. Jede affine Gerade in Richtung V heißt Normale von H. Sie steht senkrecht auf H. n T(H) heißt Normaleneinheitsvektor, wenn n = 1. Berechnung von Normalenvektoren im R 2 bzw. R 3 : ( ) a a) H = g = p + R v R 2, v = : b ( ) b v = T(H) a b) Für Vektoren x, y R 3 setze x 2 y 3 x 3 y 2 x y := x 3 y 1 x 1 y 3 ( Vektorprodukt von x und y) x 1 y 2 x 2 y 1 Es gilt für z R 3 z 1 z 2 z 3 det(z, x, y) = det x 1 x 2 x 3 x = z 2 x 3 1 y y 1 y 2 y 2 y 3 3 z 2 x 1x 3 y 1 y 3 = z, x y. Wegen det(x, x, y) = det(y, x, y) = 0 folgt 4 +z 3 x 1x 2 y 1 y 2

5 (1) x y x und x + y y (2) det(x y, x, y) = x y 2 Im Folgenden seien x und y Vektoren im R 3 und H R 3 eine Ebene. (1.6) Satz: Ist (x, y) linear unabhängig, so ist x y 0 und (x, y, x y) ist eine Basis von R 3 mit det(x y, x, y) > 0. Fazit: Ist (x, y) eine Basis von V = T(H), so ist x y einer Normalenvektor von H. Zweite Möglichkeit, aus (x, y) einen Normalenvektor von H zu bestimmen: Löse das GLS x, v = 0, y, v = 0. Beweis von 1.6: Wegen det(x y, x, y) = x y 2 ist nur zu zeigen, dass x y 0. Betrachte dazu für festgehaltenes x die lineare Abbildung ϕ x : R 3 R 3, z x z. Zeige, dass (3) Kern ϕ x = R x Es folgt, wegen y R x = Kern ϕ x : x y = ϕ x (y) 0. Beweis von (3): Wegen x x = 0 ist R x Kern ϕ x. Sei umgekehrt y Kern ϕ x. Wir können annehmen, dass x 1 0. x y = 0 x 3 y 1 x 1 y 3 = x 1 y 2 x 2 y 1 = ( 0, ) und x 1 0, also y 1 = y 1 x 1 x 1, y 2 = y 1 x 1 y 2, y 3 = y 1 y x 1 x 3 und y = 1 x 1 x R x. (1.7) Regel: Ist x 0, y 0 und α = (x, y), so gilt x y = x y sin α Insbesondere gilt wegen sin π 2 = 1 und det(x y, x, y) = x y 2 : Ist (x, y) eine ON-Basis von V R 3, so ist (x, y, x y) eine ON-Basis des R 3. Beweis( von 1.7: x ) 2 y 2 x y 2 = x, y 2 (nachrechnen), also x y 2 = x 2 y 2 1 x,y 2 = x 2 y 2 (1 cos 2 α) = x 2 y 2 sin 2 α. x 2 y 2 5

6 Definition: Seien S, T nicht leere Teilmengen des R n. Der Abstand zwischen S und T ist erklärt als d(s, T) :== inf{d(s, t) s S, t T }; d(p, T) := d({p}, T). Beispiel: S : XY = 1, T : xy = 0 Hier ist d(s, T) = 0. Es existieren keine Punkte s S, t T mit d(s, t) = d(s, T). (1.8) Satz: Sei p R n und B R n affin, B φ, p B. f sei der Fußpunkt des Lotes von p auf B. Dann gilt: (1) d(p, B) = d(p, f) (2) f ist der einzige Punkt f B mit d(p, f) = d(p, B). Der Beweis wird später geführt. Allgemeinere Situation: A = p + V, B = q + W seien affine Unterräume von R n mit A B = φ. Für a A und b B heißt a b gemeinsames Lot auf A und B, wenn a b A und a b B ist. (1.9) Satz: a) A und B haben ein gemeinsames Lot. b) Seien a A und b B. Genau dann ist a b ein gemeinsames Lot auf A und B, wenn d(a, b) = d(a, B). Sind a b und x y gemeinsame Lote auf A und B (a, x A; b, y B), so gilt: ab = xy Da in der Situation 1.8 (A = {p}) das Lot von p auf B das einzige gemeinsame Lot auf A und B ist, folgt (1.8) sofort aus (1.9)b). Beweis: a) Sei U := (V + W) = V W. Wegen R n = V + W + U gibt es Vektoren u U, v V, w W mit p q = u + v + w, also (p v) (q + w) = u U = V W. Setze a := p v und b := q + w. Dann ist ba = u U, d.h. a b ist ein gemeinsames Lot auf A und B. 6

