Wir wollen dieses Semester beginnen indem wir uns zunächst an den Mittelwertsatz I. 12.Satz 10 erinnern.

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1 Inhltsverzeichnis Tylorpolynome und Tylorreihen Integrlrechnung Uneigentliche Integrle Funktionenfolgen und normierte Räume Eigenwerte und die Jordnsche Normlform Symmetrische und hermitesche Mtrizen Orthogonle und unitäre Mtrizen Differentilrechnung im R n Ableitungen höherer Ordnung $Id: tylor.tex,v.5 5/7/ 5:7: hk Exp $ Vorlesung, Mittwoch Tylorpolynome und Tylorreihen Wir wollen dieses Semester beginnen indem wir uns zunächst n den Mittelwertstz I..Stz erinnern. ξ b Bei diesem wr eine stetige Funktion f : [, b] R gegeben, die im Inneren (, b) des Intervlls differenzierbr ist. Der Mittelwertstz besgte dnn, dss es stets eine

2 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch Stelle ξ (, b) gibt n der die Steigung der Tngente in ξ gleich der Sekntensteigung zwischen und b ist, dss lso f (ξ) = f(b) f() b gilt. Als ein kleines Beispiel zur Anwendung des Mittelwertstzes beweisen wir jetzt ein im Folgenden sehr nützliches Lemm über ds Erkennen konstnter Funktionen. Lemm. (Kennzeichnung konstnter Funktionen) Seien I R ein Intervll und f : I R eine stetige Funktion, die im Inneren I des Intervlls differenzierbr ist. Dnn ist f genu dnn konstnt wenn f (x) = für jedes x I gilt. Beweis: = Klr. = Seien x, y I mit x < y. Dnn ist f in (x, y) I differenzierbr, lso gibt es nch dem Mittelwertstz I..Stz ein ξ (, b) mit f(y) f(x) = f (ξ) (y x) =, und somit ist f(x) = f(y). Dmit ist die Funktion f konstnt. Alterntiv folgt dies uch us dem Monotoniekriterium I..Korollr, dieses besgt insbesondere ds eine Funktion der im Lemm betrchteten Art sowohl monoton steigend ls uch monoton fllend ist, sie muss lso konstnt sein.. Tylorentwicklung und prtielle Ableitungen In I. htten wir ds n-te Tylorpolynom einer n-fch differenzierbren Funktion f zum Entwicklungspunkt x ls T n (x) = n k= f (k) (x ) (x x ) k k! definiert, dies wr gerde dsjenige Polynom höchstens n-grdes dessen Funktionswert und erste n Ableitungen in x mit denen von f übereinstimmen. Weiter htten wir bewiesen ds der Approximtionsfehler f(x) T n (x) sich ls f(x) T n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+ schreiben liess, wobei ξ zwischen x und x liegt. Dbei wr diese Formel für (n+)-fch differenzierbre Funktionen nwendbr. Diesen Fehlerterm konnte mn dnn uswerten, indem f (n+) (ξ) durch eine obere Schrnke der (n + )-ten Ableitung zwischen x und x ersetzt wurde. Auch dies wr eine Folgerung us dem Mittelwertstz, mn setzt m := f(x) T n(x) (n + )! (x x ) n+

3 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch und definiert die Hilfsfunktion g(t) = n k= f (k) (t) (x t) k (x t)n+ + m. k! (n + )! Dnn ist g differenzierbr mit g(x) = f(x) und g(x )= n k= f (k) (x ) (x x ) k +m (x x ) n+ k! (n + )! = T n (x)+ f(x) T n(x) (x x ) n+ (x x ) n+ = f(x), d.h. wir hben g(x) = g(x ). Nch dem Mittelwertstz existiert ein ξ zwischen x und x mit g (ξ) =. Für jedes t I ist dbei g (t) = f (t) + lso hben wir = f (t) + n ( f (k+) (t) (x t) k f ) (k) (t) (x t)n (x t)k m k! (k )! n! k= n k= f (k+) (t) n (x t) k k! k= = f (t) f (t) + f (n+) (t) (x t) n (x t)n m n! n! = f (n+) (t) (x t) n (x t)n m, n! n! f (n+) (ξ) (x ξ) n (x ξ)n m n! n! und dmit ist uch m = f (n+) (ξ). Es folgt f (k+) (t) (x t) k (x t)n m k! n! = g (ξ) =, f(x) T n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+, und wir hben die ngegebene Formel. D die Beispiele hierzu letztes Semester etws kurz gekommen sind, wollen und dies lles einml m Beispiel des dritten Tylorpolynoms des Cosinus nschuen. Ist f = cos, so sind f = sin, f = cos, f = sin und schließlich f = cos, lso f() =, f () =, f () = und f () =, und ds Tylorpolynom T 3 des Cosinus zum Entwicklungspunkt x = ist dmit T 3 (x) = x. Ist lso x R, so existiert ein ξ zwischen und x mit ) cos x ( x = cos ξ 4 x4. 3

4 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch Ist lso beispielsweise < x < π/4, so ist / < cos ξ < und somit ) 48 x4 < cos x ( x < 4 x4. Als ein weiteres Beispiel wollen wir nun ds sogennnte Problem der schwingenden Site diskutieren, dieses ist ihnen whrscheinlich bereits us ihren nderen Vorlesungen beknnt. Wir werden die sogennnten prtiellen Ableitungen einer Funktion in mehreren Vriblen benötigen, dher beginnen wir dmit diese einzuführen. Wir beschränken uns dbei uf ds Notwendigste, einer genuere Behndlung prtieller Ableitungen erfolgt später in diesem Semester. Definition. (Prtielle Ableitungen) Seien n N mit n, D R n und f : D R eine Funktion. Weiter seien D und ein Index i n gegeben. Dnn heißt die Funktion f im Punkt nch der i-ten Vriblen prtiell differenzierbr, wenn i ein Häufungspunkt der Menge ist und die Funktion D i, := {x R (,..., i, x, i+,..., n ) D} f i, : D i, R; x f(,..., i, x, i+,..., n ) in i differenzierbr ist. In diesem Fll definieren wir die prtielle Ableitung von f im Punkt nch der i-ten Vriblen ls f x i () := f i,( i ). Es gibt eine erstunlich grosse Vielflt verschiedener Schreibweisen für die prtiellen Ableitungen. Sie finden oft uch die lterntiven Nottionsmöglichkeiten f x i () = xi f() = D xi f() = f xi (). Ist die Funktion f durch eine explizite Formel gegeben, so ht x i in dem Ausdruck f/ x i zwei verschiedene Bedeutungen, einml wird es rein symbolisch verwendet, um nzugeben nch welcher Vriblen bgeleitet wird, und zum nderen tucht es ls Argument in f uf. Einige Autoren bevorzugen es zumindest gelegentlich diese beiden Bedeutungen zu trennen und so etws wie f/ r i zu schreiben. Noch konsequenter, und uch häufiger zu finden, ist es nur noch i sttt x i zu schreiben, lso f x i () = i f() = D i f() = f i (). Schließlich wird die Auswertung n der Stelle oftmls uch in der Form f () = f x i x i = f x= x i, 4

5 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch notiert, wenn für f eine explizite Formel eingesetzt ist so werden uch wir diese Schreibweise verwenden. Rechnerisch stellt uns die Berechnung prtieller Ableitungen vor keine neuen Probleme, es werden lle Vriblen usser x i ls Konstnten behndelt und gnz norml nch der verbleibenden Vriblen x i bgeleitet. Knn mn lso normle Ableitungen berechnen, so kennt mn uch prtielle Ableitungen. Wir wollen ein pr kleine Beispiele rechnen.. Sei f(x, y) = x+y. Hier ist lso n = die Zhl der Vriblen, und für die Menge D können wir den gnzen R, lso D = R, verwenden. Wir wollen die prtielle Ableitung von f nch der ersten Vriblen, lso nch x berechnen. Unsere Definition sgt wir müssen y ls Konstnte behndeln, und nch der Vriblen x bleiten, und somit ergibt sich f x = denn die Ableitung von x + Konstnte ist Eins. Für die prtielle Ableitung nch y betrchten wir x ls konstnt, und leiten dmit die Funktion Konstnte + y b, d.h. f y = y.. Jetzt betrchten wir die Funktion f(x, y) = x cos y, wieder uf D = R definiert. Denken wir uns y ls konstnt, so ist uch cos y konstnt, wir hben lso eine Funktion Konstnte x bzuleiten, und dies gibt einfch die Konstnte, lso f = cos y. x Für die prtielle Ableitung nch y hben wir dgegen Konstnte cos y mit der Ableitung f = x sin y. y 3. Jetzt betrchten wir die Funktion f(x, y) := y x. Diese können wir offenbr nicht für lle x, y R definieren, hier ist es lso nötig, wirklich eine echte Teilmenge D des R ls Definitionsbereich zu verwenden. Nheliegenderweise verwenden wir hierfür die Menge D := {(x, y) R x }. Für die prtielle Ableitung nch x hben wir diesml Konstnte /x und /x ht die Ableitung /x, wir kriegen lso f x = y x. Als Funktion von y ist f dgegen einfch Konstnte y, lso f y = x. 5

