Spieltheorie. Kapitel 4 Anwendungen des Nash-Konzepts

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1 Kapitel 4

2 2 Agenda Einführung Klassische Entscheidungstheorie Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien 2x2 Spiele Kooperationsspiele Industrieökonomik Alternative Gleichgewichtskonzepte Evolutionär stabile Strategien Spiele in Extensivform (Teilspiel-)perfekte Gleichgewichte Perfekt Bayesianische Gleichgewichte Wiederholte Spiele

3 3 Anwendungen und Beispiele des Nash-Konzepts 2x2-Spiele Gefangenendilemma Chicken Game Stag Hunt Kooperationsspiele Weakest-Link Öffentliches Gut Spiel Industrieökonomie Tragedy of the Commons Oligopol

4 4 Gefangenendilemma I Die Story: Zwei Studenten sitzen während Klausur nebeneinander Aufsicht unterstellt abschreiben Problem: Für Bestrafung zweifelsfreie Überführung nötig Idee Aufsicht: Studenten werden unabhängig voneinander befragt Studenten können anderen Anschwärzen Studenten können angeben von nichts zu wissen Die Spieler: Zwei Studenten (Spieler A, Spieler B) Die Strategien: Anderen anschwärzen ( D(efect) ) Nichts wissen ( C(ooperate) ) Wiederholung aus Kapitel 1 Die Auszahlung Beide defektieren: Beide fallen durch, Beide kooperieren: Hart bewertet A defektiert, B kooperiert: A wird normal bewertet, B exmatrikuliert

5 5 Gefangenendilemma II Matrix-Darstellung Spieler 2 C(ooperate) (p 2 ) D(efect) (1-p 2 ) C(ooperate) (p 1 ) -10, , 0 Spieler 1 D(efect) (1-p 1 ) 0, , -80 Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien: (D, D) Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel symmetrisch ): keine π i ( C, ) = p j (-10) + (1-p j ) (-100) = 90p j 100 π i ( D, ) = p j (0) + (1-p j ) (-80) = 80p j 80 π i ( C, ) = π i ( D, ) 10p j = 20 p j = 2 > 1 nie erfüllt! D spielen Erkenntnisse Genau ein Nash-Gleichgewicht: (D, D) Aber höchste Auszahlung bei: (C, C) Individuelle Rationalität führt nicht immer zu bestem Ergebnis

6 6 Chicken-Game I Die Story: Zwei Studenten wollen mittels Mutprobe 4 Studentinnen beeindrucken Beide fahren sich auf enger Straße mit hoher Geschwindigkeit entgegen Optionen Jeder Student kann dem anderen ausweichen oder auf der engen Straße bleiben Die Spieler: Zwei Studenten (Spieler A, Spieler B) Die Strategien: Anderem ausweichen ( A(ausweichen) ) Geradeaus weiterfahren ( G(eradeaus) ) Die Auszahlung Beide weichen aus: je 2 Studentinnen von A (B) beeindruckt A weicht aus, B fährt weiter: 1 bewundert As Intellekt, 3 bewundern Bs Mut Beide fahren weiter: Beide enden im Krankenhaus Ergebnis irrelevant

7 7 Chicken-Game II Matrix-Darstellung Spieler 2 G(eradeaus) (p 2 ) A(usweichen) (1-p 2 ) G(eradeaus) (p 1 ) 0, 0 3, 1 Spieler 1 A(usweichen) (1-p 1 ) 1, 3 2, 2 Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (G, A) und (A, G) Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel symmetrisch ): s.u. π i ( G, ) = p j 0 + (1-p j ) 3 = 3 3p j π i ( A, ) = p j 1 + (1-p j ) 2 = 2 p j π i ( G, ) = π i ( A, ) 3 3p j = 2 p j p j = 0,5 ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5)) Erkenntnisse Drei Nash-Gleichgewichte: (A, G), (G, A) und ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5)) Problem Welches der drei Gleichgewichte spielen?... dazu später mehr ( Nash-Refinements )

8 8 Stag Hunt I Die Story: Zwei Jäger gehen jagen Jäger können gemeinsam Großwild erlegen sind einzeln zu schwach Jäger können gemeinsam Feldhasen jagen jeder ist auch alleine stark genug zum Erlegen Die Spieler: Zwei Jäger (Spieler A, Spieler B) Die Strategien: Großwild jagen ( S(tag) ) Feldhasen jagen ( H(are) ) Die Auszahlung Beide jagen Hasen: Auszahlung für beide gering aber positiv Beide jagen Wild: Auszahlung für beide hoch A jagt Wild, B Hasen: A kann Wild nicht erlegen, B erlegt fleißig Hasen

