Was ist Mathematik? D. Ruelle, Wie Mathematiker ticken, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010
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- Christoph Schmid
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1 2 Ws ist Mthemtik? Wenn von Mthemtik die Rede ist, sind Beispiele wünshenswert. Die Beispiele in diesem Kpitel sind leiht; die Leser seien jedoh dvor gewrnt, dem ntürlihen Reflex nhzugeen und sheinr tehnishes Zeug shneller durhzulesen. Im Gegenteil sollte mn sein Tempo drosseln! Also, uf geht s. Mn etrhte zwei Dreieke ABC und A B C, woei gelte AB = A B. (Ds edeutet: Die Seite AB ist eenso lng wie die Seite A B.) Weiterhin gelte, dss BC = B C und dss die Winkel ei B zw. B in den Dreieken ABC zw. A B C identish seien. A C B O C Aus ll diesen Dingen folgt, dss die eiden Dreieke ABC und A B C gleih oder, wie mn sgt, kongruent sind. Ds edeutet: Auf ein Bltt Ppier gezeihnet und mit einer Shere usgeshnitten, lssen sih B' O A' D. Ruelle, Wie Mthemtiker tiken, DOI / _2, Springer-Verlg Berlin Heidelerg
2 wie mthemtiker tiken eide Dreieke durh Vershieen zur exkten Dekung ringen. (Vielleiht muss mn zunähst eines der eiden Dreieke umdrehen und mit der Unterseite nh oen uf ds ndere legen.) Mit Hilfe der Ppierdreieke lässt sih weiterhin drstellen, ws mit gleihen Seiten gemeint ist (mn knn sie zur exkten Dekung ringen) oder uh mit gleihen Winkeln ( dito). Wenn Sie die Sprhe, in der dieses Buh geshrieen ist, einigermßen gut eherrshen und üer ein Mindestmß n räumlihem Vorstellungsvermögen verfügen, werden Sie die oen drgelegten Üerlegungen verstnden und mit großer Whrsheinlihkeit todlngweilig gefunden hen. Ttsählih werden Ihnen diese Üerlegungen, sold Sie verstnden hen, ws genu gemeint ist, vermutlih furhtr trivil und offensihtlih ersheinen. Wie nur ht mn je üer geometrishe Sätze wie den een erläuterten in Begeisterung gerten können? Aus reinem Spß n der Freude formulieren wir ihn nohmls: Wenn zwei Dreieke ABC und A B C die Längen AB = A B und BC = B C esitzen und der Winkel in B für ABC und der Winkel in B für A B C gleih sind, dnn sind ABC und A B C kongruent. Gleihermßen zutreffend ist: Wenn für die Dreieke ABC und A B C gilt: AB = A B, BC = B C und CA = C A, dnn sind ABC und A B C kongruent. Ttsählih er lssen sih us ziemlih offensihtlihen Behuptungen wie dieser mit unfehlrer Logik interessntere Ergenisse wie der Stz des Pythgors leiten: 1 Ist der Winkel in B im Dreiek ABC ein rehter Winkel, so gilt AB 2 + BC 2 = AC 2. A 2 = C B * Ws ein rehter Winkel ist, wissen Sie; wenn Sie jedoh druf estehen, will ih Ihnen gern eine Definition nennen: Sind die vier Winkel eines Viereks gleih, so sind es rehte Winkel (und ds Vierek ist ein Rehtek).