6 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch Wir betrchten jetzt noch ein letztes Beispiel f(x, y) = x y. Potenzen mit reellen Exponenten wren nur für positive Bsen sinnvoll, lso sollten wir ls Definitionsbereich die Menge D = {(x, y) R x > } benutzen. Die prtiellen Ableitungen berechnen sich diesml zu f x = yxy, f y = ln(x)x y. Bevor wir die höheren prtiellen Ableitungen definieren wollen wir noch eine weitere kleine Anmerkung zur Definition von f/ x i in einem Punkt mchen. Wie schon bemerkt werden lle Vriblen x j = j für j i konstnt gehlten und dnn wird in i nch x i bgeleitet. y f b,y y b f b,x f,y f,x D D x x Wenn wir uns dies beispielsweise für n = Argumente x, y einml hinmlen, so betrchtet mn die Funktion f zur Berechnung von f/ x() uf wgerechten Gerdenstücken durch den Punkt und zur Berechnung von f/ y() werden vertikle Gerdenstücke durch verwendet. Dmit die prtielle Ableitung überhupt sinnvoll definiert ist, muss der im Definitionsbereich D der Funktion f liegende Teil des jeweiligen Gerdenstücks sich bei häufen, in der Definition der prtiellen Ableitung f/ x i ist dies gerde die Bedingung ds i ein Häufungspunkt der Menge D i, ist. In den Rndpunkten von D knn dies durchus eine Einschränkung sein, im Beispiel des obigen linken Bildes ist lles gut, ber im rechten Bild sieht mn einige Problemfälle. Dort ist der Definitionsbereich D ein Kreis mit Mittelpunkt (, ) und irgendeinem Rdius r >. Ist = (r, ) der Punkt gnz rechts, so ist ds vertikle Gerdenstück durch tngentil zum Kreis D und trifft diesen nur im Punkt, eine prtielle Ableitung nch y ist in diesem Punkt lso nicht definiert. Entsprechendes trifft für den Punkt = ( r, ) gnz links zu. Dgegen ist in den Punkten (, ±r) die prtielle Ableitung nch x nicht definiert. Welche prtiellen Ableitungen sinnvoll sind, hängt lso uch von der Geometrie der Menge D b, bei einem Kreis gibt es wie gesehen vier problemtische Punkte. 6

7 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch Ist dgegen D etw ein Rechteck, so sind in jedem Punkt von D beide prtiellen Ableitungen, zumindest potentiell, definiert. Diesen etws störenden Punkt werden wir später in diesem Semester umgehen, indem wir nur noch sogennnte offene Mengen D betrchten, ber dzu kommen wir erst später. In diesem Prgrphen wird die uns interessierende Menge D ein Streifen D = [, l] R sein, und uch dies ist ein unkritischer Fll. Nun kommen wir zu den prtiellen Ableitungen höherer Ordnung. Genu wie die höheren Ableitungen von Funktionen in einer Vriblen werden diese rekursiv definiert. Definition. (Prtielle Ableitungen höherer Ordnung) Seien n N mit n, D R n eine Teilmenge und f : D R eine Funktion. Dnn definieren wir: () Sei i n. Dnn heißt die Funktion f nch der i-ten Vriblen prtiell differenzierbr, wenn f in jedem Punkt D nch der i-ten Vriblen prtiell differenzierbr ist. Die prtielle Ableitung von f nch der i-ten Vriblen ist dnn die Funktion f = f : D R; f (). x i x i x i (b) Höhere prtielle Ableitungen werden jetzt induktiv definiert. Sei r N mit r und seien weiter i,..., i r n gegeben. Dnn heißt die Funktion f in einem Punkt D nch x ir,..., x i prtiell differenzierbr, wenn f nch x ir,..., x i prtiell differenzierbr ist und die Funktion r f/ x ir x i in nch der i r -ten Vrible prtiell differenzierbr ist. In diesem Fll schreiben wir r f () := ( ) r f x ir x i x ir. x ir x i Weiter heißt f prtiell nch x ir,..., x i differenzierbr wenn f in jedem Punkt D nch x ir,..., x i prtiell differenzierbr ist und die r-te prtielle Ableitung von f nch x ir,..., x i ist die Funktion r f x ir x i : D R; r f x ir x i (). (c) Ist r N mit r, so heißt die Funktion f r-fch prtiell differenzierbr, wenn f für lle i,..., i r n prtiell nch x ir,..., x i differenzierbr ist. Bechte ds die prtielle Differenzierbrkeit einer Funktion f : D R nch einer Vriblen x i implizit uch eine Bedingung n den Definitionsbereich D ist. Anlog zu einfchen prtiellen Ableitungen gibt es uch wieder eine gnze Reihe lterntiver Schreibweisen, zum Beispiel r f x ir x i = xir,...,x i f = D xir,...,x i f = f xir,...,x i = D ir,...,i f = f ir,...,i. 7

8 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch Wir wollen uns uch ein Beispiel zu den höheren prtiellen Ableitungen nschuen. Betrchte wieder die Funktion Dnn ist f y x = y f : R > R R; (x, y) x y. ( ) f = x y yxy = ( + ln(x)y)x y für lle x, y R mit x >. Nch diesen Vorbereitungen kommen wir jetzt zur schwingenden Site. Wir betrchten einen eingespnnten metllischen Drht, der in einer Dimension schwingen knn, etw eine Site einer Gitrre. Dbei denken wir uns, dss die Bewegung der Site nur in einer Richtung stttfindet, und können die Site dnn durch eine Funktion u(x, t) beschreiben. Hier steht t für die Zeit und x für die Ortskoordinte uf der Site. Der Wert u(x, t) ist die Auslenkung bei x zum Zeitpunkt t. u u(x,t) x= x x=l Die Site hbe eine Länge l > und sei n den beiden Enden fest eingespnnt, d.h. wir wollen u(, t) = u(l, t) = für lle t R hben. Wir wollen eine Gleichung zur Beschreibung der Bewegung dieser Site herleiten. Ds prinzipielle Vorgehen ist dbei klr, wir hben die Änderung des Impulses, lso Msse ml Beschleunigung, gleich der wirkenden Krft zu setzen, und hierus ist dnn die gesuchte Gleichung bzuleiten. Kommen wir zuerst einml zur Beschleunigung. Wir setzen uns uf einen Punkt x der Site und verfolgen wie sich dieser Punkt im Lufe der Zeit ändert. Anders gesgt ist die Bewegung dieses festen Punktes x uf der Site durch die Funktion t u(x, t) gegeben, wir hlten x lso ls Konstnte fest und betrchten u ls Funktion von t. Die Geschwindigkeit erhlten wir durch Ableiten dieser Funktion nch t und dies ist definitionsgemäß die prtielle Ableitung der Funktion u nch t. Weiteres Ableiten nch t liefert die Beschleunigung = u t := u t t. Weiter bezeichne M > die Msse unserer Site. Denken wir uns die Site ls homogen, so ergibt sich im Punkt x die Dichte M/l und die Änderung des Impulses, 8

