3 Vierpole. 3.1 Matrixbeschreibung Definition Widerstandsmatrix

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1 3 Matrixbeschreibung Im vorhergehenden Kapitel hatten wir Zweipole diskutiert, also elektronische Bauteile mit nschlüssen bezeichnet Ein Tor liegt dann vor, wenn der elektrische Strom durch die beiden nschlüsse eines Tors gegengleich ist Die wichtigsten Größen für die Beschreibung des Netzwerkes sind die Spannungen am Eingang und am usgang, sowie der Eingangsstrom I und der usgangsstrom I Diese Größen sind nicht unabhängig voneinander, sondern sie sind durch die Elemente des Vierpols aneinander gekoppelt: f I,I und f I,I 3 Im Rahmen dieses Kapitels beschränken wir uns auf lineare Vierpole, dh wir nehmen an, dass zwischen den Strömen und Spannungen lineare Beziehungen existieren Gleichung 3 kann dann geschrieben werden als bbildung 3: llgemeinste Form eines Vierpols In diesem Kapitel diskutieren wir etwas komplexere Netzwerke, welche vier nschlüsse aufweisen Sie werden deshalb als Vierpole bezeichnet 3 Definition Z I + Z I Z I + Z I 3 Dies erlaubt eine einfache Beschreibung mit den Methoden der linearen lgebra Diese ist auch für nichtlineare Vierpole nützlich: auch dann ist es oft möglich, sie in der mgebung eines rbeitspunktes zu linearisieren und kleine bweichungen vom rbeitspunkt als lineare Vierpole zu beschreiben 3 Widerstandsmatrix bbildung 3: Zweitor Ein Vierpol kann als ein Netzwerk mit vier nschlüssen bezeichnet werden Wir konzentrieren uns hier auf Vierpole, bei denen jeweils zwei nschlüsse als Eingang und zwei als usgang betrachtet werden können Diese werden deshalb auch als Zweitor In einem linearen Vierpol kann man immer zwei der relevanten Größen als Funktion der anderen zwei Größen darstellen So haben wir in Gleichung 3 die beiden Spannungen als Funktion der Ströme geschrieben In Matrixschreibweise lautet sie Z Z Z Z I I Die Matrix Z ik ist die Widerstandsmatrix Für einen allgemeinen nichtlinearen Vierpol können die Elemente geschrieben werden als 8

2 Schaltung nicht zu kennen braucht, um ihr Verhalten und vor eindeutig zu bestimmen Man kann die Vierpolschaltung also wi Primärer Leerlaufwiderstand Z I I 0; Kernwiderstand rückwärts Z I I 0; Kernwiderstand vorwärts Z I I 0; Sekundärer Leerlaufwiderstand Z I I 0; Durch die Widerstandsmatrix ist ein Netzwerk vollständig charakterisiert 33 Weitere Matrizen nstatt die Ströme mit den Spannungen können wir auch die Eingangssignale mit den usgangssignalen verbinden: I I Die Matrix ik wird als Kettenmatrix bezeichnet Weitere mögliche Verknüpfungen sind die Leitwertmatrix Y : I Y Y I Y Y Hybridmatrix H H H I H H I 3 Beispiel eines Vierpols: der RC-Tiefpass 34 Matrixelemente für RC-Tiefpass n dem folgenden Beispiel des schon bekannten RC-Tiefpasse Matrixelemente für die Kettenmatrix aus einer bekannten betrachten wir Fälle: bb 3 Der RC-Tiefpass als Beispiel für einen Vierpol bbildung 33: RC-Tiefpass und I 0, dh d 0, dh Zunächst begin dann gilt Wie wir bereits diskutiert hatten, ist die Übertragungsfunktion des RC-Tiefpasses für den Fall eines offenen usgangs dh I 0, + iωrc I j C I R j C Gleichzeitig ist der Eingangsstrom für diesen Fall I R + iωc iωc m die 4 Matrixelemente zu bestimmen, benötigen wir weitere Gleichungen Diese erhalten wir zb, indem wir den Fall betrachten, dass der usgang kurzgeschlossen ist, dh 0 In diesem Fall ist der Kondensator kurzgeschlossen und damit wird I I Diese finden je nach Schaltung nwendung und können ineinander überführt werden So gilt zb offensichtlich Y Z Damit kann Y aus Z berechnet werden: Y Z Z Z Z Z Die Motivation für die Verwendung dieser Beschreibung liegt darin, dass sie einem erlaubt, das Verhalten der entsprechenden Schaltungen zu diskutieren, ohne dass man die Details ihres ufbaus kennen muss; man kann sie als black box beschreiben Voraussetzung ist natürlich, dass man die Matrixelemente kennt - entweder aus theoretischen Berechnungen und dafür muss man den ufbau der Schaltung kennen oder aus experimentellen Messungen Wie betrachten deshalb andhand eines Beispiels, wie man die Matrixelemente bestimmen kann Damit gilt für diesen Fall auch RI RI Somit werden die Matrixelemente der Kettenmatrix I 0 + iωrc I 0 R I I 0 iωc I I 0 Damit wird die Matrix + iωrc R iωc 9

