9 Die Prinzipien der Analysis

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1 9 Die Prinzipien der Anlysis 9. Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Ds wichtigste Prinzip der Anlysis besgt, dss die Integrtion in gewisser Weise die Umkehrung der Differentition ist. Genuer definieren wir: Für eine stetige Funktion f heißt jede differenzierbre Funktion F mit F = f Stmmfunktion zu f, die Schreibweise ist F(x) = f(x)dx. Sind F und G Stmmfunktionen zu f, so folgt us F = G = f, dss (F G) = und nch (8.4) dher F(x) G(x) = c mit c Ê. Zwei Stmmfunktionen unterscheiden sich lso nur um eine Konstnte. Stz [Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung] f sei eine stetige Funktion uf einem Intervll I. Für einen beliebigen Punkt I setzen wir Dnn gilt: F(x) = x f(t)dt. () F ist eine Stmmfunktion zu f, d.h. F ist in I differenzierbr mit F (x) = f(x). (b) Für jede Stmmfunktion Φ zu f und,b I gilt b f(t)dt = b Φ (t)dt = Φ(b) Φ() =: Φ(t) Beweis: () Aus (7.2) und dem Mittelwertstz der Integrlrechnung 7.5 folgt F(x+h) F(x) h = ( x+h f(t)dt h x ) f(t)dt = h x+h x b f(t)dt = h hf(x ) mit x (x,x+h). Für h folgt x x und wegen der Stetigkeit von f dher f(x ) f(x). (b) Wegen F() = ist die Behuptung für F richtig. Wie eingngs gezeigt wurde, gilt Φ(x) = F(x)+c, dher F(b) F() = Φ(b) Φ(). 9.2 Gliedweise Differentition Stz Die Funktionen f n seien in [,b] stetig differenzierbr mit f n f punktweise und f n g gleichmäßig. Dnn ist uch f differenzierbr mit f = g, oder (limf n ) = limf n. Beweis: Die gleichmäßige Konvergenz f n g bedeutet f n g. Wir können dher Stz 7.6 nwenden und erhlten x x g(t)dt = lim f n n(t)dt. Auf der rechten Seite liefert der Huptstz 9. x lim n f n(t)dt = limf n (x) limf n () = f(x) f(). Dmit ist f eine Stmmfunktion von g und nch dem Huptstz 9. folgt f = g. 68

2 9.3 Gliedweise Differentition von Potenzreihen und Ableitung der elementren Funktionen Der letzte Stz lässt sich ohne Kompliktionen uf Potenzreihen übertrgen. p(x) = n x n, n Ê n= Stz Sei R der Konvergenzrdius der Potenzreihe p. Dnn ist für x < R die Potenzreihe unendlich oft differenzierbr und knn gliedweise differenziert werden, (9.) p (x) = (n+) n+ x n. n= Beweis: Nch Stz 9.2 muss gezeigt werden, dss die gliedweise differenzierte Reihe den gleichen Konvergenzrdius besitzt wie die Ausgngsreihe p. Es gilt n (n+) n+ = n (n+) n n+ n n+ 2n( ) (n+)/n. n+ Mit (3.2) folgt n 2n = n 2 n n. Mit L = limsup n n ist uch ( n+ lim sup ) (n+)/n n+ = L. Mit diesem Stz können wir die Abeitungen der durch Potenzreihen gegebenen elementren Funktionen ohne Mühe bestimmen. Für die Exponentilfunktion erhlten wir expx = n= x n n!, exp x = n= (n+)x n (n+)! = expx. Die Ableitung der inversen Funktion ln : Ê + Ê erfolgt mit der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion, ln y = exp x = expx =, expx = y >. y Dmit lässt sich uch die llgemeine Potenzfunktion bleiten, für x > ist (x ) = Für die Hyperbelfunktionen hben wir sinh x = 2 ( e lnx)) = e lnx x = x. ( e x e x) = coshx, cosh x = 2 ( e x +e x) = sinhx, folgt sowie Mit den Reihen sinx = n= cos x = ( ) n x (2n+), cosx = (2n+)! sin x = n= n= ( ) n x 2n (2n)! ( ) n+ x (2n+) (2n+)! n= = cosx = sinx. ( ) n x 2n (2n)! 69

