Finanzmathematik. Absichern und Bewerten von Optionen. Arnold Janssen / Klaus Janßen

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1 Finanzmathematik Absichern und Bewerten von Optionen Arnold Janssen / Klaus Janßen Universität Düsseldorf

2 Rohstoffe, Devisen, Aktien, Kredite,... haben Preise, die im Laufe der Zeit zufällig schwanken. Wie kann man sich gegen die damit verbundenen Risiken absichern? Termin-Geschäft: Preis und Umfang und Zeitpunkt einer Lieferung werden fest vereinbart. Option: Anrecht auf eine solche Leistung; der Käufer der Option kann die Option verfallen lassen. Problem: Wie berechnet man einen fairen Preis einer solchen Option?

3 1973 CBOE Eröffnung (Chicago board option exchange) 1973 Black, Scholes 1973 Merton Idee: Absichern von Optionen 1997 Nobelpreis für Ökonomie an Scholes und Merton (Black war 1995 verstorben)

4 I. Einfaches Beispiel: Europäischer call Kurs p= Ausübungspreis q= t=0 t=t Zeitskala Aktienkurs zur Zeit 0: x 0 = 100 zufälliger Aktienkurs X T zur Zeit T : P (X T = 130) = p = 0.6 P (X T = 80) = 1 p = 0.4 Option: Zur Zeit 0 wird vereinbart: zur Zeit T hat der Käufer der Option das Recht, eine Aktie zum Ausübungspreis K = 110 zu beziehen (europäische Kaufoption, europäischer call). Steigt der Kurs: Erlös 20 = für den Käufer der Option. Fällt der Kurs: die Option wird wertlos für den Käufer der Option.

5 Fairer Preis dieser Option? A: Klassischer Weg (Bernoulli/Huygens): Der Verkäufer der Option muss zur Zeit T folgende zufällige Zahlung Z leisten: Z = (X T K) + { XT K = 20, falls der Kurs steigt = 0, falls der Kurs der Aktie fällt erwartete Zahlung des Verkäufers der Option: z 0 = E(Z) = E((X T K) + ) = 20 P (X T = 130) + 0 P (X T = 80) = 20 p = 12 Dieser B-H-Preis der Option wird durch das Gesetz der großen Zahlen gerechtfertigt. Problem: Wie zuverlässig ist die Voraussetzung p = 0.6?

6 B: Neuer Weg (Black/Scholes/Merton): Idee: der Verkäufer der Option sichert sein Risiko dadurch ab, dass er selber investiert. Aufgabe: Suche Strategie für die Anlage eines Anfangskapitals z in die Aktie und ein Bankkonto, so dass zur Zeit T die Forderung des Käufers der Option aus dem entstandenen Vermögen bedient werden kann. Das minimale derartige z heißt B-S-Preis. Im Folgenden: gleicher Zinssatz für Guthaben und Kredit: wesentliche Voraussetzung. Dann ist o.b.d.a. der Zinssatz 0 (ansonsten ab/auf-diskontieren)

7 Anfangsportfolio z = η ξ Anfangskapital z η Anteile an der Aktie, ξ auf Konto investiert Wert des Portfolios zur Zeit T : S T = η X T + ξ { η ξ, falls der Kurs stieg = η 80 + ξ, falls der Kurs fiel Ziel: Wähle η, ξ so, dass S T! = Z gilt, d.h. η ξ = 20 (falls Kurs stieg) η 80 + ξ = 0 (falls Kurs fiel). Lösung: η(130 80) = 20, η = = 0.4 ξ = η 80 = = 32 z = η ξ = = 8 nicht abhängig von p

