f (j) (x 0 ) (x x 0 ) j. j! j=0 Folgerung 3.1 Das k-te Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt x 0 eines Polynoms f vom Grad höchstens k ist f selbst.

Transkript

1 3 Tylorentwicklung In Anlysis I hben wir die Tylorentwicklung von Funktionen einer Vriblen eingeführt. Hier wollen wir die Tylorentwicklung von Funktionen mehrerer Vriblen herleiten. Der Komplettheit hlber wiederholen wir zunächst die Tylorentwicklung von Funktionen einer Vriblen. Die Idee der Tylorentwicklung ist es, eine gegebene Funktion f mit einem Polynom zu vergleichen, ds mit f n einer festen Stelle x von höherer Ordnung übereinstimmt, ds heißt einschließlich einer Reihe von Ableitungen. Dieses Polynom sollte dnn uch nhe bei x die Funktion gut pproximieren, und ds will quntifiziert werden. Für linere sowie qudrtische Polynome hben wir ds in den vorigen Abschnitten schon behndelt. Zur Erinnerung: eine Funktion P : R R heißt Polynom vom Grd k, wenn es,..., k R gibt mit k, so dss P(x) = + 1 x+...+ k x k für lle x R. Die Menge P k der Polynome vom Grd höchstens k ist ein Untervektorrum des Rums ller Funktionen f : R R mit Bsis 1,x,...,x k, vgl. Kpitel 2, Stz 3.9. Lemm 3.1 Sei I = (,b) R, x I und k N. Zu f C k (I) gibt es genu ein Polynom P : R R vom Grd höchstens k mit P (j) (x ) = f (j) (x ) für j =,1,...,k, und zwr (3.1) P k (x) = j= f (j) (x ) (x x ) j. P k heißt Tylorpolynom der Ordnung k von f mit Entwicklungspunkt x. Beweis: Wir betrchten die linere Abbildung F : P k R k+1, F(P) = ( P(),P (),...,P (k) () ). Für j k ist (x x ) j P k und F ( (x x ) j) = e j, lso ist F surjektiv. Wegen dimp k k+1 istf uch injektivnch Dimensionsformel, insbesonderebildendiefunktionen 1,x x,...,(x x ) k eine Bsis von P k. Mit (3.1) gilt P (j) k (x ) = f (j) (x ) für j k, lso ist P k ds gesuchte, eindeutig bestimmte Polynom. Folgerung 3.1 Ds k-te Tylorpolynom mit Entwicklungspunkt x eines Polynoms f vom Grd höchstens k ist f selbst. In der Sitution von Lemm 3.1 heißt die Funktion (3.2) R k : (,b) R, R k (x) = f(x) P k (x) ds Restglied k-ter Ordnung der Tylorentwicklung in x. Knckpunkt bei der Tylorentwicklung ist die Abschätzung dieses Restglieds und dmit eine Aussge drüber, wie gut die Funktion durch ds Tylorpolynom pproximiert wird. Hierfür gibt es verschiedene mögliche Drstellungen von R k. 29

2 Stz 3.1 (Integrldrstellung des Restglieds) Sei f C k+1 (I) für ein k N, und P k (x) = k f (j) (x ) j= (x x ) j ds k-te Tylorpolynom im Punkt x I. Dnn gilt f(x) = P k (x)+r k (x) mit R k (x) = 1 x x (x y) k f (k+1) (y)dy. Beweis: Durch Induktion über k N. Der Fll k = folgt us dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung: R (x) = f(x) f(x ) = x x f (y)dy. Der Induktionsschritt ist nlog beruht uf prtieller Integrtion, und zwr gilt für k 1 R k (x) = R k 1 (x) f(k) (x ) (x x ) k 1 x = (x y) k 1 f (k) (y)dy f(k) (x ) (x x ) k (k 1)! x ] y=x 1 = [ (x y)k f (k) (y) + 1 x (x y) k f (k+1) (y)dy f(k) (x ) (x x ) k (k 1)! k y=x x = 1 x x (x y) k f (k+1) (y)dy. Für die zweite Drstellung verwenden wir den Mittelwertstz der Integrlrechung. Lemm 3.2 (Kpitel 5, Folgerung 1.2) Seien f,ϕ : I = [,b] R stetig und ϕ uf I (oder ϕ uf I). Dnn gibt es ein ξ I mit b fϕ = f(ξ) Beweis: Wir nehmen ϕ n, und definieren die stetige Funktion F : I R, F(x) = b b ϕ. ( f(y) f(x) ) ϕ(y)dy. Ist x I Minimlstelle (Mximlstelle) von f, so folgt F(x) (bzw. F(x) ). Nch dem Zwischenwertstz existiert ein ξ I mit F(ξ) =. Stz 3.2 (Lgrngedrstellung des Restglieds) Sei f C k+1 (I) für ein k N. Dnn gibt es zu x,x I ein ξ zwischen x und x, so dss gilt: (3.3) f(x) = j= f (j) (x ) (x x ) j +R k (x) mit R k (x) = f(k+1) (ξ) (k +1)! (x x ) k+1. Beweis: Sei zum Beispiel x x, lso (x y) k uf [x,x]. Wir wenden Lemm 3.2 uf die Integrldrstellung des Restglieds us Stz 3.1 n und folgern für ein ξ [x,x] R k (x) = f (k+1) (ξ) x (x y) k x dy = f (k+1) (ξ) (x x ) k+1. (k +1)! 3