3 Für Tngens und Cotngens liefert die Quotientenregel tn x = cot x = ( ) sinx = cos2 x+sin 2 x cosx cos 2 = x cos 2 x = +tn2 x, ( cosx ) cos 2 x sin 2 x = sinx sin 2 = x sin 2 x = (+cot2 x). Die Ableitung der inversen trigonometrischen Funktionen erfolgt wieder mit der Ableitungsregel für die Umkehrfunktion rcsin y = cosx = cosrcsiny = (sinrcsiny) 2 = y 2, rccos y = sinx = rctn y = rccot y = +y 2. y 2, +tn 2 x = +y 2, Beispiele (i) Die Funktion x x können wir für x > unter Verwendung der Definition bleiten, (x x ) = ( e xlnx) = e xlnx (lnx+) = x x (lnx+). (ii) Durch fortgesetzte Anwendung der Kettenregel erhlten wir ( ln(x+ x 2 +) ) = x+ x 2 + ( + 2 (x2 +) /2 2x ) = x+ x 2 + x 2 ++x x 2 + = x Tbelle der Stmmfunktionen Nch dem Huptstz gilt für eine beliebige Stmmfunktion F von f F(x) b b = F(b) F() = f(x)dx. Ds Problem der Integrtion reduziert sich dher uf ds Auffinden einer Stmmfunktion von f. Eine Funktion wird elementr gennnt, wenn sie sich us den lgebrischen und den bereits definierten speziellen Funktionen wie etw der Exponentilfunktion zusmmensetzt. Die Ableitung einer elementren Funktion ist nch unseren Ableitungsregeln wieder eine elementre Funktion. Dgegen brucht die Stmmfunktion einer elementren Funktion keine elementre Funktion zu sein. Die Stmmfunktion knn dher nicht immer bestimmt werden. Mhemtische Progrmmsysteme wie Mthemtic oder Mtlb sind mittlerweile dem Menschen im Auffinden einer Stmmfunktion deutlich überlegen, llerdings können uch sie nicht sicher entscheiden, ob eine Stmmfunktion elementr ist oder nicht. Wer Stmmfunktionen selber finden möchte, knn die in den Abschnitten 9.5, 9.6, 9.7 drgestellten Techniken verwenden, um die Integrnden zu vereinfchen, und/oder in einer Formelsmmlung nch der Stmmfunktion suchen. Hier nur die wichtigsten Stmmfunktionen, die sich us den Ableitungen der elementren Funktionen im letzten Abschnitt ergeben: 7

4 f Tbelle der Stmmfunktionen F x α +α xα+ α x+ ln x+ +x 2 rctnx x 2 2 ln x+ x x 2 x x ± rcsinx x < +x 2 x 2 e x ln(x+ x 2 +) ln x+ x 2 + x > e x x sinx cosx x ln cosx sinx > tnx ln cosx x (k + 2 )π, k cotx ln sinx x kπ, k sinhx coshx tnhx coshx sinhx lncoshx cothx ln sinhx x 9.5 Prtielle Integrtion Stz Seien f, g in [, b] differenzierbr. Dnn gilt (9.2) b Beweis: Wir integrieren die Produktregel von bis b und wenden den Huptstz 9. n. f(x)g (x)dx = f(x)g(x) b b f (x)g(x)dx. d dx (f(x)g(x)) = f (x)g(x)+f(x)g (x) Die Formel der prtiellen Intgrtion wird uch für die unbestimmte Integrtion in der Form (9.3) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx. 7

5 verwendet. D... dx ls Stmmfunktion des Integrnden zu interpretieren ist, sind mit dem Huptstz die Drstellungen (9.2) und (9.3) äquivlent. Beispiele (i) Eine Stmmfunktion F des Logrithmus findet mn mit lnxdx = lnx d dx xdx = x xdx+xlnx, lso F(x) = xlnx x. (ii) Eine Stmmfunktion von sin 2 x erhält mn us sin 2 xdx = sinx d dx cosxdx = = ( sin 2 x)dx sinxcosx, cos 2 xdx sinxcosx lso sin 2 xdx = 2 (x sinxcosx). (iii) Es gilt x n e x dx = x n d dx ex dx = n x n e x dx+x n e x. Wendet mn diese Formel mehrfch n, erhält mn x n e x = e x{ x n nx n +n(n )x n...+( ) n n! }. 9.6 Integrtion durch Substitution Stz Sei f in [, b] stetig, φ in [α, β] stetig differenzierbr mit φ([α,β]) = [,b] und φ(α) =, φ(β) = b. Dnn gilt (9.4) b f(x)dx = β α f(φ(t))φ (t)dt. Wenn nur φ([α,β]) [,b] erfüllt ist, so gilt für die unbestimmte Integrtion (9.5) f(φ(t))φ (t)dt = f(x)dx. x=φ(t) Ist φ zusätzlich streng monoton, so gilt (9.6) f(x)dx = f(φ(t))φ (t)dt. t=φ (x) Bemerkung Schreiben wir φ(t) = x(t), so können wir ls Merkregel f(x)dx = f(x(t)) dx dt dt verwenden. Beweis: Sei F eine Stmmfunktion von f. Dnn folgt mit der Kettenregel d dt F(φ(t)) = f(φ(t))φ (t). Dmit ist F(t) = F(φ(t)) eine Stmmfunktion von f(φ(t))φ (t), ws Formel (9.5) beweist. Unter der Vorussetzung φ(α) =, φ(β) = b folgt us dem Huptstz b f(x)dx = F(b) F() = F(φ(β)) F(φ(α)) = 72 β α f(φ(t))φ (t)dt.

