Mathematik II Mitschrift

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1 Mthemtik II Mitschrift Thilo Fester Till Helge Helwig 19 Juli 2006 Vorlesung wurde gehlten von Dr Michel Huber im Sommersemester 2006 Ds erste Kpitel der Vorlesung bsiert uf Mthemtik für Informtiker I von Prof Dr Jochim Weickert, Universität des Srlndes ( Die Mitschrift entspricht nicht 1:1 der Vorlesung, d wir n einigen Stellen die Formulierungen geändert hben 1

2 Inhltsverzeichnis 1 Reelle Funktionen einer Veränderlichen 3 11 Stetigkeit 3 12 Differenzierbrkeit Mittelwertsätze und die Regel von l Hospitl Stz von Tylor Ds bestimmte Integrl Stmmfunktionen und unbestimmte Integrle Uneigentliche Integrle 30 2 Linere Algebr Vektorräume Linere Abbildungen und Mtrizen 40 2

3 Reelle Funktionen einer Veränderlichen Wiederholung Abbildungen (Stz 21): Stz 21 Eine Abbildung f : M N erhält mn durch eine Zuordnung, die jedem Argument (Urbild) x M eindeutig sein Bild f(x) zuordnet Die Menge G f := {(x, f(x)) x M} M N heißt Grph von f Spezilfälle: M = R n reelle Funktionen M = C n komplexe Funktionen Für n = 1 spricht mn von Funktionen einer Veränderlichen 11 Stetigkeit Grenzwert von Funktionswerten (51) Stz 51 Sei f : R R eine Funktion und ξ R Wir sgen f(x) konvergiert für x ξ gegen einen Grenzwert η, flls für jede Folge (x n ) n N mit x n ξ für lle n N gilt: lim x n = ξ lim f(x n) = η n n In diesem Fll schreiben wir: lim f(x n) = η x n ξ Beispiele: ) f : R R mit f(x) = x 2 ht für jedes ξ R einen Grenzwert: Sei (x n ) eine beliebige Folge mit lim n x n = ξ, dnn konvergiert die Folge (x 2 n ) gegen ξ2 { 0, x < 0 b) Definiere f(x) := 1, x 0 f ht in 0 keinen Grenzwert: Sei (x n) eine Folge mit x n < 0 für lle n N und lim n x n = 0 lim n f(x n ) = 0 Für eine Folge (x n ) mit x n 0 für lle n N und lim n x n = 0 gilt jedoch: lim n f(x n ) = 1 Die für die Folgen beknnten Grenzwertsätze lssen sich uf Funktionsgrenzwerte übertrgen: Grenzwertsätze für Funktionen (52) Stz 52 Existieren für die Funktionen f, g : R R die Grenzwerte im Punkt ξ R, so gilt: ) lim x ξ (f(x) ± g(x)) = f(ξ) ± g(ξ) b) lim x ξ (f(x) g(x)) = f(ξ) g(ξ) 3

4 c) lim x ξ ( f(x) g(x) ) = f(ξ) g(ξ), flls g(ξ) 0 d) lim x ξ (c f(x)) = c f(ξ) mit c R e) lim x ξ x = ξ Stetigkeit (53) Stz 53 Eine Funktion f : R R heißt stetig in ξ R, wenn dort der Funktionswert und der Grenzwert übereinstimmen: lim f(x) = f(lim x) = f(ξ) x ξ x ξ Ist f in llen Punkten stetig, so heißt f (überll) stetig Der folgende Stz zeigt, dss kleine Änderungen im Argument einer stetigen Funktion nur zu kleinen Änderungen der Funktionswerte führen ε-δ- Kriterium der Stetigkeit (54) Stz 54 Für eine Funktion f : R R sind äquivlent: (i) f ist stetig in ξ R, dh lim x ξ f(x) = f(ξ) (ii) Zu jedem ε > 0 ex δ(ε) > 0 mit x ξ < δ f(x) f(ξ) < ε Bemerkungen: ) Stz 52 besgt, dss die für in ξ stetigen Funktionen f und g uch die Funktionen mit f(x) ± g(x), f(x) g(x), f(x) g(x) (flls g(x) 0) und c f(x) stetig sind 4

5 b) Die Komposition stetiger Funktionen ist wieder stetig, denn: Seien f, g : R R stetige Funktionen und (x n ) sei eine beliebige Folge lim n x n = ξ lim xn ξf(x n ) = f(ξ) (d f stetig) lim xn ξg(x n ) = g(f(ξ)) (d gstetig) c) Die Grenzwerte und Stetigkeitsbegriffe sind sinngemäß uch uf Funktionen f : D R übertrgbr, deren Definitionsbereich D eine echte Teilmenge von R ist In diesem Fll müssen die betrchteten Folgen (x n ) in D liegen Beispiele: f(x) = 5x 3 7x + 12 ist stetig, denn: g 1 (x) := 12 ist stetig, g 2 (x) := 7x ist stetig und g 3 (x) := 5x 3 ist stetig, d es ein Produkt stetiger Funktionen ist Somit ist f(x) = g 1 (x) + g 2 (x) + g 3 (x) stetig Eigenschften stetiger Funktionen (55) Stz 55 Sei f : [, b] R stetig, dnn gilt: ) Ist f() f(b) < 0, so existiert eine Stelle ξ (, b) mit f(ξ) = 0 (Nullstellenstz) b) Zu jedem c R mit f() < c < f(b) existiert ein ξ (, b) mit f(ξ) = c (Zwischenwertstz) c) Ist f stetig und streng monoton wchsend uf [, b] (dh x < y f(x) < f(y)), so ist uch die Umkehrfunktion f 1 : [f(), f(b)] R stetig und monoton wchsend (Stetigkeit der Umkehrfunktion) d) Es existieren x 1, x 2 [, b] mit f(x 1 ) = mx(f(x)) bei x [, b] und f(x 2 ) = min(f(x)) bei x [, b] (dh f nimmt uf [, b] stets sein Minimum und Mximum n (globle Eigenschft)) (Mximum-Minimum-Eigenschft) Beweis 1 für ): Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit f() < f(b) Wir konstruieren induktiv eine Intervllschchtellung (Folge von Intervllen [ n, b n ]) mit folgenden Eigenschften: 1 Wir beschränken uns uf die Beweise von ) und b) c) folgt mit b) und Stz 54 Weitere Informtionen: Mthemtik für Informtiker und Bioinformtiker, Wolff, Huck, Küchlin, S 202ff 5

6 ) f( n ) 0, f(b n ) 0 b) n 1 n < b n b n 1 b c) b n n = 1 2 n (b ) Initilisierung: 0 :=, b 0 := b Annhme: Die Intervllschtellung sei bis zum Index n und erfülle )-c) Sei c := +b 2 Ist f(c) < 0 setze: n+1 := c, b n+1 := b n Ist f(c) 0 setze: n+1 := n, b n+1 := c Drus ergibt sich: ) f( n+1 ) 0, f(b 1 ) 0 b) n n+1 < b n+1 b n c) b n+1 n+1 = 1 2 (b Indukt Annhme 1 n n ) = 2 (b ) n+1 Nch Konstruktion ist: ( n ) monoton wchsend, nch oben beschränkt durch b und f( n ) 0 es existiert ã mit lim n n = ãund f(ã) 0 (b n ) monoton fllend, nch unten beschränkt durch und f(b n ) 0 es existiert b mit lim n (b n ) = b und f( b) 0 Wegen lim n (b n n ) lim n 1 2 (b ) = 0 ist ã = b =: ξ und d f(ξ) = f(ã) 0 und f(ξ) = f( b) 0 ist f(ξ) = Bemerkung: Diese konstruierte Beweis beschreibt ein numerisches Verfhren zur Nullstellenberechnung, ds sogennnte Bisektionsverfhren Beweis für b): Wende ) uf g(x) := f(x) c n Gleichmäßige Stetigkeit: Nch dem ɛ δ Kriterium der Stetigkeit (Stz 54) sind stetige Funktionen solche, deren Funktionswerte sich bei hinreichend kleiner Änderung des Arguments nur beliebig wenig wenig ändern Allerdings knn zu vorgegebenen ɛ > 0 (Funktionswertänderung) ds zugehörige δ(ɛ) (Argumentänderung) n jeder Stelle ξ nders sein In mnchen Zusmmenhängen ist es wichtig, dss δ nur von ɛ bhängig ist und nicht von ξ Ds heißt wir können uf dem gnzen Intervll zu einem ɛ ds selbe δ(ɛ) wählen 6

7 Gleichmäßige Stetigkeit (56) Stz 56 Eine Funktion f : D R (D R, Definitionsbereich) heißt gleichmäßig stetig uf D, wenn zu jedem ɛ > 0 ein δ(ɛ) existiert mit x 1 x 2 < δ f(x 1 ) f(x 2 ) < ɛ für lle x 1, x 2 D Beispiel: D = (0, + ), f(x) = 1 x Zu jedem δ > 0 existiert ein n N: 1 n 1 n+1 = 1 n(n+1) < δ, ber f( 1 n ) f( 1 n+1 ) = n (n + 1) = 1 Dmit gibt es zu ɛ 1 kein δ(ɛ) mit der geforderten Eigenschft Ds heißt f ist nicht gleichmäßig stetig uf D (ber stetig) Bemerkung: Es gilt der Stz: Jede stetige Funktion f : [, b] R ist gleichmäßig stetig uf [, b] 7

