Marianne Grassmann, Humboldt Universität zu Berlin November 2010

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1 Problemlösefähigkeiten langfristig entwickeln Ein jedermann soll rechnen lernen, damit er nicht betrogen werde. (Adam Riese) Marianne Grassmann, Humboldt Universität zu Berlin November 2010

2 Inhalt Funktionen des Sachrechnens Typen von Aufgaben Modellierungsprozess Teilhandlungen beim Lösen von Sachaufgaben Beispiele für Teilhandlungen in Primo Beispiele Aufgaben

3 1. Funktionen des Sachrechnens 1.Sachrechnen als Lernstoff umfasst die bürgerlichen Größen sowie elementare Verfahren und Begriffe der Statistik Zählen/Messen/Schätzen als Methode zum Gewinnen von Daten (Messwerten/Größen) Kennen lernen der Maßsysteme und Verankern von Stützpunktwissen über Größen Modellieren, Zeichnen und Symbolisieren als Methoden des Darstellens von Daten (dabei auch Sortenumwandlung ) Sortieren, Anordnen von Daten, Rechnen mit Größen (auch Mittelwerte bestimmen) als Formen der Verarbeitung von Daten

4 1. Funktionen des Sachrechnens Insgesamt geht es beim Sachrechnen als Lernstoff darum, Wissen über Größen und Fertigkeiten im Umgang mit Größen aufzubauen. Diese Bemühungen ergeben aber nur einen Sinn, wenn sie eingebettet werden in die umgreifendere pädagogische Zielvorstellung, sachrechnische Fähigkeiten im Rahmen eines Beitrages zur Denkentwicklung der Schüler und zur Erschließung ihrer Umwelt anzustreben.

5 1. Funktionen des Sachrechnens 2. Sachrechnen als Lernprinzip zur Entwicklung und Entfaltung mathematischer Fähigkeiten (als Teil der Allgemeinbildung) unter Bezugnahme auf die reale Umwelt und den praktischen Erfahrungsbereich der Kinder Sachsituationen als Ausgangspunkte (Einstieg) von Lernprozessen Verlebendigung, Verdeutlichung, Veranschaulichung von mathematischen Begriffen durch ihre Verkörperung in Sachsituationen Sachaufgaben als Feld der Einübung mathematischer Begriffe und Verfahren

6 1. Funktionen des Sachrechnens Wo immer es sich anbietet, empfiehlt es sich, einen Lernprozess mit der Beobachtung eines umweltlichen Phänomens zu verbinden, denn hierdurch wird die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass eine größere Zahl von Schülern sich angesprochen und kundig fühlt.

7 1. Funktionen des Sachrechnens 3. Sachrechnen als Beitrag zur Umwelterschließung durch Aufbau von mathematischen Modellen zu umweltlichen Bereichen; kann die Mathematisierung einer Sachsituation (idealtypisch) als Prozess dargestellt werden: (1) Situation wahrnehmen, Muster erkennen, Fragen entwickeln (2) Modell (oder mehrere alternative Modelle) entwerfen, evtl. weitere Daten beschaffen (3) im Modell Informationen verarbeiten, Fragen im Modell lösen (4) gewonnene Modellösung auf die Situation zurück übertragen und bewerten, Tragweite des Modells erkunden (Transfers versuchen)

8 1. Funktionen des Sachrechnens Modellbildung ist ein konstruktiver und kreativer Akt. Beobachtung allein wird kein Modell offenbaren. Modellbildung ist keine Einbahnstraße von der Situation zu ihrer begrifflichen Aufarbeitung, sondern viel eher ein Wechselspiel aus Wahrnehmen und Hineindeuten.

9 Bildungsstandards Allgemeine mathematische Kompetenzen Problemlösen Bearbeitung problemhaltiger Aufgaben; Lösungsstrategien entwickeln, Zusammenhänge erkennen und nutzen Kommunizieren Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen, gemeinsames Bearbeiten von Aufgaben Argumentieren mathematische Aussagen hinterfragen und auf Korrektheit prüfen, mathematische Zusammenhänge erkennen, Vermutungen entwickeln, Begründungen suchen und nachvollziehen

10 Bildungsstandards Allgemeine mathematische Kompetenzen Modellieren Sachtexten und anderen Darstellungen relevante Informationen entnehmen, Probleme in die Sprache der Mathematik übersetzen, lösen und an der Sache überprüfen Darstellen für das Bearbeiten von Problemen geeignete Darstellungen wählen; eine Darstellung in eine andere übertragen, Darstellungen miteinander vergleichen