9 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch beziehungsweise genuer des Impulses pro Strecke, wird (M/l) u/ t. Ist F die uf unseren Punkt wirkende Krft pro Strecke, so erhlten wir die Bewegungsgleichung F = M l u t. Um jetzt weiter zu kommen, muss F bestimmt werden. Dfür nehmen wir n ds diese Krft nur von den Rücktriebskräften innerhlb der Site verurscht wird, lso denjenigen Kräften die versuchen die Site in horizontle Lge zu bringen. Um diese zu berechnen, denken wir uns die Site in eine große Zhl n N gleichgroßer Teile zerlegt. Jedes dieser n Teilstücke ht dnn die Länge ɛ = l/n und die Msse m = M/n. u u(x,t) x ε x+ ε x= x=lk/n x=l Wir betrchten dnn nur noch die x-werte x = kl/n = kɛ für k =,,..., n. Wir nehmen weiter n ds es usreicht nur die von den beiden unmittelbren Nchbrn bewirkten Rücktriebskräfte zu berücksichtigen. Diese sind in den Punkten x ɛ und x + ɛ. Um diese Kräfte zu bestimmen, nehmen wir weiter n, dss wir uns den Punkt (x, u(x, t)) mit seinen beiden Nchbrn (x ɛ, u(x ɛ, t)) und (x + ɛ, u(x + ɛ, t)) durch Federn verbunden denken können, wir denken uns lso die Site ls us kleinen Federn ufgebut. Bei geeigneten Mterilen, die wir uns bei unserer Site ls gegeben denken, und nicht zu grossen Auslenkungen ist die von der Feder bewirkte Krft proportionl zum Verbindungsvektor der beiden Punkte, wobei der Proportionlitätsfktor ls die sogennnte Federkonstnte bezeichnet wird. Uns interessieren nur die Kräfte in vertikler Richtung, und diese sind C (u(x ɛ, t) u(x, t)) nch links und C (u(x + ɛ, t) u(x, t)) nch rechts, wobei C die Federkonstnte ist. Weiter mchen wir die übliche Annhme ds sich die Federkonstnte ls C = c D/ɛ zusmmensetzt, wobei c eine Mterilkonstnte, D der Durchmesser der Feder, lso der Durchmesser unserer Site, und ɛ die Länge der Feder im Ruhezustnd, lso in horizontler Lge, sind. Als Gesmtkrft uf x ergibt sich F = c D (u(x + ɛ, t) + u(x ɛ, t) u(x, t)). ɛ 9

10 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch Dieser Ausdruck ist leider noch recht kompliziert, und wir verwenden dher eine qudrtische Tylorpproximtion zu seiner Vereinfchung. Hierzu denken wir uns den Zeitpunkt t fixiert und entwickeln u(x, t) ls Funktion von x mit dem Entwicklungspunkt x = kɛ. Hierbei treten die Ableitungen der Funktion u(x, t) nch x bei konstnt gehltenen t uf, lso gerde die prtiellen Ableitungen der Funktion u nch der Vriblen x. Es sind u(x + ɛ, t) = u(x, t) + u x (x, t)ɛ + u x (x, t)ɛ + τ +, u(x ɛ, t) = u(x, t) u x (x, t)ɛ + u x (x, t)ɛ + τ, wobei τ +, τ die jeweiligen Approximtionsfehler sind. Nch dem Stz über ds Lgrngesche Restglied I..Stz 6 ht etw τ + die Form τ + = 3 u (ξ, t)ɛ3 6 x3 mit einem ξ zwischen x und x + ɛ. Wir gehen implizit dvon us, dss die dritte Ableitung nch x längs der gnzen Site beschränkt bleiben wird, und hben dnn τ + A + ɛ 3 mit einer Konstnten A +. Entsprechendes gilt für τ. Ignorieren wir die Fehler so wird die Krft F zu c D ɛ [ u(x, t) + u x (x, t)ɛ + u x ɛ + u(x, t) u x (x, t)ɛ + ] u x ɛ u(x, t) Etws genuer, lso mit Fehlerterm, ist F = c Dɛ u x (x, t) + O(ɛ ) = c Dɛ u (x, t). x wobei O(ɛ ) für eine Funktion steht, die wir ls O(ɛ ) Aɛ mit einer Konstnten A bschätzen können. Dieses sogennnte Lndu-Symbol ist nur eine prktische Nottion um nicht jedem uftretenden Fehlerterm einen eigenen Nmen geben zu müssen. Wir setzen jetzt F gleich der Impulsänderung, die wir schon oben usgerechnet hben. D wir jetzt ber nicht einen einzelnen Punkt sondern ein Teilstück der Site der Länge ɛ betrchten, müssen wir die Dichte M/l durch (M/l) ɛ = M/n ersetzen. Wir erhlten die Gleichung M n u t (x, t) = F = c Dɛ u x (x, t) + O(ɛ ) = c Dl n ( ) u (x, t) + O. x n beziehungsweise u t (x, t) = c Dl M u (x, t) + O x ( ). n

11 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg Fssen wir die vier Mterilkonstnten M, c, D, l zu M ν := c Dl > zusmmen und führen den Grenzübergng n durch, so hben wir dmit die Gleichung u t = ν u x für unsere Site erhlten. Dies ist die sogennnte eindimensionle Wellengleichung. Lösungen dieser Gleichung knn mn etw durch den sogennnten Seprtionsnstz u(x, t) = ϕ(x) ψ(t) mit zu bestimmenden Funktionen ϕ, ψ finden, ber drum geht es uns hier nicht mehr. Für unsere Zwecke wr nur der Einstz des qudrtischen Tylorpolynoms zur Herleitung der Wellengleichung von Interesse.. Tylorreihen Vorlesung, Freitg Zum Abschluß dieses einleitenden Kpitels wollen wir noch kurz die sogennnte Tylorreihe behndeln. In der Tylorformel in der Form des I..Stz 6 betrchtet mn ein Tylorpolynom T n (x) = n k= f (k) (x ) (x x ) k k! zur Approximtion einer geeigneten gegebenen Funktion f, wobei x der Entwicklungspunkt und n die Ordnung der Entwicklung sind. Der Approximtionsfehler wr dnn ls f(x) T n (x) = f (n+) (ξ) (n + )! (x x ) n+ für ein ξ zwischen x und x gegeben. Die Tylorreihe entsteht indem wir zu unendlicher Ordnung übergehen, lso ds Tylorpolynom durch die Potenzreihe T (x) := n= f (n) (x ) (x x ) n n! ersetzen, dies ist dnn die sogennnte Tylorreihe von f zum Entwicklungspunkt x. In günstigen Fällen stimmt die Tylorreihe für Argumente x usreichend nhe beim Entwicklungspunkt x mit der Funktion f überein. Dmit die Tylorreihe überhupt

12 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg definiert ist muss die Funktion f unendlich oft differenzierbr sein, ber dies reicht nicht us um die Gleichheit von f und T sicherzustellen. Beispielsweise knn mn sich überlegen, dss die Funktion { e /x, x, f : R R; x, x = unendlich oft differenzierbr mit f (n) () = für lle n N ist, die Tylorreihe von f zum Entwicklungspunkt x = ist lso T (x) = und stimmt bis uf x = nirgends mit f überein. Wir schuen uns nun einige Beispiele von Tylorreihen n und beginnen mit der sogennnten binomischen Reihe, die oft uch ls Newtonsche Reihe bezeichnet wird. Sei α R und betrchte die Potenzfunktion f α : (, ) R; x ( + x) α. Wir wollen ihre Tylorreihe T zum Entwicklungspunkt x = berechnen. Für jedes n N ist die n-te Ableitung von f α offenbr ls f α (n) (x) = α (α )... (α n + )( + x) α n gegeben. Für n = müssen wir dieses leere Produkt wie üblich ls interpretieren. Als Koeffizienten unserer Tylorreihe ergeben sich f (n) α () n! = α... (α n + ). n! Es ist üblich für diese Zhlen eine spezielle Nottion einzuführen. Für n, m N mit n m hben wir ( ) m m! m(m )... (m n + ) = =, n n!(m n)! n! und dies legt es nhe für lle n N und beliebiges α R den verllgemeinerten Binomilkoeffizienten ( ) α α... (α n + ) := n n! einzuführen. Für n = soll dies, wie schon bemerkt, gleich Eins sein. Für α N stimmen die verllgemeinerten Binomilkoeffizienten im Fll n α mit dem üblichen Binomilkoeffizienten überein, und im Fll α < n wird der Ausdruck zu Null. Die Tylorreihe von f α schreibt sich dmit ls T (x) = n= ( ) α x n n