7 b) Wähle a A und b B so, dass a b gemeinsames Lot auf A und B ist. Seien x = a + v A und y = b + w B beliebig (v V, w W). d(x, y) 2 = x y, x y = a b, a b + v w, v, w + +2 a b, v w = d(a, b) 2 + d(v, w ) 2, da ab v w. Also ist d(x, y) d(a, b) für beliebige x A, y B. Somit ist gezeigt: d(a, b) = d(a, B) falls a b ein gemeinsames Lot auf A und B ist. Ist nun d(x, y) = d(a, B) = d(a, b), so ist nach obiger Rechnung d(v, w ) = 0, also v = w und xy = ab. Insbesondere ist auch x y ein gemeinsames Lot auf A und B. Damit ist b) vollständig bewiesen. (1.10) Korollar: In der Situation von (1.9) sei noch V W = {0}. Dann gibt es genau ein Paar (a, b) A B mit d(a, b) A B mit d(a, b) = d(a, B). Beweis: Sei a A, v V, x = a + v sowie b B, w W, y = b + w, so dass a b und x y gemeinsame Lote auf A und B sind. Nach 1.9b) ist dann ab = xy, d.h. w v = 0. Es folgt v = w V W = {0}, also a = x und b = y. Verfahren zur Berechnung von d(a, B) I. Allgemein gültige Methode: Seien Basen {v 1,...,v r } von V, {w 1,...,w s } von W und {u 1,...,u t } von U bereits bestimmt; U := V W = (V + W). Ferner seien p A und q B vorgegeben. Es gilt: U + V + W = R n. a) Schreibe p q als Linearkombination p q = r s t λ i v i + µ j w j + ν k u k. i=1 j=1 k=1 7

8 b) Setze a = p r λ i v i ; b = q + s µ j w j. i=1 j=1 Dann ist ba = a b = t ν k u k U und a b A, a b B. Damit ist k=1 d(a, B) = a b und a und b sind die Fußpunkte eines gemeinsamen Lotes auf A und B. Spezialfall: Der Abstand zwischen zwei Geraden g, h im R 3. Unterscheide drei Fälle: (i) g h φ : d(g, h) = 0 (ii) g h = φ und g h ( windschiefe Geraden) (iii) g h = φ und g h Zu (ii): Sei g = p 0 + Rv, h = q 0 + Rw. Nach Voraussetzung ist (v, w) linear unabhängig und E = Rv + Rw eine Ebene. Finde ein Basiselement u von E (Normalenvektor von E): a) Mit Hilfe des Gauß Algorithmus oder b) durch das Vektorprodukt: u := v w. Dann ist (u, v, w) eine Basis des R 3. Stelle p 0 q 0 als Linearkombination p 0 q 0 = λv +µw +ν u mit λ, µ, ν R dar und setze a := p 0 λv und b := q 0 + µw Dann ist d(a; B) = d(a, b) = q 0 p 0 + µw + λv = νu = ν u. Übungsaufgabe: Man bestimme den Abstand der Geraden g = R 0 und h = 0 + R 1 voneinander Zu (iii) g = p 0 + Rv, h = q 0 + R v. Fälle das Lot von p 0 auf h. Sei f der Lotfußpunkt. Dann ist p 0 f g und wegen g h auch p 0 f h. Nach (1.9) ist daher d(g, h) = d(p 0, f). 8