8 Beispiele wichtiger stetiger Funktionen Potenzfunktionen Sie hben die Struktur f : R R mit f(x) = x n für ein n N 0 Wie lle Polynomfunktionen sind Potenzfunktionen stetig Es gelten die Rechenregeln (Potenzgesetze) für x, y R und n, m N 0 : (x y) n = x n y n x n x m = x n+m (x m ) n = x m n Wurzelfunktionen Schränkt mn Potenzfunktionen f(x) = x n mit n N 0 uf R + = {x R x 0}ein, so sind sie nicht nur stetig, sondern uch streng monoton wchsend Nch Stz 55c existiert dher eine 8

9 stetige, streng monoton wchsende Umkehrfunktion Diese Umkehrfunktion zur n-ten Potenzfunktion f : R + R +, x x n nennt mn n-te Wurzelfunktion: g : R + R +, x n x Setzt mn x 1 n := n x und x m n := n x m sowie x m n := 1, so gelten die selben Rechenregeln wie x m n für Potenzfunktionen Exponentilfunktionen Sei R, > 0, dnn bezeichnet f : R R, f(x) = x die Exponentilfunktion zur Bsis Exponentilfunktionen sind stetig Es gilt die Funktionlgleichung x+y = x y Besonders wichtig ist die Exponentilfunktion mit der Eulerschen Zhl e = lim n (1 + 1 n )n 2, 7182 ls Bsis (vgl 421 us Vorlesung Mthemtik I) Mn bezeichnet sie uch ls exp(x) := e x Für lle z C ht exp(z) die Potenzreihendrstellung: exp(z) := k=0 zk k! (= 1+z z z3 + ) 2 e Sie konvergiert bsolut für lle z C exp wächst schneller ls jede Potenz: lim x x x = n für lle n N 0 Sei z = x + i y mit x, y R, dnn gilt: ) e z = e x e i y (denn e z = e x+i y ) b) e x > 0 (denn für x 0 ist e x = k=0 xk k! > 0 und für x < 0 ist e x = 1 e x > 0) 2 Allgemein heißt für eine Zhlenfolge ( k ) k N0 die Reihe P k=0 k x k Potenzreihe 9

10 c) e i y = 1 (denn e i y 2 = e i y e i y = e 0 = 1) d) e z = e x (denn e z = ex e i y = e x e i y = c) e x = b) e x ) Logrithmusfunktionen Die Exponentilfunktion f(x) = x (mit > 1) ist stetig, streng monoton wchsend und bildet R bijektiv uf R + b Die Umkehrfunktion log : R + R bezeichnet mn ls Logrithmusfunktion zur Bsis Für = e ergibt sich der ntürliche Logrithmus (logrithmus nturlis) ln Es gelten die Rechenregeln (Logrithmengesetze) für x, y R + und p N: log (x y) = log x + log y log (x p ) = p log x Logrithmusfunktionen wchsen lngsmer ls Potenzfunktionen: für > 1 und n N log lim x x x n = 0 Trigonometrische Funktionen 10

11 Die Koordinten eines Punktes P uf dem Einheitskreis werden in Abhängigkeit vom Winkel ϕ mit y = sin ϕ x = cos ϕ bezeichnet Hierdurch wird die Sinus-Funktion sin ϕ und die Cosinus-Funktion cos ϕ definiert Dbei misst mn den Winkel ϕ im Bogenmß: Länge des Kreissegments von (1, 0) bis P Der Umfng des Einheitskreises beträgt 2π, wobei π die Kreiszhl beschreibt: π 3, D ds Bogenmß 2π einem Grdmß von 360 entspricht, gilt: Die Sinus-Funktion hben die Gestlt: Grdmß Bogenmß π 4 90 π 2 α π 180 α Es gilt: ) sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 (d (sin ϕ) 2 = sin 2 ϕ) b) sin( ϕ) = sin ϕ (ungerde Funktion) cos( ϕ) = cos ϕ (gerde Funktion) c) 2π-Periodizität: sin(ϕ + 2π) = sin ϕ cos(ϕ + 2π) = cos ϕ d) Additionstheoreme: cos(α ± β) = cos α cos β ± sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β e) Potenzreihendrstellung: sin x = k=0 ( 1)k x 2k+1 (2k+1)! = x x3 3! + x5 5! + cos x = k=0 ( 1)k x 2k (2k)! = 1 x2 2! + x4 4! + Die Reihen konvergieren bsolut für lle x R 11

12 Sinus- und Cosinus-Funktion sind stetig und es gilt die Euler-Moivre-Formel: e ix = cos x + i sin x für lle x R Die Tngens-Funktion tn ϕ ist definiert durch: tn ϕ = sin ϕ cos ϕ π-periodizität: tn(ϕ + π) = tn ϕ Die Tngens-Funktion ist stetig uf R \ { 2k+1 2 π k Z} Trigonometrische Umkehrfunktionen Wenn wir die trigonometrischen Funktionen uf ein Intervll einschränken, uf dem sie streng monoton sind, können wir dort Umkehrfunktionen motivieren: ) cos ist in [0, π] streng monoton fllend mit Wertebereich [ 1, 1] Die Umkehrfunktion rccos : [ 1, 1] [0, π] heißt Arcus-Cosinus und ist stetig b) sin ist in [ π 2, π 2 ] streng monoton wchsend mit Wertebereich [ 1, 1] Die Umkehrfunktion rcsin : [ 1, 1] [ π 2, π 2 ] heißt Arcus-Sinus und ist stetig 12

13 c) tn ist in ( π 2, π 2 ) streng monoton wchsend mit Wertebereich R Die Umkehrfunktion rctn : R ( π 2, π 2 ) heißt Arcus-Tngens und ist stetig 12 Differenzierbrkeit Motivtion Wird durch eine Funktion beschrieben, wie sich eine Größe bhängig von einer nderen verändert, so stellt mn sich die Frge: Wie schnell ändert sich die Größe? Beschreibt die Funktion beispielsweise den Ort eines Mssepunktes bhängig von der Zeit (Bewegung entlng einer Gerden), so ist dies die Frge nch der Geschwindigkeit (zu jedem Zeitpunkt) Betrchtet mn eine Funktion in der unmittelbren Nähe einer Stelle, dnn möchte mn sie dort nnähern (pproximieren) durch eine einfchere Funktion, zb f n der Stelle x durch f(x) = x + b mit (, b R) Differenzierbrkeit (57) Stz 57 Sei eine Funktion f : R R und ξ R gegeben, dnn heißt f differenzierbr in ξ, flls der Grenzwert f(x) f(ξ) lim x ξ x ξ existiert In diesem Fll heißt der Grenzwert Ableitung (Differentilquotient) von f in ξ Nottion: f (ξ) oder df dx (ξ) (sprich df nch dt ) Ist f in llen ξ R differenzierbr, so heißt f differenzierbr 13

14 Bemerkungen: ) Der Ausdruck f(x) f(ξ) x ξ =: y x heißt Differenzenquotient Er gibt die Steigung der Seknte zwischen den Punkten (ξ, f(ξ)) und (x, f(x)) des Grphen von f n: Für x ξ (lso x 0) geht die Sekntensteigung in die Tngentensteigung im Punkt (ξ, f(ξ)) über: f (ξ) = df dt (ξ) = lim x ξ y x b) Die Gleichung der Tngente t n f in (ξ, f(ξ)) lutet: t(x) = f(ξ) + f (ξ) (x ξ) c) Schränkt mn x bei der Grenzwertbildung ein uf Werte größer oder kleiner ξ, so erhält mn ls einseitige Grenzwerte f (ξ + ) := f(x) f(ξ) lim x ξ + x ξ f (ξ ) := f(x) f(ξ) lim x ξ x ξ die rechtsseitige bzw linksseitige Ableitung von f in ξ d) Wie im Flle der Stetigkeit übertrgen sich die Begriffe sinngemäß uf die Funktion mit Definitionsbereich D R, D R Beispiel: Sei f(x) = x n, n N, x R Für beliebige ξ, x R gilt dnn Für x ξ gilt lso: und dher f(x) f(ξ) = x n ξ n = (x ξ) (x n 1 + x n 2 ξ + + ξ n 1 ) f(x) f(ξ) x ξ = x n 1 + x n+1 ξ + + ξ n 1 f(x) f(ξ) lim = n ξ n 1 x ξ x ξ Also ist f(x) = x n überll uf R differenzierbr mit f (x) = n x n 1 14