3 Beispiel 3.1 Betrchte für x ( 1,1) die Funktion f(x) = (1 x) 1/2, mit Ableitungen f (x) = 1 2 (1 x) 3/2 und f (x) = 3 4 (1 x) 5/2. Es gilt f() = 1 und f () = 1/2, lso lutet ds Tylorpolynom der Ordnung Eins in x = mit der Lgrnge-Restglieddrstellung P 1 (x) = f()+f ()x = x, R 1 (x) = f (ξ) x 2 = (1 ξ) 5/2 x 2 für ein ξ [,x]. Als Anwendung erhlten wir für die reltivistische Energie eines Teilchens mit Ruhemsse m und Geschwindigkeit v, wenn wir β = v/c setzen, E = m c 2 = m c 2( β 2 2 β2 + f (ξ) β 4) = m c m v 2 + E. Dbei ist der erste Term die Ruheenergie und der zweite die klssische kinetische Energie. Für den reltivistischen Korrekturterm ergibt sich us der Restglieddrstellung die Abschätzung E E kin = f (ξ)β 2 f (β 2 )β 2 <,8 für β,1. Bei Geschwindigkeiten v 1 1c beträgt die reltivistische Korrektur weniger ls ein Prozent der klssischen kinetischen Energie. Allgemein gilt folgende Approximtionseigenschft des Tylorpolynoms. Stz 3.3 (Approximtion durch ds Tylorpolynom) Sei f C k (I) für k N, und P k ds k-te Tylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt x I. Dnn ist P k ds eindeutig bestimmte Polynom vom Grd höchstens k mit f(x) P k (x) lim x x (x x ) k =. Beweis: Nch Stz 3.2 gibt es zu x I ein ξ zwischen x ud x mit f(x) P k (x) (x x ) k = f(x) P k 1(x) (x x ) k 1 f(k) (x ) = 1 ( f (k) (ξ) f (k) (x ) ). D f (k) stetig, ist f (k) (ξ) f (k) (x ) < ε für x x < δ, womit die Konvergenz gegen Null bewiesen ist. Für die Eindeutigkeit ist zu zeigen: ist P = k j= j(x x ) j mit (x x ) k P(x) für x x, so ist P ds Nullpolynom. Ist induktiv =... = j 1 = für ein j {,...,k} gezeigt, so folgt ber j = lim x x (x x ) j P(x) = lim x x (x x ) k j (x x ) k P(x) =. Wir hben bis jetzt die Differenz f(x) P k (x) für festes k und x x untersucht. Jetzt nehmen wir einen nderen Stndpunkt ein und frgen uns, ob die Folge P k (x) die Funktion f(x) für k pproximiert. 31