13 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg und wir behupten ds für jedes x (, ) stets f α (x) = T (x) gilt. Sei lso x R mit < x < gegeben. Für jedes n N gibt es nch dem Stz von Tylor I..Stz 6 ein ξ n mit < ξ n < x < und f α (x) n k= ( ) α x k = f ( ) (n+) (ξ n ) α k (n + )! xn+ = ( + ξ n ) α (n+) x n+. n + Wähle y R mit x < y < und ein n N mit n und ( < α + ) < y n x für lle n N mit n n. Für jedes n N mit n n hben wir dnn uch n ( ) α ( ) ( ) f α(x) x k = α n+ x n ( k ( + ξ n ) α α + ) n + ξ n k k= k=n + ( ) α n [ ( ( + ξ n ) α x n + x α + )] ( ) α k ( + ξ n ) α xy n, n k=n + und < + ξ n <, es gibt lso eine Konstnte C mit n ( ) α f α(x) x k Cy n k k= für lle n N mit n n, nämlich ( α α ) n C := x, α, ( ) α n x, α <. Wegen < y < ist (y n ) n N und somit ist T (x) = n= ( ) α x n = f α (x) = ( + x) α. n wie behuptet. Ttsächlich gilt diese Gleichung uch für x R mit < x <, llerdings ist unsere Drstellung des Approximtionsfehlers in der Tylorformel nicht gut geeignet dies einzusehen. Dher werden wir dies mit einem indirekten Argument nchweisen ds keine explizite Abschätzung des Approximtionsfehlers benötigt. Wir wissen ds die Potenzreihe ( ) α T (x) = x n n n= 3 n

14 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg für < x < konvergiert, sie ht lso nch I..Lemm 6.() einen Konvergenzrdius r. Nch I..Stz 5 ist T : (, ) R dmit eine differenzierbre Funktion mit T (x) = (n + ) n= ( ) α x n n + für lle x (, ). Für lle x (, ) ist somit uch ( + x)t (x) = ( ) α ( ) α (n + ) x n + (n + ) x n+ n + n + n= ( ) α ( ( ) ( )) α α = + (n + ) + n x n, n + n n= n= und verwenden wir ds für jedes n N mit n stets ( ) ( ) α α (n + ) + n = n + n α... (α n + ) (α n) α... (α n + ) + n n! n! ( ) ( ) α α = (α n + n) = α n n gilt, so wird dies zu ( + x)t (x) = α + ( ) α α x n = αt (x) n n= für lle x (, ). Die Hilfsfunktion erfüllt lso h : (, ) R; x T (x)( + x) α h (x) = T (x)( + x) α αt (x)( + x) (α+) = (( + x)t (x) αt (x))( + x) (α+) = für jedes x (, ), ist lso nch Lemm konstnt. Wegen h() = ist dmit für jedes x (, ) stets h(x) =, d.h. T (x) = ( + x) α. Dmit hben wir ( + x) α = n= gezeigt. Als ein konkretes Beispiel ist etw + x = ( + x) / = ( ) α x n für x < n 4 ( ) / x n n n=

15 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg für lle x (, ). Für jedes n N mit n ist dbei ( ) / = n ( )... ( (n )) n! n 3... (n 3) = ( ) n n! und dies gilt uch im Fll n =. Dmit hben wir = ( ) ( 4)... ( (n )) n n! = ( ) n (n )! n n n! (n )! = ( ) n (n)! 4 n (n ) n!, + x = ( ) n+ (n)! für x <. 4 n (n ) n! n= Auch die Berechnung der Tylorreihe ist oftmls möglich ohne explizit Ableitungen der Funktion zu bestimmen. Um dies einzusehen, beginnen wir mit einer kleinen Vorüberlegung. Angenommen wir hben einen Entwicklungspunkt x R und eine reelle Potenzreihe f(x) = n (x x ) n n= mit positiven Konvergenzrdius r >. Nch I..Stz 5 ist f uf dem Konvergenzintervll I := (x r, x + r) differenzierbr mit der Ableitung f (x) = (n + ) n+ (x x ) n n= für lle x I und diese ht wieder den Konvergenzrdius r. Wenden wir dies ein weiteres Ml n, so ergibt sich ds f uch zweifch differenzierbr mit der zweiten Ableitung f (x) = (n + )(n + ) n+ (x x ) n n= für lle x I ist und diese ht ebenflls Konvergenzrdius r. Iterierte Anwendung dieser Überlegung liefert ds f unendlich oft differenzierbr ist und für lle k N und lle x I ist die k-te Ableitung von f in x durch die Potenzreihe f (k) (x) = (n + )... (n + k) n+k (x x ) n = n= n= (n + k)! n+k (x x ) n n! mit dem Konvergenzrdius r gegeben. Insbesondere gilt für jedes k N stets f (k) (x ) = k! k, d.h. die Tylorreihe von f im Entwicklungspunkt x ist f selbst. Wir betrchten nun den Arcustngens. Wir wissen ds dieser differenzierbr mit der Ableitung d dx rctn x = + x 5

16 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg für lle x R ist. Diese Ableitung können wir ls geometrische Reihe schreiben, für jedes x R mit x < ist uch x < lso wird + x = ( ) n x n. n= Wie gerde festgestellt ist diese Funktion unendlich oft differenzierbr und gleich ihrer Tylorreihe im Entwicklungspunkt x =. Dmit ist uch der Arcustngens unendlich oft differenzierbr und für jedes n N mit n hben wir { d n dx n rctn x = dn x= dx n x= + x = ( ) (n )/ (n )!, n ist ungerde,, sonst. Die Tylorreihe des Arcustngens wird dmit zu T (x) = n= ( ) n n + xn+ mit dem Konvergenzrdius. Wir behupten ds diese Potenzreihe uf ihrem Konvergenzkreis mit dem Arcustngens übereinstimmt. Hierzu betrchte die Differenz rctn T. Diese ist in (, ) differenzierbr mit d (rctn x T (x)) = dx + x ( ) n x n = für lle x (, ), lso ist die Funktion rctn T nch Lemm konstnt. Andererseits ist sie im Entwicklungspunkt x = gleich Null, lso rctn T = und es folgt ( ) n rctn x = n + xn+ für lle x R mit x <. $Id: integrl.tex,v.46 5/8/6 6:7: hk Exp $ n= n= Integrlrechnung In diesem Kpitel wollen wir die Integrtion reeller Funktionen f : [, b] R besprechen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten den Integrlbegriff informell einzuführen. Die wohl wichtigste dieser Möglichkeiten ist die Interprettion des Integrls ls eine kontinuierliche Summe. Aus dieser Richtung kommt uch ds für Integrle verwendete 6

17 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg Symbol ds sich us einem gestreckt geschriebenen S für Summe entwickelt ht. Ds Urbeispiel für unsere kontinuierlichen Summen ist der Begriff der Arbeit. Wir denken uns ein sich bewegendes Objekt uf ds zum Zeitpunkt t eine Krft F (t) wirkt. D wir nur reellwertige Funktionen behndeln wollen, nehmen wir n ds diese Krft immer dieselbe Richtung ht und dher ls Zhl interpretiert werden knn. Außerdem nehmen wir der Einfchheit hlber n, dss ds Objekt sich mit konstnter, zu Eins normierter, Geschwindigkeit bewegt, so ds wir keinen Unterschied zwischen Zeitbschnitten und in diesen zurückgelegten Wegstücken mchen müssen. Die von der wirkenden Krft geleistete Arbeit von einem Zeitpunkt t = bis zu einem Zeitpunkt t = b, beziehungsweise genuer längs des in diesem Zeitbschnitt zurückgelegten Wegs, ist dnn die Summe über die F (t) für t b. Dies ist keine Reihensumme im Sinne des I. 5 des letzten Semesters, uf der mthemtischen Seite bruchen wir lso eine neue Definition. Wir diskutieren zunächst einml die nzustellende heuristische Überlegung. Schuen wir uns erst einml den einfchsten Fll n, dss die wirkende Krft F (t) = F konstnt ist. Die Arbeit ist dnn einfch W = Krft zurückgelegte Strecke, lso W = F (b ) d wir zwischen Zeitbschnitten und Strecken keinen Unterschied mchen wollten. Den llgemeinen Fll einer sich zeitlich ändernden Krft wollen wir uf diesen einfchen Fll F(t) t=b zurückführen. Zu diesem Zweck denken wir uns ds Zeitintervll von bis b in kleine Teilstücke [, t ], [t, t ], [t, t 3 ],..., [t n, b] zerteilt, lso =: t t < t < t <... < t n < t n := b. Auf jedem dieser Teilbschnitte [t i, t i ] pproximieren wir die wirkende Krft durch einen Mittelwert F t= i, und tun so ls würde längs [t i, t i ] konstnt diese Krft F i wirken. Dieses Teilstückchen trägt dnn zur Arbeit den Anteil F i (t i t i ) bei, und durch Summtion über lle Teilstücke erhlten wir eine Näherung n W F i (t i t i ) i= der Arbeit W. Führen wir jetzt in irgendeinem Sinne den Grenzwert nch immer feiner werden Zerteilungen durch, so sollten diese Näherung gegen die Arbeit W = F (t) dt konvergieren. Wir werden ds Integrl durch eine etws formlere Version dieser Überlegung definieren. Zuvor schuen wir uns ber noch eine lterntive Interprettion des Integrls n. In der Näherungssumme für W können wir jeden Summnden F i (t i t i ) ls die Fläche des Rechtecks der Breite t i t i und der Höhe F i interpretieren. Dmit wird die Fläche im Fll F i < mit einem Vorzeichen versehen. 7

