1. Klausur. für bau immo tpbau

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1 1. Klausur Höhere Mathematik I/II für bau immo tpbau Wichtige Hinweise Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Verlangt und gewertet werden alle 6 Aufgaben. Bei Aufgabe 1 2 sind alle Lösungswege und Begründungen anzugeben. Die Angabe von Endergebnissen allein genügt nicht! Verwenden Sie für Ihre Bearbeitungen separate Blätter und beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Bei Aufgabe 3 6 sind nur die Ergebnisse verlangt. Tragen Sie diese in die dafür vorgesehenen Felder auf den Aufgabenblättern ein. Vergessen Sie auch nicht Name und Matrikelnummer auf dem Aufgabenblatt. In Wahr/Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 3/2 Punkte, jede falsche Antwort 3/2 Punkte. Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet. In beiden Klausuren können zusammen maximal 120 Punkte erreicht werden. Als Hilfsmittel zugelassen sind 10 handbeschriebene DIN A4 Blätter sowie Zeichenmaterial. Nicht zugelassen sind unter anderem Bücher, Fotokopien oder elektronische Rechengeräte. Die Prüfungsergebnisse werden voraussichtlich ab dem im NWZ II, Pfaffenwaldring 57, 8. Stock, aushängen. Hinweise für Wiederholer Studierende bestimmter Fachrichtungen haben bei Nichtbestehen dieser Wiederholungsprüfung die Möglichkeit einer mündlichen Nachprüfung. Den Termin hierfür müssen Sie sich bis zum geben lassen (siehe Website), eine individuelle schriftliche Benachrichtigung erfolgt nicht! Sie sind verpflichtet, sich rechtzeitig über das Ergebnis der schriftlichen Prüfung zu informieren und sich gegebenfalls zum vereinbarten Zeitpunkt für die mündliche Nachprüfung bereitzuhalten. Mit Ihrer Teilnahme an dieser Prüfung erkennen Sie diese Verpflichtung an. Und nun: Viel Erfolg!

2 HM 1+2 bau immo tpbau B1 2 D i p l o m v o r p r ü f u n g H ö h e r e M a t h e m a t i k I / I I Aufgabe 1 / 15 Punkte / Gegeben ist das von einem reellen Parameter u abhängende lineare Gleichungssystem A(u) x = b mit 2 1 u A(u) = 1 + u 2 2 a. Zeigen Sie: u 3 u 4 u det A(u) = 2u + u 2 u 3., x = x 1 x 2 x 3, b = 3 2. b. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems A(u) x = b für u = 1 und für u = 1. c. Für welche u besitzt das homogene System A(u) x = 0 eine nichttriviale Lösung? d. Für welche u ist das inhomogene System A(u) x = b eindeutig lösbar, für welche ist es unlösbar, und für welche u besitzt es unendlich viele Lösungen? e. Bestimmen Sie die Inverse der Matrix A(1) und überprüfen Sie damit das Ergebnis von b für u = 1. 3 Aufgabe 2 / 15 Punkte / Durch die Ungleichungen x 2 + y 2 11, y x wird ein Bereich A R 2 bestimmt. Darauf sei die Funktion f : A R, f (x, y) = xy gegeben. a. Skizzieren Sie den Bereich A. b. Untersuchen Sie f auf stationäre Punkte im Innern von A. Entscheiden Sie, ob Minima, Maxima oder Sattelpunkte vorliegen. c. Untersuchen Sie f auf Extremalstellen auf dem Rand von A. d. Bestimmen Sie die absoluten Extrema von f. Prof. J. Pöschel Blatt B1 vom Seite 2 von 4

3 Name Matrikel-Nr D i p l o m v o r p r ü f u n g H ö h e r e M a t h e m a t i k I / I I Aufgabe 3 / 6 Punkte / Gegeben ist die Matrix A = a. Der Rang der Matrix A ist rg A =. b. Die Summe der Eigenwerte der Matrix A ist S =. c. Ein Vektor v = 0 im Kern der Matrix A ist zum Beispiel v =. Aufgabe 4 / 6 Punkte / Geben Sie an, welche Aussagen für eine beliebige, auf [ 2, 2] stetig differenzierbare Funktion f wahr oder falsch sind. a. Ist f (0) = f (2), so existiert ein x [0, 2] mit f (x) = 0. wahr falsch b. Besitzt f bei x = 2 ein Minimum, so ist f ( 2) 0. wahr falsch c. Gilt f (x) < 1 für alle x [ 2, 2], so ist f umkehrbar. wahr falsch 1 d. Für 2 < x < 2 gilt: lim h 0 h x+h x f (t) dt = f (x). wahr falsch Aufgabe 5 / 8 Punkte / Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. a. lim x 0 e x 1 ln(1 x) = ( ) b. lim n 2 + 4n + 1 n 2 4n + 1 = n ( c. lim ) 2n x 2 = d. lim n n x 0 sin 2 (2x) = Prof. J. Pöschel Blatt B1 vom Seite 3 von 4

