Geometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte

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1 Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden, Ebenen Geometrie 2 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte. Vektoren, Definitionen und Beispiele Im zwei- oder dreidimensionalen Raum betrachten wir ein beliebiges Punktepaar (A, E), wobei A den Anfangspunkt und E den Endpunkt bezeichnet, und bezeichnen dieses Paar als Pfeil. Eine Menge von parallelen Pfeilen mit gleicher Orientierung und gleicher Länge bezeichnet man als Vektor, Kurzbezeichnung a mit Länge oder Betrag a. Zwei Vektoren heißen parallel ( a b), wenn alle zugehörigen Pfeile parallel sind.

2 Geometrie 3 Vektoroperationen Addition: c = a+ b (Parallelogrammregel) Rechenregeln: a+ b = b+ a ( a+ b)+ c = a+( b+ c) a+ 0 = a a+( a) = 0 Geometrie 4 Multiplikation mit einer Zahl λ R: c = λ a c a, Länge von c ist gleich der Länge von a multipliziert mit dem Faktor λ, a = a Rechenregeln (λ,µ R): λ (µ a) = (λ µ) a (λ+µ) a = λ a+µ a λ ( a+ b) = λ a+λ b Definition: Man nennt drei Vektoren a, b, c linear abhängig, wenn reelle Zahlen α,β,γ mit (α,β,γ) (0,0,0) existieren, so dass α a+β b+γ c = 0.

3 Geometrie 5.2 Vektorrechnung der Ebene unter Verwendung eines Koordinatensystems Vorgabe eines Nullpunktes O und von zwei linear unabhängigen Vektoren e, e 2 (Basisvektoren) mit Länge. Die zwei Vektoren sollen außerdem senkrecht aufeinander stehen. Bild: Geometrie 6 Dann kann jeder beliebige Vektor x eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden x = x e +x 2 e 2 und zu seiner Beschreibung genügen die Koordinaten x,x 2 x = x x 2 Jeder Punkt P(x, y) des (kartesischen) Koordinatensystems ist Endpunkt eines Vektors x, dem Ortsvektor von P mit Bezeichnung: OP Länge (Betrag) des Vektors = Abstand des Punktes P vom Nullpunkt x = x 2 +y 2 = OP Abstand von zwei Punkten P(x,y ) und S(x 2,y 2 ): PS = OS OP = (x2 x ) 2 +(y 2 y ) 2

4 Geometrie 7 Wir betrachten die Menge aller Ortsvektoren gleicher Länge r: x 2 +y 2 = r 2 EinKreis istdiemengeallerpunkte, fürdiederabstandvomnullpunkt konstant = r ist. x 2 +y 2 = 4 Geometrie 8.3 Geraden in der Ebene Parameterdarstellung Sei P ein Punkt auf einer Gerade g mit Ortsvektor r = OP und a ein zu g paralleler Vektor ( a g). Dann lautet eine Parameterdarstellung der Geraden r = OP +t a (t R) wobei r = x y den Ortsvektor zu einem Punkt P(x,y) auf der Geraden, a den Richtungsvektor, t den Parameter bezeichnet. r = OP +t P P 2 (t R) ist Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte P,P 2.

5 Geometrie 9 Eine parameterfreie Darstellung dieser Geraden lautet: y y = y 2 y x 2 x (x x ) = y = a x+b, wobei a den Anstieg, b den Achsenabschnitt bezeichnet. Geometrie 0.4 Verschiebung des Koordinatensystems x = x+u y = y +v bzw. x = x u y = y v Kreis x 2 +y 2 = r 2 und Verschiebung des Koordinatensystems (x u) 2 +(y v) 2 = r 2 Gleichung eines Kreises mit Mittelpunkt M(u,v) und Radius r im x,y -Koordinatensystem.