15 Ableitungen elementrer Funktionen f(x) x α (α R, x > 0) e x f (x) α x α 1 e x sin x cos x cos x sin x tn x (x (2k + 1) π 2, k Z) 1 cos x 1 ln x (x > 0) x Um us diesen Ableitungen weitere Funktionen zusmmenzusetzen, benötigt mn folgende Ableitungsregeln: Differentitionsregeln (58) Stz 58 ) Ist f : R R in ξ R differenzierbr, so ist f in ξ uch stetig b) Sind f : R R und g : R R in ξ R differenzierbr und α, β R, so ist uch α f + β g in ξ differenzierbr mit (α f + β g) (ξ) = α f (ξ) + β g (ξ) c) Produktregel: Sind f : R R und g : R R in ξ R differenzierbr, so ist uch fg in ξ differenzierbr mit (fg) (ξ) = f (ξ)g(ξ) + f(ξ)g (ξ) d) Quotientenregel: Sind f : R R und g : R R in ξ R differenzierbr und g(ξ) 0, so ist uch f g in ξ differenzierbr mit ( ) f (ξ) = f (ξ)g(ξ) f(ξ)g (ξ) g (g(ξ)) 2 e) Kettenregel: Ist f : R R differenzierbr in ξ R, sowie g : R R differenzierbr in η := f(ξ), so ist uch ihre Komposition (f g)(x) = g(f(x)) in ξ differenzierbr mit (f g) (ξ) = g (f(ξ)) f (ξ) f) Ist f : [, b] R streng monoton wchsend und in ξ [, b] differenzierbr mit f (ξ) 0, so ist uch die Umkehrfunktion f 1 : [f(), f(b)] R in η := f(ξ) differenzierbr mit (f 1 ) (η) = 1 f (ξ) Bemerkungen: ) Während die Differenzierbrkeit Stetigkeit impliziert, gilt die Umkehrung nicht: f(x) = x ist in x = 0 stetig, ber nicht differenzierbr b) Auch diese Aussgen übertrgen sich sinngemäß wenn D R, D R 58f gilt uch für streng monoton fllende Funktionen (entsprechend: f 1 : [f(b), f()] R) 15

16 Beweis d ) f(x) f(ξ) Sei f : R R im Punkt ξ R differenzierbr, dnn gilt: lim x ξ f(x) f(ξ) = lim x ξ x ξ (x ξ) = f (ξ) 0 = 0 Beweis d c) Aufgrund der Grenzwertsätze (52) gilt: f(x)g(x) f(ξ)g(ξ) lim x ξ x ξ 0 einfügen {}}{ f(x)g(x) f(ξ)g(ξ) + f(ξ)g(ξ) f(ξ)g(ξ) = lim x ξ x ξ ( ) f(x) f(ξ) g(x) g(ξ) = lim g(x) + f(x) x ξ x ξ x ξ = f (ξ)g(x) + f(x)g (x) Beispiele: ) Mit d d dx (sin x) = cos x und dx (cos x) = sin x folgt: ) d d (tn x) = dx dx ( sin x cos x = cos x cos x sin x ( sin x) cos 2 x = 1 cos 2 x b) Mit y = tn x und Stz 58f gilt: d dy (rctn y) = 1 d dx tn x = 1 1 cos 2 x c) d dx (sin(ex )) = cos(e x ) e x d) d dx (x ) = d dx e) Sei x > 0, dnn gilt: d dx (xx ) = d dx = cos 2 x = ( e (ln ) x ) = e (ln ) x ln = x ln für > 0 cos 2 x sin 2 x + cos 2 x = sin2 x cos 2 x ( e x ln x ) = e ln x (1 ln x + x 1 x ) = xx (ln x + 1) = tn 2 x = y 2 Höhere Ableitungen (59) Stz 59 Sei f : R R differenzierbr mit Ableitung f Flls f differenzierbr uf R ist, dnn erhlten wir die zweite Ableitung f von f Anlog definiert mn höhere Ableitungen f, f (IV ), f (n) Ist f n-ml differenzierbr uf R und die n-te Ableitung f (n) d (x) =: n dx f(x) stetig uf R, so schreibt n mn f C n (R) und bezeichnet f ls n-ml stetig differenzierbr uf R Gilt dies für lle n N, so schreibt mn f C (R) Bemerkung: Die Definitionen übertrgen sich sinngemäß uf Intervll [, b], wobei in nur rechtsseitige und in b nur linksseitige Ableitungen betrchtet werden Ist f n-ml stetig differenzierbr uf [, b], so schreiben wir f C n [, b] Sttt C 0 [, b] oder C 0 (R) schreibt mn meist C[, b] bzw C(R) für die stetigen Funktionen uf (, b) bzw R 16

17 Beispiel: f(x) = 5x 3 + bx 2 2 f (x) = 15x x f (x) = 30x + 12 f (x) = 30 f (IV ) (x) = 0 f (n) (x) = 0 n 4 f C (R) 13 Mittelwertsätze und die Regel von l Hospitl Motivtion: Für stetige Funktionen gibt es wichtige Aussgen wie den Nullstellenstz und den Zwischenwertstz (55,b) Gilt ähnliches für differenzierbre Funktionen? Gibt es einen Trick wie mn Grenzwerte der Form 0 0 oder einfch berechnen knn? Mittelwertsätze (510) Stz 510 ) Stz von Rolle: Sei f C 1 [, b] mit f() = f(b), dnn existiert ein ξ (, b) mit f (ξ) = 0 b) Erster Mittelwertstz: Sei f C 1 [, b], dnn existiert ein ξ (, b) mit f (ξ) = f(b) f() b c) Zweiter Mittelwertstz: Seien f, g C 1 [, b] mit g (x) 0 für lle x (, b), dnn existiert ein ξ (, b), so dss f (ξ) g (ξ) = f(b) f() g(b) g() Illustrtion: Es gibt eine wgerechte Tngente in (, b), flls f() = f(b) (Hier existieren sogr 2 Punkte mit verschwindender Ableitung) Zu jeder Seknten durch (, f()) und (b, f(b)) existiert eine prllele Tngente (Hier ebenflls 2 Punkte, n denen der Mittelwertstz gilt) 17

18 Beweis: ) Ergibt sich us dem Minimum-Mximum-Theorem (55d) (vgl HWK S233) b) Für f C 1 [, b] erfüllt h(x) := f(x) x b (f(b) f()) die Vorrussetzungen des Stzes von Rolle (510): h C 1 [, b] h() = f() Somit existiert ein ξ [, b] mit: h(b) = f(b) b (f(b) f()) = f() b h() = h(b) o = h (ξ) = f (ξ) 1 (f(b) f()) b f f(b) f() (ξ) = b Der zweite Mittelwertstz (wird ähnlich bewiesen mittels Stz von Rolle) ht eine interessnte Anwendung: de l Hospitlsche Regel (511) Stz 511 ) Fll 0 0 : Seien f, g stetig differenzierbr uf (, b), ξ (, b), f(ξ) = g(ξ) = 0 und es gelte g (x) 0 für x ξ, dnn folgt: wenn der rechte Grenzwert existiert f(x) lim x ξ g(x) = lim f (x) x ξ g (x) b) Fll : Seien f, g stetig differenzierbr uf (, b)\ξ, lim x ξ f(x) = lim x ξ g(x) = und es gelte g (x) 0 für x ξ, dnn gilt: wenn der rechte Grenzwert existiert f(x) lim x ξ g(x) = lim f (x) x ξ g (x) Beweis für ): Wegen f(ξ) = g(ξ) = 0 und dem zweiten Mittelwertstz (510c) existiert ein η = η(x) mit f(x) f(x) f(ξ) = g(x) g(x) g(ξ) =2 MWS f (η) g (η) mit η(x) zwischen x und ξ Für x ξ gilt dher uch η(x) ξ und es folgt die Behuptung Beispiele: ) lim x 0 sin x x ht die Form 0 0 Mit l Hospitl ergibt sich: sin x lim x 0 x = lim cos x = cos 0 = 1 x 0 1 x b) lim x e ist vom Typ x Mit l Hospitl ergibt sich: lim x x e x = lim x 1 e x = lim x e x = 0 18

19 14 Stz von Tylor Motivtion: Für eine differenzierbre Funktion f stellt die Tngente t(x) = f(ξ) + (x ξ) f (ξ) eine lokle Approximtion durch ein Polynom ersten Grdes dr Ist es möglich, f(x) in ξ durch ein Polynom höheren Grdes zu pproximieren, wenn f eine höhere Differenzierbrkeitsordnung besitzt? Stz von Tylor (512) Stz 512 Sei ξ (, b) und f C m+1 [, b], dnn besitzt f folgende Tylorentwicklung um ξ: f(x) = T m (x, ξ) + R m (x, ξ) mit dem Tylorpolynom m-ten Grdes m (x ξ) k T m (x, ξ) = k! k=0 f (k) (ξ) und dem Restglied nch Lgrnge mit θ (0, 1) R m (x, ξ) = (x ξ)m+1 (m + 1)! f (m+1) (ξ + θ(x ξ)) Beweis: Mn betrchte g(x) := f(x) T m (x, ξ), dnn ist g(ξ) = f(ξ) T m (ξ, ξ) = f(ξ) f(ξ) = 0 g (ξ) = f (ξ) T m (ξ, ξ) = f (ξ) f (ξ) = 0 g (m) (ξ) = f (m) (ξ) T m (ξ, ξ) = f (m) (ξ) f (m) (ξ) = 0 Nun wenden wir den zweiten Mittelwertstz (510c) uf Es existiert ein ξ 1 zwischen ξ und x mit: =0 {}}{ g(x) (x ξ) m+1 = g(x) g(ξ) (x ξ) m+1 (ξ ξ) m+1 }{{} =0 g(x) (x ξ) n: m+1 = 2 MWS g (ξ 1 ) (m + 1)(ξ 1 ξ) m 19