4 HM 1+2 bau immo tpbau B1 4 D i p l o m v o r p r ü f u n g H ö h e r e M a t h e m a t i k I / I I Aufgabe 6 / 10 Punkte / Gegeben sei die rationale Funktion f (x) = 7x3 10x x 2 (x 2 1)(x 1) 2. a. Die Partialbruchzerlegung von f hat die Form ax + b x cx + d (x 1) 2 a x 1 + ax + b x c x 1 + d a (x 1) 2 x 1 + b. Die Koeffizienten dieser Partialbruchzerlegung sind b x cx + d (x 1) 2 b (x 1) 2 + c (x 1) 3 + d x + 1 a = b = c = d =. c. Eine Stammfunktion von f für x > 1 ist F mit F(x) =. d. Es ist lim x f (x) =, lim x 0 f (x) =. e. Besitzt die Funktion f in ( 1, 1) eine Nullstelle? Ja Nein f. Wieviele verschiedene Polstellen besitzt f? Prof. J. Pöschel Blatt B1 vom Seite 4 von 4

5 2. Klausur Höhere Mathematik I/II für bau, immo, tpbau Wichtige Hinweise Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten. Verlangt und gewertet werden alle 7 Aufgaben. Bei Aufgabe 1 3 sind alle Lösungswege und Begründungen anzugeben. Die Angabe von Endergebnissen allein genügt nicht! Verwenden Sie für Ihre Bearbeitungen separate Blätter und beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Bei Aufgabe 4 7 sind nur die Ergebnisse verlangt. Tragen Sie diese in die dafür vorgesehenen Felder auf den Aufgabenblättern ein. Vergessen Sie auch nicht Name und Matrikelnummer auf dem Aufgabenblatt. In Wahr/Falsch-Aufgaben erhält jede richtige Antwort 3/2 Punkte, jede falsche Antwort 3/2 Punkte. Die jeweilige Aufgabe als Ganzes wird jedoch nicht mit weniger als 0 Punkten bewertet. In beiden Klausuren können zusammen maximal 120 Punkte erreicht werden. Als Hilfsmittel zugelassen sind 10 handbeschriebene DIN A4 Blätter sowie Zeichenmaterial. Nicht zugelassen sind unter anderem Bücher, Fotokopien oder elektronische Rechengeräte. Die Prüfungsergebnisse werden voraussichtlich ab dem im NWZ II, Pfaffenwaldring 57, 8. Stock, aushängen. Hinweise für Wiederholer Studierende bestimmter Fachrichtungen haben bei Nichtbestehen dieser Wiederholungsprüfung die Möglichkeit einer mündlichen Nachprüfung. Den Termin hierfür müssen Sie sich bis zum geben lassen (siehe Website), eine individuelle schriftliche Benachrichtigung erfolgt nicht! Sie sind verpflichtet, sich rechtzeitig über das Ergebnis der schriftlichen Prüfung zu informieren und sich gegebenfalls zum vereinbarten Zeitpunkt für die mündliche Nachprüfung bereitzuhalten. Mit Ihrer Teilnahme an dieser Prüfung erkennen Sie diese Verpflichtung an. Und nun: Viel Erfolg!