9 9 Stag Hunt II Matrix-Darstellung Spieler 2 S(tag) (p 2 ) H(are) (1-p 2 ) S(tag) (p 1 ) 2, 2 0, 1 Spieler 1 H(are) (1-p 1 ) 1, 0 1, 1 Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (S, S) und (H, H) Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien (Spiel symmetrisch ): s.u. π i ( S, ) = p j 2 + (1-p j ) 0 = 2p j π i ( H, ) = p j 1 + (1-p j ) 1 = 1 π i ( S, ) = π i ( H, ) 3 2p j = 1 p j = 0,5 ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5)) Erkenntnisse Drei Nash-Gleichgewichte: (S, S), (H, H) und ((0,5; 0,5); (0,5; 0,5)) Problem Konflikt zw. Auszahlung (S, S) und Sicherheit (H, H) In Laborexperimenten favorisieren Spieler oft Sicherheit

11 11 Weakest-Link Spiel I Die Story: Ein Team mit n Mitgliedern verfolgt gemeinsames Projekt Teilnehmer entscheiden gleichzeitig über ihren Arbeitseinsatz Auszahlung abhängig vom Einsatz der Teammitglieder Die Spieler: n Teammitglieder (Spieler 1,..., Spieler n) Die Strategien: Grad des Arbeitseinsatzes σ i {1,..., k} Die Auszahlung π i (σ i, ) = a min{σ 1,..., σ n } b σ i Hier im Beispiel n = 2 k = 4 a = 4, b = 1 mit a,b > 0 und a > b

12 12 Weakest-Link Spiel II Matrix-Darstellung Spieler 1 Spieler , 3 3, 2 3, 1 3, 0 2 2, 3 6, 6 6, 5 6, 4 3 1, 3 5, 6 9, 9 9, 8 4 0, 3 4, 6 8, 9 12, 12 Woran erinnert Sie das Spiel? Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (k, k) Erkenntnisse k symmetrische Nash-Gleichgewichte: (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) Gleichgewichte besitzen Ordnung: (4, 4) max. Auszahlung; (1, 1) min. Auszahlung Problem Spieler können im Gleichgewicht (1, 1) gefangen sein

13 13 Weakest-Link Spiel III Theoretischer Befund Rationale Spieler wählen σ i = k Experimenteller Befund (van Huyck, Battalio & Beil, ) Moderater Arbeitseinsatz zu Beginn des Experiments Drastisch Abfall des Arbeitseinsatzes in Folgeperioden Gleichgewicht von σ i = 1 nach wenigen Perioden Aber: Ergebnis von Anzahl der Spieler abhängig Arbeitseinsatz n = 14 8 n = Periode Arbeitseinsatz Periode Mittel Minimum Mittel Minimum + Huyck, Battalio & Beil, 1990: Tacit Coordination Games, Strategic Uncertainty, and Coordination Failure. American Economic Review

14 14 Weakest-Link Spiel IV Produktionstheoretische Interpretation: a min{σ 1,..., σ n } beschreibt limitationale Produktionsfunktion Output durch Faktor mit minimalem Einsatz beschränkt. Makroökonomische Interpretation: Jeder Spieler ist ökonomischer Sektor für volkswirtschaftlichen Output Liefert nur ein Sektor minimalen Input ist Output minimal sein Anwendung auf die Theorie gesamtwirtschaftlicher Entwicklung ( big push ): Ist Infrastruktur schlecht, kaum Output (Komplemente!) Entwicklungsländer oft im Gleichgewicht mit minimalem Arbeitseinsatz

15 15 Öffentliches Gut Spiel I Die Story (analog Weakest-Link): Ein Team mit n Mitgliedern verfolgt gemeinsames Projekt Teilnehmer entscheiden gleichzeitig über ihren Beitrag zum Projekt Auszahlung abhängig vom Beitrag der Teammitglieder Die Spieler: n Teammitglieder (Spieler 1,..., Spieler n) Die Strategien: Beitrag zum Projekt σ i {1,..., k} Die Auszahlung π i (σ i, ) = b (k σ i ) + a avg{σ 1,..., σ n } mit a,b > 0 und a > b Hier im Beispiel n = 2 k = 4 a = 3, b = 2 Formel ist Kernunterschied zu Weakest Link