6 (9.5) ist eine Identität in t. Ist φ streng monoton, können wir dort t durch φ (x) ersetzen und erhlten (9.6). Bei der unbestimmten Integrtion durch Substitution kümmert mn sich m besten nicht drum, ob die Vorussetzungen des letzten Stzes erfüllt sind, sondern mcht stttdessen eine Probe, bei der überdies Rechenfehler ufgedeckt werden können. Beispiele (i) Ausdrücke in e x lssen sich durch die Substitution t = e x zumindest vereinfchen. Mit dt dx = ex folgt dnn dx = dt. Beispielsweise erhlten wir t 2e x + 2t+ e x + dx = (t+)t dt = ln(t2 +t) = ln(e 2x +e x ) (ii) Bei Ausdrücken, die x 2 enthlten, knn mn die Substitution x = cost mit dx = sin t dt versuchen, beispielsweise x 2 dx = sint( sint)dt = 2 (sintcost t) = 2 (x x 2 rccosx). 9.7 Integrtion rtionler Funktionen Rtionle Funktionen können elementr integriert werden, wenn eine Prtilbruchzerlegung gelingt. Ist die Ausgngsfunktion reell, und nur diesen Fll wollen wir betrchten, so treten Terme der Form (9.7) sowie Pre der Form A (x ) k mit,a Ê und k Æ (9.8) A (x ) k + A (x ) k mit,a, / Ê, und k Æ uf. Unbhängig dvon, ob reell oder komplex ist, gilt für k > dx (x ) k = k (x ) k. Für reelles im Fll (9.7) für k = ist ln x Stmmfunktion. Im konjugiert komplexen Fll (9.8) für k = fssen wir die beiden Anteile zusmmen, A x + A x = Bx+C x 2 +2bx+c mit b,c,b,c Ê und c > b 2. Wir erhlten dnn Bx+C x 2 +2bx+c dx = B 2 ln(x2 +2bx+c)+ C x 2 +2bx+c, C = C bb sowie x 2 +2bx+c = c b 2 rctn x+b c b 2. 73

7 9.8 Uneigentliche Integrle und ds Integrlvergleichskriterium für Reihen Bislng htten wir ds Integrl nur für Regelfunktionen definiert, die insbesondere beschränkt sind. Wenn wir uns die nschuliche Bedeutung des Integrls ins Gedächtnis rufen, nämlich der Flächeninhlt unterhlb des Grphen der Funktion zu sein, so knn dieser Flächeninhlt uch dnn endlich sein, wenn die Punktmenge selber unbeschränkt ist. Die beiden wichtigsten Fälle sind in diesem Zusmmenhng:. f ist n einem Rndpunkt des Integrtionsbereichs unbeschränkt. 2. Der Integrtionsbereich ist selber unbeschränkt. Wir wollen beide Fälle in einer Definition berücksichtigen und nehmen dzu n, dss der kritische Punkt der rechte Rndpunkt des Definitionsbereichs ist. Sei lso < < b und sei f eine Regelfunktion uf jedem Teilintervll [, ξ] mit ξ < b. Wir definieren b ξ f(x)dx = lim f(x)dx, ξ b sofern der Grenzwert uf der rechten Seite existiert. In diesem Fll nennen wir ds uneigentliche Integrl konvergent. Existiert uch der Grenzwert ξ lim f(x) dx, ξ b so heißt ds uneigentliche Integrl bsolut konvergent. Mit b = erhlten wir für s > (9.9) dx = lim xs ξ ξ ξ dx = lim xs ξ s x s = s + lim ξ s ξ s = s. Beispiele (i) Ist f m linken Rndpunkt unbeschränkt, gehen wir gnz nlog vor. Für s < gilt dx = lim xs ξ ξ dx = lim xs ξ s x s ξ = s + lim ξ s ξ s = s. wegen (ii) Für r > gilt ξ e rx dx = r e rx dx = r ( e rξ ) r. Mit Hilfe der Integrlrechnung lssen sich uf einfche Weise Reihen uf Konvergenz untersuchen. Stz [Integrlvergleichskriterium für Reihen] Sei f : [, ) Ê nichtnegtiv und monoton fllend. Dnn gilt ( n ) n+ lim f(k) f(x)dx f(), n k= wobei der Grenzwert existiert. Insbesondere ist f(k) genu dnn konvergent, wenn ds uneigentliche Integrl f(x) dx konvergiert. 74