6 HM 1+2 bau immo tpbau B2 2 D i p l o m v o r p r ü f u n g H ö h e r e M a t h e m a t i k I / I I Aufgabe 1 / 15 Punkte / Ein Gestänge, bestehend aus zwei im Punkt C verbundenen Stangen, sei an den beiden Enden in den festen Punkten A = (4, 6, 2) und B = (0, 4, 4) beweglich so aufgehängt, dass der Punkt C jeweils den festen Abstand 78 von A und B hat, ansonsten aber frei beweglich ist. a. Zeigen Sie, dass die Gerade g durch die festen Punkte A und B parallel ist zur Ebene E, die durch den Punkt P = ( 5, 5, 5) geht und aufgespannt wird von den Richtungsvektoren 1 1 u = 1, v = b. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Strecke AB und eine Parameterdarstellung der Normalen n durch M zu E. c. Gibt es eine Position von C derart, dass A, B, C in einer gemeinsamen Ebene liegen, die parallel zu E ist? Wenn ja, bestimmen Sie alle solche Positionen. d. Bestimmen Sie die beiden Positionen von C mit dem kleinsten und größten Abstand zur Ebene E. Wie groß sind diese Abstände? Kann C auf E liegen? Aufgabe 2 / 15 Punkte / Gegeben sei die ebene Kurve c : [0, 1] R 2, c(t) = (x(t), y(t)) = ( ) t, 2 + t3. 6 a. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der bei Rotation der Kurve c um die y -Achse entsteht. b. Skizzieren Sie die Kurve in der xy -Ebene und stellen Sie das Integral für seine Länge auf. c. Entwickeln Sie die Funktion 1 + u im Punkte u 0 = 0 in sein Taylorpolynom dritten Grades, T 3 (u, 0). Schätzen Sie das Restglied nach Lagrange für 0 u 1 ab. d. Berechnen Sie das Integral von b näherungsweise, indem Sie den Integranden durch T 3 (t 4 /4, 0) ersetzen. Hinweis: Brüche müssen nicht zusammengefaßt werden. e. Zeigen Sie, dass der Fehler in der Rechnung von d kleiner als 10 5 ist. Prof. J. Pöschel Blatt B2 vom Seite 2 von 4

7 Name Matrikel-Nr D i p l o m v o r p r ü f u n g H ö h e r e M a t h e m a t i k I / I I Aufgabe 3 / 4 Punkte / Bestimmen Sie mit Hilfe der Potenzreihe der Cosinus-Funktion die Potenzreihe von f (x) = x 0 1 cos t t 2 dt zum Entwicklungspunkt x 0 = 0. Zur Erinnerung: cos z = n 0 ( 1) n (2n)! z2n. Aufgabe 4 / 8 Punkte / a. Das Volumen V des von den Punkten A = (0, 0, 0), B = (1, 0, 0), C = (3, 1, 2), D = (2, 3, 1) aufgespannten Tetraeders T ist V =. b. Die Matrix 1 A = 0 0 definiert eine lineare Abbildung f, für die gilt: f (C) = (5, 5, 2) und f (D) = (3, 5, 1). c. Das Volumen des Bildes T des Tetraeders T unter f ist Ṽ =. d. Zwei voneinander linear unabhängige Vektoren v und w, die von A auf sich selbst abgebildet werden, sind zum Beispiel v =. Prof. J. Pöschel Blatt B2 vom Seite 3 von 4

8 HM 1+2 bau immo tpbau B2 4 D i p l o m v o r p r ü f u n g H ö h e r e M a t h e m a t i k I / I I Aufgabe 5 / 6 Punkte / Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. a. Es ist e 2003πi = 1. wahr falsch b. z z = 3 ist lösbar für z C. wahr falsch c. z 100 = 4 ist lösbar für z C. wahr falsch d. Es ist (1 + i) 2003 = (1 i). wahr falsch Aufgabe 6 / 6 Punkte / Sind die folgenden Aussagen für eine stetige Funktion f : [ 1, 1] R stets wahr? a. Es gibt z [ 1, 1] mit f (z) = 1 2 ( f ( 1) + f (1)). wahr falsch b. Besitzt f eine Nullstelle in [ 1, 1], so ist f (1) f ( 1) < 0. wahr falsch sin f (x) c. Die Funktion e f (x) ist auf [ 1, 1] integrierbar. wahr falsch d. Gilt f (x) x auf [ 1, 1], so ist f in x = 0 differenzierbar. wahr falsch Aufgabe 7 / 6 Punkte / Bestimmen Sie für die gegebene Funktion jeweils das Taylorpolynom dritten Grades zum angegebenen Entwicklungspunkt. Die Koeffizienten können dabei auch negativ sein. a. f (x) = 1 x 3, mit x 0 = 1. T 3 (x, 1) = + (x 1)+ (x 1) 2 + (x 1) 3 b. f (x) = x 3 + x 2 x, mit x 0 = 2. T 3 (x, 2) = + (x 2)+ (x 2) 2 + (x 2) 3 c. f (x) = ln(1 + x 2 ), mit x 0 = 0. T 3 (x, 0) = + x + x 2 + x 3 Prof. J. Pöschel Blatt B2 vom Seite 4 von 4