3 2 ws ist mthemtik? 9 Ein Beweis für dieses Ergenis wird ei eingehender Betrhtung der folgenden Aildung erkennr: Ds große Qudrt esitzt die Flähe ( + ) 2 = und setzt sih us einem kleinen Qudrt mit der Flähe 2 sowie vier Dreieken mit einer Flähe von jeweils /2 zusmmen, dher gilt: = oder = 2. Den Stz des Pythgors zu kennen, ist hilfreih. Mit seiner Hilfe können wir eispielsweise ein Stük Shnur zu einem rehten Winkel legen. Ds geht folgendermßen: Wir mrkieren die Shnur, indem wir sie in zwölf Segmente von gleiher Länge ufteilen (diese Länge können wir Elle nennen). Unsere Shnur legen wir nshließend zu einem Dreiek, dessen Seitenlängen us 3, 4 und 5 Ellen estehen: Der Winkel zwishen den 3 und 4 Ellen lngen Seiten ist ein rehter Winkel. Mn etrhte nämlih ein Dreiek mit einem rehten Winkel zwishen den Seitenlängen von 3 und 4 Ellen. D = = 25 = 5 2, eträgt die Länge der dritten Seite des Dreieks gemäß dem Stz des Pythgors 5 Ellen. Wir erhlten somit ein Dreiek mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 Ellen und einem rehten Winkel zwishen den eiden erstgennnten Seiten. Nun wissen wir er, dss zwei Dreieke mit den gleihen Seitenlängen kongruent sind. Infolgedessen ht jedes Dreiek
4 10 wie mthemtiker tiken mit den Seitenlängen 3, 4 und 5 Ellen zwishen den Seiten der Längen 3 und 4 Ellen einen rehten Winkel. Die Griehen der Antike diskutierten leidenshftlih gern und shätzten die Geometrie, weil sie ihnen die Möglihkeit g, zu diskutieren und zu unwiderlegren Shlussfolgerungen zu gelngen. Bei der Geometrie geht es, wie Plton feststellte, um Erkenntnis und niht einfh um Ansihten. Im 7. Buh von Der Stt zählt er die Geometrie zu den Pflihtfähern der Philosophen, die in seiner idelen Stdt regieren würden. In einer sehr modernen Ahndlung weist Plton druf hin, dss die Geometrie von prktishem Nutzen ist, ihre whre Bedeutung jedoh nderswo liegt: Die Geometrie ist doh die Erkenntnis des immer Seienden. Sie zieht die Seele zur Whrheit hin und wirkt philosophishes Denken in uns. Hier ezieht Plton sih uf die Geometrie der Eene und erwähnt die (zu seinen Lezeiten) fehlende Entwiklung einer räumlihen Geometrie, üer die er mit Beduern feststellt: Ihre Erforshung [wird] ihrer Shwierigkeit wegen ohne Nhdruk etrieen. 2 Weniger ls ein Jhrhundert nh Pltons Stt ersheinen (um 300 v. Chr.) Euklids Elemente. 3 Die Elemente geen eine strikt logishe Drstellung der Geometrie: Eine Afolge von (ls Theoreme ezeihneten) Behuptungen, die durh strenge Aleitungsregeln miteinnder verunden sind. Begonnen wird mit einer Auswhl n Behuptungen, von deren Rihtigkeit mn usgeht (im modernen Sprhgeruh werden sie Axiome gennnt), nshließend gehen us den Regeln der Aleitung Theoreme hervor, welhe die Geometrie ilden.
