4.7 Der Taylorsche Satz

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1 288 4 Differenziation 4.7 Der Taylorsche Satz Die Differenzierbarkeit, also die Existenz der ersten Ableitung einer Funktion, erlaubt bekanntlich, diese Funktion lokal durch eine affine Funktion näherungsweise zu beschreiben. Besitzt nun die gegebene Funktion Ableitungen höherer Ordnung, so kann man fragen, ob diese Näherung nicht besser als nur durch eine affine Funktion erfolgen kann, etwa durch Polynome. Der Klärung dieser Frage ist der gegenwärtige Abschnitt gewidmet. Für eine gegebene n-mal differenzierbare Funktion f : D R N R und einen Punkt a D werden im folgenden gewisse Polynome eine zentrale Rolle spielen. Diese definieren wir für k = 1,..., n durch die Beziehung T k (x, a) := 1 k! i 1 =1 T k (, a) : R N R. i k =1 k f(a) x ik x i1 x i1... x ik, (4.56) Jedes dieser Polynome in den Koordinaten x 1,..., x N von x ist eine Summe von N k Monomen, deren jeweiliger Koeffizient eine bestimmte k-te partielle Ableitung von f an der Stelle a ist. Alle diese Monome haben den gleichen Grad k, und es gilt T k (λx, a) = λ k T k (x, a) für alle λ R. Wir bezeichnen daher T k als homogenes Polynom vom Grade k in den Koordinaten von x. Da die Polynome (4.56) zugegebenermaßen nicht gerade leicht zu überschauen sind, wollen wir sie uns an Hand einiger Spezialfälle etwas näherbringen Beispiele: (1) Im Fall N = 1 vereinfacht sich die Formel (4.56) mit x = x 1 zu T k (x, a) = f (k) (a) x k für alle k = 1,..., n. k! (2) Im Fall N = 2 erhalten wir für k = 1, 2 die Ausdrücke T 1 (x, a) = f(a) x 1 + f(a) x 2 = grad f(a) x, x 1 x 2 T 2 (x, a) = 1 [ 2 x 2 x f(a) x 1 x f(a) x 2 x f(a) 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 2 = 1 ( ) 2 (x x 1, x 2 ) 2 x 1 2 x 1 x1. x 2 x 1 x 2 x 2 2 x 2 2 ] = (3) Im Fall eines beliebigen N N gilt für k = 1, 2 analog wie zuvor T 1 (x, a) = grad f(a) x,

2 4.7 Der Taylorsche Satz 289 T 2 (x, a) = 1 2 (x 1,..., x N ) x 2 1. x 1 x N x N x x 2 N Das zentrale theoretische Ergebnis über Funktionen mit höheren Ableitungen ist der folgende, nach B. Taylor benannte Satz. x 1. x N Satz (Taylorscher Satz): Gegeben seien eine auf einer offenen Menge D R N erklärte C n -Funktion f : D R und zwei Punkte a, x D derart, dass die Verbindungsstrecke Str[a, x] ganz in D liegt. Dann gibt es ein ξ Str[a, x] mit n 1 f(x) = f(a) + T k (x a, a) + T n (x a, ξ). (4.57) k=1 Darüber hinaus gilt lim x a T n (x a, ξ) = 0. (4.58) x a n 1 Die Formel (4.57) nennt man Taylorsche Formel, das darin auftretende Polynom f(a) + n 1 k=1 T k(x a, a) heißt (n 1)-tes Taylorpolynom von f bei a und der Ausdruck T n (x a, ξ) heißt Restglied nach Lagrange (es gibt noch andere Formen dieses Restglieds). Bevor wir den Taylorschen Satz beweisen, wollen wir seine Aussage noch etwas erläutern und veranschaulichen Bemerkung: Der besonderen Bedeutung wegen wollen wir die Taylorformel für den ein-dimensionalen Fall noch einmal gesondert formulieren. Sie lautet für eine auf einem offenen Intervall I n-mal stetig differenzierbare Funktion f : I R (siehe Beispiel (1)) n 1 f(x) = f(a) + k=1 f (k) (a) k! (x a) k + f (n) (ξ) n! (x a) n, (4.59) wobei a und x beliebige Punkte aus I sind und ξ ein nicht näher beschreibbarer Punkt zwischen a und x ist Bemerkung: Der Taylorsche Satz verallgemeinert verschiedene Ergebnisse, die wir zuvor für 1-mal differenzierbare Funktionen hergeleitet haben. So stellt er eine Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes dar, denn