20 Induktiv folgt drus: g(x) (x ξ) m+1 = mit g(x) = f(x) T m (x, ξ) folgt lso f(x) T m (x, ξ) = wegen g (m+1) (x) = f (m+1) (x) und dher mit ξ m+1 zwischen ξ und x = = f(x) = T m (x, ξ) + g (ξ 1 ) (m + 1)(ξ 1 ξ) m g (ξ 2 ) (m + 1)m(ξ 2 ξ) m 1 g (m) (ξ m ) (m + 1)!(ξ m ξ) = g(m+1) (ξ m+1 ) (m + 1)! (x ξ)m+1 (m + 1)! (x ξ)m+1 (m + 1)! g (m+1) (ξ m+1 ) ( ) f (m+1) (ξ m+1 ) Bemerkungen: ) Für m = 0 folgt der erste Mittelwertstz [Einsetzen in ( )] b) Mn knn sogr zeigen, dss T m (x, ξ) ds einzige Polynom vom Grd m ist, ds die Approximtionsgüte O ( (x ξ) m+1) besitzt c) Neben der Restglieddrstellung nch Lgrnge gibt es noch ndere Drstellungen des Restglieds Beispiele: ) Tylorentwicklung der Exponentilfunktion um ξ = 0: Aus m (x ξ) k f(x) = f (k) (x ξ)m+1 (ξ) + f (m+1) (ξ + θ(x ξ)) k! (m + 1)! k=0 folgt mit ξ = 0 und dk dx k e x = e x : f(x) = m x k k! + xm+1 (m + 1)! eθx mit 0 < θ < 1 }{{} =R m(x,0) k=0 Für 0 x 1 ht mn beispielsweise die Fehlerbschätzung: R m (x, 0) xm+1 (m + 1)! 1 eθx (m + 1)! e Hierus folgt für m = 10: R m (x, 0) 1 11! e 6,

21 b) Tylorentwicklung der Sinusfunktion um ξ = 0: d Mit dx sin x = cos x, d dx cos x = sin x, sin 0 = 0 und cos 0 = 1 folgt, dss T m(x, 0) keine gerden Potenzen in x enthält: Dmit gilt: mit sin x = d sin x dx = cos x cos 0 = 1 d sin x dx2 = sin x sin 0 = 0 d sin x dx3 = cos x cos 0 = 1 d sin x dx4 = sin x sin 0 = 0 d sin x dx5 = cos x cos 0 = 1 2n+1 k=0 x k k! d k dx k sin x + R 2n+2 (x, 0) x=0 = x x3 3! + x5 5! ± + x 2n+1 ( 1)n (2n + 1)! + R 2n+2(x, 0) R 2n+2 (x, 0) = ( 1) n+1 cos(θx) (2n + 3)! x2n+3 wobei 0 < θ < 1 Für x 1 und n = 3 folgt beispielsweise: R 8 (x, 0) 1 9! 2, Tylorreihe (513) Stz 513 Für eine C -Funktion f bezeichnet mn die Potenzreihe (x ξ) k k=0 k! f (k) (ξ) ls Tylorreihe um den Entwicklungspunkt ξ Bemerkungen: ) Die Tylorreihe muss im Allgemeinen nicht konvergieren b) Konvergiert sie, so muss sie nicht notwendigerweise gegen f(x) konvergieren Bemerkung zur geometrischen Bedeutung der Ableitung: Ableitungen liefern Aussgen über den Grphen einer Funktion: Monotonie, Extrem, Krümmungsverhlten, Wendepunkte, (siehe Kurvendiskussion)

22 15 Ds bestimmte Integrl Motivtion: Sei f eine reellwertige Funktion uf [, b] Ziel: Berechnung der Fläche zwischen f und der x-achse Annhme: f : [, b] R sei beschränkt Zerlegung, Feinheit (514) Stz 514 ) Eine Menge der Form Z := { = x 0 < x 1 < < x n = b} heißt Zerlegung (Prtition, Unterteilung) des Intervlls [, b] Die Stützstellen x i heißen Knoten der Zerlegung b) Z := mx 0 i<n 1 x i+1 x i heißt Feinheit der Zerlegung c) Z := Z[, b] ist die Menge ller Zerlegungen [, b] d) Eine Zerlegung Z 1 ist eine feinere Zerlegung ls eine Zerlegung Z 2, flls Z 1 durch Hinzunhme weiterer Knoten zu Z 2 entsteht Riemnn-Summe (515) Stz 515 ) Jede Summe der Form n 1 R f (Z) := f(ξ) (x i+1 x i ) i=0 heißt Riemnn-Summe von f zur Zerlegung Z b) Die Untersumme von f zur Zerlegung Z ist definiert ls U f (Z) := n 1 i=0 inf f(ξ) (x i+1, x i ) ξ [x i,x i+1] c) Die Obersumme von f zur Zerlegung Z ist definiert ls U f (Z) := n 1 sup i=0 ξ [x i,x i+1] f(ξ) (x i+1, x i ) 22

23 Bemerkungen: ) Für jedes feste Z gilt: U f (Z) R f (Z) O f (Z) b) Verfeinerungen vergrößern Untersummen und verkleinern Obersummen Untersummen sind stets nch oben und Obersummen stets nch unten beschränkt Riemnn-Integrl (516) Stz 516 ) Aufgrund der obigen Eigenschften existieren die Grenzwerte: f(x)dx := sup Z Z[,b] U f (Z) f(x)dx := inf O f (Z) Z Z[,b] Diese heißen Riemnnsches Unterintegrl und Oberintegrl b) f heißt (Riemnn-)integrierbr über [, b], wenn Ober- und Unterintegrl übereinstimmen Dnn heißt f(x)dx = f(x)dx = ds (Riemnn-)Integrl von f über [, b] f(x)dx Beispiele: ) Sei f : [, b] R und mit f(x) = c konstnt (c R), dnn n 1 U f (Z) = O f (Z) = c (x i+1 x i ) = c (b ) i=0 für ein beliebiges, festes Z Also ist f integrierbr mit f(x)dx = c (b ) integrierbr, denn für jede Zerle- { 0, x ξ b) Sei ξ [, b], dnn ist f mit f(x) := 1, x = ξ gung Z gilt: U f (Z) = 0, 0 O f (Z) Z 23

24 Also: f(x)dx = 0 (d Z beliebig klein gewählt werden knn) { 0, x [0, 1] Q c) Sei f : [0, 1] R mit f(x) =, dnn gilt für jede Zerlegung Z: 1, x [0, 1] \ Q U f (Z) = 0, O f (Z) = 1 Also ist f nicht integrierbr Bemerkung: Es gibt ber llgemeinere Integrierbrkeitsbegriffe, zb Lebesgue-Integrl, nch denen uch solche Funktionen integriert werden können Eigenschften des Riemnn-Integrls: Fläche (517) Stz 517 Ist f : [, b] R eine nicht negtive, Riemnn-integrierbre Funktion, so wird die Zhl f(x)dx ls Fläche zwischen dem Grphen von f und der x-achse zwischen den (senkrechten) Gerden x = und x = b bezeichnet Ist f negtiv, so knn mn die Fläche durch definieren Ist b <, so definiert mn f(x) dx f(x)dx := b f(x)dx Monotonie: Sind f und g integrierbr über [, b] mit f(x) g(x) für lle x [, b], so gilt: f(x)dx g(x)dx Beweis: Zu jeder fest vorgegebenen Zerlegung Z gilt: U f (Z) U g (Z) und O f (Z) O g (Z) Die Ungleichungen übertrgen sich uf Supremum (Unterintegrl) und Infimum (Oberintegrl)

25 Folgerungen: ) b f(x)dx f(x) dx (Betrgsungleichung für ds Integrl) b) f(x) 0 für lle x [, b] f(x)dx 0 (Nichtnegtivität des Integrls) Linerität: Seien f, g : [, b] R integrierbr und α, β R, dnn ist uch α f(x) + β g(x) integrierbr und es gilt: (α f(x) + β g(x))dx = α f(x)dx + β g(x)dx Zusmmensetzung von Integrtionsintervllen: Ist c b, so ist f : [, b] R integrierbr genu dnn, wenn f über [, c] und [c, b] integrierbr ist Es gilt: f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx Riemnnsches Integrl (518) Stz 518 Ist f : [, b] R beschränkt, so sind die folgenden Aussgen äquivlent: ) f ist integrierbr über [, b] b) Für jedes ɛ > 0 existiert eine Zerlegung Z von [, b], so dss gilt: O f (Z) U f (Z) < ɛ Beweis: b: Nch der Definition des Ober- und Unterintegrls gibt es zu jedem ɛ > 0 Zerlegungen Z 1 und Z 2 mit: 0 O f (Z 1 ) f(x) ɛ 2 0 f(x)dx U f(z 2 ) ɛ 2 Diese Ungleichungen bleiben gültig beim Übergng zu Verfeinerungen, lso knn Z = Z 1 = Z 2 gewählt werden Die Addition beider Ungleichungen ergibt b) b : Für ɛ > 0 folgt us b): 0 f(x)dx f(x)dx O f (Z) U f (Z) < ɛ D lso Ober- und Unterintegrl identisch sind, ist f integrierbr Wofür knn mn ds Riemnnsche Kriterium nwenden? Integrierbrkeit monotoner Funktionen (519) Stz 519 Sei f : [, b] R beschränkt und f monoton, so ist f integrierbr 25