18 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg Beim Grenzübergng zu immer feineren Zerteilungen entsteht dnn die Fläche unterhlb des Grphen von F. Dbei werden unter der x-achse liegende Teile der Fläche negtiv gezählt. Eine weitere hiermit verwndte Interprettion des Integrls ist es Integrtion ls Mittelung zu interpretieren. Ds rithmetische Mittel von Zhlen,..., n ist beknntlich (/n) n k= k und beim Übergng zu kontinuierlichen Summen wird b F (t) dt zum Mittel der Funktion F über ds Intervll [, b]. Die Interprettion des Integrl ls einer Fläche ist für unsere Zwecke nicht weiter wichtig, historisch wr sie ber eine der Motivtionen zur Einführung des Integrls. Es gb uch noch eine zweite Grundmotivtion eher rechnerischer Ntur. Ds Integrl löst die einfchste Differentilgleichung y (t) = f(t) erster Ordnung deren rechte Seite nicht von y bhängt, die Lösung der Gleichung mit y() = b ist y(t) = b + t f(s) ds. Ttsächlich wird uch die Lösung llgemeinerer Differentilgleichungen oftmls ls deren Integrtion bezeichnet. Als eine Folgerung ergibt sich die Berechnung von Integrlen über Stmmfunktionen, die sich dnn ntürlich ls die wichtigste Methode hierfür herusstellt. Trotzdem sollte mn sich Stmmfunktionen nicht ls Bestndteil der Definition des Integrls vorstellen, sie dienen zur Berechnung von Integrlen ber nicht dzu zu sgen ws Integrle sind.. Ds Riemn Integrl Es gibt eine gnze Reihe verschiedener Integrlbegriffe, diese unterscheiden sich nicht in den Werten von Integrlen sondern drin welche Funktionen überhupt integrierbr sind. Wir wollen hier ds sogennnte Riemn Integrl diskutieren, d dieses recht nhe n der Idee zerteilen und Grenzwert nch immer feineren Zerteilungen bilden liegt. Wir beginnen mit einigen Grunddefinitionen. Definition. (Zerlegungen eines Intervlls) Seien, b R mit < b. Eine Zerlegung von [, b] ist ein Tupel α = (t, t,..., t n ) reeller Zhlen mit = t < t <... < t n = b. Meist schreiben wir Zerlegungen nicht ls Tupel, sondern in der Form = t <... < t n = b. Die Zhl n nennen wir die Anzhl der Teilintervlle der Zerlegung und für i n ist [t i, t i ] ds i-te Teilintervll der Zerlegung. Schließlich heißt die Zhl δ(α) := mx i n (t i t i ), 8

19 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg d.h. die mximle Länge eines Teilintervlls der Zerlegung, die Feinheit der Zerlegung. Wir führen noch eine kleine Vrinte des Zerlegungsbegriffs ein. Definition. (Zerteilungen eines Intervlls und Riemnsummen) Seien, b R mit < b. Eine Zerteilung von [, b] ist ein Pr ζ = (t,..., t n ; s,..., s n ) bestehend us einer Zerlegung (t,..., t n ) von [, b] und Punkten s i [t i, t i ] für i n. Wir nennen α = (t,..., t n ) die zu ζ gehörende Zerlegung und δ(ζ) := δ(α) die Feinheit der Zerteilung ζ. Ist schließlich f : [, b] R eine Funktion, so definieren wir die zur Zerteilung ζ von [, b] gehörende Riemnsumme von f ls R(f; ζ) := n f(s i ) (t i t i ). i= Oft werden wir äquidistnte Zerlegungen verwenden, d.h. Zerlegungen bei denen lle Teilintervlle dieselbe Länge hben. Ist n, so gibt es offenbr genu eine äquidistnte Zerlegung von [, b] in n Teilintervlle, nämlich α = (t,..., t n ) mit t k = + k b n für k n, lso δ(α) = b n. Es ist technisch hilfreich neben den Riemnsummen noch einen mit diesen verwndten Begriff einzuführen, die sogennnten Ober- und Untersummen einer Zerlegung. Mi m i Riemnsumme R(f; ζ) ti ti Zur Unter- und Obersumme Definition.3 (Untersummen und Obersummen einer Zerlegung) Seien, b R mit < b und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Sei α = (t,..., t n ) eine Zerlegung von [, b]. Für jedes i n seien dnn m i := inf f([t i, t i ]), M i := sup f([t i, t i ]). 9

20 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg Die zur Zerlegung α gehörende Unter- beziehungsweise Obersumme von f sind dnn S(f; α) := S(f; α) := n m i (t i t i ) i= n M i (t i t i ) i= (Untersumme), (Obersumme). Ist die Funktion f stetig, so sind Unter- und Obersummen nch I..Stz 4 uch Riemnsummen bezüglich der Zerlegung α, für llgemeinere Funktionen muss dies nicht unbedingt der Fll seien. Untersumme Obersumme Wir wollen drei kleine Beispiele durchgehen. Zunächst nehme n, dss f : [, b] R eine konstnte Funktion ist, etw f(x) = c für lle x [, b]. Für jede Zerlegung α = (t,..., t n ) ist dnn offenbr S(α) = S(α) = n c(t i t i ) = c(b ), i= und uch jede Riemnsumme dieser Funktion liefert denselben Wert. Als nächstes betrchten wir die Funktion f : [, b] R; x x wobei, b R mit < b sind. Sei α = (t, t,..., t n ) eine beliebige Zerlegung von [, b]. Sei nun i n, und wir wollen die Zhlen m i und M i berechnen. Dbei ist m i der kleinste Funktionswert von f(x) = x für t i x t i, und dies ist ntürlich einfch der Wert n der linken Seite des Intervlls, lso m i = t i. Ebenso ist der größte Funktionswert von f(x) = x in diesem Intervll gleich dem Funktionswert n der rechten Seite, d.h. M i = t i. Unterund Obersumme bezüglich dieser Zerlegung ergeben sich ls S(α) = S(α) = n m i (t i t i ) = i= n M i (t i t i ) = i= n t i (t i t i ), i= n t i (t i t i ). i=

