Automaten, Spiele und Logik

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1 Automaten, Spiele und Logik Woche Juli 2014

2 Inhalt der heutigen Vorlesung Linearzeit Temporale Logik (LTL) Alternierende Büchi Automaten Nicht-Determinisierung (Miyano-Ayashi)

3 Beschriftete Transitionssysteme Definition Ein beschriftetes Transitionssystem (LTS) ist ein Tupel S = (S, E, P, v), wobei S eine endliche Menge von Zuständen ist E S S die Transitionsrelation ist P = {p, q,... } eine Menge von propositionalen Variablen ist v : S 2 P eine Beschriftung ist Ein Pfad π von S ist eine unendliche Folgerung s 0, s 1,... von Zuständen derart, dass (s i, s i+1 ) E Notation π[n] = s n

4 Linearzeit Temporale Logik Syntax Die Menge von LTL Formeln φ ist durch die folgende Grammatik definiert φ, ψ ::= p (propositionale Variable) φ ψ (Konjunktion) φ (Negation) φ ( Next ) φ U ψ ( Until )

5 Lineare Zeit Temporale Logik (2) Sei S ein LTS, π ein Pfad, i 0, und φ eine Formel. π, i = p gdw p v(π[i]) π, i = φ gdw π, i = φ π, i = φ ψ gdw π, i = φ und π, i = ψ π, i = φ gdw π, i + 1 = φ π, i = φ U ψ gdw i i. π, i = ψ und j {i,..., i 1}. π, j = φ Notation π = φ heisst π, 0 = φ

6 Übungen Geben Sie die entsprechende Formel an. 1. Zum aktuellen Zeitpunkt gilt p und zum Nächsten q

7 Übungen Geben Sie die entsprechende Formel an. 1. Zum aktuellen Zeitpunkt gilt p und zum Nächsten q p q

8 Übungen Geben Sie die entsprechende Formel an. 1. Zum aktuellen Zeitpunkt gilt p und zum Nächsten q p q 2. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten q und r

9 Übungen Geben Sie die entsprechende Formel an. 1. Zum aktuellen Zeitpunkt gilt p und zum Nächsten q p q 2. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten q und r (q r) U p

10 Übungen Geben Sie die entsprechende Formel an. 1. Zum aktuellen Zeitpunkt gilt p und zum Nächsten q p q 2. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten q und r (q r) U p 3. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten entweder immer q oder immer r

11 Übungen Geben Sie die entsprechende Formel an. 1. Zum aktuellen Zeitpunkt gilt p und zum Nächsten q p q 2. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten q und r (q r) U p 3. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten entweder immer q oder immer r (q U p) (r U p)

12 Übungen Geben Sie die entsprechende Formel an. 1. Zum aktuellen Zeitpunkt gilt p und zum Nächsten q p q 2. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten q und r (q r) U p 3. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten entweder immer q oder immer r (q U p) (r U p) Welche dieser drei Formeln drückt nicht das selbe wie die zwei Anderen aus? p U (p q) (p p) U (p q) (p p) U q

13 Übungen Geben Sie die entsprechende Formel an. 1. Zum aktuellen Zeitpunkt gilt p und zum Nächsten q p q 2. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten q und r (q r) U p 3. An einem zukünftigen Zeitpunkt gilt p und davor gelten entweder immer q oder immer r (q U p) (r U p) Welche dieser drei Formeln drückt nicht das selbe wie die zwei Anderen aus? p U (p q) (p p) U (p q) (p p) U q

14 Abgeleitete Konnektoren,,,,... wie üblich F φ = U φ ( Finally ) Irgendwann in der Zukunft oder bereits jetzt gilt φ. G φ = F φ ( Globally ) Jetzt und immer in der Zukunft gilt φ. φ R ψ = (( φ) U ( ψ)) ( Release ) ψ muss gelten, solange es nicht von φ abgelöst wird: entweder ψ gilt immer, oder nur bis zu einem Zeitpunkt an dem beide φ und ψ gelten.

15 Übungen Geben Sie die entsprechenden Formeln an. 1. Zum nächsten Zeitpunkt in dem q gilt, gilt auch p.

16 Übungen Geben Sie die entsprechenden Formeln an. 1. Zum nächsten Zeitpunkt in dem q gilt, gilt auch p. (( q) U (q p)) oder gleich q R (q p)

17 Übungen Geben Sie die entsprechenden Formeln an. 1. Zum nächsten Zeitpunkt in dem q gilt, gilt auch p. (( q) U (q p)) oder gleich q R (q p) 2. Solange wie q gilt, gilt auch p

18 Übungen Geben Sie die entsprechenden Formeln an. 1. Zum nächsten Zeitpunkt in dem q gilt, gilt auch p. (( q) U (q p)) oder gleich q R (q p) 2. Solange wie q gilt, gilt auch p (q U (q p)), oder gleich ( q) R (q p)

