Beispielaufgaben rund um Taylor

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1 Beispielaufgaben rund um Taylor Mirko Getzin Universität Bielefeld Fakultät für Mathematik 19. Februar 014 Keine Gewähr auf vollständige Richtigkeit und perfekter Präzision aller (mathematischen) Aussagen. Das Dokument hat lediglich den Anspruch, eine Hilfestellung für die Tutanden beim Verständnis der Vorlesungsinhalte zu sein. Eine Veröffentlichung oder Vervielfältigung ist nur nach Rücksprache mit dem Urheber dieses Dokuments erlaubt. Tutor der Analysis I im WiSe 13/14

2 Mirko Getzin 1 Beispielaufgaben rund um Taylor Kurz vor Ende der Vorlesungszeit habt ihr noch die Taylorformel und -reihe kennengelernt. Leider ist dieses Thema in der Vorlesung nicht genügend ausführlich besprochen worden und auch in den Aufgaben kam das Thema recht kurz (vgl. letzte Präsenzübung). Dennoch ist die Taylorformel für die Klausur relevant, weshalb ich für euch an dieser Stelle einige Aufgabentypen beispielhaft durchgehen möchte. 1.1 Theorie zur Taylorformel Definiton, Voraussetzung und Formel Vergleiche Kapitel 1 im Skript zur Analysis I von Herrn Röckner. Heuristische Erklärung Der ein oder andere dürfte in der Schule gelernt haben, dass die Ableitung einer Funktion als ihre beste lineare Approximation zu verstehen ist. Dieses Verständnis der Differentiation wird für euch in Analysis II nochmal wichtig, nachdem es in Analysis I nur nebensächlich behandelt wurde (vgl. Satz 15.6). Mit Hilfe der Taylorformel lernt ihr nun ein Verfahren, mit dem ihr eine beliebige Funktion an einer vorgegebenen Stelle durch eine Polynomfunktion approximieren könnt. Die Genauigkeit der Approximation ist hierbei durch den Grad des entstehenden Taylorpolynoms vorgegeben. Darüber hinaus ist die Darstellung von Funktionen durch ihre jeweiligen Taylorpolynome an der Stelle a 0 überaus hilfreich bei komplizierten Funktionen, da sich Polynome leicht handhaben lassen (Integration, Differentiation,...) und da sich das Restglied zur Taylorformel besonders leicht abschätzen lässt. Mit Hilfe der Taylorformel besitzt ihr nun also die Möglichkeit, Funktionen beliebig genau zu approximieren und den entstehenden Fehler sogar noch elegant abzuschätzen. Ausblick auf Analysis II In der Analysis II werdet ihr erneut auf die Taylorformel stoßen, allerdings werdet ihr dann Funktionen im R n taylorn. Hierzu werdet ihr eine neue Notation kennenlernen, welche es besonders elegant und leicht macht, das Taylorpolynom mehrdimensionaler Funktionen zu bestimmen. Es ist daher besonders wichtig, dass ihr bereits jetzt ein grundlegendes Verständnis für die Taylorformel entwickelt, damit ihr daran in Analysis II anknüpfen könnt. 1. Beispiele Es folgen nun diverse Aufgabenbeispiele samt Lösungsskizzen. Die Aufgabentypen sind sehr typisch für diesen Themenbereich, die gewählten Beispielfunktionen hingegen verhältnismäßig sehr leicht. Beachtet stets bei der Bearbeitung von Aufgaben mit Hilfe der Taylorformel, dass ihr die Voraussetzungen für die Formel zunächst überprüfen müsst. Genauer gesagt: Prüft stets, ob die gegebene Funktion f (n+1)-mal stetig differenzierbar ist. In den meisten Fällen sind die Funktionen sogar unendlich oft stetig differenzierbar. Die Voraussetzung, dass der Definitionsbereich von f ein Intervall sein muss, ist beinahe überflüssig, da ihr mit aller Wahrscheinlichkeit nur Funktionen vorgelegt bekommt, wo dies ohnehin erfüllt ist. Erinnerung: Auch die reellen Zahlen lassen sich als Intervall darstellen mit R = (, + ). Beispiel 1 Wir betrachten die Funktion f(x) = exp(x), x R. In dieser Beispielaufgaben wollen wir ganz allgemein die Taylor-Reihenentwicklung von f um den Entwicklungspunkt a = 0 bestimmen.