21 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg Es ist S(α) S(α) und wir wollen uns überlegen, wie weit sich diese beiden Zhlen voneinnder unterscheiden. Hierzu betrchten wir die Differenz von Ober- und Untersumme n S(α) S(α) = (t i t i ). Wie groß knn dies mximl werden? Um dies zu sehen ziehen wir den größtmöglichen Wert der Abstände t i t i us der Summe herus, lso i= S(α) S(α) = n i= (t i t i ) mx i n (t i t i ) n (t i t i ) = δ(α) (b ). i= Wie schon bemerkt sind die Ober- und die Untersumme beides uch Riemnsummen bezüglich der gegebenen Zerlegung. Als eine weitere Riemnsumme schuen wir uns die Zerteilungspunkte s i := (t i + t i )/ für i n n. Ist dnn ζ = (α; s,..., s n ), so ergibt sich die Riemnsumme R(ζ) = n i= t i + t i (t i t i ) = n (t i + t i )(t i t i ) = i= n (t i t i ) = b. i= Ziehen wir die Summe gleich im ersten Schritt useinnder, so folgt ds die Riemnsumme uch S(α) + S(α) R(ζ) = ds rithmetische Mittel von Unter- und Obersumme ist. Zusmmenfssend hben wir dmit eingesehen, dss sich Ober- und Untersumme bei diesem Beispiel mit kleiner werdender Feinheit der betrchteten Zerlegung immer näher kommen und ds zwischen ihnen stets die Zhl (b )/ liegt. Als unser letztes Beispiel betrchten wir eine etws merkwürdige Funktion, die sich ber schön einfch behndeln läßt. Sei {, x Q, f : [, ] R; x, x / Q, die sogennnte Dirichlet Funktion, uch wenn diese Bezeichnung eigentlich etws unpssend ist d Dirichlet diese Funktion ls ein Beispiel für etws genommen ht ds ntürlich keine Funktion sein soll. Sei α = (t,..., t n ) eine Zerlegung von [, ]. Sei i n. Wir behupten ds dnn m i = und M i = sind. Hierzu müssen wir uns nur klrmchen, dss es für lle, b R mit < b stets eine rtionle Zhl ζ Q und eine irrtionle Zhl η R\Q mit ζ, η (, b) gibt, und dies wollen wir ls ein kleines Lemm formulieren. Im Beweis des Lemms werden wir wiederum benötigen ds es überhupt eine irrtionle Zhl gibt, gnz konkret behupten wir ds die Wurzel irrtionl ist. Dies ist eines der klssischen Beispiele eines Beweises durch Widerspruch. Nehme lso n ds rtionl, lso ein Bruch gnzer Zhlen, ist. Wegen > gibt

22 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Freitg es dnn ntürliche Zhlen p, q N mit p, q und = p/q. Durch eventuelles Auskürzen können wir dbei nnehmen ds p und q teilerfremd sind. Wegen = = p q ist p = q, d.h. p ist gerde. D ds Qudrt ungerder Zhlen wieder ungerde ist, muss dher uch p selbst gerde sein, d.h. es gibt eine weitere ntürliche Zhl r N mit p = r, lso insbesondere r. Es folgt q = p = (r) = 4r, lso q = r und somit ist uch q gerde. Genu wie bei p folgt ds dmit uch q gerde ist, d.h. p und q hben den gemeinsmen Teiler, ein Widerspruch. Dieser Widerspruch zeigt ds / Q irrtionl sein muss. Dmit können wir zum ngekündigten Lemm kommen. Lemm.: Seien, b R mit < b. () Es gibt eine rtionle Zhl q (, b) zwischen und b. (b) Es gibt eine irrtionle Zhl ξ (, b) zwischen und b. Beweis: () Aufgrund der rchimedischen Eigenschft der reellen Zhlen I..Lemm 5 existiert ein n N mit n(b ) >, lso insbesondere n. Ebenflls ufgrund der rchimedischen Eigenschft gibt es ein p N Z mit p > n und wir wählen p Z miniml mit dieser Eigenschft. Dnn ist p n, lso p n < p n. Wir erhlten der rtionle Zhl q := p/n Q mit q > und q = p n = p n + n + n < + (b ) = b. (b) Es gilt uch / < b/ und nch () existiert eine rtionle Zhl q Q mit / < q < b/. Es gibt sogr eine von Null verschiedene rtionle Zhl q Q\{} mit / < q < b/, denn ist q so können wir q := q verwenden und ist q =, so liefert eine weitere Anwendung von () ein q Q mit / < q < q < b/, lso insbesondere q. Dmit ist uch ξ := q irrtionl, denn ndernflls wäre = ξ/q rtionl, und es gilt < ξ < b. Teil () des Lemms wr uch Aufgbe (.g) des vorigen Semesters. Kommen wir zum Beispiel der Dirichlet Funktion und unserer Zerlegung α zurück, so zeigt ds Lemm ttsächlich m i = und M i = für lle i n. Als Unter- und Obersummen ergeben

23 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch.4.5 sich S(α) = und S(α) = n i= (t i t i ) =. Ds soll n Beispielen zu Unter- und Obersummen erst einml reichen. Vorlesung 3, Mittwoch.4.5 In der letzten Sitzung hben wir verschiedene vorbereitende Begriffe zur Konstruktion des Riemn-Integrls eingeführt, und uch schon einige Beispiele zu ihnen vorgeführt. Als nächsten Schritt wollen wir ein Lemm über Zerlegungen und Zerteilungen von Intervllen beweisen, benötigen zur Formulierung dieses Lemms ber noch zwei kleine Hilfsbegriffe. Sind, b R mit < b und α = (t,..., t n ), β = (s,..., s m ) zwei Zerlegungen von [, b], so nennen wir β eine Verfeinerung von α, geschrieben ls α β, wenn jeder Zerteilungspunkt us α uch in β ist, wenn lso {t,..., t n } {s,..., s m } gilt. Dnn ist offenbr δ(β) δ(α). Sind α, β zwei Zerlegungen von [, b], so gibt es offenbr eine Zerlegung γ von [, b] die feiner ls α und β ist. Wir können beispielsweise die Zerlegung α β = (r,..., r k ) mit {r,..., r k } = {t,..., t n } {s,..., s m } bilden, bei der die Zerlegungspunkte von α und β zusmmengefsst und korrekt sortiert werden. Es ist k n + m. Bechte ds α β keine mengentheoretische Vereinigung sondern ein kleiner Bezeichnungsmißbruch ist. Dmit kommen wir zum ngekündigten Lemm. Lemm.: Seien, b R mit < b und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. () Sind α, β zwei Zerlegungen von [, b] mit α β, so gelten S(f; α) S(f; β) und S(f; α) S(f; β). (b) Sind α, β zwei Zerlegungen von [, b], so gilt S(f; α) S(f; β). (c) Ist ζ eine Zerteilung von [, b] mit zugehöriger Zerlegung α, so ist S(f; α) R(f; ζ) S(f; α). (d) Seien α eine Zerlegung von [, b] und ɛ >. Dnn existieren Zerteilungen ζ, ζ von [, b] mit zugehöriger Zerlegung α so, dss gelten. S(f; α) ɛ < R(f; ζ) S(f; α) und S(f; α) R(f; ζ ) < S(f; α) + ɛ (e) Seien α, β zwei Zerlegungen von [, b] und C mit f(x) C für lle x [, b]. Es bezeichne n die Anzhl der Teilintervlle der Zerlegung α. Dnn gelten S(f; β) S(f; α β) S(f; β) + C(n )δ(β) und S(f; β) S(f; α β) S(f; β) C(n )δ(β). 3

24 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch.4.5 Beweis: () Seien α = (t,..., t n ) eine Zerlegung von [, b] und t (, b) ein neuer Zerlegungspunkt, lso t i < t < t i für ein i n. Wir zeigen die Behuptung zunächst für β = (t,..., t i, t, t i,..., t n ). Für j n schreibe m j := inf f([t j, t j ]) und M j := sup f([t j, t j ]). Außerdem seien und Dnn hben wir m := inf f([t i, t]) m i, m + := inf f([t, t i ]) m i M := sup f([t i, t]) M i, M + := sup f([t, t i ]) M i. i S(f; β) = m j (t j t j ) + m (t t i ) + m + (t i t) + j= i m j (t j t j ) + m i (t t i ) + m i (t i t) + j= = n j=i+ n j=i+ m j (t j t j ) m j (t j t j ) n m j (t j t j ) = S(f; α), und nlog folgt uch S(f; β) S(f; α). Dmit ist die Behuptung in diesem Fll bewiesen. Ist β eine beliebige Verfeinerung von α, so entsteht β us α durch sukzessives Hinzufügen einzelner Zerlegungspunkte, und die Behuptung folgt mit Induktion us dem bereits bewiesenen Spezilfll. (b) Ist α = (t,..., t n ) eine Zerlegung von [, b], so ist j= m i = inf f([t i, t i ]) sup f([t i, t i ]) = M i für jedes i n, lso ist uch n S(f; α) = m i (t i t i ) i= n M i (t i t i ) = S(f; α). Sind lso α, β zwei beliebige Zerlegungen von [, b], so wählen wir eine weitere Zerlegung γ von [, b] mit γ α, β, und erhlten mit Teil () uch i= S(f; α) S(f; γ) S(f; γ) S(f; β). (c) Schreibe ζ = (t,..., t n ; s,..., s n ), lso α = (t,..., t n ). Für jedes i n ist dnn wegen s i [t i, t i ] m i = inf f([t i, t i ]) f(s i ) sup f([t i, t i ]) = M i, lso hben wir n S(f; α) = m i (t i t i ) i= n f(s i )(t i t i ) = R(f; ζ) i= 4 n M i (t i t i ) = S(f; α). i=