26 Beweis: Sei obda f monoton wchsend und mn betrchte die äquidistnte Zerlegung Z mit x i := + i n (b ), i = 0,, n, dnn gilt: O f (Z) U f (Z) = n 1 (f(x i+1 ) f(x i )) (x i+1 x i ) i=0 = b n 1 n (f(x i+1 ) f(x i )) = b n i=0 (f(b) f()) (SZiehhrmoniksumme") }{{} beschränkt Für n konvergiert dieser Ausdruck gegen 0 Dmit ist f nch dem Riemnnschen Kriterium integrierbr Integrierbrkeit stetiger Funktionen (520) Stz 520 Sei f : [, b] R beschränkt und f stetig, so ist f integrierbr (Beweis ist ähnlich Wir benutzen, dss stetige Funktionen uf [, b] stetig sind Vgl Stz 56) x y < δ (f(x) f(y)) < ɛ b Z < δ Beispiele: Folgende Funktionen sind über einem Intervll [, b] integrierbr: f(x) = x, flls 0 f(x) = e x f(x) = ln x, flls > 0 f(x) = sin x Polynomfunktionen: f(x) = n k=0 k x k Stückweise stetige Funktionen mit endlich vielen Sprungstellen (Induktionsbeweis über die Zhl der Sprungstellen) Welche Eigenschften knn mn für Integrle mit stetigen Funktionen noch zeigen? Mittelwertstz der Integrlrechnung (521) Stz 521 Sei f : [, b] R stetig und g : [, b] R stückweise stetig und nicht negtiv, dnn existiert ξ [, b] mit f(x) g(x)dx = f(ξ) g(x)dx

27 Korollr (522) Stz 522 Im Spezilfll g(x) = 1 für lle x [, b] erhlten wir: 1 b f(x)dx = f(ξ) (Mnchml nennt mn dies schon den Mittelwertstz der Integrlrechnung) Die Integrlfläche f(x)dx stimmt überein mit der Rechteckfläche f(ξ) (b ) Beweis (Stz 521): Wir definieren m := min(f(x)) mit x [, b] und M := mx(f(x)) mit x [, b] (existieren nch dem Min-Mx-Theorem (55d)) D g nicht negtiv ist, gilt: m g(x) f(x) g(x) M g(x) für lle x [, b] Die Monotonie des Integrls liefert: m g(x)dx f(x)g(x)dx M g(x)dx (d f,g integriebr) Folglich existiert ein µ [m, M] ( Mittelwert ), so dss µ g(x)dx = f(x)g(x)dx Mit dem Zwischenwertstz (55b) existiert dnn ξ [, b] mit f(ξ) = µ Somit: f(ξ) g(x)dx = f(x)g(x)dx Bemerkung: Flls b g(x)dx > 0, können wir f(ξ) = f(x) g(x)dx g(x)dx uffssen ls den Mittelwert von f in [, b] (mit einer Gewichtsfunktion g) 16 Stmmfunktionen und unbestimmte Integrle Motivtion: Lässt sich die Differntition umkehren? Gibt es zu einer vorgegebenen Funktion f eine Funktion F, sodss gilt F (x) = f(x)? 27

28 Stmmfunktionen (523) Stz 523 Seien die Funktionen f, F : [, b] R gegeben Flls F differenzierbr ist uf [, b] derrt, dss gilt F (x) = f(x) für lle x [, b], so heißt F Stmmfunktion von f Es gilt folgende Aussge: Besitzt f eine Stmmfunktion F, dnn ist die Menge {F (x) + C C R} die Gesmtheit ller Stmmfunktionen Inbesondere unterscheiden sich je zwei Stmmfunktionen nur um eine dditive Konstnte C Die Kpitel 52 bis 56 gipfeln in folgendem Huptstz: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung (524) Stz 524 Sei f : [, b] R eine steige Funktion Dnn gilt: ) F (x) := x f(t)dt definiert eine Stmmfunktion F um f (Integrtion ls Umkehrung der Differentition) b) Ist F eine Stmmfunktion von f, so gilt: f(t)dt = F (b) F () =: F (x) b (Stmmfunktionen dienen zur Berechnung konkreter bestimmter Integrle) Beweis: d ) d b) Sei h 0 klein gewählt (uch negtiv), so dss x, x + h [, b] Betrchte F (x + h) F (x) f(x) h }{{} Nch der Definition von F : x zz: 0 für h 0 x+h 1 x+h h ( 1 f(t)dt f(t)dt) f(x)dt h x }{{}}{{} = R x f(t)dt =f(x), d unbhängig von t 1 x+h = h ( f(t)dt) 1 x+h f(x)dt x h x = 1 x+h h (f(t) f(x))dt sup {f(t) f(x) x < t < x + h} }{{} (d f stetig) Dher: F (x) = f(x) x 0 für h 0 Mit der Definition us ) betrchte F (x) = x f(t)dt + C mit einer beliebigen Konstnten C R Folglich ergibt sich: F (b) = F () = Und dher F (b) F () = f(t)dt f(t)dt + C f(t)dt + C = C 28

29 Unbestimmtes Integrl (525) Stz 525 Eine Stmmfunktion F einer Funktion f wird uch ls ds unbestimmte Integrl von f bezeichnet Nottion: f(x)dx (ohne Integrtionsgrenzen) Beispiele: x n dx = 1 n+1 xn+1 + c (n 1) 1 xdx = ln x + c (für x 0) sin xdx = cos x + c cos xdx = sin x + c tn xdx = ln cos x + c (cos x 0) e x dx = 1 ex + c (für 0) ln x dx = x (ln x 1) + c Alles Weitere findet sich in gängigen Formelsmmlungen Zur Konkreten Berechnung von Integrlen gibt es zwei Grundtechniken, die sich us der Produktregel der Differentition bzw der Kettenregel ergeben: Integrtionsregeln (526) Stz 526 ) Prtielle Integrtion: Sind f, g : [, b] R stetig differenzierbr, so gilt: f(x) g (x)dx = f(x) g(x) b f (x) g(x)dx (entsprechend uch für unbestimmte Integrle) b) Substitutionsregel: Berechne d f(x)dx mittels x := g(t) (g ist stetig differenzierbr), c =: g(), d =: g(b) c und forml dx =: g (t)dt: x=d x=c f(x)dx = t=b t= f(g(t)) g (t)dt Beispiele zu : }{{} x e x }{{} dx = x e x 1 e x dx = x e x e x + c f g sin 2 xdx = sin }{{} x sin }{{} x dx = sin x ( cos x) + f g 2 sin 2 xdx = sin x cos x + 1dx sin 2 x = 1 2 sin x cos x + x 2 + c cos 2 xdx = sin x cos x + (1 sin 2 x)dx 29

30 Beispiele zu b: e x dx = e z 2zdz mit z = x, dz dx = 1 2 x = 1 2z = 2 e z zdz = 2(ze z e z ) + c = 2( x e x + e x ) + c x2 dx = x=1 x= 1 1 x2 dx = z=0 z=π sin z = 0 π sin2 zdz = 1 2 sin z cos z z 0 π = 0 + π 2 ( 0 + 0) = π 2 1 cos2 z ( sin z)dz mit x = cos z, dx dz = Bemerkung: Es existieren uch Integrle, die sich nicht nlytisch lösen lssen, zb Dichtefunktion : f(t) := 1 2π e t2 dt (sogennnte "Normlverteilung", Stochstik) Uneigentliche Integrle Motivtion: Wie integriert mn bei unendlichen Intervllen f(x)dx, f(x)dx, f(x)dx unbeschränkten Funktionen, wie zb x dx? Diese Art von Integrle nennt mn uneigentliche Integrle Unendliche Integrtionsgrenzen (527) Stz 527 N Sei f : [, ) R über jedem Intervll [, N] mit < N < integrierbr Flls lim N existiert, dnn heißt f(x)dx konvergent und wir definieren: f(x)dx N f(x)dx := lim f(x)dx N Anlog gilt für f : (, b] R: f(x)dx := lim f(x)dx N N und für f : (, ) R: f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx 30