4 Definition 3.1 Für f C (I) und x I heißt die Reihe P(x) = j= Tylorreihe von f mit Entwicklungspunkt x. f (j) (x ) (x x ) j Die Tylorreihe ist eine Potenzreihe, mit Entwicklungspunkt x R. Nch dem Stz vom Konvergenzrdius gibt ein R [, ], so dss die Reihe für x x < R bsolut konvergiert, für x x > R dgegen divergiert, siehe Kpitel 2, Stz 4.1. Selbst wenn die Reihe einen positiven Konvergenzrdius ht, muss sie ber keineswegs gegen die gegebene Funktion konvergieren. Beispiel 3.2 Betrchte f : R R mit f(x) = { e 1 x für x > für x Es gilt f C (R) nch Folgerung 2.4, Kpitel 4, insbesondere f (j) () = für lle j N. Also sind die Koeffizienten der Tylorreihe lle Null und dmit uch lle Prtilsummen, die Reihe konvergiert somit gegen die Nullfunktion, nicht gegen f. Übrigens hätten wir dies uch us dem Identitätsstz für Potenzreihen, Stz 4.11 in Kpitel 2, schließen können, denn die Menge f 1 {} ht einen Häufungspunkt in x =. Definition 3.2 Eine Funktion f : (,b) R heißt nlytisch, wenn es zu jedem x (,b) eine Umgebung (x δ,x +δ) (,b) gibt, uf der f ls Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x drstellbr ist. Nch der folgenden Aussge kommt ls Potenzreihe nur die Tylorreihe in Frge, und die Anlytizität knn durch Abschätzung des Restglieds nchgewiesen werden. Proposition 3.1 Für f : I = (x δ,x +δ) R sind folgende Aussgen äquivlent: () f ist uf I ls Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x drstellbr. (b) f C (I), und für lle x I konvergiert ds k-te Restglied R k (x) der Tylorentwicklung in x mit k gegen Null. Die drstellende Potenzreihe ist notwendig die Tylorreihe von f in x. Beweis: Nch Vorussetzung in () konvergiert die Potenzreihe j= j(x x ) j uf I, lso ist ihr Konvergenzrdius mindestens δ >. Nch Kpitel 5, Stz 3.3 und Lemm 3.1, ist dnn f C (I) und Ableitungen können durch gliedweise Differentition ermittelt werden. Wir erhlten f (k) (x ) = j δ jk = k. j= Folglich ist die Potenzreihe die Tylorreihe von f mit Entwicklungspunkt x, und weiter R k (x) = f(x) j= f (j) (x ) (x x ) j = f(x) 32 j (x x ) j mit k, j=

5 nch Vorussetzung. Umgekehrt folgt us den Vorussetzungen von (b) j= f (j) (x ) (x x ) j = P k (x) = f(x) R k (x) f(x). Die mehrdimensionle Tylorentwicklung orientiert sich m Fll n = 1, nur ist der Nottionsufwnd größer. Im folgenden sei stets Ω R n offen. Für f C k (Ω) definieren wir die k-te Ableitung D k f(x) n der Stelle x Ω ls k-linerform D k f(x) : R n... R n R, wobei (3.4) D k f(x)(v 1,...,v k ) = n i 1,...,i k =1 ( i1... ik f)(x)(v 1 ) i1...(v k ) ik. Ist ußerdem Ω konvex, so betrchten wir für x,x Ω die C k -Funktion, vgl. Folgerung 3.1, ϕ : [,1] R, ϕ(t) = f(x +th) mit h = x x. Wir zeigen nun durch Induktion die Formel (3.5) ϕ (k) (t) = D k f(x +th)(h,...,h). Für k = 1 gilt ds nch Kettenregel und Stz 3.1, denn Für k 2 ergibt sich induktiv ϕ (t) = Df(x +th)h = n n i f(x +th)h i. i=1 ϕ (k) (t) = d dt = i 1,...,i k 1 =1 n i 1,...,i k 1 =1 i=1 = D k f(x +th)(h,...,h). ( i1... ik 1 f)(x +th)h i1...h ik 1 n ( i i1... ik 1 f)(x +th)h i h i1...h ik 1 Stz 3.2, ngewndt uf die Funktion ϕ, liefert sofort eine erste Fssung der mehrdimensionlen Tylorentwicklung. Lemm 3.3 Sei Ω R n offen und konvex, und sei f C k+1 (Ω) für ein k N. Dnn gibt es zu x, x Ω ein ξ = (1 τ)x +τx, τ [,1], so dss mit h = x x gilt: f(x) = j= D j f(x )(h,...,h) + Dj+1 f(ξ)(h,...,h). (j +1)! Beweis: Wir wendenufdiec k+1 -Funktion ϕ(t) = f(x +th)dieeindimensionletylorsche Formel n, mit Entwicklungspunkt t =. Nch Stz 3.2 gibt es ein τ [,1] mit ϕ(1) = j= ϕ (j) () 33 + ϕ(k+1) (τ) (k +1)!.