8 Beweis: Wegen f(k) f(x) f(k +) für x [k,k +] gilt Die Folge f(k) n = k+ k n f(k) k= f(x)dx f(k +). n+ f(x)dx wächst dher monoton mit n f() f(n+). Die Folge ( n ) ist demnch konvergent, weil sie monoton und beschränkt ist. Die Reihe n= n r ist nch (9.9) für r > konvergent und für r divergent. Für r =, lso der hrmonischen Reihe liefert uns der Stz die Existenz einer Zhl C E, die Eulersche Konstnte gennnt wird, mit C E = lim ( n ) lnn. n Die Prtilsummen der hrmonischen Reihe verhlten sich lso ungefähr wie ln n. Beispiel D die Reihe n divergiert und konvergiert, frgt mn sich, wie die Reihen n +ε zwischen diesen beiden sich verhlten. Es zeigt sich, dss die Glieder der hrmonischen Reihe nur etws gedämpft werden müssen, um Konvergenz zu erhlten. Aus ξ 3 dx xlnx = ln(lnx) ξ 3, ξ 3 dx xlnx(ln(lnx)) 2 = (ln(lnx)) ξ 3 ln(ln3) ersehen wir, dss n (lnn) noch divergiert, während n (lnn) (ln(lnn)) 2 schon konvergiert. 9.9 Der Stz von Tylor Stz Sei I ein Intervll und f C n+ (I) für ein n Æ. Für,x I gilt die Tylorentwicklung f(x) = f()+f ()(x )+ 2 f ()(x ) n! f(n) ()(x ) n +R n (x;) mit dem Restglied in Integrldrstellung R n (x;) = x (x t) n f (n+) (t)dt. n! Ds Restglied lässt sich lterntiv nch Lgrnge drstellen durch R n (x;) = (x )n+ f (n+) (ξ) für ein ξ (,x). (n+)! Beweis: Wir wenden prtielle Integrtion uf ds Restglied n, x (x t) n f (n+) (t)dt = n! = x x d dt (x t) n n! f (n) (t)dt+ (x t)n n! f (n) (t) (x t) n f (n) (t)dt (n )! n! f(n) ()(x ) n. Wir können ds gleiche Verfhren uf ds Integrl uf der rechten Seite nwenden und erhlten die behupteten Terme der Tylorentwicklung. t=x t= 75

9 Um die Restglieddrstellung nch Lgrnge zu bekommen, wenden wir den Mittelwertstz der Integrlrechnung 7.5 n und erhlten R n (x;) = x (x t) n n! x f (n+) (t)dt = f (n+) (x t) n (ξ) n! dt = (x )n+ f (n+) (ξ). (n+)! Als Spezilfälle bekommen wir für n = den Huptstz sowie mit den Mittelwertstz. Wir können f(x) = f()+ x f (t)dt f(x) = f()+(x )f (ξ) f(x) = T n (x;)+r n (x;) schreiben mit dem Tylorpolynom T n (x;) vom Grde n und dem Restglied R n (x;). Ist ds Intervll I beschränkt und bgeschlossen, so ist die stetige Funktion f (n+) beschränkt und ds Restglied lässt sich in der Form R n (x;) c x n+ bschätzen. Der Stz von Tylor besgt demnch, dss mn eine Funktion in C n+ durch ein Polynom vom Grd n bis uf einen Fehler pproximieren knn. Häufig schreibt mn in der Tylorentwicklung h sttt x : f(+h) = f()+f ()h+ 2 f ()h n! f(n) ()h n +R n (x;) mit dem Restglied oder nch Lgrnge R n (h;) = h (h t) n f (n+) (+t)dt. n! R n (h;) = hn+ (n+)! f(n+) (+ξ) für ein ξ (,h). Beispiele (i) Für kleines h verwenden Ingenieure +h + 2 h. Um dies einzusehen, entwickeln wir die Wurzelfunktion nch Tylor. Mit ( x ) = 2 x /2, ( x ) = 4 x 3/2. liefert die Tylor-Formel für n = und Entwicklungspunkt = +h = + 2 h 8 (+ξ) 3/2 h 2. mit < ξ < h für h > und h < ξ < für h <. Für h > können wir ds Restglied bschätzen durch 8 (+ξ) 3/2 h 2 h