3 Mirko Getzin 3 Hierzu prüfen wir zunächst die Voraussetzungen für die Taylorformel und stellen fest, dass f unendlich oft stetig differenzierbar ist, da die Exponentialfunktion (unabhängig von dessen Argument) unendlich oft stetig differenzierbar ist. Alternativ: f ist eine Komposition von stetigen und (unendlich oft) differenzierbaren Funktionen und somit selbst unendlich oft stetig differenzierbar (g(h) := exp(h), h(x) := x). Die Taylorformel lässt sich also anwenden. Nun bestimmen wir erstmal beispielhaft die ersten drei Ableitungen von f mit Hilfe der Kettenregel, um dann eine allgemeine Form des Taylorpolynoms vom Grad n zu bestimmen: f (x) = exp(x) f (x) = 4 exp(x) f (x) = 8 exp(x) Unter Berücksichtigung der Kettenregel können wir die Ableitungen weiter fortsetzen und finden die allgemeine n-te Ableitung f (n) (x) = n exp(x). Nun setzen wir noch den Entwicklungspunkt a = 0 in die n-te Ableitung ein und erhalten f (n) (0) = n. Anschließend setzen wir dies in die Taylorformel ein und sind fertig: n n! (x 0)n = n n! xn Verständnisfragen und Probe: Ist unsere Reihenentwicklung korrekt? - Ja, denn wir können diese Reihe nun mit Hilfe der Potenzgesetze umschreiben, so dass wir erhalten n n! xn = (x) n n! = exp(x) Die letzte Gleichheit gilt aufgrund der bekannten Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Unser Ergebnis ist also korrekt, denn wir können die Taylorreihe mit der bekannten Reihendarstellung der Exponentialfunktion identifizieren. Wie sieht das Restglied aus? - Wir haben in diesem Fall kein Restglied, da wir die Taylorreihe betrachten, welche nicht bei einem bestimmten Summanden abbricht und einen Rest übrig lässt. Wir merken uns also, dass die Taylorreihe der ausgehenden Funktion entspricht, wohingegen das Taylorpolynom vom Grad n im Allgemeinen einen Fehler ( Rest ) besitzen kann. Beispiel Wir betrachten die Polynomfunktion f(x) = x 3 x + x 1, x R. Wir wollen nun dieses Polynom in der Form f(x) = 3 a n (x 1) n darstellen. Hierzu nutzen wir unsere Kenntnisse über die Taylorformel und erkennen, dass die obige Form dem dritten Taylorpolynom am Entwicklungspunkt a = 1 entspricht. Ziel ist es nun also, dass wir mit Hilfe der Taylorformel die Koeffizienten a n bestimmen mit n {0, 1,, 3}. Zunächst prüfen wir die Voraussetzungen für die Taylorformel: als Polynom vom Grad 3 ist die Funktion f unendlich oft stetig differenzierbar. Die Taylorformel lässt sich also bedenkenlos anwenden. Als Entwicklungspunkt legen wir a := 1 fest.

4 Mirko Getzin 4 Nun bestimmen wir die ersten drei Ableitungen, da wir diese für das dritte Taylorpolynom benötigen: f (x) = 3x 4x + 1 f (x) = 6x 4 f (x) = 6 Mit Blick auf die Taylorformel erkennen wir, dass die gesuchten Koeffizienten die Form a n = f (n) (a) n! besitzen. Also gilt: a 0 = f (0) (1) 0! = f(1) 1 = = 1 a 1 = f (1) (1) 1! = f (1) 1 = = 0 a = f () (1)! = f (1) = 6 4 = 1 a 3 = f (3) (1) 3! = f (1) 6 = 6 6 = 1 Die Polynomfunktion f lässt sich also mit obigen Koeffizienten in der Form f(x) = 3 a n (x 1) n darstellen. Wie sieht das Restglied in diesem Fall aus? - Obwohl wir diesesmal nicht die Taylorreihe betrachten, sondern lediglich das Taylorpolynom vom Grad 3, gibt es auch hier kein Restglied. Das liegt daran, dass unser ausgehendes Polynom bereits nur den Grad 3 besitzt, die Koeffizienten a n mit n 4 also alle 0 sind. Es gilt also sogar (mit den Koeffizienten wie oben beschrieben): Beispiel 3 3 a n (x 1) n = a n (x 1) n = f(x) Wir betrachten die Funktion f(x) = cos(x) + x, x R. Wir wollen nun die Funktion f im Punkt a = π linear approximieren und den Fehler dieser Approximation bestimmen. Als Summe einer trigonometrischen Funktion und einer Polynomfunktion ist f unendlich oft stetig differenzierbar, so dass wir die Taylorformel verwenden können. Wir erinnern uns daran, dass wir das Taylorpolynom vom Grad 1 bestimmen können als entsprechende lineare Approximation (vgl. 1. Ableitung und Satz 15.6, sowie die Taylorformel). Danach bestimmen wir das Restglied zur getätigten Approximation. Es gilt für das erste Taylorpolynom (n = 1): cos(π)+π 0! (x π) 0 sin(π) 4π 1! (x π) 1 = 1 + π + 4π(x π) = 1 + π 4π + 4πx = 4πx π 1 Nun wollen wir noch das Restglied R (x) nach Lagrange bestimmen (vgl. Satz 1.3). Es existiert also ein ξ [π, x] oder ein ξ [x, π] (je nach Wahl von x), so dass gilt: R 1+1 (x) = R (x) = f () (ξ) ()! (x π) = cos(ξ)+4 (x π) Zum Verständnis: Das Restglied ist natürlich von dem jeweiligen x abhängig, an dem wir das Taylorpolynom auswerten, da je nach Entfernung der auszuwertenden Stelle zum Entwicklungspunkt auch

5 Mirko Getzin 5 der Fehler größer bzw. kleiner wird. Hieran wird nochmal klar, dass wir mit Hilfe der Taylorformel lediglich Approximationen der Funktion an bestimmten Entwicklungspunkten erhalten und nicht eine allgemeingültige Approximation, die für alle Punkte des Definitionsbereichs von f gilt. Beispielhaft wählen wir nun x := π. Wir finden also ein ξ [π, π], so dass gilt: R (π) = cos(ξ)+4 (π π) = (( cos(ξ) + )π. Wir können den Kosinus nach oben mit 1 abschätzen und nach unten mit -1 (völlig unabhängig von ξ, da der Bildbereich trigonometrischer Funktionen [ 1, 1] ist). So erhalten wir folgende Abschätzungen für das Restglied: 1, 5π R (π), 5π. Weitere Übung: Bestimme das zweite Taylorpolynom zu f um den Entwicklungspunkt a := π und führe die Abschätzung des Restgliedes R 3 (x) für x := π nach Lagrange durch. Vergleiche anschließend R (π) und R 3 (π) und erkläre deinen Kommilitonen das bestehende Verhältnis der beiden Restglieder.