6 Einsetzen von (3.5) liefert die Behuptung. Die k-te Ableitung D k f(x)(h,...,h) ist eine Summe von n k Termen, von denen viele ber gleich sind wegen der Vertuschbrkeit der prtiellen Ableitungen. Um dies ökonomischer zu gestlten, und vor llem um wie im Eindimensionlen eine Tylordrstellung mit Bsispolynomenzugewinnen,wirddiesogennnteMultiindexnottion eingeführt.für = ( 1,..., n ) N n setzen wir = n Ordnung von,! = ( 1 )!... ( n )! -Fkultät, x = x xn n Monom mit Exponent, D = n n (D = Id), Die Zhl ν in D gibt lso n, wie oft nch der Koordinte x ν zu differenzieren ist. Stz 3.4 (Tylorentwicklung im R n ) Sei Ω R n offen und konvex, und sei f C k+1 (Ω) für ein k N. Dnn gibt es zu x, x Ω ein ξ = (1 τ)x +τx, τ [,1], so dss gilt: f(x) = k D f(x ) (x x ) +! =k+1 D f(ξ) (x x ).! Beweis: Die Anzhl der Tupel (i 1,...,i k ) in D k f(x )(h,...,h), in denen nch jeder der Koordinten x ν genu ν -ml differenziert wird, ist ( ) ( ) ( ) k k 1 k ( n 1 )... = ( 1 )!...( n )! =!. 1 2 n Die Behuptung folgt somit us Lemm 3.3 und der Vertuschbrkeit der prtiellen Ableitungen, siehe Kpitel 6, Folgerung 2.1. Mit Induktion über k sieht mn, die Zhl der Multindizes mit = k ist ( ) k +n 1 #{ N n (k +n 1)... (k+1) : = k} = =, n 1 (n 1)! ber ds werden wir nicht verwenden. Wir stellen nur fest, dss diese Zhl für große k etw gleich k n 1 /(n 1)! ist, und dmit viel kleiner ls n k. Eine Funktion P : R n R heißt Polynom vom Grd k, wenn es Koeffizienten R gibt mit für mindestens ein der Ordnung k, so dss P(x) = x für lle x R n. k Sei P k der Rum der Polynome im R n vom Grd höchstens k, und F : P k R N, F(P) = D P(x )e. Hier ist N = N(n,k) die Anzhl der Multiindizes N n mit k, und die Stndrdbsis des R N wird mit e, k, nummeriert. Wegen F ( (x x ) ) =!e für k ist F 34 k

7 surjektiv und dmit us Dimensionsgründen injektiv, vgl. Lemm 3.1; die Monome (x x ), k, bilden eine Bsis von P k. Hierus folgt (vgl. Lemm 3.1): ds k-te Tylorpolynom (3.6) P k (x) = k D f(x ) (x x )! ist ds eindeutige Polynom vom Grd höchstens k mit D P(x ) = D f(x ) für k. Folgerung 3.2 Ds k-te Tylorpolynom mit Entwicklungspunkt x eines Polynoms f vom Grd höchstens k ist f selbst. Beispiel 3.3 (Polynomilformel) Die Funktion f(x) = (x x n ) k ist ein Polynom vom Grd k, und es gilt { D flls = k, f() = sonst. Mit Folgerung 3.2 (oder direkt durch Abzählen) ergibt sich (x x n ) k = =k! x. Die Approximtionseigenschft des Tylorpolynoms gilt uch gnz nlog, nur müssen wir im Nenner Beträge setzen, d beknntlich durch Vektoren nicht dividiert werden knn. Stz 3.5 (Approximtion durch ds Tylorpolynom im R n ) Sei f C k (Ω) für k N, und P k ds k-te Tylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt x Ω. Dnn ist P k ds eindeutig bestimmte Polynom vom Grd höchstens k mit f(x) P k (x) lim x x x x k =. Beweis: Nch Stz 3.4, mit k sttt k +1, gibt es zu x Ω ein ξ zwischen x und x mit f(x) P k (x) = =k D f(ξ) D f(x ) (x x ).! D D f stetig und (x x ) x x k, ist die Konvergenz gegen Null gezeigt. Für die Eindeutigkeit sei P(x) ein Polynom vom Grd höchstens k mit x x k P(x) für x x. Wäre P nicht ds Nullpolynom, so gibt es ein x R n, x x, mit P(x). Ds eindimensionle Polynom ϕ(t) = P(x +t(x x )) ht Grd höchstens k, und es folgt ϕ(t) t k = x x k P(x +t(x x )) t(x x ) k mit t. Nch Stz 3.3 ist ϕ ds Nullpolynom, im Widerspruch zu ϕ(1) = P(x). Um ds reltive Verhlten von Funktionen bei Grenzprozessen zu beschreiben, werden oft die Lnduschen Symbole O und o benutzt. Seien f,g zwei Funktionen, die uf B δ (x ) definiert sind, und es gelte g(x) für x nhe bei x. Dnn schreibt mn 35