3 Ihre Determinante ist det + iωrc iωrc Das hier verwendete Verfahren, bei dem wir Beziehungen zwischen Strömen und Spannungen für die beiden Fälle von offenem und kurzgeschlossenem Eingang bestimmt haben, eignet sich nicht nur für die theoretische nalyse, sondern ebenso für experimentelle Bestimmungen, also für Messungen Widerstandsmatrix des Gesamtsystems geschrieben werden als die Summe der einzelnen Matrizen, I Z + Z I 35 Verknüpfung von Vierpolen Die algebraische Beschreibung ist vor allem dann nützlich, wenn wir mehrere Vierpole aneinander koppeln und aus zwei bekannten Vierpolen einen neuen Vierpol aufbauen Wir möchten dann die Eigenschaften dieses neuen, kombinierten Vierpols aus den Eigenschaften der einzelnen Vierpole, sowie den ngaben über die rt der Verknüpfung ableiten können Z bbildung 35: Parallelschaltung von Vierpolen Schalten wir die beiden Vierpole parallel, dh sind die Spannungen gleich und die Ströme addieren sich, so können wir das Gesamtsystem beschreiben, indem wir die Leitwertmatrizen addieren: I I Y +Y bbildung 34: Verknüpfung von Vierpolen bbildung 34 zeigt ein Beispiel In diesem Fall sind die Ströme für beide Vierpole gleich, I I I I I I während die Spannungen sich addieren, + + Hier beziehen sich die Größen ohne oberen Index jeweils auf das Gesamtsystem, die Größen mit einem oberen Index auf das jeweilge Teilsystem Es handelt sich somit um eine Reihenschaltung Bei der Reihenschaltung von Zweipolen addieren sich die Widerstände, bei der Reihenschaltung von Vierpolen addieren sich die Widerstandsmatrizen Somit kann die bbildung 36: Vierpole hintereinandergeschaltet In bb 36 werden die usgänge des ersten Vierpols mit den Eingängen des zweiten Vierpols verbunden Dies Schaltung kann am einfachsten über die Kettenmatrix beschrieben werden Nach ihrer Definition gilt für den ersten Vierpol I x I x, wobei der Index x sich auf die Werte zwischen den beiden Vierpolen bezieht nter Verwendung der Kettenmatrix für den zweiten Vierpol wird dies zu I I I, 30

4 dh wir können die beiden Kettenmatrizen multiplizieren Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, i, ist es wichtig, in welcher Reihenfolge die Bauteile hintereinander geschaltet werden Einige wichtige Spezialfälle sind hier der Leerlauf, dh R B,I 0: Offenbar wird dann Z L Im Fall eines Kurzschlusses, R B 0, wird Z K bbildung 37: Hybridschaltung oder Reihen- Parallelschaltung mgekehrt können wir fragen: Welche Impedanz Z /I sieht die Last von der Eingangsimpedanz R /I? Wir verwenden dafür die inverse Kettenmatrix det und erhalten "ELEKTRONIK" 36 Impedanztransformation ragungsfunktion von Vierpolen Prof Dr Klaus Wille Z I I + I Wir drehen jetzt den Vierpol um, dh wir betrachten die Seite mit,i als den Eingang Dadurch wechselt das Vorzeichen der Ströme und somit wird die Impedanz in dieser Richtung bb 36 Ein mit dem Widerstand R belasteter Vierpol nun an, daß der Vierpol am usgang mit dem Widerstand R belastet ist bb 36 R I und es folgt für einen die Kettenmatrix Vierpol aus 33 m bbildung 38: Impedanztransformation I R I I R I /I sieht die Quelle, wenn das Netzwerk mit der man sofort die Übertragungsfunktion für die Spannung g g R I I R I Wir kürzen mit I und erhalten eistung 38 In diesem 39 Fall wird ein Widerstand R R R B 30 g P g g I 3 ie Eingangsimpedanz des belasteten Vierpols erhält man ebenfalls direkt aus der W I R R en sich sofort die folgenden Grenzfälle I R R durch Eine häufig auftretende Frage beim Bau von elektro- nischen Schaltungen lautet: Welche Impedanz Z Last R B /I abgeschlossen wird? Mit der Kettenmatrix finden wir Z + I I + I Z R B + R B + Offenbar wird R B durch den Vierpol zu Z transformiert 3 Z I + I + I oder, nach Kürzen mit I, Z R + R + 37 Widerstandssymmetrische Netzwerke Die beiden oben berechneten Impedanztransformationen sind identisch, Z Z, falls in beiden Richtungen auf die gleiche Impedanz Z transformiert Man spricht in diesem Fall von widerstandssymmetrischen Netzwerken Ein wichtiges Beispiel sind Übertragungsleitungen Diese besitzen einen ausgezeichneten, den sog Wellenwiderstand Für diesen ist R Z, dh der Leiter ändert die Impedanz nicht, falls die Leitung mit dem korrekten Wellenwiderstand abgeschlossen ist Offenbar gilt dann Z 0 Z 0 + Z 0 + 3