19 Übungen Geben Sie die entsprechenden Formeln an. 1. Zum nächsten Zeitpunkt in dem q gilt, gilt auch p. (( q) U (q p)) oder gleich q R (q p) 2. Solange wie q gilt, gilt auch p (q U (q p)), oder gleich ( q) R (q p) 3. Jedesmal, wenn q gilt, galt irgendwann davor einmal p

20 Übungen Geben Sie die entsprechenden Formeln an. 1. Zum nächsten Zeitpunkt in dem q gilt, gilt auch p. (( q) U (q p)) oder gleich q R (q p) 2. Solange wie q gilt, gilt auch p (q U (q p)), oder gleich ( q) R (q p) 3. Jedesmal, wenn q gilt, galt irgendwann davor einmal p (( p) U q), oder gleich p R ( q)

21 Übungen Geben Sie die entsprechenden Formeln an. 1. Zum nächsten Zeitpunkt in dem q gilt, gilt auch p. (( q) U (q p)) oder gleich q R (q p) 2. Solange wie q gilt, gilt auch p (q U (q p)), oder gleich ( q) R (q p) 3. Jedesmal, wenn q gilt, galt irgendwann davor einmal p (( p) U q), oder gleich p R ( q) 4. q gilt nur endlich oft

22 Übungen Geben Sie die entsprechenden Formeln an. 1. Zum nächsten Zeitpunkt in dem q gilt, gilt auch p. (( q) U (q p)) oder gleich q R (q p) 2. Solange wie q gilt, gilt auch p (q U (q p)), oder gleich ( q) R (q p) 3. Jedesmal, wenn q gilt, galt irgendwann davor einmal p (( p) U q), oder gleich p R ( q) 4. q gilt nur endlich oft F G q

23 Positive Normalform Ein Formel φ ist in positiver Normalform, falls es durch die folgende Grammatik abgeleitet ist. φ, ψ ::= p p φ ψ φ ψ φ φ U ψ φ R ψ Satz Für jede Formel φ gibt es eine äquivalente Formel ψ, die in positiver Normalform ist.

24 Model-Checking und Allgemeingültigkeit Ein LTS S erfüllt eine Formel φ, wenn π = φ für alle Pfade π von S. Ein Formel φ ist allgemeingültig, wenn S = φ für alle LTS ϕ Satz Model-Checking und Allgemeingültigkeit sind entscheidbar. Beweis: Nimm Σ = 2 P. Dann ein Pfad wird als Wort kodiert. Es bleibt zu beweisen, dass L(φ) und L(S) durch Automaten erkannt werden können. Was für Automaten?

25 Alternierende Büchi Automaten Definition Ein alternierender Büchi Automat ist ein Tupel A = (Q, Σ,, δ, F ) wobei δ : Q Σ B + (Q). a b a,b q b 0 q a 1 δ(, a) = δ(, a) = δ(, ) = δ(, b) = δ(, b) = L(A) = (b a) ω (= nach jedem b kommt irgendwann ein a )

26 Lauf Definition Ein Lauf auf dem unendlichen Wort a 0.a 1... ist ein unendlicher Q-beschrifteter Baum t, so dass für jeden q-beschrifteten Knoten k auf Ebene i gilt: {q : q beschriftet ein Kind von k} = δ(q, a i ). Büchi Bedingung Der Lauf heisst akzeptierend, falls es auf jedem Ast unendlich viele Knoten k 0, k 1,... gibt, so dass k i aus F ist.

27 Beispiele a b a,b q b 0 q a 1 L(A) = (b a) ω w = bba ω w = (ba) ω

28 Beispiele a b a,b q b 0 q a 1 L(A) = (b a) ω w = bba ω t ist nicht akzeptierend w = (ba) ω

29 Beispiele a b a,b q b 0 q a 1 L(A) = (b a) ω w = bba ω t ist nicht akzeptierend aber bba ω L(A) w = (ba) ω

30 Beispiele a b a,b q b 0 q a 1 L(A) = (b a) ω w = bba ω t ist nicht akzeptierend aber bba ω L(A) w = (ba) ω t ist akzeptierend

31 von LTL nach ABA Sei φ eine LTL Formel in positiver Normalform. Wir definieren A φ wie folgt. Q = {, } {q ψ ψ eine Unterformel von φ ist} Σ = 2 P, q I = q φ δ ist durch Induktion über die Formeln definiert: δ(, a) = { falls p a δ(q p, a) = falls p / a δ(, a) = { falls p a δ(q p, a) = falls p / a δ(q φ ψ, a) = δ(q φ, a) δ(q ψ, a) δ(q φ ψ, a) = δ(q φ, a) δ(q ψ, a) δ(q φ, a) = q φ δ(q φuψ, a) = δ(q ψ, a) (δ(q φ, a) q φuψ ) δ(q φrψ, a) = δ(q ψ, a) (δ(q φ, a) q φrψ ) F = { } {q φrψ q φrψ Q}

32 Beispiel : φ = G(p p) = R (p p) {p}, p {p} {p},

33 Beispiel : φ = G(p p) = R (p p) {p}, p p {p} {p} {p},

34 Beispiel : φ = G(p p) = R (p p) {p}, p p p {p} p {p} {p} {p},

35 Beispiel : φ = G(p p) = R (p p) {p}, φ {p} p p p {p} p {p} {p} {p},

36 Nicht-Determinisierung Satz von Miyano-Hayashi (1984) Sei A ein ABA mit n Zuständen. Dann gibt es einen NBA A mit 3 n Zustände, so dass L(A ) = L(A) Konsequenzen ABA erkennen nur ω-reguläre Sprachen. LTL definiert nur ω-reguläre Sprachen das Leerheitsproblem für ABAs ist entscheidbar. LTL Model-Cheking/Allgemeingültigkeit ist entscheidbar.