3 290 4 Differenziation im Fall n = 1 reduziert sich die Taylorformel (siehe Beispiel (3)) auf die Formel f(x) = f(a) + grad f(ξ) (x a) des Satzes Im Fall n = 2 hat die Taylorformel die Gestalt f(x) = f(a)+grad f(a) (x a)+t 2 (x a, ξ) T 2 (x a, ξ) mit lim = 0. (4.60) x a x a Ein Vergleich dieser Beziehung mit der Aussage (a) des Satzes zeigt, dass der Taylorsche Satz auch eine gewisse Verallgemeinerung des Satzes darstellt. Während der Satz nur 1-malige Differenzierbarkeit verlangt, benötigt der Taylorsche Satz (in der angegebenen Version) 2-malige stetige Differenzierbarkeit für die Gültigkeit der Formel (4.60). Dafür liefert er aber auch eine explizite Formel für den Restterm, im Gegensatz zum nicht näher bestimmten Restterm im Satz Wir wollen nun auf die eingangs aufgeworfene Frage zu sprechen kommen, inwieweit eine mehrmals differenzierbare Funktion besser als durch affine Funktionen approximiert werden kann. Die Taylorformel (4.57) zeigt, dass die Approximation der gegebenen Funktion umso besser wird, je höher der Grad n 1 des approximierenden Taylorpolynoms ist. Der Restterm strebt nämlich für x a stärker gegen 0 als dies die Funktion x a n 1 tut. Wie dies in einem konkreten Fall aussieht, wollen wir uns an einem Beispiel ansehen Beispiel: Um die Taylorpolynome der C -Funktion cos x bei x = 0 zu bestimmen, benötigen wir die Ableitungen cos (k) (0), k = 0, 1, 2,.... Das Taylorpolynom 8-ten Grades hat dann, wie man leicht bestätigt, die Form 1 0 x 1 2 x2 + 0 x x4 0 x x6 + 0 x x8. Die Abbildung 4.22 zeigt einen Teil der Cosinusfunktion und die Taylorpolynome der Grade 0, 2, 4, 6 und 8. Deutlich ist zu erkennen, wie sich die Approximation verbessert, wenn man den Grad des Taylorpolynoms erhöht. Abb Approximation von cos x bei 0 durch die Taylorpolynome der Grade 0 bis 8

4 4.7 Der Taylorsche Satz 291 Beweis des Satzes 4.7.2: Wir gehen in drei Schritten vor. 1. Schritt (Taylorformel (4.57) für N = 1, siehe (4.59)): Für fixiertes x a, ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x > a, betrachten wir die Hilfsfunktion n 1 h(t) := f(x) f(t) k=1 f (k) (t) k! (x t) k α (x t)n n!, h : D R, (4.61) bei der wir die reelle Zahl α so wählen können (einfach ausrechnen!), dass neben der offensichtlichen Beziehung h(x) = 0 auch h(a) = 0 gilt. Da h differenzierbar ist, gibt es nach dem Satz von Rolle ein ξ (a, x) mit h (ξ) = 0. Wegen der leicht nachprüfbaren Beziehung h (t) = f (n) (t) (n 1)! (x (x t)n 1 t)n 1 + α (n 1)! für alle t D gilt also, indem wir hierin t = ξ setzen und nach α auflösen, α = f (n) (ξ). Ersetzen wir nun in der Beziehung (4.61) die Variable t durch a und die Variable α durch f (n) (ξ), und beachten die Beziehung h(a) = 0, so ergibt sich die Taylorformel für den Fall N = 1 (siehe (4.59)). 2. Schritt (Taylorformel (4.57) für beliebiges N N): Die Hilfsfunktion g(t) := f(a + t(x a)), g : J R, J ein geeignetes offenes Intervall mit [0, 1] J, ist n-mal stetig differenzierbar, und es gilt g (t) = grad f(a + t(x a)) (x a) = g (t) = [ N i 1 =1 i 2 =1 i 1 =1 2 f(a + t(x a)) x i2 x i1 (x i2 a i2 ) f(a + t(x a)) x i1 (x i1 a i1 ), ] (x i1 a i1 ),. =. (vollständige Induktion). g (k) (t) = i 1 =1 i k =1 k f(a + t(x a)) x ik x i1 (x i1 a i1 )... (x ik a ik ), für k = 1,..., n. Damit gilt (siehe (4.56)) g (k) (0) = k! T k (x a, a) für k = 1,..., n. (4.62)