25 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch.4.5 (d) Sei α = (t,..., t n ). Für jedes i n setze m i := inf f([t i, t i ]), M i := sup f([t i, t i ]) und wähle s i, s i [t i, t i ] mit M i ɛ b < f(s i) M i und m i f(s i) < m i + ɛ b. Wir erhlten die Zerteilungen ζ := (α; s,..., s n ), ζ := (α; s,..., s n) mit zugehöriger Zerlegung α. Es gilt R(f; ζ) = n f(s i )(t i t i ) > i= = i= n i= ( M i ɛ ) (t i t i ) b n M i (t i t i ) ɛ b n (t i t i ) = S(f; α) ɛ, und nlog folgt uch R(f; ζ) < S(f; α) + ɛ. (e) Die Ungleichungen uf der linken Seite sind jeweils nch () klr, wir müssen lso nur noch diejenigen uf der rechten Seite einsehen. Schreibe β = (s,..., s m ). Im Fll n = ist α = (, b) und α β = β und die Behuptung ist in diesem Fll klr. Wir behndeln jetzt den Fll n =. Dnn ist α = (, t, b) für ein t (, b). Ist dbei t {s,..., s m }, so gilt wieder α β = β und die Aussge ist klr. Wir können lso t / {s,..., s m } nnehmen und dnn existiert ein eindeutiges j m mit t (s j, s j ). Für i m setze m i := inf f([s i, s i ]) und M i := sup f([s i, s i ]) und weiter seien m := inf f([s j, t]), m := inf f([t, s j ]) M := sup f([s j, t]), M := sup f([t, s j ]), lso uch m j = min{m, m } und M j = mx{m, M }. Mit diesen Bezeichnungen ist α β = (s,..., s j, t, s j,..., s m ) und S(f; α β) S(f; β) = m (t s j ) + m (s j t) m j (s j s j ) Ist m j = m, so ist wegen m C und m j C uch i= = (m m j )(t s j ) + (m m j )(s j t). S(f; α β) S(f; β) = (m m j )(s j t) Cδ(β), ndernflls ist m j = m und S(f; α β) S(f; β) Cδ(β) folgt nlog. Ebenso ergibt sich S(f; α β) S(f; β) Cδ(β). Dmit ist die Aussge im Fll n = bewiesen. Die llgemeine Aussge beweisen wir nun durch Induktion nch n. Sei lso n N mit n 3 gegeben, und die Behuptung gelte für n. Sei α = (t,..., t n ) und setze α := (t,..., t n, t n ) sowie β := β (, t n, b). Mit der Induktionsnnhme und dem schon erledigten Fll ergibt sich S(f; α β) = S(f; α β ) S(f; β ) + C(n )δ(β ) S(f; β) + Cδ(β) + C(n )δ(β) = S(f; β) + C(n )δ(β) 5

26 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch.4.5 und nlog folgt uch S(f; α β) S(f; β) C(n )δ(β). Dmit ist uch (e) per Induktion bewiesen. Nch Teil (b) des Lemms ist jede Untersumme kleiner ls jede Obersumme. Insbesondere ist die Menge ller Untersummen nch oben beschränkt und die Menge ller Obersummen ist nch unten beschränkt, d.h. wir können definieren: Definition.4 (Ds Riemn Integrl) Seien, b R mit < b und sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn definieren wir ds Riemnsche Unter- beziehungsweise Oberintegrl von f durch f := sup {S(f; α) α ist Zerlegung von [, b]} (Unterintegrl) f := inf { S(f; α) α ist Zerlegung von [, b] } (Oberintegrl). Weiter heißt die Funktion f Riemn-integrierbr wenn ihr Unter- und ihr Oberintegrl gleich sind und in diesem Fll heißt ds Riemn Integrl von f. f := Im llgemeinen Fll gilt nur f f. Meistens verwenden wir die lterntive Schreibweise f = f(x) dx := und entsprechend für ds Unter- und Oberintegrl. Ds x ist hier eine im Integrl gebundene formle Vrible, beispielsweise nlog zum Summtionsindex in der Summenschreibweise. Diese Schreibweise ist vor llem prktisch, wenn wir der Funktion gr keinen eigenen Nmen geben sondern nur eine die Abbildungsvorschrift beschreibende Formel hinschreiben. Bechte ds ds dx keinerlei eigenständige inhltliche Bedeutung ht, syntktisch dient es zum einen ls sich schließende Klmmer, mit dem Integrlzeichen ls die zugehörige sich öffnende Klmmer, und zum nderen gibt es n wonch integriert werden soll. Letzteres ist nur von Bedeutung wenn in der Formel noch weitere Vriblen vorkommen. Oft betrchtet mn eine Funktion ls Integrnd die nicht nur uf dem Intervll [, b] sondern uf einer größeren Menge definiert ist. Dnn nennen wir f über [, b] Riemn-integrierbr wenn die Einschränkung f [, b] dies ist und ds Riemn-Integrl dieser Einschränkung nennen wir ds Riemn-Integrl von f über [, b], wieder geschrieben ls f(x) dx. Zunächst behndeln wir zwei gnz einfche Beispiele. Ist f : [, b] R konstnt gleich c R, so htten wir schon gesehen, dss lle Unter- und lle Obersummen von 6 f f

27 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch.4.5 f gleich c(b ) sind, dmit sind uch ds Ober- und ds Unterintegrl gleich c(b ), d.h. konstnte Funktionen sind Riemn-integrierbr mit c dx = c(b ). Als zweites Beispiel schuen wir uns die Dirichlet-Funktion f : [, ] R n, lso f(x) = für rtionles x und f(x) = für irrtionles x. Wir htten gesehen, dss lle Untersummen gleich Null und lle Obersummen gleich Eins sind, d.h. es gelten f(x) dx = und f(x) dx =, und insbesondere ist die Funktion f nicht Riemn-integrierbr. Als ein etws komplizierteres Beispiel betrchten wir jetzt die Funktion f : [, b] R; x x, und behupten ds f Riemn-integrierbr mit x dx = b ist. Ist α eine Zerlegung von [, b], so wissen wir bereits ds S(f; α) S(f; α) + S(f; α) = b und S(f; α) S(f; α) (b )δ(α) sind. Hierus folgt S(f; α) b (b )δ(α) S(f; α) x dx x dx S(f; α) b +(b )δ(α). Ist jetzt ɛ > beliebig, so existiert eine Zerlegung α von [, b] mit δ(α) ɛ/(b ), zum Beispiel eine äquidistnte Zerlegung von [, b] in n Teilintervlle mit n (b ) /ɛ, und setzen wir diese in unsere Abschätzung ein so folgt Dmit hben wir b ɛ x dx = x dx x dx b + ɛ. x dx = b, und die Behuptung ist bewiesen. Entscheidend für den hier gezeigten Nchweis der Riemn-Integrierbrkeit in diesem Beispiel wr, dss sich Ober- und Untersummen für geeignete Zerlegungen beliebig nhe kmen. Dies ist ein llgemeines Phänomen, ds wir im folgenden Lemm festhlten. Lemm.3 (Chrkterisierung Riemn-integrierbrer Funktionen) Seien, b R mit < b und f : [, b] R eine beschränkte Funktion. Dnn sind die folgenden Aussgen äquivlent: 7