31 Beispiele: 1 Ds Integrl 1 2 Dher gilt: 1 dx x s ist divergent für s 1 und konvergent für s > 1: N 1 dx x s = lim N N 1 dx x s = 1 1 s 1 x s 1 N 1 = s (1 1 N s 1 ) dx x = 1 s s 1 (für s > 1) dx x 2 = lim N N dx N 1 + x 2 + lim N 0 dx 1 + x 2 = lim N rctn(x) 0 N + lim N rctn(x) N 0 = 0 ( π 2 ) + π 2 0 = π Konvergenz (528) Stz 528 Sei f : (, b] R über jedem Teilintervl [ + ɛ, b] mit 0 < ɛ < b integrierbr und / D f Flls lim ɛ 0 +ɛ f(x)dx existiert, dnn heißt f(x)dx konvergent und wir definieren f(x)dx := lim f(x)dx ɛ 0 +ɛ Anlog definieren wir für f : [, b) R und b / D f : f(x)dx := lim und für f : (, b) R mit, b / D f und c (, b): f(x)dx := c ɛ 0 ɛ f(x)dx + f(x)dx c f(x)dx Beispiel: dx x ist divergent für s > 1 und konvergent für 0 < s < 1: s 1 0 Dher gilt: 1 ɛ dx x s = 1 1 s x1 s ɛ = 1 1 s (1 ɛ1 s ) dx 1 x s = lim dx ɛ 0 ɛ x s = 1 1 s 31

32 Linere Algebr 21 Vektorräume Vektorräume (61) Stz 61 Sei K ein Körper, dnn ist ein K-Vektorrum (Vektorrum über K, kurz: K-VR) eine Menge V, uf der eine dditive Verknüpfung + und eine sklre Multipliktion definiert sind mit folgenden Eigenschften: (i) (ii) (V, +) ist eine kommuttive Gruppe Die Abbildung : K V V, (k, v) k v erfüllt: (A1) k (v + w) = k v + k w (A2) v = k 1 v + k 2 v (A3) (k 1 k 2 ) v = k 1 (k 2 v) (A4) 1 v = v für lle v, w V und k, k 1, k 2 K Die Elemente von V heißen Vektoren und die Elemente von K heißen Sklre Nottion: V = (V, +, ) Teilrum (62) Stz 62 Ein Teilrum (Unterrum) eines K-Vektorrums V ist eine Untergruppe U von (V, +) mit k u U für lle k K und u U Die Menge (U, +, ) ist dnn ebenflls ein K-Vektorrum Beispiele: ) Sei K ein Körper, n N und V = K n Definiere + und komponentenweise (x i ) i + (y i ) i =: (x i + y i ) i k (x i ) i =: (k x i ) i für x i, y i V und k K (1 i n), dnn ist (K n, +, ) ein K-Vektorrum Spezilfälle: R n, C n, Q n, (GF (p)) n Bemerkung: Insbesondere ist K ein eindimensionler Vektorrum über sich selbst: (K 1 = K) b) Jeder Vektorrum V besitzt die (trivilen) Unterräume {0} und V c) (Z, +) ist eine Untergruppe von (Q, +), ber kein Unterrum des Q-Vektorrums Q d) Sei K ein Körper und M eine Menge, dnn ist die Menge K M ller Abbildungen f : M K mit (f + g)(x) := f(x) + f(g) (k f)(x) := k f(x) 32

33 für f, g K M, x M und k K ein K-Vektorrum Spezilfälle: Funktionenräume R R : R-Vektorrum (Unterräume zb stetige Funktionen, differenzierbre Funktionen und beschränkte Funktionen) Folgenräume R N : R-Vektorrum (Unterräume zb konvergente Folgen, Nullfolgen, beschränkte Folgen und die Menge der Polynome R[x]) e) Ist R ein Ring und K R ein Teilkörper, so ist R ein K-Vektorrum Insbesondere ist R ein R-Vektorrum und ein Q-Vektorrum, sowie C ein Vektorrum über C, R, Q Rechenregeln für Vektorräume (63) Stz 63 In jedem K-Vektorrum V gilt für lle v V und k K: (i) k 0 = 0 (ii) 0 v = 0 (iii) ( k) v = k ( v) = (k v) (iv) ( 1) v = v (v) k v = 0 k = 0 oder v = 0 Beweis: (i)-(iv) sind elementr, zb (i): k 0 = k ( ) = k 0 + k 0 (v) Angenommen k 0, dnn 0 = k 1 0 = k 1 (k v) = (k 1 k) v = 1 K v = v Durchschnitt von Unterräumen (64) Stz 64 Sei {U i } i I eine Fmilie von Unterräumen des K-Vektorrums V, dnn ist uch i I U i ein Unterrum von V Beweis: Seien v, w i I U i, dnn ist sicherlich v, w U i für lle i I und v ±w U i, k v U i für lle i I und k K Somit ist v ± w i I U i und k v i I U i, d 0 i I U i eine Untergruppe von (V, +) und ein Unterrum von V ist Erzeugnis (65) Stz 65 Sei V ein Vektorrum und X V eine beliebige Teilmenge Nch 64 ist x := {U U ist Unterrum von V und X U} ein Unterrum von V (dh x ist der kleinste Unterrum, der X enthält) Mn nennt x ds Erzeugnis oder den Aufspnn von V Beispiel: Es gilt V = V und = {0} = {0} Es lässt sich zeigen: 33

34 Linerkombintion (66) Stz 66 Sei V ein K-Vektorrum und X V eine Teilmenge von V, dnn gilt: { n } x = k i x i n N, x i X, k i K für 1 i n i=1 Ds heißt, x besteht us llen Linerkombintionen von Elementen us X Beispiele: 1 Ist x V, so gilt nch Lemm 66: x = {x} = {k x k K} =: K x Geometrisch (in R 2 oder R 3 ) bedeutet dies: Für x 0 ist K x die Gerde durch o und x 2 Sind x 1,, x n V, so hben wir x 1,, x n := { x 1,, x n } = Kx 1,, Kx n = { n i=1 k ix i k i K, 1 1 Geometrisch bedeutet dies für x 1, x 2 R 3 und x 1, x 2 liegen nicht uf de Ursprungsgerden (Gerde durch o ), dss x 1, x 2 = Rx 1 + Rx 2 = {rx 1 + sx 2 r, s R} einer Ebene durch o ist Linere Unbhängigkeit (67) Stz 67 Sei V ein K-Vektorrum, dnn heißt endliche Menge {v 1,, v n v i V } von Vektoren liner bhängig, flls die Sklre k 1,, k n K existieren mit n i=1 k iv i = 0 und k j 0 für mindestens ein j (i j n) ( Nullvektor lässt sich ls eine nichttrivile Linerkombintion der v i s schreiben ) Andernflls heißt {v 1,, v 2 } liner unbhängig (dh us n i=0 k iv i = 0 folgt stets k i = 0 für lle i (k i K)) Eine beliebige Fmilie {v i } i I von Vektoren v i V heißt liner unbhängig, flls jede endliche Teilfmilie {v i } i J (für J I endlich) liner unnbhängig ist Beispiele: ) Seien v 1 = (1, 0,, 0) t =: 1 0 0, v 2 = (0, 1, 0,, 0) t,, v n = (0,, 0, 1) t K, dnn ist {v 1,, v n } liner unbhängig: n k i v i = (k 1,, k n ) t k 1 = = k n = 0 i=1 34

35 b) Sei R ein R-Vektorrum, dnn ist { 1, 2 } liner bhängig, denn 2 1+( 1) 2 = 0 Flls Rls Q-Vektorrum betrchtet wird, dnn ist { 1, 2 } liner unbhängig, denn us, b Q und 1 + b 2 = 0 folgt stets = b = 0 (flls b = 0, dnn uch = 0; flls b 0, dnn 2 = b 1 Q - Widerspruch!) Bsis (68) Stz 68 Sei V ein Vektorrum, so heißt eine Teilmenge X V ein Erzeugendensystem von V, flls < X >= V Eine Bsis von V ist ein liner unbhängiges Erzeugendensystem von V Beispiele: ist eine (die einzige) Bsis von V = {0} Vektorrum K n (K ist ein beliebiger Körper): Die Vektoren v 1 = (1, 0,, 0) t,, v n = (0,, 0, 1) t bilden eine Bsis von K n, die sogennnte Stndrdbsis {( ) ( )} 1 1 Vektorrum K 2 (K ist beliebig): die Menge, ist ebenso eine Bsis von K C R-Vektorrum: Die Menge {1, i} bildet eine Bsis von C Vektorrum: Polynomring K[x] (K ist ein beliebiger Körper): Die Menge { 1, x, x 2, } = {x n n N 0 } bildet eine Bsis von K[x] [Erzeugendensystem: Linere Unbhängigkeit: Angenommen ds gilt nicht, dnn existiert eine endliche Teilmenge {x n1,, x nm }, die liner bhängig sein müssen, dnn existiert eine Linerkombintion m k i x ni = 0 (*) i=1 mit k j 0 für mindestens ein j (1 j m) Linksseitig von (*): Polynom mit endlich vielen Nullstellen Rechtsseitig von (*) ber: Nullpolynom ht unendlich viele Nullstellen Widerspruch!] Vektorrkoordinten (69) Stz 69 Sei V ein K-Vektorrum und n N, dnn gilt: ) Die Menge {v 1,, v n v i V } von Vektoren ist liner unbhängig So folgt us n i=1 k iv i = n i=1 l iv i mit k i, l i K, dss k i = l i für lle 1 i n ( Koeffizientenvergleich ) b) Sei B = {b 1,, b n } eine Bsis der Länge n von V, dnn gibt es zu jedem Vektor v V eindeutig bestimmte k 1,, k n K mit v = n i=1 k ib i ( Koordinten von v ) Beweis von ) Es gelte Dnn gilt n i=1 n k i v i = i=1 ( h i l i }{{} n l i v i i=1 =0 für lle 1 i n ) v i = 0 35

