Spiele und logische Komplexitätsklassen

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1 Spiele und logische Komplexitätsklssen Mrtin Horsch 26. Jnur 2006

2 Inhlt des Seminrvortrges Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit k Mrken Formeln mit k Vrilen und logische Komplexitätsklssen k-vrileneigenschft logischer Theorien die Theorie linerer Ordnungen erfüllt die 3-Vrileneigenschft ein temporles Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel

3 eschriftete Prtilordnung (PO) Eine eschriftete Prtilordnung p = (V,, λ) esteht us einer Knotenmenge V mit einer Beschriftungsfunktion λ : V Σ für ein endliches Alphet Σ und einer reflexiven, trnsitiven und ntisymmetrischen Ordnungsreltion ( ) V 2. Drstellung prlleler Knoten: ((u v) (v u)) (u v) Ein Knoten V ist miniml gdw. v für lle v V gilt. Die Prtilordnung p = (V,, λ) ist liner. gdw. Es git keine Knoten u, v V mit u v.

4 Drstellung einer PO ls Grph Eine PO p = (V,, λ) knn ls Grph interpretiert werden. Im Hsse-Digrmm H(p) = (V,, λ) werden lle Schleifen und redundnte Knten entfernt. u, v V : u v (u < v) χ V : u < χ < v

5 Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit k Mrken und n Runden Ein EF-Spiel wird von den Spielern Spoiler und Duplictor uf zwei Prtilordnungen p 0 = (V 0,, λ) und p 1 = (V 1,, λ) gespielt. Für p 0 und p 1 git es je eine mit x 1, x 2,... und x k eschriftete Mrke. Jede Mrke liegt uf einem Knoten von p 0 zw. p 1 oder ußerhl, uf i / V i. Anfngs liegen lle Mrken ußerhl. Aluf einer Spielrunde: 1. Spoiler wählt eine Seite s {0, 1}. 2. Spoiler verschiet eine der Mrken, die uf p s liegen. 3. Duplictor knn die gleich eschriftete Mrke uf p 1 s verschieen. Spoiler gewinnt gdw. nch einer der Runden: gleichrtige Mrken uf verschieden eschrifteten Knoten liegen, oder für 1 i, j k uf p 0 die i-mrke n einer kleineren (gleichen, größeren) Position ls die j-mrke liegt, uf p 1 er nicht.

6 EF-Spiel mit zwei Mrken und zwei Runden 3 I III II IV Spoiler ht eine Gewinnstrtegie: lege die mit x eschriftete Mrke uf Knoten 1. Duplictor muss jetzt uf I oder III setzen. lege die mit y eschriftete Mrke uf Knoten II zw. IV. Duplictor verliert mit jeder möglichen Antwort.

7 Nottion zum Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel Verteilung von k Mrken uf p = (V p,, λ) und q = (V q,, λ) entspricht Belegungen A p : X V p und A q : X V q mit X {x n n N} und X = k. Die Knoten von p und q, uf denen eine Mrke liegt, sind gegeen durch IA p und IA q. Die Aildung µ = µ(a p, A q ) : IA p IA q, A p (x i ) A q (x i ) 1 i k ist ein lokler Isomorphismus von V p nch V q gdw.: u, v IA p : (λ(v) = λ µ(v)) ((u v) (µ(u) µ(v))) Duplictor gewinnt ds EF-Spiel uf p und q gdw. nch jeder Runde µ(a p, A q ) ein lokler Isomorphismus ist.

8 Restriktion von Belegungen Ähnlichkeit von Belegungen. Wir schreien: (p, A p ) (k, n) (q, A q ) gdw. Duplictor im Spiel mit k Mrken üer p und q usgehend von den Belegungen A p und A q ei n verleienden Runden eine Gewinnstrtegie ht. Eine l-restriktion der Belegung A : X V ist eine Belegung A : X V mit X X und X l N, woei A(x i ) = A (x i ) für lle x i X gilt. Feststellung. Für elieige Restriktionen A p : X V p und A q : X V q der Belegungen A p : X V p und A q : X V q gilt: (p, A p ) (k, n) (q, A q ) = (p, A p) (k, n) (q, A q)

