6.2 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung

Transkript

1 6.. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung Betrachten wir jetzt eine differenzierbare Funktion f:u R n R U offen in R n. Ist n = 3 und U eine glatte Fläche, dann definiert f durch Einschränkung auch eine differenzierbare Funktion auf. Entsprechendes gilt für eine glatte Kurve in U R. In diesem Abschnitt wird eine ethode dafür beschrieben, die lokalen Extrema von f auf zu finden. Ist implizit als Nullstellenmenge der Funktion g:u R n R beschrieben, so spricht man auch davon, Extremwerte von f:u R unter der Nebenbedingung gx = 0 für x U zu suchen. 6.. Definition an sagt, f habe an der Stelle a U ein lokales aximum bzw. inimum unter der Nebenbedingung gx = 0, wenn es ein ǫ > 0 gibt, so dass K ǫ a U und fv fa bzw.fv fa für alle v K ǫ a. 6.. Beispiel Die Funktion f:r R, gegeben durch fx,y = xy nimmt auf der Kreislinie K := {x,y R x +y = } ihr aximum an bei x = y = und bei x = y =. Das inimum wird bei x = y = ± angenommen. Diese vier Punkte sind gerade diejenigen, an denen die Niveaulinien von f den Kreis berühren, wo also der Gradient von f auf dem Kreis senkrecht steht. Auch für lokale Extrema unter Nebenbedingungen gibt es ein notwendiges Kriterium. Es gilt nämlich folgendes: 6..3 Satz Sei := {x U R n gx = 0}, wobei U R n eine offene Teilmenge,g:U Rdifferenzierbarund gx 0seifürallex.Seiausserdem f:u R differenzierbar. Hat f ein lokales Extremum auf an der Stelle p, so existiert eine reelle Zahl λ ein sogenannter Lagrange-ultiplikator mit fp = λ gp. Beweis. Nehmen wir an, die Funktion f habe an der Stelle p ein lokales Extremum. Zu jedem w T p gibt es eine Kurve γ: ǫ,ǫ mit γ0 = p und γ0 = w. Und die Funktion, definiert durch fγt für ǫ < t < ǫ, hat bei t = 0 ein lokales Extremum. Daraus folgt nach dem Kriterium für Funktionen in einer Variablen: 0 = d dt ϕt t=0 = df γ0 γ0 = fp,w. Dasheisst,dass fpeinnormalenvektoran inpist.dievoraussetzung gp 0 garantiert, dass auch an der Stelle p glatt ist, der Normalenraum N p eindimensional ist und von gp erzeugt wird. Also ist fp ein skalares Vielfaches von gp, wie behauptet. q.e.d. Kehren wir nochmals zu Beispiel 6.. zurück.

2 88 Kapitel 6. Vektoranalysis 6..4 Beispiel Die Kreislinie K ist die Nullstellenmenge der Funktion gx, y = x +y. Der Gradient von g verschwindet nur im Nullpunkt, der ja nicht auf K liegt, also ist die Voraussetzung an g erfüllt. Der Lagrangeansatz zur Bestimmung der lokalen Extrema von fx,y = xy auf K lautet hier: fp = y x = λ gp = λ x y Darausfolgt y = 4λ y. Wäre y = 0, folgteauch x = 0, der Nullpunkt liegt aber nicht auf K. Also ergibt sich λ = ± und daraus x = ±y. Setzen wir dies wiederum in die definierende Gleichung für ein, erhalten wir dieselben vier Punkte, die wir bereits auf geometrische Art gefunden hatten, nämlich x = y = ± und x = y = ±. Hier ein Beispiel für Extrema einer Funktion auf einer Fläche: 6..5 Beispiel Sei = S. Auf der kompakten Kugeloberfläche nimmt jede stetige Funktion sowohl aximum als auch inimum an. Um das aximum der Funktion fx,y,z = x + y z auf der Einheitskugeloberfläche S, definiert durch gx,y,z = x +y +z = 0, zu finden, machen wir den Ansatz: x fx,y,z = = λ gx,y,z = λ y. z Da λ 0 sein muss, ist dies äquivalent zu x y = λ z Ein solcher Punkt liegt nur dann auf der -Sphäre, wenn λ = 3 ist, das heisst, λ = ± 6/. Die Funktion f nimmt also ihr aximum entweder an im Punkt p = 6,, oder im Punkt p = 6,,. Durch Einsetzen in f stellen wir fest, dass der Wert bei p maximal ist, nämlich fp = 6, während f bei p den minimalen Wert annimmt, und zwar fp = 6. Die folgende geometrische Extremwertaufgabe lässt sich mit derselben ethode lösen Beispiel Sei E die Ellipse in R, definiert durch die Gleichung. gx,y = x +4y 4 = 0. Gesucht sind diejenigen Punkte q auf der Ellipse E, die den kleinsten Abstand zum Punkt p =,0 haben. Der Abstand eines Punktes x,y R zu p beträgt fx,y = x,y p = x +y..