37 Gedächtnislose Läufe Definition Ein Lauf heisst gedächtnislos, falls auf einer Ebene des Laufs zwei verschiedene Knoten mit derselbe Beschriftung dieselben Unterbäume haben. nicht gedächtnislos gedächtnislos

38 Gedächtnislose Laüfe Satz w L(A) gdw es einen akzeptierenden gedächtnislosen Lauf gibt. Beweis: Durch Substitutionen von Unterbäumen kann man für ein beliebig grosses i einen Lauf t i definieren, der gedächtnislos auf den i ersten Ebenen ist. Dann ist lim t i ein gedächtnisloser Lauf. i

39 Gedächtnislose Läufe als DAG

40 Nicht-Determinisierung (2) Satz Sei A ein ABA mit n Zustände. Dann gibt es ein NBA A mit 3 n Zustände, so dass L(A ) = L(A) Grundidee einen gedächtnislos akzeptierenden Lauf t erraten allen Pfaden von t gleichzeitig folgen sich erinnern, ob ein Pfad schon/noch nicht einen akzeptierenden Zustand besucht hat (grün/rot). falls alle Pfade einen akzeptierenden Zustand besucht haben, dann das Gedächtnis löschen akzeptieren, falls unendlich oft das Gedächtnis gelöscht wurde

41 Beispiel F={, q 4 } q 3 q 3 q 4 q 3 q 4 q 3 Gedächtnis löschen grün+rot=rot q 3 q 4

42 Nichtdeterminisierung (3) Satz Sei A ein ABA mit n Zuständen. Dann gibt es einen NBA A mit 3 n Zustände, so dass L(A ) = L(A) Beweis: A = (Q, Σ, δ, q I, F ), wobei Q := {(R, S) : R S Q} q I := ({q I }, {q I }) δ ((, S), a) := {(S, S ) : S θ(s, a)} δ (R, S) := {(R \F, S ) : R θ(r), S θ(s, a)} falls R wobei θ({,... q k }, a) := {M Q : M = δ(q i, a) für alle i = 1,..., k und M minimal } F := {(, S) : S Q}

43 Übung: Geben Sie den entsprechenden NBA an a b a,b 1 b 2 a 3

44 Übung: Geben Sie den entsprechenden NBA an a b a,b 1 b 2 a 3 {1} {1}

45 Übung: Geben Sie den entsprechenden NBA an a b a,b 1 b 2 a 3 {1} {1} b {1, 2} {1, 2}

46 Übung: Geben Sie den entsprechenden NBA an a b a,b 1 b 2 a 3 {1} {1} b {2} {1, 2}

47 Übung: Geben Sie den entsprechenden NBA an a b a,b 1 b 2 a 3 {1} {1} b {2} a {3} {1, 2} {1, 3}

48 Übung: Geben Sie den entsprechenden NBA an a b a,b 1 b 2 a 3 {1} {1} b {2} {1, 2} a {1, 3}

49 Übung: Geben Sie den entsprechenden NBA an a b a,b 1 b 2 a 3 {1} {1} b {2} {1, 2} a {1, 3}

50 Übung: Geben Sie den entsprechenden NBA an a b a,b 1 b 2 a 3 b a b {1} {1} a b b {2} {1, 2} a {1, 3} b a {2} {1, 2, 3} {1} a

51 Anwendung : NcoBA determinisieren Beobachtung Falls A nur teuflischen Nichtdeterminismus hat, dann ist seine Nichtdeterminisierung A ein deterministischer Automat. Satz Sei A = (Q, Σ, δ A, q I, F ) ein NcoBA mit n Zuständen. Dann gibt es einen DBA A mit 3 n Zuständen, so dass L(A) = L(A ).

52 Zusammenfassung LTL Model-Checking und Allgemeingültigkeit sind entscheidbar L(φ) ist ω-regulär gleiche Ausdrucksstärke wie FO (Satz von Kamp) Alternierende Büchi Automaten Nicht-Determinisierung führt zu exponentiellem Blow-Up Anwendung: Komplementierung eines NcoBA liefert einen DBA. Anwendung 2 : Determinisierung eines NcoBA durch zwei Komplementierungen Dual Miyano Hayashi Dual NcoBA ABA( ) DBA DcoBA Determinisierung

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