9 Logik erster Stufe für Prtilordnungen Sei p = (V p,, λ) eine Prtilordnung und A : X V p eine Belegung mit X {x 1,..., x k } für ein k N. Logische Formeln I. Stufe (FO) ohne Funktionssymole, mit dem zweistelligen Prädikt und den einstelligen Prädikten λ zur Afrge von Symolen Σ sind: (p, A) = (p, A) = λ (x j ) x j X λ A(x j ) = (p, A) = x l x m {x l, x m } X A(x l ) A(x m ) (p, A) = ϕ (p, A) = ϕ (p, A) = (ϕ ψ) (p, A) = ϕ (p, A) = ψ (p, A) = x j ϕ 1 j k ÙÒ v V p : (p, A[x j v]) = ϕ p = ϕ (p,( V p )) = ϕ

10 Menge freier Vrilen von ϕ: (ϕ) Menge geundener Vrilen von ϕ: β(ϕ) Ú Ö(ϕ) = (ϕ) β(ϕ) Die Formel ϕ knn genu dnn für eine Belegung A : X V usgewertet werden, wenn (ϕ) eine Teilmenge von X ist. Die Quntortiefe einer Formel ist induktiv gegeen: ÕØ( ) = 0 Σ n N : ÕØ(λ (x n )) = 0 i, j N : ÕØ(x i x j ) = 0 ÕØ( ϕ) = ÕØ(ϕ) ÕØ( (ϕ ψ) ) = Ñ Ü(ÕØ(ϕ), ÕØ(ψ)) n N : ÕØ( x n ϕ) = 1 + ÕØ(ϕ)

11 logische Komplexitätsklssen Å Ò ÐÐ Ö È ÖØ ÐÓÖ ÒÙÒ Ò PO Ë Ñ ÒØ Ò Ö ÓÖÑ Ð ϕ Ñ Ø (ϕ) = L(ϕ) = {p PO p = ϕ} Die Semntik L(ϕ) 2 PO nennen wir uch eine logische Eigenschft von Prtilordnungen. Logische Komplexitätsklssen F 2 PO sind Mengen logischer Eigenschften. FO[ ] = { L(ϕ) } 2 PO k N : FO k [ ] = { L(ϕ) Ú Ö(ϕ) = β(ϕ) {x 1,..., x n } } k, n N : FO (k,n) [ ] = { L(ϕ) ÕØ(ϕ) k β(ϕ) {x 1,..., x n } }

12 Lemm. Die Frgmente FO (k,n) [ ] 2 PO mit k,n N sind endlich. Beweis. Induktionsnfng: es gilt FO (k,0) [ ] = FO (0,0) [ ] = {, 2 PO }. Ds Lemm gelte für FO (k,n) [ ]. Alle Eigenschften us FO (k, n+1) [ ] können ls Formeln ϕ mit ϕ = x i ψ Ñ Ø 1 i k oder ls oolesche Verknüpfungen solcher Formeln ngegeen werden, woei ψ eine Formel mit höchstens k Vrilen und einer Quntortiefe ÕØ(ψ) n ist. Es git er nur endlich viele semntisch verschiedene ψ.

13 logische Frgmente und EF-Spiele Äquivlenz von Belegungen. Seien k, n N, p = (V p,, λ) und q = (V q,, λ) Prtilordnungen und A p : {x 1,..., x k } V p, A q : {x 1,..., x k } V q Belegungen. Dnn soll gelten: (p, A p ) (k,n) (q, A q ) L FO (k,n) [ ] : (p L q L) Stz (Immermn & Kozen). (p, A p ) (k,n) (q, A q ) (p, A p ) (k,n) (q, A q )

14 Beispiel Aus der Gewinnstrtegie von Spoiler (2 Mrken, 2 Runden) ergit sich eine Formel mit zwei Vrilen und Quntortiefe 2. 3 I III II IV Die Formel ϕ = x y ((x y) (y x)) = x y (x y) gilt für den linken Grphen, er nicht für den rechten!