11 2. Typen von Sachaufgaben 1. Aufgabe bearbeiten Beispiel: Frau Strube will 3 Dosen Pfirsiche, 5 Dosen Ananas und 6 Gläser Apfelmus einkaufen. Wie viel müsste Frau Strube im Eldo-Markt dafür bezahlen? 2. Probleme lösen Beispiel: Boris soll im Dona-Markt Obstkonserven einkaufen, mindestens 2 Gläser Apfelmus, 3 Dosen Ananas und 1 Dose Pfirsiche. Er hat 10 Euro bei sich und will dieses Geld möglichst vollständig für Obstkonserven ausgeben. Wie kann er das anstellen? 3. Kontexte untersuchen Beispiel: Vergleiche die Preise für dieselbe Ware miteinander? Was stellst Du fest? Kannst Du Dir das erklären?

12 3. Modellbildung beim Sachrechnen Sachproblem Interpretieren Lösung Modellieren 1. Phase Bearbeitungshilfen - lesen - umformulieren - unterstreichen - mit Material darstellen - Tabelle, Diagramme, Skizzen zeichnen - fragen Datenverarbeitung im Modell Situationsmodell Math. Modellieren mathematisches Modell

13 Modellbildungsprozess Aus einem 10 m langem Seil werden Stücke von 4 m Länge abgeschnitten 10 Personen machen einen Ausflug. In jedem Auto können 4 Personen sitzen. 10 Schokoküsse werden an 4 Kinder verteilt. Identische mathematische Struktur: 10 : 4 = 2 Rest 2, aber: Wie sieht Rückbezug auf die Sachsituation aus?

14 Modellbildungsprozess

15 4. Teilhandlungen beim Lösen von Sachaufgaben den Sinn von Texten, den Sachverhalt und das Problem erfassen; dazu den Sachverhalt eventuell nachstellen bzw. nachspielen den Sachverhalt mit eigenen Worten beschreiben Probleme beschreiben und zum Sachverhalt eine sinnvolle Frage stellen eine vorgegebene Frage erfassen Texten gezielt Daten entnehmen, wichtige Angaben unterstreichen oder herausschreiben, hinsichtlich einer Frage wesentliche Angaben finden

16 4. Teilhandlungen beim Lösen von Sachaufgaben Erkennen von Signalwörtern in Sinneinheiten zu Texten Skizzen anfertigen zu Skizzen passende Texte finden zu Termen passende Skizzen finden Texte und Terme einander zuordnen

17 4. Teilhandlungen beim Lösen von Sachaufgaben Tabellen lesen / Tabellen anfertigen Lesen und Anfertigen von Diagrammen systematisch Probieren Resultate und Sachverhalte in Beziehung setzen und dabei realistische Größenvorstellungen nutzen

18 Sachrechnen und Problemlösen ein wichtiger Schwerpunkt bei Primo Teilhandlungen Beispiele Lesen und Überlegen Sachaufgaben verstehen und lösen (2 und 4) Sachaufgaben lösen Probieren, Malen, Rechnen Kontrollieren und Antworten (2 und 3) Sachaufgaben mit Tabellen lösen Sachaufgaben mit Skizzen lösen Projekte und Problemaufgaben integriert

19 5. Beispiele Skizzieren Welche gedanklichen Überlegungen sind beim Anfertigen von Skizzen notwendig? Was muss in der Skizze dargestellt werden? Welche Art von Skizze ist dazu günstig? Wie exakt und genau muss das im Text Gegebene dargestellt werden? Welche Zusammenhänge bestehen zwischen Gegebenem und Gesuchtem? Wo wird der Zusammenhang zwischen Gegebenem und Gesuchtem an der Skizze deutlich?

20 Den Nutzen von Skizzen erleben Vor dem 50-m-Lauf stellen sich alle Kinder am Start in Dreierreihen auf. Magdalena steht genau in der Mitte. Sie steht in der zehnten Reihe von vorn und in der zehnten Reihe von hinten. Wie viele Kinder sind am Start? Beim Wettrennen überholt Lucia kurz vor dem Ziel Mia, die an zweiter Stelle liegt. An welcher Stelle liegt Lucia nun? Eine 80 m lange Telegrafenleitung wird verlegt. Alle 10 m steht ein Mast. Wie viele Masten werden benötigt? Die Tischlerei liefert Tische mit 3 und Tische mit 4 Beinen aus. Am Freitag verlassen 5 Tischplatten und 17 Tischbeine die Firma. Wie viele Tische von jeder Sorte sind das? Wie sehen hilfreiche Skizzen aus?