28 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch.4.5 () Die Funktion f ist Riemn-integrierbr. (b) Für jedes ɛ > existiert eine Zerlegung α von [, b] mit S(f; α) S(f; α) < ɛ. (c) Für jedes ɛ > existiert ein δ > so, dss für lle Zerlegungen α, β von [, b] mit δ(α) < δ und δ(β) < δ stets gilt. S(f; α) S(f; β) < ɛ (d) Es gibt eine reelle Zhl A R so, dss es für jedes ɛ > stets ein δ > mit R(f; ζ) A < ɛ für jede Zerteilung ζ von [, b] mit δ(ζ) < δ gibt. (e) Für jedes ɛ > existiert ein δ > so, dss für lle Zerteilungen ζ, ξ von [, b] mit δ(ζ) < δ und δ(ξ) < δ stets R(f; ζ) R(f; ξ) < ɛ gilt. (f) Für jede Folge (ζ n ) n N von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N ist die Folge (R(f; ζ n )) n N konvergent. Ist f Riemn-integrierbr, so gilt in (d) stets A = f(x) dx und in (f) sind lle diese Folgen gegen f(x) dx konvergent. Beweis: ()= (b). Sei ɛ > gegeben und setze A := f(x) dx. D A ds Unterintegrl von f über [, b] ist, existiert eine Zerlegung β von [, b] mit S(f; β ) > A ɛ/ und d A uch ds Oberintegrl von f über [, b] ist, existiert ebenso eine Zerlegung β von [, b] mit S(f; β ) < A + ɛ/. Wähle eine Zerlegung α von [, b] mit α β, β. Nch Lemm.() gilt dnn S(f; α) S(f; α) S(f; β ) S(f; β ) < A + ɛ ( A ɛ ) = ɛ. (b)= (c). Sei ɛ >. Dnn existiert eine Zerlegung γ von [, b] mit S(f; γ) S(f; γ) < ɛ/. Wähle ein C > mit f(x) C für lle x [, b] und bezeichne n die Anzhl der Teilintervlle von γ. Setze δ := ɛ/(8cn). Seien α, β zwei Zerlegungen von [, b] mit δ(α) < δ und δ(β) < δ. Nch Lemm.(,e) gilt dnn S(f; α) S(f; β) S(f; α γ) + C(n )δ(α) (S(f; α γ) C(n )δ(β)) S(f; γ) S(f; γ) + 4Cnδ < ɛ + ɛ = ɛ. (c)= (e). Sei ɛ >. Dnn existiert ein δ > mit S(f; α) S(f; β) < ɛ für lle Zerlegungen α, β von [, b] mit δ(α) < δ und δ(β) < δ. Seien jetzt ζ, ξ zwei Zerteilungen von [, b] mit δ(ζ) < δ und δ(ξ) < δ. Bezeichne α die ζ unterliegende Zerlegung von 8

29 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch.4.5 [, b] und β die ξ unterliegende Zerlegung von [, b]. Dnn gelten uch δ(α) = δ(ζ) < δ und δ(β) = δ(ξ) < δ. Mit Lemm.(c) folgen und nlog uch R(f; ζ) R(f, ξ) S(f; α) S(f; β) < ɛ (R(f; ζ) R(f; ξ)) = R(f; ξ) R(f; ζ) < ɛ, d.h. es ist R(f; ζ) R(f; ξ) < ɛ. (e)= (f). Sei (ζ n ) n N eine Folge von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N. Wir zeigen, dss die Folge (R(f; ζ n )) n N eine Cuchyfolge ist. Sei lso ɛ > gegeben. Dnn existiert ein δ > mit R(f; ζ) R(f; ξ) < ɛ für lle Zerteilungen ζ, ξ von [, b] mit δ(ζ) < δ und δ(ξ) < δ. Weiter existiert ein n N mit δ(ζ n ) < δ für lle n n, d.h. für n, m n ist stets R(f; ζ n ) R(f; ζ m ) < ɛ. Dmit ist (R(f; ζ n )) n N ttsächlich eine Cuchyfolge und nch I. 4.Stz 6 uch konvergent. (f)= (d). Wir zeigen zuerst, dss es ein A R gibt so, dss für jede Folge (ζ n ) n N von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n )) n N die Folge (R(f; ζ n )) n N gegen A konvergiert. Angenommen dies wäre nicht der Fll. Dnn gibt es A, A R mit A A und Folgen (ζ n) n N, (ζ n) n N von Zerteilungen von [, b] mit (δ(ζ n)) n N, (δ(ζ n)) n N, (R(f; ζ n)) n N A und (R(f; ζ n)) n N A. Durch ζ n := ζ n und ζ n+ := ζ n für jedes n N hben wir eine weitere Folge von Zerteilungen von [, b] und nch I. 4.Lemm.(d) ist uch (δ(ζ n )) n N. Dmit ist uch die Folge (R(f; ζ n )) n N konvergent und erneut mit I. 4.Lemm.(d) folgt der Widerspruch A = A. Dmit ist diese Zwischenbehuptung bewiesen. Wir behupten jetzt, dss mit diesem Wert von A die Aussge in (d) erfüllt ist. Andernflls existiert ein ɛ > so, dss für jedes δ > eine Zerteilung ζ von [, b] mit δ(ζ) < δ und R(f; ζ) A ɛ existiert. Insbesondere gibt es dnn für jedes n eine Zerteilung ζ n von [, b] mit δ(ζ n ) < /n und R(f; ζ n ) A ɛ. Insbesondere ist (δ(ζ n )) n N und es ergibt sich der Widerspruch (R(f; ζ n )) n N A. (d)= (). Sei ɛ >. Dnn existiert ein δ > mit R(f; ζ) A < ɛ/ für jede Zerteilung ζ von [, b] mit δ(ζ) < δ. Wähle eine Zerlegung α von [, b] mit δ(α) < δ. Nch Lemm.(d) existieren Zerteilungen ζ, ζ von [, b] mit unterliegender Zerlegung α so, dss S(f; α) ɛ < R(f; ζ) S(f; α) und S(f; α) R(f; ζ ) < S(f; α) + ɛ gelten. Wegen δ(ζ) = δ(ζ ) = δ(α) < δ folgt A ɛ < R(f; ζ ) ɛ < S(f; α) f(x) dx f(x) dx S(f; α) < R(f; ζ) + ɛ < A + ɛ. 9

30 Mthemtik für Physiker II, SS 5 Mittwoch.4.5 D dies für jedes ɛ > gilt, ist folglich f(x) dx = f(x) dx = A, d.h. f ist Riemn-integrierbr mit f(x) dx = A. Im Beweis der Impliktion von (d) nch () hben wir insbesondere gezeigt, dss die Konstnte A in (d) gleich dem Riemn-Integrl f(x) dx ist. Außerdem wurde beim Beweis von (f) nch (d) bewiesen, dss jede der Folgen (R(f; ζ n )) n N us (f) gegen ds A us (d), lso gegen f(x) dx, konvergiert. Die Bedingung (b) des Lemms ist eine Forderung n die Oszilltion der Funktion f über ds Intervll [, b], die wir jetzt noch etws expliziter formulieren wollen. Angenommen wir hben, b R mit < b und eine beschränkte Funktion f : [, b] R. Wie bei Unter- und Obersummen betrchten wir dnn ds Infimum m von f über [, b] und ds Supremum M von f über [, b], lso m := inf f(x) und M := sup f(x). x b x b Wir behupten ds wir die Differenz M m dnn ebenflls ls ein Supremum schreiben können, nämlich M m = (f; [, b]) := sup f(x) f(y), x,y [,b] dies ist die Oszilltion von f über ds Intervll [, b]. Diese Formel folgt mit den Rechenregeln für Supremum und Infimum, wir wollen sie uns hier ber ruhig einml direkt überlegen. Zunächst gilt für lle x, y [, b] stets f(x) f(y) M m und (f(x) f(y)) = f(y) f(x) M m, lso uch f(x) f(y) M m, und wir hben (f; [, b]) M m eingesehen. Für die ndere Ungleichung sei zunächst ein ɛ > gegeben. Dnn finden wir x, y [, b] mit f(x) < m + ɛ/ und f(y) > M ɛ/, lso ist uch (f; [, b]) f(y) f(x) f(y) f(x) > M ɛ ( m + ɛ ) = M m ɛ. D dies für jedes ɛ > gilt ist dmit uch (f; [, b]) M m und wir hben insgesmt (f; [, b]) = M m, wie behuptet. Ist lso α = (t,..., t n ) eine Zerlegung von [, b] und setzen wir wieder m i := inf f([t i, t i ]), M i := sup f([t i, t i ]) für jedes i n, so ergibt sich (f; α) := S(f; α) S(f; α) = n (M i m i ) (t i t i ) = i= 3 n (f; [t i, t i ]) (t i t i ), i=