16 16 Öffentliches Gut Spiel II Matrix-Darstellung Spieler 1 Spieler , , , , , , , , , , , , , , , , 12.0 Woran erinnert Sie das Spiel? Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien: (1, 1) Erkenntnisse Ein Nash-Gleichgewichte: (1, 1) Problem Jede (bilaterale) Abweichung bietet Verbesserung für beide

17 17 Öffentliches Gut Spiel III Theoretischer Befund Rationale Spieler wählen σ i = 1 Experimenteller Befund (Herrmann, Thöni & Gächter, ) Moderater Arbeitseinsatz zu Beginn des Experiments Gemäßigter Abfall des Arbeitseinsatzes in Folgeperioden Einige Gruppen erreichen σ i = 1 nach einigen Perioden, andere nicht Beitrag zum Projekt n = 4, k = 20, a = 1,6, b = Periode Mittel + Herrmann, Thöni & Gächter, 2008: Antisocial Punishment Across Societies. Science

18 18 Tragedy of the Commons I Die Story: n Dorfbewohner können x i Schafe auf Allmende-Wiese grasen lassen Ertrag v hängt hängt von Gesamtmenge der grasenden Schafe ab Σx i Jedes Schaf verursacht Kosten c Wie viele Schafe besitzt ein Dorfbewohner im Optimum? Story anwendbar auf Überfüllungsprobleme (Staus, Überfischen,...) Die Spieler: n Dorfbewohner (Spieler 1,..., Spieler n) v( x j ) Die Strategien: Anzahl Schafe x i {1,..., x max } Die Auszahlung n π i (x i,..., x n ) = x i v( x j ) x i c j=1 x j Es gibt eine Obergrenze für Grasen

19 19 Tragedy of the Commons II Nash-Gleichgewicht Alle wählen Beste-Antwort auf Entscheidungen anderer π i (x i,..., x n ) = x i v( π i (x i,..., x n ) n x j ) x i c j=1 = x i v'( x j )+ v( x j ) c = 0 x i Weiterhin muss Lösung symmetrisch sein, d.h. x 1 = x 2 =... x n = x Damit ist Nash-Bedingung: x * v (n x * ) + v(n x * ) c = 0 Sozialer Planner Optimiert Gesamtauszahlung π(x) = n x v(n x) n x c δπ(x)/δx = n 2 x v (n x) + n v(n x) n c = 0 δπ(x)/δx = n x ** v (n x ** ) + v(n x ** ) c = 0 n j=1 n j=1

20 20 Tragedy of the Commons III Züchtet sozialer Planner oder Nash-Spieler mehr Schafe? Hilfsfunktionen (aus Optimierungsbedingungen) h 1 (x) = x v (n x) + v(n x) [= c] h 2 (x) = n x v (n x) + v(n x) [= c] Es gilt v < 0 und x v (n x) > n x v (n x) damit gilt h 1 (x) > h 2 (x) Ableitungen der Hilfsfunktionen h' 1 (x) = v (n x) + n x v (n x) + n v (n x) h' 1 (x) = (1 + n) v (n x) + n x v (n x) < 0 h' 2 (x) = n v (n x) + n 2 x v (n x) + n v (n x) h' 2 (x) = 2n v (n x) + n 2 x v (n x) < 0 c h 2 h 1 Lösung des sozialen Planners x ** kleiner als Nash-Lösung x * x x ** x *

22 22 Mengen-Oligopol Cournot I Die Story: n Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Oligopol) Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge x i mit x = x x n Jede Firma hat eine Kostenfunktion c i (x i ) und ein Kapazitätsgrenze x max i Am Markt wird maximal x max bei einem Preis p max nachgefragt Es sei eine inverse Martnachfragefunktion f: x p gegeben Die Spieler: n Firmen (Spieler 1,..., Spieler n) Die Strategien: Produktionsmenge x i {1,..., x max } Die Auszahlung n π i (x i,..., x n ) = x i f ( x j ) c i (x i ) j=1 als Beispiel: π 1 (x 1, x 2 ) = x 1 f (x 1 + x 2 ) c 1 (x 1 )