36 Beweis von b) D B insbesondere ein Erzeugendensystem ist, existiert h i K nch 66 Die Eindeutigkeit folgt us ) Steinitzscher Austuschstz (610) Stz 610 Sei V ein K-Vektorrum, E V ein endliches Erzeugendensystem und X V eine liner unbhängige Teilmenge, dnn existiert eine Teilmenge F E mit F X =, so dss F X eine Bsis ist Beweis: Die Menge {D P(E) D X = ; D X liner bhängig} ist endlich, nicht leer (zb D = ) und enthält dher ein mximles Element F (bezüglich der Inklusion, Mthemtik I für Informtiker und Bioinformtiker, Definition 45) Somit sind F X = und F X liner unbhängig Es bleibt zu zeigen: F X ist ein Erzeugendensystem von V Zeige zunächst: E F X Ds heißt, für lle e E gilt: e F X Flls e F oder e X, ist dies klr Für e / F X ist F F {e} und (F {e}) X = D F mximl ist, muss F {e} X liner bhängig sein Dher gilt: k f f + k e + k i x i = 0 f F i I:= X mit (k f 0), (k 0), (k i 0) K und x i Xgeeignet D F X liner unbhängig ist, muss k 0 gelten und folglich e = k 1 (k e) = k 1 ( k f f k i x i ) f F i I }{{} <F X> Somit gilt: E F X und dher: V = E F X = F X Korollr (611) Stz 611 Sei V ein Vektorrum mit einem endlichen Erzeugendensystem, dnn gilt: ) Jedes Erzeugendensystem E von V enthält eine Bsis und inbesondere ht V eine (endliche) Bsis b) Jede liner unbhängige Teilmenge von V lässt sich zu einer Bsis von V ergänzen ( Bsisergänzungsstz ) Inbesondere besgt der Steinsitzsche Austuschstz (in schwächerer Version): Sei V ein Vektorrum mit einer endlichen Bsis B = {b 1,, b n } und 0 v V, dnn existiert eine Vektor b j (1 j n), so dss {b 1,, b j 1, v, b j+1,, b n } eine Bsis von V ist 36

37 Beweis: b) Folgt direkt us Stz 610 ) Sei V = v 1,, v n mit v i V D E ein endliches Erzeugendensystem ist, ist jeder Vektor v i V eine Linerkombintion von endlich vielen Elementen us E Dher existiert E E ls endliche Teilmenge mit {v 1,, v n } E Dnn gilt V = v 1,, v n E V Wende nun Stz 610 n uf E mit X =, lso ist E Bsis von V Korollr (612) Stz 612 Sei V ein Vektorrum mit einem endlichen Erzeugendensystem und B V eine Teilmenge, dnn sind folgende Aussgen äquivlent: (i) B ist eine Bsis von V (ii) (iii) B ist ein minimles Erzeugendensystem B ist eine mximle, liner unbhängige Teilmenge Beweis: (i) (ii): (ii) (i): (i) (iii): (iii) (i): Ist b B, so gilt b / B\ {b} (d B liner unbhängig) Folglich knn eine echte Teilmenge von B nie ein Erzeugendensystem von V sein B ist ein Erzeugendensystem und enthält nch 611 eine Bsis B D B uch ein Erzeugendensystem ist, hben wir Gleichheit (B = B ), denn B ist miniml Jedes v V \B ist eine Linerkombintion von Bsiselementen, somit ist B {v} liner bhängig und dher uch jede Obermenge von B B ist liner unbhängig und somit gilt nch 611b: B ist in einer Bsis B enthlten Diese Bsis B ist liner unbhängig Also gilt: B = B (d B mximl) Induktiv lässt sich zeigen: Lemm (613) Stz 613 Sei V ein Vektorrum mit einem endlichen Erzeugendensystem E und ist X V eine endliche, liner unbhängige Teilmenge, so gilt: X E Korollr (614) Stz 614 Sei V ein Vektorrum mit einem endlichen Erzeugendensystem E, so gilt: ) Jede liner unbhängige Teilmenge X V ist endlich b) Alle Bsen sind endlich hben die gleiche Länge

38 Beweis: d ) d b) Nch 613 gilt für jede endliche Teilmenge X X, dss X E ist Folglich ist uch X endlich Seien B und B zwei Bsen von V Nch ) sind B und B endlich Wende 613 n: B B B Dher gilt: B = B Dimension (615) Stz 615 Sei V ein K-Vektorrum mit endlicher Bsis, dnn heißt V endlich-dimensionl und die Dimension von V über K ist die (gemeinsme) Länge n ller Bsen von V (vgl 614b) Nottion: dim K V = n Ht V keine endliche Bsis, so ist es ein unendlich-dimensionler Vektorrum Beispiele: dim {0} = 0 dim K K n = n dim R C = 2 (mit Bsis {1, i}) dim K K = 1 Die Vektorräume R[x], R R und R N sind unendlich-dimensionl Lemm (616) Stz 616 Sei V ein Vektorrum mit endlicher Dimension n, dnn gilt: ) Ist E ein endliches Erzeugendensystem, so gilt E n und E = n E ist eine Bsis von V b) Ist X eine liner unbhängige Teilmenge von V, so ist X n und X = n X ist eine Bsis von V Beweis: Folgt mit 611 und 614 Dimensionen von Unterräumen (617) Stz 617 Sei V ein endlich-dimensionler Vektorrum und U V ein Unterrum, dnn gilt: ) U ist uch endlich-dimensionl und dim U dim V b) Flls dim U = dim V, dnn ist U = V c) Es existiert stets ein Unterrum U von V mit V = U + U und U U = {0} (U heißt der zu U komplementäre Unterrum) 38

39 Beweis: d ) Nch 613 gilt: Für jede liner unbhängige Teilmende X U gilt X dim V Sei nun B U eine liner unbhängige, mximle Teilmenge, dnn ist B bereits eine Bsis von U Folglich ist B = U und dim U = B dim V d b & c) Sei B eine Bsis von U Nch 610 ht V eine Bsis B F mit B F = d b) B = dim U = dim V = B F = B + F F = und dher gilt: U = B = B F = V d c) Mn setzt U := F, dnn gilt: U + U = B + F ist die Bsis B F von V, lso gilt V = U + U Bleibt zu zeigen, dss U U = {0} : Sei v U U, dnn ht v die Form: mit k b, k f K Betrchte nun v = b B 0 = v v = b B k b b = f F k f f k b b + f F( k f ) f D B F insbesondere liner unbhängig ist, folgt k b = 0 für lle b B und dher v = 0 Somit gilt U U = {0} Direkte Summe (618) Stz 618 Für Unterräume U und U mit V = U + U und U U = {0} schreibt mn oft V = U U und nennt V die direkte Summe von U und U Beispiel: C = R i R Dimensionsformel (619) Stz 619 Für Unterräume U 1, U 2 eine endlich-dimensionlen Vektorrums gilt: dim(u 1 + U 2 ) + dim(u 1 U 2 ) = dim U 1 + dim U 2 Beweis: U 1 U 2 ht eine endliche Bsis B (bgl 611, 617) und nch dem Steinitzschen Austuschstz (610) existieren endliche Bsen B B i von U i mit B B i = (i = 1, 2) Es gilt: B 1 B 2 U 1 U 2 = B, lso B 1 B 2 = Wir zeigen nun, dss B B 1 B 2 eine Bsis ist von U 1 +U 2 (Denn dnn gilt: dim(u 1 +U 2 )+dim(u 1 U 2 ) = B B 1 B 2 + B = B + B 1 + B 2 + B = B B 1 + B B 2 = dim U 1 + dim U 2 ) (i) (ii) B B 1 B 2 ist Erzeugendensystem von U 1 + U 2 und es gilt: U i := B B 1 Dher ergibt sich: U 1 + U 2 B B 1 B 2 U 1 + B 2 U 1 + U 2 Linere Unbhängigkeit: 0 = b B k b b+ c B 1 k c c+ s B 2 k d d gilt mit (k b, k c, k d K) Nun ist B B i (i = 1, 2) liner unbhängig, lso sind k c = 0 und k d = 0 für lle c B 1 bzw d B 2 D B liner unbhängig ist, folgt dnn us 0 = b B k b b sofort, dss uch k b = 0 für lle b B 39