10 (ii) Es gilt lso (lnx) = x, (lnx) = x 2, h 2 ln(+h) = ln+ h 2(+ξ) 2. D ds Restglied ein Vorzeichen besitzt, erhlten wir mit ln = die Ungleichung ln(+h) h für < h <. (iii)(typischeklusurufgbe)mnberechnedstylor-polynomt 2 (x;)derfunktionf(x) = e cosx und bestimme eine Konstnte M > derrt, dss Lösung Es gilt f(x) T 2 (x;) M x 3 für lle x Ê. f (x) = e cosx sinx f (x) = e cosx (sin 2 x cosx) f (x) = e cosx ( sin 3 x+3sinxcosx+sinx) Dher Wegen gilt T 2 (x,) = f()+f ()x+ 2 f ()x 2 = e 2 ex2. f (x) 5e f(x) T 2 (x,) 5 6 e x Die Lnduschen Symbole Seien f, g in einer Umgebung des Punktes ξ definiert. Wir sgen f ist gleich groß O von g und schreiben f(x) = O(g(x)), x ξ, wenn es ein M Ê gibt mit f(x) g(x) M in einer Umgebung von ξ. Wir sgen f ist gleich klein o von g und schreiben wenn f(x) = o(g(x)), x ξ, f(x) lim x ξ g(x) =. Wenn beispielsweise lim x ξ g(x) =, so bedeutet f = O(g) f geht so schnell oder schneller gegen Null ls g, f = o(g) f geht schneller gegen Null ls g. 77

11 Mn nennt O und o die Lnduschen Symbole. Die Bezeichnungen O und o werden sinngemäß uch für ± ngewendet. Beispielsweise bedeutet f(x) = O(x n ), x, dss es ein M Ê gibt mit f(x) Mx n für genügend große x. Die Lnduschen Symbole gesttten suggestive Schreibweisen, weil sie den Approximtionsoder Wchstumsspekt hervorheben. Die Ableitung f(x) f(ξ) (9.) lim = f (ξ) x ξ x ξ lässt sich äquivlent schreiben (9.) f(x) f(ξ) = f (ξ)(x ξ)+h(x) mit einer Funktion h(x) = o( x ξ ), denn wenn wir in (9.) durch x ξ teilen, konvergiert der Ausdruckt h(x)/(x ξ) immer noch gegen Null und wir erhlten (9.). Sttt (9.) schreibt mn noch kürzer f(x) f(ξ) = f (ξ)(x ξ)+o( x ξ ). Wenn es in der Tylorentwicklung nicht uf die explizite Gestlt des Restglieds nkommt, verwendet mn uch die Schreibweise f(x) = T n (x;)+o( x n+ ), ds Tylorpolynom pproximiert f bis uf einen Fehler der Ordnung O( x n+ ). Unbestimmte Ausdrücke der Form f(x)/g(x) mit f(x),g(x) für x ξ untersucht mn m besten mit Hilfe der Tylorentwicklung um den Punkt ξ unter Verwendung der Lnduschen Symbole. Für sinx/x ist sinx = x+o(x 3 ) und dher Beispiel Wir bestimmen für Ê sinx lim x x = lim x+o(x 3 ) =. x x +xsinx L() = lim x 2 +x 2. x e x2 Dieser Ausdruck ist von der Form. Für die Exponentilfunktion im Zähler verwenden wir und erhlten dmit für den Zähler insgesmt e t = t+ 2 t2 +O(t 3 ) e x2 +xsinx = x x4 +O(x 6 ) +x(x 6 x3 +O(x 5 )) = 3 x4 +O(x 6 ). Für den Wurzelusdruck liefert Tylorentwicklung für den Nenner gilt dher +t = + 2 t 8 t2 +O(t 3 ), 2 x2 8 x4 +O(x 6 )+x 2 = ( 2 )x2 8 x4 +O(x 6 ). Dmit ist L() = für 2 und L() = 8 3 für = 2. 78