21 Teilhandlungen beim Arbeiten mit Skizzen (Beispiele) Skizze und Text einander zuordnen Passende Skizze auswählen

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24 6. Beispiele für Aufgaben Problemaufgaben Katzen und Enten Auf einem Bauernhof leben Katzen und Enten. Max hat 36 Beine gezählt. Wie viele Katzen und wie viele Enten können es sein?

25 6. Beispiele für Aufgaben Problemaufgaben

26 6. Beispiele für Aufgaben Problemaufgaben Ahmed, Linda und Nasrin wollen sich die letzten Äpfel, die noch im Keller liegen, teilen. Nasrin zählt 41 Äpfel, Linda 42 und Ahmed 43. Schließlich konnte jeder die gleiche Anzahl Äpfel bekommen. Wer hat richtig gezählt?

27 6. Beispiele für Aufgaben Problemaufgaben Ahmed, Linda und Nasrin kaufen Obst und Gemüse auf dem Markt am Hermanplatz. Sie sollen ein Netz Apfelsinnen kaufen und für den Rest des Geldes Möhren und Radieschen. Nasrins Mutter gibt ihnen 8,00- mit. Wie viel Bund Möhren und Radieschen können sie kaufen? Preisliste: 1 Netz Apfelsinen 4,00,- 1 Bund Möhren 0,80,- 1 Bund Radieschen 0,50,-

28 6. Beispiele für Aufgaben Problemaufgaben Die Bremer Stadtmusikanten Der Esel ist bis zum Rücken 1,50 m hoch. Darauf steht der Hund. Die Katze ist 10 cm kleiner als der Hahn, und der Hahn ist dreimal kleiner als der Esel. Zusammen erreichen sie eine Höhe von 3 m. Wie groß ist der Hund?

29 7. Beispiele für Aufgaben

30 6. Beispiele für Aufgaben Fermiaufgaben Wie viele Kinder sind so schwer wie ein Eisbär? Wie viele Menschen passen wohl auf ein Fußballfeld? Wie viele Kinder haben auf eurem Schulhof Platz? Wie viele Autos stehen in einem Stau vom Dreieck Potsdam bis zur Raststätte Michendorf? Wie viele Kinder müssen sich anfassen, um eine Menschenkette von 1 km Länge zu bilden? Wie oft dreht sich das Vorderrad meines Fahrrads auf dem Weg von zu Hause zur Schule? Wie viele Grashalme wachsen auf unserer Wiese?

31 7. Beispiele für Aufgaben

32 6. Beispiele für Aufgaben

33 7. Beispiele für Aufgaben

34 7. Beispiele für Aufgaben

35 7. Beispiele für Aufgaben

36 7. Beispiele für Aufgaben

37 7. Beispiele für Aufgaben

38 6. Beispiele für Aufgaben Kapitänsaufgaben

39 6. Beispiele für Aufgaben Kapitänsaufgaben Erklärungsansätze Erfahrungen, die im Mathematikunterricht gemacht werden: - Eingekleidete Aufgaben bestehen aus belanglosen Texten. Wozu sie also lesen? - Die geforderten Operationen sind meist die, die gerade besprochen wurden/ die zu den Zahlen passen. - Jede Aufgabe ist lösbar, wenn ich sie nicht lösen kann, liegt das an mir. Die Lösung muss eindeutig sein. Die Lösung passt, aber ich sehe keinen Zusammenhang zwischen den Schafen und einem Kapitän.

40 Kapitänsaufgaben Sachrechnen in der Grundschule 6. Beispiele für Aufgaben Baruk: Kinder erkennen, dass dieses Gemache und diese Geschichten keinen anderen Sinn haben, als sie zum Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren anzuhalten. Das Kind ist also ausgiebig an diese Art Kohärenz gewöhnt, die im Künstlichen, dem Frisierten und Zusammenfabrizierten liegt. Kinder suchen nach dem magischen Kontext, nach geheimen Zeichen, nach Andeutungen, die zufällig oder absichtlich versteckt sind, und insbesondere nach Zahlen als Spuren. (nach Freudenthal) Die Vermutung liegt nahe, dass Mathematik von vielen Schülerinnen und Schülern mit zunehmender Schulerfahrung immer mehr als ein Spiel mit künstlichen Regeln, zu dem man nichts beizutragen hat, angesehen wird. Dass bestimmte Lösungen mit der Realität oder den Bedingungen der Aufgabe nicht vereinbar sind, wird offenbar nicht erkannt.

41 41 Herzlichen Dank für Ihre Aufmerksamkeit

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