5 2 ws ist mthemtik? 11 Moderne Mthemtiker sind ei der Formulierung von Axiomen und dem Beweis von Theoremen etws pingeliger, ls Euklid es wr. Insesondere Dvid Hilert 4 ht ufgezeigt, dss ei einer wirklih rigiden Vorgehensweise n die Stelle von Euklids intuitiven Gednken (eim Betrhten von Zhlen) teilweise zusätzlihe Axiome und eine penilere Beweisführung treten müssten. Ds Bemerkenswerte ist jedoh, dss die moderne Mthemtik exkt so etrieen wird, wie Euklid die Geometrie drgestellt ht. Noh einml: Mthemtik setzt sih us Behuptungen wie jener üer kongruente Dreieke oder dem Lehrstz des Pythgors zusmmen, die durh sehr strenge Aleitungsregeln miteinnder verknüpft sind. Wenn Sie üer die Aleitungsregeln und eine erste Auswhl von ls rihtig ngenommenen Behuptungen (sogennnte Axiome) verfügen, dnn können Sie drus eine Vielzhl weiterer rihtiger Behuptungen (sogennnte Theoreme) leiten. Die Aleitungsregeln sind der logishe Mehnismus der Mthemtik, in den Axiomen sind die grundlegenden Eigenshften der untersuhten Ojekte enthlten (in der Geometrie können dies Punkte sein, Liniensegmente, Winkel usw.). Bei der Auswhl der Aleitungsregeln esteht eine gewisse Flexiilität, ei den Axiomen ht mn zhlreihe Auswhlmöglihkeiten. Sind diese Entsheidungen einml getroffen, hen Sie lles, ws Sie ruhen, um Mthemtik zu etreien. Eine möglihe Ktstrophe esteht drin, uf einen Widerspruh zu stoßen, mit nderen Worten lso zu eweisen, dss eine Behuptung gleihzeitig rihtig und flsh ist. Dies git Anlss zu ernsthfter Sorge, denn Kurt Gödel 5 ht ufgezeigt, dss sih (in interessnten Fällen) niht eweisen lässt, dss ein Axiomensystem niht zu Widersprühen führt. Dennoh lässt sih getrost ehupten, dss der Gödel she Unvollständigkeitsstz den Mthemtikern niht jeden Shlf rut. Dmit will ih sgen, dss sih die meisten Mthemtiker von Gödel niht us ihrer Alltgsroutine ringen lssen: Sie erwrten niht, dss in ihrer Areit plötzlih ein Widerspruh uftuht. Wir können ds Prolem des Widerspruhs dher fürs Erste eiseite lssen und uns der relen Mthemtik zuwenden, wie sie im Regelfll von Mthemtikern etrieen wird.
6 12 wie mthemtiker tiken Mthemtik, wie Mthemtiker sie etreien, ist niht nur ds Anhäufen von logish us den Axiomen geleiteten Behuptungen. Die Mehrzhl solher Behuptungen sind selst dnn wertlos, wenn sie vollkommen rihtig sind. Ein guter Mthemtiker er wird nh interessnten Ergenissen suhen. Diese interessnten Ergenisse, oder Theoreme, fügen sih zu edeutungsvollen und ntürlihen Strukturen zusmmen; ds Ziel der Mthemtik ließe sih lso ls eine Suhe nh diesen Strukturen und deren Untersuhung eshreien. An dieser Stelle jedoh ist Vorsiht geoten. Mit meiner Behuptung, dss sih die Mthemtik in edeutungsvolle und ntürlihe Strukturen ordnet, in ih der mehrheitlihen Ansiht der Mthemtiker gefolgt. Doh wrum muss ds so sein? Und üerhupt ws ist dmit gemeint? Ds sind shwierige Frgen, mit denen wir uns im folgenden und in späteren Kpiteln useinndersetzen werden. Zuvor jedoh wollen wir uns der Rolle der Sprhe in der Mthemtik zuwenden. Wenn ih sge: Mn etrhte zwei Dreieke ABC und A B C, woei gelte AB = A B, BC = B C, ediene ih mih der deutshen Sprhe. Mehr oder weniger. Wihtig ist hier niht, dss Mthemtiker ein shlehtes Deutsh (oder English) sprehen, sondern dss sie üerhupt eine Sprhe verwenden. Mthemtishe Areit wird unter Verwendung einer ntürlihen Sprhe verrihtet (Altgriehish, English oder