15 k-vrileneigenschft logischer Theorien Sei Θ FO[ ] eine Menge logischer Eigenschften. Die Menge der Modelle von Θ ist dnn: Θ = {p PO L Θ : p L} = Sei F ein logisches Frgment. Wir definieren ds entsprechende Frgment für Modelle von Θ ls: F Θ = {L Θ L F} L Θ L Für k N sgen wir Θ erfüllt die k-vrileneigenschft FO[ ] Θ = FO k [ ] Θ gdw: Lemm. Sei k N. Die folgenden Aussgen sind gleichedeutend: ) für lle m, n N mit m k ist FO (m,n) [ ] Θ = FO (k,n) [ ] Θ. ) für lle m, n N mit m k gilt: ht Duplictor im EF-Spiel mit k Mrken uf den Θ-Modellen p und q eine Gewinnstrtegie für n Runden, dnn ht er uf p und q uch mit m Mrken eine Gewinnstrtegie für n Runden.

16 liner geordnete Mengen Z und Q Ds Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit 3 Mrken soll uf den Prtilordnungen Z und Q gespielt werden. «gnze Zhlen» «rtionle Zhlen» Jede gnze Zhl ht einen eindeutigen Nchfolger: x y ((x < y) z ((x < z) (z < y))) Diese FO 3 [ ]-Eigenschft gilt für die rtionlen Zhlen nicht. Drus ergit sich unmittelr eine Gewinnstrtegie für Spoiler.

17 linere Ordnungen im llgemeinen Eine Prtilordnung ist liner gdw. sie die Formel ϕ LO = x y ((x y) (y x)) erfüllt. Die Theorie linerer Ordnungen ist gegeen durch: LO = { L(ϕ LO ) } FO[ ] Stz (Kmp & Stvi). Ì ÓÖ Ð Ò Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Ò Ö ĐÙÐÐØ ¹Î Ö Ð Ò Ò Øº Denn für elieige m, n N gilt: Ht Duplictor üer den lineren Ordnungen p, q LO eine Gewinnstrtegie für n Runden im Spiel mit drei Mrken, dnn ht er mit m Mrken eine Gewinnstrtegie üer p und q für n Runden.

18 ein temporles Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel Seien p 0 = (V 0,, λ) und p 1 = (V 1,, λ) Prtilordnungen. Wir erweitern sie um nicht eschriftete minimle Elemente i zu (p ) i = (V i i,, λ) : i v v V i i {0, 1} Im temporlen Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel uf den Prtilordnungen p 0 und p 1 mit n N Runden git es für jede dieser erweiterten Strukturen (p ) 0 und (p ) 1 eine Mrke. Aluf einer Runde: 1. Spoiler wählt eine Seite s {0, 1}. Er ewegt die uf (p ) s liegende Mrke. 2. Duplictor ewegt die uf (p ) 1 s liegende Mrke in die gleiche Richtung wie Spoiler, lso uch nch links, nch rechts zw. prllel. Spoiler gewinnt, wenn Duplictor nicht ziehen knn oder Mrken uf verschieden eschrifteten Knoten liegen. Anfngs liegen die Mrken uf 0 und 1.

19 Beispiel T T Duplictor gewinnt gdw. weniger ls fünf Runden gespielt werden.

20 Welche Komplexitätsklssen entsprechen diesem Spiel? Seien p = (V p,, λ) und q = (V q,, λ) Prtilordnungen. Nottion: (p, u) (n) (q, v) edeutet, dss Duplictor im temporlen EF-Spiel mit n N Runden uf p und q eine Gewinnstrtegie ht, wenn die Mrken gerde uf u V p und v V q liegen. Stz. Die folgenden Aussgen sind gleichedeutend: ) Es git eine Formel ϕ mit zwei Vrilen und ÕØ(ϕ) n N, die von p erfüllt wird, er nicht von q. ) Spoiler ht eine Gewinnstrtegie im temporlen Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit n Runden uf den Prtilordnungen p und q. ndere Formulierung. Für lle Prtilordnungen p und q gilt mit n N: p (n) q p (2, n) q

21 linere Ordnungen und Formeln mit zwei Vrilen Ds Ehrenfeucht-Frïssé-Spiel mit 2 Mrken oder ds temporllogische EF-Spiel soll jetzt unendlich viele Runden lng lufen: «gnze Zhlen» «rtionle Zhlen» Fzit: Z (2, ) Q Z (3, ) Q Die Theorie linerer Ordnungen erfüllt die 3-Vrileneigenschft, er nicht die 2-Vrileneigenschft.

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