8 f(x) = o(g(x)) für x x lim x x f(x) g(x) =, f(x) = O(g(x)) für x x limsup x x f(x) g(x) <. InWorten:dieFunktionf(x)istklein-ovong(x)beziehungsweisegroß-O vong(x)fürx x. Diese Begriffe sind nlog für Grenzwerte x usw. erklärt. Im obigen Approximtionsstz gilt f(x) P k (x) = o( x x k ) für x x, ber häufig wird ds in Form einer Entwicklung geschrieben: f(x) = P k (x)+o( x x k ) für x x. Beispiel 3.4 Wir berechnen hier mit der Multiindexnottion die Tylorentwicklung erster Ordnung im Punkt (1,1) für f(x,y) = x y x+y. Es ist f(1,1) =, und die prtiellen Ableitungen der Funktion luten D (1,) f(x,y) = D (2,) f(x,y) = 4y (x+y) 3 2y (x+y) 2 D (,1) f(x,y) = 2x (x+y) 2 Ds Tylorpolynom erster Ordnung ist somit D (1,1) f(x,y) = 2(x y) (x+y) 3 D (,2) f(x,y) = 4x (x+y) 3. P 1 (x,y) = f(1,1)+d (1,) f(1,1) ( (x,y) (1,1) ) (1,) +D (,1) f(1,1) ( (x,y) (1,1) ) (,1) = 1 2 (x 1) 1 2 (y 1) = 1 2 (x y). Ds Restglied lutet in Lgrngedrstellung mit Zwischenpunkt (ξ, η) R 1 (x,y) = D(2,) f(ξ,η) ( ) (2,) D (1,1) f(ξ,η) ( ) (1,1) (x,y) (1,1) + (x,y) (1,1) 2!! 1!1! + D(,2) f(ξ,η) ( ) (,2) (x,y) (1,1)!2! 2 ( = η(x 1) 2 (ξ +η) 3 +(ξ η)(x 1)(y 1)+ξ(y 1) 2). Eine Funktion f : Ω R, die in der Nähe jedes Punkts x Ω durch eine Potenzreihe P(x) = (x x ) k= =k mit R drgestellt werden können, heißt reell-nlytisch. Unsere eindimensionlen Überlegungen lssen sich uch in diesem Punkt verllgemeinern, woruf wir jedoch us Zeitgründen verzichten. 36

9 4 Prmeterbhängige Integrle Im letzten Abschnitt dieses Kpitels behndlen wir ls Anwendung der prtiellen Ableitung prmeterbhängige Integrle. Sei dzu Ω R n offen und I = [,b] ein kompktes Intervll. Für eine gegebene Funktion f : Ω I R, f = f(x,y), betrchten wir die neue Funktion (4.7) φ : Ω R, φ(x) = I f(x,y)dy. Diese Funktion wird ls prmeterbhängiges Integrl bezeichnet, wobei die Prmeter hier die Punkte x = (x 1,...,x n ) Ω sind. Dmit φ wohldefiniert ist, müssen die Integrle existieren,lsosolltefürjedesx ΩdieFunktionf(x, ) : I R,y f(x,y),riemnn-integrierbr sein. Wir interessieren uns für die Stetigkeit und Ableitung der Funktion φ(x). Dbei werden wir benutzen, dss stetige Funktionen uf kompkten Mengen gleichmäßig stetig sind, vgl. Kpitel 6, Stz 1.8. Stz 4.1 (Stetigkeit von Prmeterintegrlen) Sei f C (Ω I), f = f(x,y), wobei Ω R n offen und I = [,b] kompkt. Dnn ist die Funktion wohldefiniert und stetig. φ : Ω R, φ(x) = I f(x,y)dy, Beweis: Die Funktion ist wohldefiniert, denn für x Ω ist f(x, ) C (I), lso Riemnnintegrierbr. Zu x Ω gibt es ein δ > mit K := {x R n : x x δ } Ω. D K I kompkt, ist f : K I R gleichmäßig stetig, insbesondere gibt es zu ε > ein δ (,δ ], so dss für lle y I gilt: f(x,y) f(x,y) < ε b für x x < δ. Wir erhlten für x x < δ die Abschätzung φ(x ) φ(x) f(x,y) f(x,y) dy < ε. I Wir gehen direkt weiter zur Differenzierbrkeit und Berechnung der Ableitung. Stz 4.2 (Differentition unter dem Integrl) Sei Ω R n offen und I = [,b]. Für f : Ω I R mit f(x, ) C (I) für lle x Ω setze φ : Ω R, φ(x) = I f(x,y)dy. Ist C (Ω I) für ein j {1,...,n}, so folgt φ (x) = I (x,y)dy. Sind f und x 1,..., x n in C (Ω I), so ist φ C 1 (Ω). 37