8 Ergebnis: Zur Zeit 0 zahlt der Käufer der Option 8, der Verkäufer der Option nimmt einen Kredit 32 auf und kauft für 40 dann 0.4 Anteile der Aktie. Zur Zeit T ist der Wert vom Depot des Verkäufers der Option S T = 0.4X T } {{ } Aktie Konto { }} { Fall: der Kurs stieg: Erlös aus Aktienbesitz: = 52, damit wird die Forderung aus der Option (Betrag 20) und der Bankkredit (Betrag 32) bedient. 2. Fall: der Kurs fiel: Erlös aus Aktienbesitz: = 32, damit wird der Bankkredit (Betrag 32) bedient, aus der Option ergibt sich keine Forderung. Risikolose Absicherung der Option

9 Beobachtung: Dieser Black-Scholes-Preis ist gleich dem Bernoulli-Huygens-Preis für ein geeignet gewähltes p! Bestimme p so, dass E p (X T )! = x 0 gilt (d.h. der Preis der Aktie ändert sich im Mittel nicht): E p (X T ) = p (1 p ) 80! = 100, p = = = 0.4; es ist E p (H) = p 20+(1 p ) 0 = = 8 Analoges funktioniert in diesem Modell für Optionen mit beliebiger Leistung Z: sie können zum Black-Scholes-Preis E p (Z) risikofrei abgesichert werden. Analoges auch noch bei Zinssatz r durch geeignetes Diskontieren.

10 II. Cox-Ross-Rubinstein-Modell (1979) Modell: x 0 Aktienkurs zur Zeit 0, X k Kurs der Aktie zum Zeitpunkt k(1 k n), X k = x 0 Y 1 Y 2... Y k, dabei sind Y 1, Y 2,..., Y n unabhängige Zufallsvariable, P (Y k = u) = p = 1 P (Y k = v) mit vorgegebenen 0 < p < 1, u > 1 > v > 0. Dazu kann in ein Bankkonto investiert werden mit vorgegebenem Zinssatz 0 für Anlage wie für Kredite. Europäischer Call zum Ausübungspreis K: Z = (X n K) + ; Falls der Kurs der Aktie zur Zeit n größer als K ist, so erhält der Käufer der Option X n K, andernfalls wird die Option zur Zeit wertlos.

11 Kurs X t 371,3 285,6 219, , ,8 t=0 t=5 t Zeitskala Elementare Kombinatorik: für 0 k n ist P (X n = u k v n k x 0 ) = ( n) p k (1 p) n k k B-H-Preis der Option Z: E p (Z) = = n k=0 n k=k ( n k ( n ) p k (1 p) n k (x 0 u k v n k K) + k ) p k (1 p) n k (x 0 u k v n k K), wobei k die kleinste aller Zahlen k ist mit ( ) x 0 u k v n k u k K > K, d.h. > v x 0 v n, d.h. k > ln x K 0 v n ln u v

12 B-S-Preis z = E p (Z) mit p = 1 v u v dabei ist E p der Erwartungswert bzgl. des W- Maßes für p = p = 1 v u v. Beweis: Rückwärtsinduktion gemäß I. Zu diesem B-S-Preis lässt sich die Option Z risikolos absichern! Genauso: beliebige Option Z in diesem Modell. Theoretischer Hintergrund: obige Wahl p macht den Aktienkursverlauf zu einem Martingal, d.h. E p (X i+1 X i = x i,..., X 1 = x 1 ) = x i E-Wert bzl. der bedingten W S A P p (A {X i = x i,..., X 1 = x 1 }) P p (X i = x i,..., X 1 = x 1 ) keine Arbitragemöglichkeiten!