5 292 4 Differenziation Anwendung der im 1. Beweisschritt bewiesenen ein-dimensionalen Taylorformel (4.59) auf die Funktion g(t) liefert die Beziehung n 1 g(1) = g(0) + k=1 g (k) (0) k! + g(n) (η) n! für ein η (0, 1), und damit folgt unter Verwendung von (4.62) die behauptete Formel (4.57) mit ξ := a + η (x a). 3. Schritt: Die Grenzwertbeziehung (4.58) folgt sofort aus der wegen x ij a ij x a für j = 1,..., n gültigen Abschätzung T n (x a, ξ) (4.56) 1 n! i 1 =1 i n=1 n f(ξ) x a n, x in x i1 wenn man bedenkt, dass die in diesem Ausdruck auftretenden partiellen Ableitungen nach Voraussetzung stetig und damit in jeder kompakten (in D liegenden) Umgebung von a beschränkt sind. Besitzt eine Funktion f : D R N R an einem inneren Punkt a von D alle partiellen Ableitungen beliebig hoher Ordnung, so kann man die für alle x R N definierte Funktionenreihe ( f(a) + n k=1 ) T k (x a, a) n N (4.63) bilden. Man nennt sie die Taylorreihe von f um a. Sie ist genau für diejenigen x D konvergent, und zwar gegen f(x), für die das Restglied T n (x a, ξ n ) für n verschwindet. Zu beachten ist hierbei, dass die im Restglied auftretende Zwischenstelle ξ n natürlich von n abhängt. Im Fall N = 1 handelt es sich bei der Taylorreihe (4.63) offensichtlich um eine Potenzreihe, nämlich ( n k=0 f (k) (a) k! (x a) k ) n N 0, zu deren Konvergenzuntersuchung uns verschiedene Kriterien (siehe Satz und Folgerung 2.8.7) zur Verfügung stehen. Im Lichte der zuvor beschriebenen Verbesserung der Approximation einer gegebenen Funktion f durch Taylorpolynome mit wachsenden Graden mag man nun erwarten, dass im Fall der Konvergenz der Taylorreihe die gegebene Funktion f gerade die Grenzfunktion der von f erzeugten Taylorreihe ist. Dass es sich hierbei um einen Trugschluss handelt, zeigt uns das nachfolgende Beispiel.

6 4.7 Der Taylorsche Satz Beispiel: Die reelle Funktion exp( 1 x ) für x > 0 f(x) := 0 für x = 0 exp( 1 x ) für x < 0 (siehe Abbildung 4.23) ist, was man wie beim Beispiel leicht bestätigt, eine C -Funktion. Es gilt nämlich f (k) (0) = 0 für alle k N 0. Damit verschwinden alle Koeffizienten der Taylorreihe von f um 0 und die Taylorreihe konvergiert in trivialer Weise gegen die Nullfunktion, und nicht gegen f. Abb Die C -Funktion des Beispiels mit verschwindender Taylorreihe um 0 Wie das Beispiel zeigt, stimmt das 8. Taylorpolynom der Cosinusfunktion mit der 8. Partialsumme derjenigen Potenzreihe überein, mit deren Hilfe der Cosinus definiert wurde. Diese Übereinstimmung gilt sogar, wie man leicht zeigen kann, für alle Partialsummen, d.h. für alle Koeffizienten. Entsprechendes gilt für die Sinusfunktion, die Exponentialfunktion, natürlich für alle Polynome und viele weitere Funktionen. Diese besonders nützliche Eigenschaft bestimmter Funktionen nimmt man zum Anlass für eine eigene Begriffsbildung Definition: Eine C -Funktion f : D R N R heißt (reell) analytisch, falls für jeden Punkt a D die Taylorreihe von f um a in einer Umgebung von a konvergiert und dort die Funktion f als Grenzfunktion besitzt. Die Analytizität von Funktionen wird uns im Rahmen der elementaren Analysis nicht weiter beschäftigen. Dies hängt damit zusammen, dass die Eigenschaften der analytischen Funktionen und die sich daraus ergebenden Konsequenzen erst im Rahmen der komplexen Analysis voll verstanden werden können. Die systematische Untersuchung der analytischen Funktionen bleibt daher der sogenannten Funktionentheorie vorbehalten.