6 Geometrie.5 Drehen des Koordinatensystems x = cosφ x+sinφ y y = sinφ x+cosφ y bzw. x = cosφ x sinφ y y = sinφ x +cosφ y Geometrie 2.6 Maßstabsänderung auf der y-achse x = x, y = b y, bzw. x = x, y = b y, b 0

7 ' $ Geometrie.7 3 Kegelschnitte Ellipse: Wir betrachten im x, y-koordinatensystem den Einheitskreis x2 + y 2 = und die Tansformation: x= x, a y= y, a, b 6= 0 b und erhalten im x, y -Koordinatensystem ( y x 2 ) + ( )2 = a b Die Ellipse ist die Menge aller Punkte, fu r die die Summe der Absta nde von zwei festen Punkten, den Brennpunkten F, F2, konstant = 2a ist. & % ' $ & % Geometrie 4

8 Geometrie 5 Sei der Nullpunkt der Mittelpunkt der Ellipse und F = F ( e,0),f 2 = F 2 (e,0). a die halbe Länge der Hauptachse AB, b die halbe Länge der Nebenachse DC, (x+e) 2 +y 2 + (e x) 2 +y 2 = 2a ( quadrieren ) (x+e) 2 +y 2 = (e x) 2 +y 2 4a (e x) 2 +y 2 +4a 2 ex a 2 = a (e x) 2 +y 2 ( quadrieren ) e 2 x 2 2exa 2 +a 4 = a 2 (e x) 2 +a 2 y 2 (umstellen, ausklammern ) 0 = x 2 (a 2 e 2 )+a 2 y 2 a 2 (a 2 e 2 ) (a 2 e 2 = b 2 ) 0 = x 2 b 2 +a 2 y 2 a 2 b 2 = x2 a 2 + y2 b 2 Geometrie 6 Hyperbel: ( x a )2 ( y b )2 = Die Hyperbel ist die Menge aller Punkte, für die der Betrag der Differenz der Abstände von zwei festen Punkten, den Brennpunkten F,F 2, konstant (= 2a) ist. Bild:

9 Geometrie 7 Parabel: x 2 = 2p y Die Parabel ist die Menge aller Punkte einer Ebene, deren Abstand von einem festen Punkt, dem Brennpunkt F und einer Geraden l : y = p 2 konstant (= p 2 ) ist. Bild: Geometrie 8 Bemerkungen: Verschiebt man das Koordinatensystem, so erhält man die allgemeinen Ellipsen- bzw- Hyperbelgleichungen: ( x x a ) 2 ±( y y ) 2 = b Dreht man das Koordinatensystem mit der Hyperbel x 2 y 2 = a 2 = 2 um den Nullpunkt, so dass die neuen Achsen mit den Asymptoten übereinstimmen (Drehwinkel Φ = 45 ), erhält man bzw. 2 (x +y ) 2 2 ( x +y ) 2 = a 2 y = a2 2 x = x

10 Geometrie 9 2 Vektorrechnung des Raumes unter Verwendung eines Koordinatensystems 2. Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt Vorgabe eines Nullpunktes und von drei linear unabhängigen Vektoren e, e 2, e 3 (Basisvektoren) mit Länge. Die drei Vektoren sollen außerdem senkrecht aufeinander stehen und ein Rechtssystem bilden. Bild: Geometrie 20 Dann kann jeder beliebige Vektor x eindeutig als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden x = x e +x 2 e 2 +x 3 e 3 und zu seiner Beschreibung genügen die Koordinaten x,x 2,x 3 R x = Jeder Punkt P(x, y, z) des (kartesischen) Koordinatensystems ist Endpunkt eines Vektors x, dem Ortsvektor von P mit Bezeichnung: OP Länge (Betrag) des Vektors = Abstand des Punktes P vom Nullpunkt x x 2 x 3 x = x 2 +y 2 +z 2 = OP

11 Geometrie 2 Skalarprodukt: a b := a b cos ( a, b) a a b b = a 2 b 2 = a b +a 2 b 2 +a 3 b 3 a 3 b 3 Rechenregeln: a b = b a a a = a 2 a b = a b = 0 Geometrie 22 Vektorprodukt: c := a b mit c a und c b a, b, c bilden ein Rechtssystem (Rechte-Hand-Regel) und c = a b sin ( a, b) a a 2 b b 2 = a 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b a b 3 a 3 b 3 a b 2 a 2 b Rechenregeln: a b = b a a ( b+ c) = a b+ a c a b = a b = a b, (β b) b = 0