13 III. Black-Scholes-Modell Kontinuierliche Zeit Zeithorizont von 0 bis T zwei Zugänge: i) CRR-Modell mit Grenzübergang ii) stochastische Analysis für die geometrische Brownsche Bewegung (geobb) Methoden zu ii): Martingaltheorie in kontinuierlicher Zeit stochastische Integrale bzgl. geobb Itô-Kalkül Im Folgenden via i): Zerlege [0, T ] in n gleichgroße Teilintervalle, wende II an auf die Zeitpunkte 0, 1 T n, 2 T n,..., n T n = T

14 Zentraler Grenzwertsatz: X (n) k n Tn = x 0 k n i=1 Y (n) i = x 0 exp k n i=1 log Y (n) i ist für k n Tn t für großes n näherungsweise verteilt wie x 0 exp U t mit normalverteilter Zufallsvariable U t. Funktionaler zentraler Grenzwertsatz: bei geeigneten Parametern konvergiert das Cox-Ross-Rubinstein-Modell gegen das Black- Scholes-Modell für den Aktienkurs: X t = x 0 exp(σw t + µt) (0 t T ), wobei gilt: W t ist normalverteilt, E(W t ) = 0, V ar(w t ) = t, (W t ) 0 t T hat unabhängige Zuwächse. (W t ) 0 t T heißt auch Brownsche Molekular- Bewegung (Bachelier 1900), (X t ) 0 t T heißt geometrische Brownsche Bewegung.

15 Kontinuierlicher Zinssatz ρ für Anlage und Kredit: Eine Anlage 1 zur Zeit 0 hat zur Zeit t den Wert e ρt. Der diskontierte Aktienkurs (e ρt X t ) 0 t T wird zu einem Martingal für µ = ρ σ2 2 (unabhängig vom Drift µ, abhängig von Volatilität σ und Zinssatz ρ). Europäischer call zum Ausübungspreis K: Z = (X T K) + Black-Scholes-Preis z = E (Z). Eine absichernde Strategie, die permanentes Handeln, d.h. Umschichten des Portfolios zwischen Bankkonto und Aktienanlage erfordert, lässt sich bestimmen (durch fortgeschrittene Methoden der stochastischen Analysis).

16 Black-Scholes-Formel: B-S-Preis des europäischen calls: z = x 0 Φ(d + ) Ke ρt Φ(d ) für d + = d + σ T = log x 0 K + (ρ + σ2 2 )T σ, T Φ(x) = 1 x 2π exp( y2 )dy für x R 2 (Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung) Analog: Beliebige andere Optionen!

17 Andere Optionen: europäischer Put zum Ausführungspreis K: Z = (K X T ) + gibt dem Käufer der Option das Recht, die Aktie zum Zeitpunkt T zum Kurs K zu verkaufen (Absichern gegen Verlust durch fallende Kurse); amerikanische Option (z.b. Put oder Call): gibt dem Käufer der Option des Recht, die Option auszuüben zu einem (zufälligen) Zeitpunkt τ T, der im Verlauf der Kursentwicklung frei gewählt werden kann; asiatische Option (Mittelwert-Option); Bermuda Option (zwischen europäisch und amerikanisch); Barrier Option (up and out put)

18 Ausblick Kompliziertere Modelle: Semimartingale Einbeziehen von crashs Transaktionskosten, Dividenden, Konsum Portfoliooptimierung mit Nutzenfunktionen

19 Literatur Föllmer, H., Schied, A., Stochastic Finance. An introduction in Discrete Time. DeGruyter. 2. Auflage Henze, N., Stoachstik für Einsteiger. Vieweg. 5. Auflage Irle, A., Finanzmathematik. Die Bewertung von Derivaten. Teubner. 2. Auflage Korn, R. + E., Optionsbewertung und Portfolio- Optimierung. Vieweg. 2. Auflage Malkiel, B.G., A Random Walk down Wall Street. Norton. 8. Auflage Sandmann, K., Einführung in die Stochastik der Finanzmärkte. Springer. 2. Auflage Zeitschriften: Mathematical Finance, Finance and Stochastic Netz: google stoch/studium.htm

20 Jacob Bernoulli: Christian Huygens: Robert Brown: Louis Bachelier: Fischer Black: Myron Scholes: 1941 Robert C. Merton: : Bachelier: Sur la théorie de la spéculation. 1973: Black, Scholes: The pricing of options and liabilities. 1973: Merton: Theory of rational option pricing.

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