7 294 4 Differenziation 4.8 Extremwerte Zu den häufigsten Anwendungen der Differenzialrechnung gehört die Bestimmung von Funktionswerten, die maximal oder minimal in Bezug auf benachbarte Funktionswerte sind. Man unterscheidet in diesem Zusammenhang das grundlegende Problem, bei dem die Funktion auf dem gesamten, im allgemeinen offenen Definitionsbereich betrachtet wird, vom entsprechenden Problem mit sogenannten Nebenbedingungen. Im letzteren Fall interessiert man sich für die Einschränkung der gegebenen Funktion auf eine Menge ohne innere Punkte. Zunächst gilt es nun, die in diesem Zusammenhang relevanten Begriffe zu klären Definition: Gegeben sei eine Funktion f : D R N R und ein Punkt a aus der (nicht notwendigerweise offenen) Menge D. Man sagt, f habe bei a ein globales Maximum : x D : f(x) f(a), lokales Maximum : δ >0: x U δ (a) D : f(x) f(a), strenges lokales Maximum : δ >0: x U δ (a) D : f(x) < f(a). In jedem dieser Fälle heißt a Maximalstelle und f(a) heißt Maximalwert. Mit den umkehrten Ungleichungen erklärt man entsprechend die drei Formen von Minimum sowie die Begriffe Minimalstelle und Minimalwert. Die Begriffe Extremum bzw. Extremalstelle bzw. Extremwert sind Sammelbegriffe für Maximum oder Minimum bzw. Maximal- oder Minimalstelle bzw. Maximal- oder Minimalwert. Abb Verschiedene Formen von Extremwerten

8 4.8 Extremwerte 295 Auf Grund dieser Definition ist jedes globale Maximum ein lokales Maximum, auch jedes strenge lokale Maximum ist ein lokales Maximum. Entsprechendes gilt für das Minimum. Die Umkehrungen dieser Aussagen gelten offensichtlich nicht, wie man der Abbildung 4.24 leicht entnehmen kann. Sehr leicht kann man bei differenzierbaren Funktionen eine notwendige Bedingung dafür angeben, dass ein innerer Punkt des Definitionsbereichs eine Extremalstelle ist. Wie der folgende Satz zeigt, genügt hierfür schon eine abgeschwächte Form der Differenzierbarkeit Satz (notwendige Bedingung für lokales Extremum): Eine Funktion f : D R N R besitze in einem inneren Punkt a von D alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung, und f habe bei a ein lokales Extremum. Dann gilt grad f(a) = 0. Beweis: Der Beweis beruht auf Überlegungen, die wir im Zusammenhang mit den Mittelwertsätzen im Abschnitt 4.3 schon mehrmals angestellt haben. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit betrachten wir hier nur den Fall des Maximums. Da a ein innerer Punkt von D ist, gibt es ein ε > 0, so dass die N Funktionen h i (t) := f(a 1,..., a i 1, a i +t, a i+1,..., a N ), h i : [ ε, ε] R, i = 1,..., N erklärt sind. Auf Grund der Voraussetzungen des Satzes gilt dann für i = 1,..., N { h i (t) h i (0) 0 für alle t [ ε, 0), t 0 für alle t (0, ε]. Durch die beiden einseitigen Grenzübergänge t 0 ± folgt, dass h i (0) sowohl 0 als auch 0 ist. Insgesamt gilt also h i (0) = 0 für i = 1,..., N. h i (0) ist aber gerade die partielle Ableitung i f(a) und damit die i-te Koordinate von grad f(a). Die geometrische Interpretation der im Satz beschriebenen notwendigen Bedingung grad f(a) = 0 für ein Extremum ist, dass die betrachtete Funktion in einem Extremwert eine horizontale Tangentialebene besitzt. Dass diese Bedingung nicht hinreichend für die Existenz eines Extremums bei a ist, zeigt die reelle Funktion x 3 an der Stelle x = 0, oder die in der Abbildung 4.25 dargestellte Funktion f(x, y) := 1 + x 2 y 2 an der Stelle (x, y) = (0, 0). Nach den notwendigen Bedingungen des vorherigen Satzes wollen wir nun hinreichende Bedingungen für Extrema formulieren. Dazu benötigen wir den