12 Geometrie 23 Spatprodukt: [ a b c] := ( a b) c Rechenregeln: [ a b c] = a b c cos ( a b, c) [ a b c] = [ b a c] a, b, c linear abhängig = [ a b c] = 0 Geometrie 24 Geraden und Ebenen Gerade Sei P ein Punkt auf einer Gerade g mit Ortsvektor r = OP und a g. Dann lautet eine Parameterdarstellung der Geraden r(t) = OP +t a (t R) x wobei r = y Ortsvektor zu einem Punkt P(x,y,z) z auf der Geraden, a Richtungsvektor, t Parameter. r = OP +t P P 2 (t R) ist Parameterdarstellung der Geraden durch die Punkte P,P 2.

13 Geometrie 25 speziell Geraden in der Ebene (z = 0) Sei n ein Normalenvektor zum Richtungsvektor a (d.h. n a = 0). ( r r ) n = (x x )n +(y y )n 2 = n x+n 2 y d = 0, wobei d = n r = n x +n 2 x 2 bzw. y = n n 2 x+ d n 2. Geometrie 26 Ebene: Sei P ein Punkt auf einer Ebene E mit Ortsvektor r = OP und a, b linear unabhängige Vektoren. Dann lautet eine Parameterdarstellung der Ebene r(s,t) = OP +t a+s b (s,t R) x wobei r(s,t) = y Ortsvektor von Punkt P(x,y,z) auf der Ebene, z s, t Parameter. r(s,t) = OP +t P P 2 +s P P 3 (s,t R) ist Parameterdarstellung der Ebene durch die Punkte P,P 2,P 3.

14 Geometrie 27 P (,2,3),P 2 (2,3,0),P 3 (, 2,). 2 r(s,t) = 2 +t +s , (s,t R) Parameterfreie Darstellung einer Ebene: Sei n Normalenvektor der Ebene mit n = a b. Folglich gilt bzw. r n = OP n+t a n+s b n ( r OP ) n = (x x ) n +(y y ) n 2 +(z z ) n 3 = 0 parameterfreie Darstellung der Ebene. Geometrie 28 Mit n n = n 2 +n 2 2 +n2 3 n n 2 n 3 Normalenvektor der Länge erhält man als Spezialfall die sog. Hessesche Normalform der Ebene: ( r OP ) n n = (x x ) n n +(y y ) n2 n +(z z ) n3 n = 0 Mit der Bezeichnung: n n = a b folgt ax+by +cz = d 0, c wobei d 0 = x a+y b+z c der (orientierte) kürzeste Abstand der Ebene vom Nullpunkt ist.

15 Geometrie 29 Geometrie Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen von Punkten, Geraden, Ebenen Lagebeziehungen Punkt - Gerade, Punkt - Ebene Abstand des Punktes P(x,y,z) von einer Ebene: d = ( OP OP ) n n r(s,t) = 2 3 +t 3 +s 2 4 2, (s,t R) und P(,,2):

16 Geometrie 3 Zwei Geraden g,g 2 können - parallel sein, - einen Schnittpunkt besitzen oder - windschief sein. Beispiele: r (t) = 2 +t 0, r 2(s) = s 3 0 3, (s,t R) Geometrie 32 r (t) = t 3 0 4, r 2(s) = 3 +s 2 5 3, (s,t R) r (t) = 3 5 +t 2 2, r 2(s) = s 4 3, (s,t R)

17 Geometrie 33 Zwei Ebenen E,E 2 können - parallel sein - eine Schnittgerade besitzen oder - identisch sein. Beispiele: 3x+2z = 0, 3x+2z = 4 3x+2y z = 3, 3x+2y z + = 0 3x+2z = 4, 6x+4z = 8

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