Inhaltsverzeichnis. I A n alysis Grundlagen über Mengen und die Sätze von Bolzano-Weierstrass 55

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1 Inhaltsverzeichnis I A n alysis G rundlagen Motivation G rundlagen Funktionen Eigenschaften von Funktionen Verkettete Funktionen Reelle F unktionen Eigenschaften reeller Funktionen / : 1R >M Polynom e Gebrochen rationale F unktionen Gleichungen und Ungleichungen Komplexe Analysis Rechenregeln für komplexe Zahlen in Polarkoordinaten Eigenschaften von z = et(p Radizieren (Wurzel ziehen) von komplexen Zahlen Anwendung: Faktorisierung von Polynomen mit komplexen Koeffizienten F olgen und R eih en Rekursionen Differenzenrekursion Zusammenfassung Summen (Reihen) Rechenregeln für Summen Wichtige S um m en Rechnen mit Sum m en Binomialkoeffizienten und der binomische L ehrsatz Der Binomialkoeffizient Der binomische Lehrsatz K onvergenz von Folgen, R eih en und Funktionen Grundlagen über Mengen und die Sätze von Bolzano-Weierstrass 55

2 3.2 Konvergenz von Folgen Monotonie Konvergenz und Grenzwert einer Folge Rechnen mit konvergenten Folgen Rechenregeln für G renzw erte Konvergenz monotoner Folgen Die eulersche Z a h l Konvergenz rekursiver Folgen Konvergenz komplexer Folgen Cauchy-Konvergenz Zusammenfassung F o lg en Unendliche R eih en Die unendliche geometrische R e ih e Cauchy R eihen Teleskopsummen Konvergenzkriterien für fast immer nicht negative Reihen Alternierende Reihen Zusammenfassung Konvergenzkriterien Umordnung von R eih en Das Cauchy-Produkt Potenzreihen Spezielle Potenzreihen Die eulersche Zahl und die exponentielle Funktion Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Das e 8 Kriterium Stetigkeit verketteter Funktionen Weitere Stetigkeitsuntersuchungen Stetigkeit der Funktionen sin(x) und c o s(x ) Unstetigkeit Stetigkeit auf Intervallen Lipschitz-Stetigkeit Der Zwischenwertsatz Der Fixpunktsatz Eigenschaften der Funktionen sin(x) und cos(x) Die Reihe W Die Logarithmusfunktion Die hyperbolischen Funktionen D ifferentialrechnung Motivation Verallgemeinerung Einige Grenzwerte von Sin, Cos, E x p Berechnung elementarer Ableitungen Die Tangentengleichung Ableitungsregeln...178

3 4.5 Lokale Extrem a Der M ittelwertsatz Stetigkeit und Differenzierbarkeit von Potenzreihen Monotonie Die Grenzwertsätze von de L H o sp ital Krümmungseigenschaften MacLaurin- und Taylorreihenentwicklung Die Taylorreihe Konvergenz der Taylorreihe Beispiele Anwendung der Potenzreihen Konvergenzgeschwindigkeit von Taylorreihen Zusammenhang zwischen Taylorreihen und Extremwerten Numerische Berechnung von Ableitungen Das Tangentenverfahren von N ew ton Integration Einleitung Das unbestimmte Integral Das bestimmte In te g ra l Die Flächenfunktion Stammfunktion und Flächenfunktion Die Stammfunktion von 1 /x Partialbruchzerlegung Flächenberechnungen Fläche und Integral zwischen zwei Funktionen Integration zur Berechnung von Flächen zwischen mehreren Funktionen Die Mittelwertsätze der Integralrechnung Das Restglied der Taylorreihe in Integraldarstellung Das Restglied nach L agrange Längenberechnung Mantelflächenberechnung Rotationsvolumen Numerische Berechnung von Integralen Differentiation von Integralen mit variablen Grenzen Parameterintegrale W ach stu m s- und Z erfallsp rozesse Grundlagen der Evolutionsgleichungen Einleitung: Die Evolutionsgleichung Diskret oder kontinuierlich? Ungebremstes Wachstum Der diskrete F a l l Zeitteile Grundsätzliches...275