23 23 Mengen-Oligopol Cournot II Traditionelle Analyse von Cournot für n = 2 Firmen Firmen maximieren Gewinn durch Anpassung der Absatzmenge x i π 1 (x * 1, x * 2 ) = π 2(x * 1, x * 2 ) = 0 x 1 x 2 Aus Bedingung 1. Ordnung folgt Reaktionsfunktion R i (x j ) (R i (x j ) weist jedem x j eine beste Antwort x i zu) x 2 R 1 (x 2 ) R 2 (x 1 ) x 1

24 24 Mengen-Oligopol Cournot III Bei Finden der Cournot-Lösung passen Spieler sequentiell x i an x 2 R 1 (x 2 ) Lösung R 2 (x 1 ) x 1 Anpassung durch Spieler 1 Anpassung durch Spieler 2 Cournot-Lösung ist Nash-Gleichgewicht Für keinen Spieler lohnt Abweichen Lösung bei Kenntnis der Reaktionsfunktion des Mitspielers vorhersagbar (Bei sichergestellt durch Kenntnis der Auszahlungsfunktion)

25 25 Mengen-Oligopol Cournot Duopol I Die Story: 2 Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Duopol) Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge x i mit x = x 1 + x 2 Jede Firma hat eine Kostenfunktion c i (x i ) = c i x i Am Markt wird maximal x max bei einem Preis p max nachgefragt Es sei eine inverse Martnachfragefunktion p(x) = b - ax gegeben Die Spieler: n Firmen (Spieler 1,..., Spieler n) Die Strategien: Produktionsmenge x i {1,..., x max } Die Auszahlung π i (x 1, x 2 ) = (b - a x) x i -c i x i

26 26 Mengen-Oligopol Cournot Duopol II Ermittlung der Reaktionsfunktionen π 1 = b 2ax 1 ax 2 c 1 = 0 x 1 = b c 1 x 1 2a x 2 2 R c 1 (x 2 ) π 2 = b 2ax 2 ax 1 c 2 = 0 x 2 = b c 2 x 2 2a x 1 2 R c 2 (x 1 ) Visualisierung der Reaktionsfunktionen x 2 b c 1 a b c 2 2a x 2 * R 1 (x 2 ) x 1 * b c 1 2a b c 2 a Lösung R 2 (x 1 ) x 1

27 27 Mengen-Oligopol Cournot Duopol III Rechnerische Ermittlung der Lösung Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten x 1 = b c 1 2a x 2 2 x 1 = b c 1 2a b c 2 4a + x 1 x * 2 = b c 2 2a 1 2 # b 2c 1 + c 2 & % ( = 3b b $ 3a ' 6a + c 1 3a 3c 2 + c 2 6a Ermittlung des Marktpreises p = b ax = b a 2b c c 1 1 3a x 2 = b c 2 2a x x = $ b 4a c 1 2a + c ' 2 & ) x * 1 = b 2c 1 + c 2 % 4a ( 3a = b + c 1 + c 1 3 Ergebnisse bei Symmetrie (d.h. c 1 = c 2 = c) x * 1 = x * 2 = b c 3a p = b + 2c 3 " π i = b + 2c %" $ c' b c % ( $ ' = b c ) 2 # 3 &# 3a & 9a = b + c 1 2c 2 3a

28 28 Symmetrischen Oligopol mit n Firmen I Die Story (analog Duopol): n Firmen produzieren ein homogenese Gut mit Preis p (Oligopol) Alle Firmen entscheiden über ihre Absatzmenge x i mit x = x x n Jede Firma hat eine Kostenfunktion c i (x i ) = c i x i Am Markt wird maximal x max bei einem Preis p max nachgefragt Es sei eine inverse Martnachfragefunktion p(x) = b - ax gegeben Die Spieler: n Firmen (Spieler 1,..., Spieler n) Die Strategien: Produktionsmenge x i {1,..., x max } Die Auszahlung π i (x) = (b - a x) x i -c i x i

29 29 Symmetrischen Oligopol mit n Firmen II Ermittlung der Absatzmenge π i (x 1,..., x n ) = (b a x j ax i )x i cx i π i = b 2ax i a x j x i j i Da i: x * i = q*: b 2aq * a (n-1) q * c = 0 π i = $ b nc j i c = 0 q * = b c (n +1)a lim q = 0 n Ermittlung des Marktpreises p = b ax = b an b c (n +1)b nb nc = (n +1)a n +1 Ermittlung des Gewinns " # n +1 = b nc n +1 lim n p = c %" b c % " b c % ' $ ' c$ ' = b2 nbc cb + nc 2 (n +1)cb + (n +1)c 2 &#(n +1)a & #(n +1)a & a(n +1) 2 = b2 2nbc + (2n +1)c 2 limπ a(n +1) 2 i = 0 n Anzahl Anbieter groß: Gut zu Grenzkosten angeboten, Gewinn ist 0