12 9. Tylorreihen Wir nennen f(x) = n (x ) n n= Potenzreihe mit Entwicklungspunkt. D es sich hier um nichts weiter ls die bereits beknnte Potenzreihe hndelt, die lediglich um verschoben ist, gelten die Sätze 5. und 9.3 sinngemäß. Mit ist die Reihe konvergent in L = limsup n n n D = {x Ê : x < R = L }. f knn in D unendlich oft gliedweise differenziert werden, insbesondere gilt (9.2) f (n) () = n! n, lso (9.3) f(x) = n= f (n) () (x ) n. n! Stz Sei f(x) = n= n(x ) n in einer Umgebung von konvergent. Dnn stimmt ds Tylorpolynom T n (x;) mit dem n-ten Abschnitt der Reihe überein, T n (x;) = n k (x ) k. k= Ist umgekehrt f unendlich oft differenzierbr mit R n (x;) gleichmäßig in Umgebung von, so lässt sich in dieser Umgebung f ls Reihe (9.3) drstellen. Der Beweis folgt unmittelbr us (9.2) und (9.3). Der Stz von Tylor gibt uns ufgrund des Restgliedes eine Fehlerbschätzung, wenn nur ein Reihenbschnitt usgewertet werden soll. Als ein Beispiel wollen wir die Zhl e mit Hilfe von e = eξ 6! ngenähert bestimmen. Wegen < ξ < und e < 3 gilt e ξ 6! e 6! 3 6! =,595..., lso e 2,76...,6, der genue Wert ist e = 2,78... Den Abschluß bildet die Potenzreihe des Logrithmus. Stz Für x < besitzt der Logrithmus die Reihendrstellung ln(+x) = n= = 2, eξ 6!, ξ (,), ( ) n x n = x x2 n 2 + x3 3 x Beweis: Mit ln (+x) = /(+x) können wir die höheren Ableitungen leicht bestimmen ln (n) (+x) = ( )n (n )! (+x) n. Die ngegebene Reihe errechnet sich dmit us (9.3) mit =. Nch dem Wurzel- oder Quotientenkriterium ist die Reihe in der Tt für x < konvergent. Aufgben 79

13 9. Mn berechne die Ableitung f der Funktion ( ) +2x f(x) = ln, x >, +2x+ und gebe n, wo sie nicht existiert. 9.2 Mn zeige: Die durch f(x) = 2 x + x2 sin x für x, f() = definierte Funktion ist für lle x differenzierbr mit f () >, sie ist ber in keiner Umgebung von monoton wchsend. Bemerkung: Ist f in [,] stetig differenzierbr und f () >, so ist f streng monoton wchsend in einer Umgebung von. Ds obige Beispiel zeigt, dss dies nicht richtig zu sein brucht, wenn f nur differenzierbr ist. 9.3 Mn zeige, dss die Funktion f(x) = { e /x für x > für x zur Klsse C (Ê) gehört. Hinweis: Für positive x ist f (n) (x) = p n ( x) f(x), wobei pn ein Polynom vom Grd 2n ist. 9.4 Seien f,g : [,b] Ê stetige, uf (,b) differenzierbre Funktionen mit f() g() und f g uf (,b). Dnn gilt f g uf [,b]. Als Anwendung beweise mn lnx x für x >. x 9.5 Die Funktion ( + x) x+ fällt uf (, ) streng monoton. 9.6 Für k Æ seien f k : Ê Ê gegeben durch f k (x) = e x sinx+x 2k. Beweisen Sie: Die Funktionen f k und ihre Ableitungen f k besitzen unendlich viele Nullstellen in Ê. 9.7 Mn berechne die Integrle ) c) 4 (logx) 4 dx, b) x sinxsinbxdx, b. π/4 π/2 cos 3 2x sin 2 2x dx, 9.8 Mn bestimme zu den folgenden Funktionen eine Stmmfunktion: ) x 5 cosx 3, b) e α x x, α Ê, c) e) ln(+x), d) tn 2 x, x < π x 3/2 2, xlnx, x >, f) e x + e x +e x, x Ê, g) x 2 sin4x, h) (lnx) 3. x 9.9 Mn beweise durch Induktion nch n x m (lnx) n dx = ( ) n n! (m+) n+ für m,n Æ. 8