3 6.. Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung 89 Gesucht sind also die Punkte auf E, in denen die Funktion f:e R ihr inimum annimmt. Solche Punkte gibt es, weil f stetig und E kompakt ist, und jede stetige Funktion auf einer kompakten enge sowohl aximum als auch inimum annimmt. Der Lagrange-Ansatz lautet hier: fx,y = x +y x = λ gx,y = λ y x. 8y Dies ist äquivalent zu dem folgenden Gleichungssystem für x,y E, λ R : x = λfx,yx y = λfx,y8y Falls y 0, folgt λ = und daraus x = 4. Auf der Ellipse E gibt es zwei 8fx,y 3 Punkte mit diesem x-wert, nämlich q = 4, 5 und q 3 3 = 4 3, 5. Ausserdem 3 gibt es auf E auch zwei Punkte mit y = 0, nämlich ±,0. Da x 0, können wir hier λ = x wählen. Wir haben also insgesamt vier Kandidaten für die xfx,y gesuchten Punkte mit minimalem Abstand. Um festzustellen, welches die richtigen Punkte sind, reicht es, die Werte von f an diesen Stellen zu vergleichen. Es sind 4 5 f,0 = 3, f,0 =, f 3,± = = 3. Die Funktion f nimmt also auf E ihr aximum an im Punkt,0, und ihr inimum in den Punkten q und q. An der Stelle,0 liegt ein lokales aximum vor, das aber kein absolutes aximum ist.

4 90 Kapitel 6. Vektoranalysis 6.3 Integration auf Flächen Sei R 3 eine glatte Fläche, wie im Flächenkapitel definiert. an kann sich nun die lokalen Karten zunutze machen, um die Integration von Funktionen auf zu definieren. Sei dazu ϕ eine bijektive, differenzierbare Abbildung ϕ:u U von einer offenen Teilmenge U R auf eine offene Teilmenge U. Bezeichnen wir die Koordinaten auf U mit u,v. Wir zerlegenintegration auf Flächen zunächst U in Teilrechtecke mit Seiten parallel zur u- bzw. zur v-achse und erhalten daraus mithilfe von ϕ eine Zerlegung von U in Teilgebiete. Die Dreigliedentwicklung von ϕ an einer Stelle a U lautet mit p = ϕa: ϕa+ u v = p+dϕ a u v +Ru,v, wobei Ru, v das Restglied bezeichnet. Weil eine glatte Fläche ist, muss der Rang von dϕ a gleich sein, das heisst, die Spalten der entsprechenden Jacobimatrix u ϕa und v ϕa sind linear unabhängig und erzeugen in der Tangentialebene T p ein Parallelogramm. Wenn wir das Restglied vernachlässigen, erhalten wir als Approximation von ϕ in der Nähe von a: ϕa+ u v p+u u ϕa+v v ϕa. Ein Teilrechteck Q mit Seitenlängen s und t aus der Zerlegung von U geht bei Anwendung dieser Approximation über in das Parallelogramm in R 3, erzeugt von den Vektoren s u ϕa und t v ϕa. Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms wird von der Länge des Vektorprodukts der beiden Vektoren angegeben. Der Flächeninhalt des gewölbten Flächenstücks ϕq stimmt in erster Näherung mit dem Inhalt dieses Parallelogramms überein: FlächeϕQ u u ϕa v v ϕa = ϕs,t ϕs,t FlächeQ. Summiert man nun über diese Beiträge, erhält man eine Näherung für den Flächeninhalt von U, und durch Verfeinerung der Zerlegung von U wird diese Approximation verbessert. Dieser Prozess entspricht gerade der Bildung der Riemannsummen für die Funktion u,v u ϕu,v v ϕu,v auf U. Diese Überlegung ist die otivation für die folgende Definition: 6.3. Definition Das Integral einer Funktion f: R über eine via ϕ parametrisierte Fläche ist folgendermassen definiert: fdf := fϕu,v u ϕu,v v ϕu,v dudv. U an nennt df = u ϕu,v v ϕu,v dudv das Flächenelement. Der Flächeninhalt von ist definiert als df.