Deutsh zum Beispiel), ergänzt durh tehnishe Symole und Fhjrgon. Nun htten wir die Mthemtik ls us Behuptungen estehend eshrieen, die durh sehr strenge Aleitungsregeln miteinnder verunden sind, sehen er jetzt, dss die Behuptungen und Aleitungen in einer ntürlihen Sprhe drgestellt sind, die gerde niht sehr strengen Regeln folgt. Ntürlih git es grmmtishe Regeln; sie sind jedoh so wirr und ungenu, dss die mshinelle Üersetzung von einer ntürlihen Sprhe in eine ndere ein shwieriges Prolem drstellt. Sollte die Entwiklung der Mthemtik dher von einer fundierten Kenntnis der Struktur ntürliher Sprhen hängen? Ds wäre eine ziemlihe Ktstrophe. Den Ausweg us dieser Bedrängnis zeigt uns der Nhweis, dss wir im Prinzip uf eine ntürlihe Sprhe wie Deutsh oder English verzihten können. Mthemtik lässt sih ls der Umgng mit form-
7 2 ws ist mthemtik? 13 len symolishen Ausdrüken ( Formeln ) drstellen, woei für diesen Umgng solut strenge Regeln gelten und jede Spur der Ungenuigkeit ntürliher Sprhen fehlt. Mit nderen Worten: Die Mthemtik lässt sih im Prinzip vollkommen formlisiert drstellen. Wrum nur im Prinzip und niht ttsählih? Weil eine formlisierte Mthemtik so unhndlih und undurhsihtig wäre, dss sie in der Prxis vollkommen uneherrshr wäre. Wir können lso ehupten, dss die Mthemtik, wie sie derzeit von Mthemtikern prktiziert wird, eine Diskussion (in ntürliher Sprhe, ergänzt durh Formeln und Fhegriffe) üer einen formlisierten Text ist, der ungeshrieen leit. Es git reht üerzeugende Argumente dfür, dss der formlisierte Text niedergeshrieen werden könnte; dennoh geshieht dies niht. Ttsählih wäre ein formlisierter Text üer interessnte Mthemtik viel zu lng und für einen menshlihen Mthemtiker zudem ziemlih unverständlih. Mthemtishe Texte stehen somit in einem ständigen Spnnungsfeld: Die Notwendigkeit der Strenge zwingt zu einem formlisierten Stil, gleihzeitig zwingt die Notwendigkeit, verständlih zu sein, zu einer informellen Erläuterung mit Hilfe der Ausdruksmittel einer ntürlihen Sprhe. Es git einige Triks, die uns ds Leen leihter mhen. Eine wihtige Rolle spielen Definitionen: Mn ersetzt eine komplizierte Beshreiung (etw die eines regelmäßigen Dodekhedrons) durh einen einfhen Begriff ( regelmäßiges Dodekhedron ) oder einen komplizierten symolishen Ausdruk durh ein einfhes Symol. Auh Sprhverstöße sind erlut: ein gewisses Mß n kontrollierter Nhlässigkeit, die keine Shwierigkeiten mit sih ringt. Mn ehte, dss sih ein durhgängig formlisierter Text mehnish, etw durh einen Computer, uf Fehler üerprüfen ließe. Bei einem gewöhnlihen mthemtishen Text hingegen muss mn sih uf die einigermßen fehlre Intelligenz eines menshlihen Mthemtikers verlssen. Vershiedene Mthemtiker pflegen vershiedene Ausdruksweisen. Im Idelfll ist ihr Stil klr, elegnt und shön. Moderne Beispiele sind der Cours d rithméthique 6 von Jen-Pierre Serre und die Rezension Differentile dynmil systems 7 von Steve Smle. In ihrem Stil sind diese eiden Texte sehr untershiedlih Serre drükt sih formler
8 14 wie mthemtiker tiken us, Smle weniger forml. Smle verwendet hndgezeihnete Aildungen, um seine mthemtishen Konstruktionen zu erklären, ws Serre vermeiden würde. Trotz der deutlihen stilistishen Untershiede er würden wohl die meisten Mthemtiker Serres Buh und Smles Artikel ls Meisterwerke der shriftlihen Areit ezeihnen.
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