10 Beweis: Zu x Ω wähle δ >, so dss K = {x R n : x x δ } Ω. D gleichmäßig stetig uf K I ist, gibt es zu ε > ein δ (,δ ], so dss für lle y I gilt: (x,y) (x,y) < ε für x x < δ. b Nch dem Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung gilt f(x+he j,y) f(x,y) h = 1 h 1 d ds f(x+she j,y)ds = 1 (x+she j,y)ds. Für h [ δ,δ] und s [,1] ist (x+she j,y) (x,y) < ε/(b ), lso φ(x+he j ) φ(x) ( (x,y)dy h I = f(x+hej,y) f(x,y) ) (x,y) dy I h 1 ( = (x+she j,y) (x,y) ) dsdy I 1 (x+she j,y) (x,y) dsdy I < ε. Dmit ist die Differentitionsregel gezeigt. Die Zustzussge folgt nun us Stz 4.1. Beispiel 4.1 Wir berechnen hier ds Integrl der Gußschen Dichtefunktion (ds früher uf 1-Mrk-Scheinen zu finden wr) e x2 dx = π. Der Beweis ist trickreich und ich bezweifle, dss ich selbst uf ihn gekommen wäre. Und zwr betrchten wir die Funktion ( x 2, F : [, ) R, F(x) = e dξ) ξ2 und berechnen mit dem Huptstz und nschließender Substitution ξ = xy, lso dξ = xdy, x F (x) = 2e x2 e ξ2 dξ = 1 2xe (1+y2 )x 2 dy = 1 x (x,y)dy, wobei f(x,y) = e (1+y2 )x 2 /(1+y 2 ). D f uf (, ) [,1] gltt ist, können wir nch Stz 4.2 den Opertor x herusziehen, und mit φ(x) = 1 f(x,y)dy folgt φ (x) = 1 x (x,y)dy = F (x). Nun gilt F() φ() = 1 (1 +y2 ) 1 dy = rctn1 = π/4, lso F(x) = φ(x) + π/4 für lle x [, ). Aber φ(x) e x2 mit x, und so π e x2 dx = lim F(x) = x 2. 38

11 In dieser Vorlesung werden wir us Zeitgründen kein mehrdimensionles Integrl behndeln, dies soll in Anlysis 3 usführliches Them sein. Immerhin können wir ls nützliche Anwendung hier die Vertuschbrkeit der Integrtionsreihenfolge in Mehrfchintegrlen folgern. Stz 4.3 (Kleiner Fubini) Seien I = [,b], J = [,β] kompkte Intervlle. Dnn gilt β ( b ) f(x,y)dx dy = b ( β Beweis: Wir betrchten die Funktionen φ,ψ : [,b] R mit φ(x) = β ( x ) f(ξ,y)dξ dy und ψ(x) = ) f(x,y)dy dx für f C (I J). x ( β ) f(ξ,y)dy dξ. Nch Stz 4.1 sind y x f(ξ,y)dξ sowie ξ β f(ξ,y)dy stetig, und dmit beide Seiten wohldefiniert mit φ() = ψ() =. Wir zeigen φ (x) = ψ (x) für lle x I, worus die Behuptung φ(b) = ψ(b) folgt. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung liefert Weiter ht die Funktion F(x,y) = x und us Stz 4.2 folgt φ (x) = ψ (x) = β β f(x,y)dy. f(ξ,y)dξ die prtielle Ableitung F x = f C (I J), F β x (x,y)dy = f(x,y)dy. Viele interessnte Prmeterintegrle sind uneigentliche Integrle, zum Beispiel bei der Definition der Gmmfunktion oder der Fouriertrnsformtion. Aus Zeitgründen können wir druf jetzt nicht eingehen, werden ber Prmeterintegrle nochmls innerhlb der Theorie des Lebesgue-Integrls im dritten Semester ufgreifen. 39