5 6.3. Integration auf Flächen Beispiele Um die Oberfläche einer Kugel von Radius R zu berechnen, verwenden wir die folgende Parametrisierung der längs eines eridians geschlitzten Sphäre: ϕu,v = Rcosucosv,Rsinucosv,Rsinv für π < u < π, π < v < π. Das Differential von ϕ an der Stelle u,v ist gegeben durch die folgende 3 - atrix Rsinucosv Rcosusinv Jϕ u,v = Rcosucosv Rsinusinv. 0 Rcosv Das Vektorprodukt der Spalten lautet hier also R cosucos v u ϕu,v v ϕu,v = R sinucos v, R sinvcosv und daher u ϕu,v v ϕu,v = R cosv. Für die Kugeloberfläche erhalten wir nun wie erwartet: π π df = R cosvdvdu = 4πR. K R 0 π π Handelt es sich bei der Fläche um den Graphen einer reellwertigen Funktion f, definiert auf U R, ist also = {x,y,fx,y x,y U}, so können wir die Parametrisierung ϕx, y = x, y, fx, y verwenden. In diesem Fall ist x ϕx,y y ϕx,y = + x fx,y + y fx,y. Die Oberfläche des Graphen von f ist also durch folgendes Integral gegeben: df = + x fx,y + y fx,y d x,y. U Auf diese Weise können wir beispielsweise die Oberfläche eines auf der Höhe a abgeschnittenen Paraboloids berechnen. Ist fx,y = x +y für x +y < a, so erhalten wir für den Graphen von f: df = +4x +4y dxdy. K a0 it Polarkoordinaten wird daraus df = π a 0 r +4r dr,

6 9 Kapitel 6. Vektoranalysis und mit der Substitution u = +4r : df = π 4 +4a π udu = 6 +4a 3. Die Definition des Oberflächenintegrals hängt nicht von der Wahl der Parametrisierung des Flächenstücks ab. Um dies einzusehen, geben wir nun eine andere Beschreibung des Flächenelements Definition Seiϕ:U U R 3 wieobeneineparametrisierungdesflächenstücks U. Unter der Gramschen Determinante der parametrisierten Fläche versteht man die Abbildung g:u R, definiert durch ga := detdϕ a t dϕ a. Die atrix dϕ a t dϕ a ist der metrische Tensor an der Stelle a Bemerkung Der metrische Tensor an der Stelle a ist eine symmetrische -atrix, deren Diagonaleinträge die Längenquadrate und deren oberer rechter EintragdasSkalarproduktderVektoren u ϕaund v ϕaangeben.damitsindalso die metrischen Eigenschaften dieser Basis der Tangentialebene T ϕa festgehalten. Für die Gramsche Determinante gilt: ga = u ϕa v ϕa u ϕa, v ϕa = u ϕu,v v ϕu,v. Also ist ga > 0 für alle a, und ga gibt den Flächeninhalt des von den beiden Tangentialvektoren aufgespannten Parallelogramms an Beispiel Der metrische Tensor der Parametrisierung der Kugeloberfläche von Radius mithilfe der Kugelkoordinaten wie oben lautet: R gu,v = cos v 0 0 R. ithilfe der Gramschen Determinante können wir das Flächenintegral folgendermassen schreiben: fdf := fϕu,v gu,v dudv. U U Folgerung Die Definition des Flächenintegrals ist unabhängig von der Wahl der Parametrisierung. Insbesondere ist die Oberfläche eines glatten Flächenstücks wohldefiniert.