5 Daraus folgt Z 0 Offenbar kann man das beliebig häufig wiederholen, dh beliebig viele solche Netzwerke hintereinander schalten, ohne die Impedanz zu verändern Dies ist wichtig für die Signalübertragung, da Änderungen der Impedanz immer zu Reflexionen führe In der Hochfrequenztechnik verwendet man häufig einheitlich Z 0 50 Ω Durch Vergleich dieses usdrucks mit den Impedanzen für Kurzschluss und Leerlauf sieht man Z 0 Z K Z L, dh die charakteristische Impedanz ist gleich dem geometrischen Mittel aus Leerlauf- und Kurzschlussimpedanz Die Messung der Kurzschluss- und Leerlaufimpedanz ist somit eine Möglichkeit für die Bestimmung des Wellenwiderstandes Dieser entspricht außerdem dem Widerstand einer undendlich langen Kette von widerstandssymmetrischen Vierpolen 3 Übergangssymmetrische Vierpole Übergangssymmetrische Vierpole auch reziprok genannt übertragen genau so viel Leistung von links nach rechts wie umgekehrt Passive Vierpole sind immer reziprok, aktive zb Verstärker im llgemeinen nicht us dieser Symmetriebedingung folgen Beziehungen zwischen den Matrixelementen So gilt für reziproke Vierpole det oder Z Z, dh es sind jeweils nur 3 Matrixelemente linear unabhängig 3 Beispiele Da die Matrizen 3 unabhängige Elemente enthalten, muss es möglich sein, übergangssymmetrische Vierpole aus 3 Elementen aufzubauen Zwei äquivalente Möglichkeiten sind die π- und the T -Schaltung Für die π-schaltung erhält man für die Elemente der Kettenmatrix Z + Z 3 I 0 Z 3 I Z 0 I Z + Z + Z 3 I 0 Z Z 3 I Z + Z I Z 0 Die Kettenmatrix ist somit π Z +Z 3 Z 3 Z Z +Z +Z 3 Z Z 3 Z +Z Z und ihre Determinante det Z + Z 3 Z + Z Z Z 3 Z Z + Z + Z 3 Z Z 3 Die T- oder Stern-Schaltung: T-Netz- bbildung 30: Übergangssymmetrisches werk Bei der T-Schaltung lautet die Kettenmatrix T W +W W W W +W W 3 +W W 3 W W +W 3 W W π-netz- bbildung 39: Übergangssymmetrisches werk 3

6 und ihre Determinante ist ebenfalls Die beiden Schaltungen sind äquivalent sofern die Matrixelemente identisch sind 3 Brückenschaltung gekoppelt Sie bilden damit ebenfalls eine π- Schaltung, wobei die Impedanzen hier komplex sind Je nach Größe des Kopplungskondensators koppeln die beiden Schwingkreise mehr oder weniger stark aneinenander Das resultierende System hat nicht mehr nur eine, sondern zwei Resonanzfrequenzen bbildung 3: Kreuz- oder Brückenschaltung Kreuz- oder Brückenschaltungen sind Beispiele von übertragungssymmetrischen Vierpolen Die Kettenmatrix für die gezeigte Schaltung ist R +R Z +Z R Z R +Z +R Z R +Z R Z R Z R Z R Z R +Z +R +Z R +Z R +Z R Z R Z R Z R Z 33 Gekoppelte RLC Schwingkreise bbildung 3: Gekoppelte RLC-Schwingkreise RLC Schwingkreise bilden Beispiele für passive, lineare, übertragungssymmetrische Vierpole Die Impedanz der Schwingkreise ist Z iωl ω LC + iωl/r In der bbildung sind zwei solche Schwingkreise über einen Koppelkondensator Z k iωc 33

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