14 9. Es sei f C[,b] und g : J [,b] differenzierbr, wobei J ein Intervll ist. Mn zeige, dss F(x) = in J differenzierbr und F (x) = f(g(x))g (x) ist. Entsprechend zeige mn, dss G(x) = g(x) h(x) g(x) f(t)dt f(t)dt, wenn h denselben Vorussetzungen wie g genügt, in J differenzierbr und ist. G (x) = f(h(x))h (x) f(g(x))g (x) 9. Die Funktion f : [,] Ê sei stetig. Mn zeige: lim h + Hinweis: Mn betrchte zuerst den Fll f const. hf(x) h 2 dx = f()π. +x2 9.2 Die Funktion f sei in [, ] positiv und monoton fllend mit lim x f(x) =. Die Regelfunktion g sei periodisch mit der Periode p >, und es sei p gdx =. Mn zeige, dss f(x)g(x) dx existiert. Hinweis: Verwenden Sie g = g + g mit g + (x) = mx(g(x),), g (x) = mx( g(x),) und + n = n+)p np fg + dx, n = (n+)p np fg dx. 9.3 Mn untersuche die folgenden uneigentlichen Integrle uf Konvergenz und bsolute Konvergenz für α Ê. Mn verwende die vorngehende Aufgbe. ) c) π/2 sinx dx, b) xα dx (cosx) α, α >, d) cosx cosbx x α dx,,b,α >, xsin(x 2 )dx. 9.4 Mn untersuche die folgenden Integrle uf Konvergenz und berechne gegebenenflls ihren Wert. ) c) x 9 dx, b) x 5 lntdt, d) dx x(+x), lnt t dt. 9.5 Bestimmen Sie eine Zhl mit n= n 3 <. 9.6 Sei I = (x δ,x+δ), δ >. Sei für h > Zeigen Sie: ) Für f C 2 (I) gilt für h < δ b) Für f C 3 (I) gilt für h < δ δ + h f(x) = h (f(x+h) f(x)), δ hf(x) = 2h (f(x+h) f(x h)). δ + h f(x) = f (x)+ 2 hf (ξ), ξ (x,x+h). δ hf(x) = f (x)+ 6 h2 f (ξ), ξ (x h,x+h). 8

15 9.7 Es sei δ 2 hf(x) := h 2 ( f(x+h) 2f(x)+f(x h) ) der zentrle (oder symmetrische) Differenzenquotient 2. Ordnung. Sei I = (x δ, x+δ) und < h < δ. Mn zeige: ) b) δ 2 hf(x) = f (ξ) für f C 2 (I) mit x h < ξ < x+h, δ 2 hf(x) = f (x)+ h 6( f (ξ ) f (ξ ) ) für f C 3 (I) c) mit x h < ξ < x < ξ < x+h, δ 2 hf(x) = f (x)+ h2 2 f(4) (ξ) für f C 4 (I) mit x h < ξ < x+h. Im Flle f C 2 (I) gilt insbesondere δ 2 h f(x) f (x) für h. 9.8 Mn berechne ds Tylor Polynom T 2 (x;) der Funktion f(x) = e cosx und bestimme eine Konstnte M > derrt, dss f(x) T 2 (x;) M x 3 für lle x Ê ist. 9.9 Mn bestimme die folgenden Grenzwerte: xsin 3 x( cosx) ) lim x +x3 + x 3 2, b) lim ln(+x+x 2 ) x x x 2, tnx sinx e x xe x/2 c) lim, d) lim x x( cosx) x x Zur näherungsweisen Bestimmung von f(x)dx, >, wird die Formel I(f) = f()+ 2 2 f () verwendet. Für f C 2 (mit beschränkten 2.Ableitungen) beweisen Sie die Fehlerbschätzung f(x)dx I(f) 6 3 mx x [,] f (x). 9.2 Bestimmen Sie lim x x3/2 ( x++ x 2 x) Mn beweise die Ungleichungen (n =,2,3,...) ) b) 2n k= 2n k= x k k! < ex für x, ( ) k x k > ln(+x) für x >, x. k 82

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

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