30 30 Bertrand-Modell I Bisher (Cournot-Modell) Marktteilnehmer wählen Absatzmenge (simultan) Preisbildung ist Konsequenz aus Absatzentscheidungen Problem Durch Unterbieten des Preises kann Anbieter Monopolist werden Idee (Bertrand-Modell) Anbieter wählt nicht mehr die Absatzmenge, sondern den Preis

31 31 Bertrand-Modell II Die Story: 2 Firmen produzieren ein homogenese Gut (Duopol) Alle Firmen entscheiden über ihren Preis p Alle Firmen haben identische Kostenfunktion c i (x i ) = c x i Es sei eine Martnachfragefunktion d: p x gegeben mit d (p) < 0 Die Spieler: 2 Firmen (Spieler 1, Spieler 2) Die Strategien: Marktpreis p i Die Auszahlung π 1 (x 1, x 2 ) = d 1 (p 1, p 2 ) (p i c)

32 32 Bertrand-Modell Nachfragefunktion I Konsumenten kaufen Gut bei günstigstem Anbieter Firmenspezifische Nachfragefunktionen der beiden Firmen d 1 (p 1, p 2 ) =! # " # $ # 0 falls p 1 > p 2 α 1 d(p 1 ) falls p 1 = p 2 d(p 1 ) falls p 1 < p 2 d 2 (p 1, p 2 ) =! # " # $ # 0 falls p 2 > p 1 α 2 d(p 2 ) falls p 2 = p 1 d(p 2 ) falls p 2 < p 1 Mit α 1 0, α 2 0 und α 1 + α 2 = 1

33 33 Bertrand-Modell Nachfragefunktion II Illustration der Marktnachfragefunktion p j d j (p 1, p 2 ) p i α i d(p i ) x j

34 34 Bertrand-Modell Gewinn Gewinn der Firma j: π j (p 1, p 2 ) = (p j c) d j (p 1, p 2 ) Firmen wählen Preis simultan und unabhängig (wie Absatzmenge bei Cournot) Firmen wählen Preis, der Gewinn maximiert (Nash-Bedingung) Firma 1: π 1 (p 1*, p 2* ) π 1 (p 1, p 2* ) für alle p 1 Firma 2: π 2 (p 1*, p 2* ) π 2 (p 1*, p 2 ) für alle p 2 In Lösung kann keine Firma durch unilateral Preisänderung Gewinn erhöhen (Nash-Gleichgewicht)

35 35 Bertrand-Modell Gleichgewichtbestimmung Im Folgenden wird gezeigt, dass p 1 * = p 2 * = c einziges Gleichgewicht Schritt 1: p * 1 = p * 2 = c ist Gleichgewicht Wenn Firma j auf p j > c abweicht: Nachfrage d j (p j, p i* ) = 0 π j (p 1, p 2 ) wird kleiner Wenn Firma j auf p j < c abweicht: Stückerlös p j c < 0 π j (p 1, p 2 ) ist negativ Schritt 2: Es existieren keine anderen Gleichgewichte Gleichgewicht mit p 1 = p 2 > c kann nicht existieren: Beliebige Firma kann durch marginale Preissenkung Nachfrage erhöhen Gleichgewicht mit p i > p j = c kann nicht existieren: Firma j kann durch kleine Preissteigerung Gewinn erhöhen Gleichgewicht mit p i > p j > c kann nicht existieren: Firma i kann durch Unterbieten von Firma j Gewinn erhöhen

36 Bertrand Paradox Ergebnis ist überraschend Preiswettbewerb mit nur 2 Konkurrenten führt zu demselben Ergebnis wie vollständiger Wettbewerb Ergebnis als Bertrand Paradox bezeichnet Oligopolistische Marktmacht lässt sich verhindern Ohne Produktdifferenzierung (homogener Markt) Ohne steigende Grenzkosten und Kapazitätsschranken (konstante Stückkosten) Ohne Effizienzunterschiede der Firmen (identische Stückkosten)