9 296 4 Differenziation Abb Graph der Sattelfläche f(x, y) = 1 + x 2 y 2, f : R 2 R Taylorschen Satz zusammen mit Definitheitseigenschaften der in der Taylorschen Formel (4.57) auftretenden homogenen Polynome T k (x a, a). Wir nennen dabei ein solches Polynom positiv definit bzw. negativ definit, wenn es abgesehen von der Nullstelle a nur positive bzw. nur negative Werte annimmt. Es heißt dagegen indefinit, wenn sowohl positive als auch negative Funktionswerte auftreten Satz (hinreichende Bedingung für lokales Extremum): Gegeben sei eine C n+1 -Funktion f : D R N R und ein Punkt a D. Ferner gelte T k (x a, a) = 0 für alle x R N, k = 1,..., n 1. (4.64) Dann gelten die folgenden Implikationen: T n (, a) positiv definit = strenges lokales Minimum bei a, T n (, a) negativ definit = strenges lokales Maximum bei a, T n (, a) indefinit = kein Extremum bei a. Beweis: Nach dem Taylorschen Satz gilt für jedes x aus einer punktierten Umgebung U δ (a) D von a mit einem ξ Str[a, x], unter Ausnutzung der Homogenität von T n (, a), die Beziehung (beachte die Voraussetzung (4.64)) f(x) f(a) = T n (x a, a) + T n+1 (x a, ξ) = [ ( ) ] = x a n T x a n x a, a + T n+1(x a,ξ) x a. (4.65) }{{}}{{ n } S 1 (0) 0 für x a

10 4.8 Extremwerte 297 (a) T n (, a) sei positiv definit: Dann nimmt T n (, a) auf der kompakten Menge S 1 (0) = {x R N : x = 1} nach Satz ein globales Minimum µ an, und dieses ist wegen der vorausgesetzten Definitheit positiv. Also gibt es ein x S 1 (0) mit T n ( x a x a, a) T n( x, a) = µ > 0 für alle x R N \ {a}. (4.66) Wir wählen nun ein ε > 0 so klein, dass auf U ε (a) der Restterm in (4.65) kleiner als µ 2 wird. Damit folgt dann aus (4.65) eine Ungleichung der angestrebten Form, nämlich f(x) f(a) x a n [ µ µ 2 ] > 0 für alle x U ε (a). (b) T n (, a) sei negativ definit: Man schließt analog wie im Teil (a) mit Hilfe des globalen negativen Maximums von T n (, a) auf S 1 (0). (c) T n (, a) sei indefinit: Dann gibt es Punkte x, x R N mit T n ( x, a) < 0 < T n ( x, a). Für alle t > 0 mit a + t x U δ (a) gilt dann wegen (4.65) (man benutzt wieder die Homogenität von T n (, a)) f(a + t x) f(a) = t x n[ T n ( x x, a ) }{{} < 0 fest ] + T n+1(t x,ξ) t x. }{{ n } 0 für t 0 + Hieraus folgt, dass es in beliebiger Nähe von a Punkte der Form a + t x gibt mit f(a + t x) < f(a). Analog schließt man, dass es in beliebiger Nähe von a Punkte der Form a + t x gibt mit f(a + t x) > f(a). Also besitzt f bei a weder ein Maximum noch ein Minimum. Die für Extrema hinreichenden Bedingungen des Satzes sind aus theoretischer Sicht sehr einfach und elegant. Wie sieht es aber mit ihrer praktischen Umsetzung aus? Für die wichtigsten Spezialfälle wollen wir diesen rechnerischen Aspekt nun noch näher beleuchten. Im Fall N = 1 lautet der Satz wie folgt (siehe Beispiel (1)): Unter der Voraussetzung f (k) (a) = 0 für k = 1,..., n 1 und f (n) (a) 0 gelten wegen der für N = 1 gültigen Beziehung T n (x a, a) f (n) (a) n! (x a) n die folgenden Implikationen: n gerade und f (n) (a) > 0 = strenges lokales Minimum bei a, n gerade und f (n) (a) < 0 = strenges lokales Maximum bei a, n ungerade = kein Extremum bei a.

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