4 6.2.4 Der Übergang zum kontinuierlichen M o d ell Zusammenhang zwischen kdiskret und k ko n t Gebremstes Wachstum - Störung erster O rdnung Das logistische Wachstum - Störungen zweiter O rd n u n g Systeme von Differenzengleichungen Zusammenfassung Wachstum und Zerfall II A n alysis U neigen tlich e Integrale Unendliche Integrationsintervalle Unbeschränkte Integranden auf endlichen Integrationsintervallen Absolute Konvergenz Weitere Konvergenzkriterien Majoranten und Minorantenkriterium für unbeschränkte Integrationsintervalle Majoranten und Minorantenkriterium für unbeschränkte Integranden Das Integralkriterium zur Konvergenz von Reihen F u n k tion en m ehrerer V eränderlicher Grundbegriffe Rechnen in Vektorräumen Metrische R äum e Normen im l n Das Skalarprodukt Mengen im Mn Offene M engen Abgeschlossene M engen Beschränktheit und O rdnung Folgen im Rn Darstellungsformen der Funktionen / : R2 * R Differenzierbarkeit im Rn Grenzwerte im Rn Schnittfunktionen (Partielle Funktionen) Partielle Ableitungen Differentiation komplexer Z ahlen Stetigkeit Gleichmäßige Stetigkeit und Lipschitz Stetigkeit Fixpunkte im Rn Der G radient Die Tangentialebene...352

5 Die Richtungsableitung Das vollständige Differential Anwendung: Fehlerrechnung Der relative F eh ler Parametrische Funktionen Die Kettenregel Kettenregel für Funktionen mit zwei P aram etern Anwendung: Implizite Differentiation Partielle Ableitungen höherer Ordnung Divergenz und R o tatio n Die Taylorentwicklung für f(x,y) Eindimensional Zweidimensional Relative Extremwerte ohne Nebenbedingungen Der eindimensionale F all Lokale Extrema bei zwei Unbekannten Schreibweise als Hesse-Matrix Extremwerte im l n Weitere Verfahren zur Analyse der K andidaten Beispiel 1: Nektar sammelnde Bienen Beispiel 2: Zugvögel (ohne Happy End) Anwendung der Extremwertberechnung: Regressionsanalyse Approximation von Funktionen Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Lagrange M ultiplikatoren Parametrische Funktionen und Kurvenintegrale Der Tangentenvektor Kurvenintegrale Die Potentialfunktion M ehrdim ensionale Integration Einleitung Berechnung der Integrale Berechnung von Integralen in kartesischen rechteckigen Koordinaten Integration über kartesische krummlinige Bereiche Weitere Anwendungen Integration in Polarkoordinaten Uneigentliche Integrale Dreifachintegrale Schwerpunktsberechnungen

6 10 G ew öhnliche D ifferentialgleichungen (D G L ) Einleitung Einführende Beispiele (s. Wachstum und Z erfall) Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Lösungsverfahren für DGL en erster O rdnung Geometrische Interpretation von y =f(x,y) Substitution Lineare DGL en Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten Die Bernoulli-Differentialgleichung Zusammenfassung der Lösungsverfahren für DGL 1. Ordnung Weitere linear inhomogene DGL en mit nicht-konstanten Koeffizienten Potenzreihenansätze Exakte Differentialgleichungen Numerische Lösung einer expliziten DGL 1. Ordnung Lineare DGL en 2. Ordnung mit konst. Koeffizienten Lineare Differentialgleichungssysteme Anwendung 1: Die harmonische Schwingung Wachstumsprozesse mit Hilfe der Differentialgleichungen Differentialgleichungen für Störungen zweiter O rdnung...509