9 Übungsaufgabe: Man bestimme den Abstand der Geraden g = 0 + R 1 und h = 1 + R 1 voneinander II. Der Abstand eines Punktes von einer Geraden: Sei p R n und g = q + Rv R n eine Gerade. Setze λ := p q,v. Dann ist v,v f = q + λv der Fußpunkt des Lotes von p auf g und daher nach 1.8 d(p, q) = f p = q + λv p Beweis: Setze den Lotfußpunkt an in der Form f = q+λv und f p f q. Es folgt 0 = q + λv p, λv = λ q p, v + λ 2 v, v, also λ = p q,v v,v III. Abstandsberechnung m.h. der Hesseschen Normalform: Sei H : a 1 x a n x n = b eine Hyperebene im R n. Dann ist a = (a 1,...,a n ) t ein Normalenvektor von H. Dividiert man die Gleichung noch durch eine geeignete Zahl, so kann man erreichen, dass a = 1 und b 0 ist. Die so entstandene Gleichung a, x b = 0 (b 0, a = 1) heißt Hessesche Normalform der Hyperebene H. (1.12) Satz: Sei a, x b = 0 die Hessesche Normalform von H. Dann ist d(p, H) = a, p b für alle p R n. Beweis: Sei f der Fußpunkt des Lotes von p auf H. Dann ist δ := d(p, H) = d(p, f). Wegen a = 1 ist p = f + λa mit λ = p f = δ. Einsetzen in die HNF ergibt a, p b = a, f + λa b = a, f + λ a 2 b Also ist δ = λ = a, p b. = a, f b + λ = λ wegen f H : a, x b = 0 Übungsaufgabe: Sei g : 3x 1 + 4x = 0, g R 2. K sei die Menge aller Punkte der Ebene R 2, welche von g und dem Nullpunkt den gleichen Abstand haben. 9

10 a) Man stelle K durch eine Gleichung dar. b) Man zeige, dass K ein Kegelschnitt ist und bestimme seinen Typ. c) Man bestimme die Tangenten an K in den Schnittpunkten von K mit der x 1 Achse. Der Winkel zwischen zwei Geraden bzw. Ebenen: a) Der Winkel zwischen zwei Vektoren (s.o.) Sind v, w R n \{0}, so ist der Winkel zwischen v und w die eindeutig bestimmte Zahl ϕ [0, π] mit cosϕ = v,w v w. Übereinstimmung mit der Anschauung im Fall n = 2: x 2 w = ( ) s cosβ s sinβ β α α v = ( ) r cosα r sinα x 1 v, w v w r cosαs cosβ + r sin αs sin β = = cosαcosβ + sin α sin β = rs = cos(β α) = cos(2π (β α)), ϕ {β α, 2π (β α)} 10

11 b) Der Winkel zwischen zwei Geraden: Seien g und h zwei sich schneidende Geraden im R n und {p} = g h. Der Winkel zwischen g und h ist die Zahl α [0, π 2 ], welche als Winkel zwischen Richtungsvektoren von g und h auftritt. Insbesondere ist cosα 0. Ist also g = p + R v und h = p + R w, so ist cosα = ±v,w v w = ± v,w v w und wegen cos α 0 folgt Skizze im Fall n = 2: cosα = v, w v w h α π α π α α g (1.13) Bemerkung: Sind g und h nicht parallele Geraden im R 2 sind m und n Normalenvektoren für g bzw. h, so gilt cos α = m, n m n Also ist α auch der Winkel zwischen g und h. ( ) ( ) a c Beweis: Sei v = und w =. Dann ist m = λ b d µ ( d c ). Es folgt ( b a ) und n = m, n m n = λµ ( b)( d) + ac λ v µ w = v, w v w 11

12 Anschaulich: g h h. α. α g c) Der Winkel zwischen zwei Ebenen im Raum: l g α.. F h E Seien E F Ebenen im Raum. Dann ist E F = l eine Gerade. Wähle ein kartesisches Koordinatensystem im Raum so, dass l zur x 3 Achse x 1 ( ) wird. Sei E 0 : x 3 = 0. Identifiziere E 0 mit R 2 x 2 x1. Dann x

13 sind g = E E 0 und h = F E 0 Geraden im R 2 durch den Nullpunkt. Ferner ist g l und h l. Definition: Der Winkel zwischen E und F ist der Winkel zwischen g und h. Berechnung von α: Sind m und n Normalenvektoren von E bzw. F, so gilt m l und n l, also m, n E 0 = R 2. Ferner ist m g und n h; also sind m und n auch Normalenvektoren von g bzw. h. Nach b) gilt daher für den Winkel α zwischen g und h: cos α = m, n m n Übungsaufgabe: Man berechne den Winkel zwischen den Ebenen E : 3x 1 + 4x 2 = 5 und F : 3x x x 3 = 1 13

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