40 Bemerkungen: Der in 617c eingeführte komplementäre Unterrum U ist im Allgemeinen duch U nicht eindeutig bestimmt, zb R 2 = U U für je zwei eindimensionle Unterräume U und U von R 2 Die Dimensionsformel ht zhlreiche geometrische Konsequenzen, zb: Seien U 1 und U 2 zweidimensionle Unterräume von R 3 (dh Ebenen durch 0), so gilt: dim(u 1 U 2 ) = dim(u 1 + U 2 ) }{{} =3 (flls U 1 U 2 ) = 1 Es gilt lso: U 1 U 2 ist eine Gerde durch 0, ber in R 4 gibt es zweidimensionle Unterräume U 1 und U 2 mit U 1 U 2 = {0}, zb U 1 = {(o, o) t } R 2, U 2 = R 2 {(o, o) t } (dnn R 4 = U 1 U 2 ) 22 Linere Abbildungen und Mtrizen Linere Abbildung (620) Stz 620 Seien V, W K-Vektorräume, dnn heißt eine Abbildung f : V W liner, flls gilt: f(x + y) = f(x) + f(y) f(k x) = k f(x) für lle k K und x, y V ( Vektorrum-Homomorphismus ) Inbesondere gilt: f(0) = 0 und f( x) = f(x) (63iv) Wie für Gruppen-Homomorphismen (Mthe I, 39) gilt: Ist f injektiv, so sprechen wir von einem Monomorphismus von Vektorräumen Ist f surjektiv, so ist f ein Epimorphismus von Vektorräumen Ist f bijektiv, so ist f ein Isomorphismus von Vektorräumen V und W heißen isomorph, flls ein Isomorphismus von V uf W existiert Nottion: V = W Flls W = V, dnn heißen linere Abbildungen von V nch W Endomorphismen; sind diese Abbildungen zusätzlich bijektiv, dnn sprechen wir von Automorphismen Beispiele: ) Die Null-Abbildung f : V W, f(x) = 0 ist liner für beliebige Vektorräume V, W Die identische Abbildung id v : V V, id V (x) = x ist ebenso liner für jeden Vektorrum V 40

41 ( x b) Linere Abbildungen von R 2 : y Liner: f f ( x1 y 1 ) + f ( ( x h y ) ( x y ) (Spiegelung n der X-Achse) ( ) ( ) ( ) ( x2 x1 x2 x1 + x = + = 2 y 2 y 1 y 2 (y 1 + y 2 ) )) = f ( hx yx ) = ( hx hy ) = ( hx h( y) Ebenso: ( ) ( ) x x (Spiegelung n der Y-Achse) ( y ) ( y ) x y (Spiegelung n der 1 Winkelhlbierenden) y x ( ) ( ) ( ) x x 0 (Punktsiegelung n ) y y 0 ( 0 c) Sei f : R 2 R 2 die Drehung um den Ursprung 0 und es gilt: ( ) 1 f = 0 ( cos(ϕ) sin(ϕ) ) ) ( ) 0 und f = 1 ( x = h y ) = f ( ) x1 + x 2 y 1 + y 2 ) ( ) x = h f y ) mit Winkel ϕ, dnn ist f liner ( sin(ϕ) cos(ϕ) ) ( ) x f = f y ( ( 1 x 0 ) ( 0 + y 1 )) ( 1 = x f 0 ) ( 0 +y f 1 ) = ( ) ( ) x x d) f : R 2 R 2, ist nicht liner: ( ( )) y ( ) x ( y ) ( ) ( ) ( ) f 2 = f =, 2 f = 2 = ( x cos(ϕ) y cos(ϕ) x sin(ϕ) + y sin(ϕ) ) e) In R N sei V der R-Vektorrum der konvergenten Folgen, dnn ist die Grenzwertbildung V R mit (x n ) n N lim n x n eine linere Abbildung (vgl Mthe I, 420) (Es gilt sogr, dss V ein Ring und die Grenzwertbildung multipliktiv ist Dher hben wir hier einen Ringhomomophismus) 41

42 f) In R R sei V der R-Vektorrum der differenzierbren Funktionen, dnn ist ds Differenzieren V R R mit f f eine linere Abbildung (vgl 58b) (Diese ist nicht multipliktiv) g) In R R sei V der R-Vektorrum der integrierbren Funktionen, dnn ist ds Integrieren V R mit f f(x)dx eine linere Abbildung (vgl 517) Eigenschften linerer Abbildungen (621) Stz 621 Seien V, W K-Vektorräume und f : V W eine linere Abbildung, dnn gilt: ) ker f := {v V f(v) = 0} = f 1 (0) ist ein Unterrum von V ( Kern ) und Im f := {f(v) v V } = f(v) ist ein Unterrum von W ( Bild ) (vgl Mthe I, 310) b) f ist injektiv ker f = {0} c) Flls f : V W bijektiv ist, dnn ist uch f 1 : W V liner d) Für einen Unterrum U V und für die linere Abbildung g : U V gilt: f g : U W ist liner e) Sind die Vektoren v 1,, v n V liner bhängig, so gilt dies uch für ihre Bilder f(v 1 ),, f(v n ) Flls f injektiv ist, so sind v 1,, v n V genu dnn liner (un- )bhängig, wenn f(v 1 ),, f(v n ) liner (un-)bhängig sind Linere Abbildungen lssen sich uf einer Bsis beschreiben: Stz (622) Stz 622 Seien V, W K-Vektorräume und sei B eine endliche Bsis von V, dnn existiert zu jeder beliebigen Folge {w b } b B von Vektoren w b W genu eine linere Abbildung f : V W mit f(b) = w b für lle b B Beweis: (i) Existenzussge: Ist B eine Bsis, so lässt sich jeder Vektor v V schreiben ls: v = b B k b b mit eindeutigen k b K (vgl 69b) Wir definieren f : V W vi f(v) := b B k b w b Dnn gilt: f(b) = w b Es bleibt zu zeigen, dss f liner ist f k b b + ( ) l b b b B b B = f (k b + l b ) b b B }{{}}{{} v w = k b w b + ( ) ( ) l b w b = f k b b + f l b b b B b B b B b B = f(v) + f(w) (v, w W ) 42

43 ( f(k v) = f k ) ( ) k b b = f k k b b b B b B = k ( ) k b w b = k f k b b b B b B = b B k k b w b = k f(v) (ii) Eindeutigkeitsussge: Seien f, g : V W linere Abbildungen mit f(b) = w b = g(b) für lle b B, so gilt für beliebige k b K: ( ) f k b b = k b f(b) = ( ) k b g(b) = g k b b b B b B b B b B D B ein Erzeugendensystem ist, gilt: f = g Bemerkungen: Kennt mn die Bilder einer Bsis, so kennt mn gleichzeitig uch die linere Abbildung Die Aussge von 622 ist uch gültig für unendliche Bsen Korollr (623) Stz 623 Seien V und V K-Vektorräume mit endlichen Bsen B und B, dnn existiert zu jeder bijektiven Abbildung φ : B B genu ein Isomorphismus f : V V, so dss die Einschränkung f B von f uf B V gilt: f B = φ Beweis: Aus 622 folgt sofort, dss es genu eine linere Abbildung f : V V mit f B = φ gibt Der Nchweis der Bijektivität ist dnn einfch (vgl 621b) Strukturstz für Vektorräume (624) Stz 624 Sei K ein Körper und V ein K-Vektorrum mit endlicher Bsis B, dnn ist V = K B (Kurzschreibweise für K B ) Insbesondere ist jeder K-Vektorrum der endlichen Dimension n isomorph zu K n Beweis: Die erste Behuptung folgt us 623 (denn K B ht eine Bsis der Länge B, vgl 68) Die zweite Behuptung folgt dnn mit 615 Bemerkung: Endlich-dimensionle Vektorräume sind lso im Wesentlichen bestimmt durch ihre Dimension und den zugrundeliegenden Körper 43

44 Korollr (625) Stz 625 Zwei endlich-dimensionle K-Vektorräume V, W sind genu dnn gleich, wenn gilt: dim K V = dim K W Beweis: Sei V = W, dnn folgt drus, dss dim K V = dim K W, d Isomophismen Bsen uf Bsen bbilden Flls umgekehrt gilt, dssdim K V = dim K W gilt, so ergibt sich nch 624, dss V = K dim V = K dim W = W Bemerkung: Insbesondere gilt, dss K n = K m genu dnn gilt, wenn n = m für n, m N 0 Abschließende Bemerkung: Die Endomorphismen eines K-Vektorrums V bilden einen Ring End K (V ) vi (f + g)(v) = f(v) + g(v) (f g)(v) = (f g)(v) = f(g(v)) für f, g End K (V ) und v V Die Automorphismen von V bilden eine Gruppe GL(V ) := {f f : V V liner, bijektiv} ( generelle linere Gruppe ) Sind V, W K-Vektorräume, so ist die Menge lle Homomorphismen Hom K (V, W ) := {f f : V W liner} ein K-Vektorrum vi für f, g Hom K (V, W ), v V und k K (f + g)(v) = f(v) + g(v) (k f)(v) = k f(v) Dimensionenstz (626) Stz 626 Seien f : V W eine linere Abbildung, V, W K-Vektorräume und ist V endlich-dimensionl, dnn gilt: dim K V = dim ker f + dim Im f Nottion: dim Im f =: rg f ( Rng von f ), dim ker f ( Defekt von f ) Beweis: Aufgrund von 617c existiert ein Unterrum U V mit V = U ker f Nch 619 gilt dim V = dim U + dim ker f Betrchte die Einschränkung f U : U W Es ist klr, dss f U liner und ker f U = {0} ist (d U ker f = {0}) Mit 621b ist f U lso injektiv Es bleibt zu zeigen, dss f U : U f(v ) surjektiv ist: Es gilt f(v ) = f(u + ker f) = f(u) + f(ker f) = f(u) + {0} = f(u) Somit ist f U : U f(v ) ein Isomorphismus und dher gilt dim U = dim f(v ) = dim Im f 44