Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 2 (2013S) Lösung

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1 Theoretische Informtik und Logik Üungsltt 2 (2013S) en Aufge 2.1 Geen Sie jeweils eine kontextfreie Grmmtik n, welche die folgenden Sprchen erzeugt, sowie einen Aleitungsum für ein von Ihnen gewähltes Wort w L mit w 6. Trnsformieren Sie die jeweils erhltene Grmmtik schrittweise in Chomsky Normlform. ) L = { i i i 0} { j j j 0} ) L = { i j c j d i i, j 0} ) G = ({S, A, B}, {, }, {S A B ε, A A, B B }, S) Aleitungsum für w = : S B B B Trnsformtion von G in Chomsky Normlform: Schritt 1 und 2 (Elimintion nutzloser Produktionen): Alle Symole sind von S us erreichr, us jeder Vrilen ist ein Terminlwort leitr. Es git in G lso keine nutzlosen Produktionen. Wir erhlten entsprechend G 1 = G 2 = G und es gilt offensichtlich L(G 1 ) = L(G 2 ) = L(G). Schritt 3 (Elimintion der ε-produktionen): Wir entfernen die Produktion S ε (es gilt lso ε L(G)!). Nchdem ddurch keine nutzlosen Produktionen eingeführt wurden, erhlten wir G 3 = ({S, A, B}, {, }, P 3, S) mit P 3 = {S A B, A A, B B } Und es gilt: L(G 3 ) = L(G) {ε}. Schritt 4 (Elimintion der Einheits-Produktionen): Wir entfernen nun die Einheitsproduktionen S A und S B (wodurch keine nutzlosen Produktionen eingeführt werden) und erhlten G 4 mit L(G 4 ) = L(G) {ε}: G 4 = ({S, A, B}, {, }, P 4, S) mit P 4 = {S A B, A A, B B } Chomsky Normlform (CNF): Um von der reduzierten Grmmtik G 4 uf eine äquivlente Grmmtik G in CNF zu kommen, führen wir noch folgende Schritte durch: Wir ersetzen die Symole zw. durch entsprechende Nonterminle X zw. X und fügen die Produktionen X und X hinzu: P = { S X AX X X X BX X X, A X AX X X, B X BX X X, X, X } 1

2 Nun git es noch einige Produktionen, die uf der rechten Seite mehr ls zwei Nonterminle hen. Diese ersetzen wir folgendermßen: S X AX durch S X Y 1, Y 1 AX S X BX durch S X Y 2, Y 2 BX A X AX durch A X Y 1 B X BX durch B X Y 2 Nchdem ε L(G) und S nicht uf der rechten Seite von Produktionen vorkommt, fügen wir die Produktion S ε wieder hinzu, und erhlten schließlich die zu G äquivlente Grmmtik G in CNF mit L(G ) = L(G): G = ( {S, A, B, X, X, Y 1, Y 2 }, {, }, P, S ) mit P = { S X Y 1 X Y 2 X X X X ε, A X Y 1 X X, B X Y 2 X X, X, X, Y 1 AX, Y 2 BX } ) G = ({S, T }, {,, c, d}, {S Sd T c ε, T T c ε}, S}) Aleitungsum für w = ccd: S S T T ε d c c Trnsformtion von G in Chomsky Normlform: Schritt 1 und 2 (Elimintion nutzloser Produktionen): Alle Symole sind von T us erreichr, us jeder Vrilen ist ein Terminlwort leitr. Es git in G lso keine nutzlosen Produktionen. Wir erhlten entsprechend G 1 = G 2 = G und es gilt offensichtlich L(G 1 ) = L(G 2 ) = L(G). Schritt 3 (Elimintion der ε-produktionen): Wir entfernen die Produktionen S ε (es gilt lso ε L(G)!) und T ε und erhlten dementsprechend einige neue Produktionen, d S und T nun üerll dort, wo sie uf der rechten Seite einer Produktion vorkommen, eliminiert werden (d.h., gleich ε gesetzt werden) oder nicht. Nchdem ddurch keine nutzlosen Produktionen eingeführt werden, erhlten wir Und es gilt: L(G 3 ) = L(G) {ε}. G 3 = ({S, T }, {,, c, d}, P 3, S) mit P 3 = {S Sd d T c c, T T c c} Schritt 4 (Elimintion der Einheits-Produktionen): Es git in G 3 keine Einheitsproduktionen, dementsprechend gilt G 3 = G 4 und L(G 3 ) = L(G 4 ) = L(G) {ε} Chomsky Normlform (CNF): Um von der reduzierten Grmmtik G 4 uf eine äquivlente Grmmtik G in CNF zu kommen, führen wir noch folgende Schritte durch: Wir ersetzen die Symole,, c zw. d (soferne diese nicht lleine uf der rechten Seite einer Produktion vorkommen, ws hier nicht der Fll ist) durch entsprechende Nonterminle X und fügen die Produktionen X, {,, c, d}, hinzu: P = { S X SX d X X d X T X c X X c, T X T X c X X c, X, X, X c c, X d d } 2

3 Nun git es noch einige Produktionen, die uf der rechten Seite mehr ls zwei Nonterminle hen. Diese ersetzen wir folgendermßen: S X SX d durch S X Y 1, Y 1 SX d S X T X c durch S X Y 2, Y 2 T X c T X T X c durch S X Y 2 Nchdem ε L(G) und S uf der rechten Seite von Produktionen vorkommt, fügen wir noch ein neues Strtsymol S zusmmen mit den S-Produktionen hinzu, und erhlten schließlich die zu G äquivlente Grmmtik G in CNF mit L(G ) = L(G): G = ( {S, S, T, X, X, X c, X d, Y 1, Y 2 }, {,, c, d}, P, S ) mit P = { S X Y 1 X X d X Y 2 X X c ε, S X Y 1 X X d X Y 2 X X c, T X Y 2 X X c, X, X, X c c, X d d, Y 1 SX d, Y 2 T X c } Aufge 2.2 Geen Sie für die folgenden Sprchen jeweis eine kontextfreie Grmmtik in erweiterter Greich Normlform sowie für jedes Wort der Sprche die Linksleitung in Ihrer Grmmtik n. Beweisen Sie mittels entsprechender Aschlusseigenschften, dss diese Sprchen nicht regulär sind (woei Sie dvon usgehen können, dss eine Sprche der Form { kn ln n 1} für elieige Konstnten k, l > 0 nicht regulär ist). ) L 3 = {0 3n 1 4k 1 2 2n n, k 1} ) L 4 = { 2n 5m+3 8n n, m 1} ) G 3 = ({S, A}, {0, 1, 2}, {S 0 3 S A2 2, A 1 4 A 1 3 }, S) Linksleitung für lle n, k 1: S n 1 0 3(n 1) S2 2(n 1) 0 3n A2 2n k 1 0 3n 1 4k 4 A2 2n 0 3n 1 4k 1 2 2n Beweis indirekt. Angenommen, die Sprche L 3 = {0 3n 1 4k 1 2 2n n, k 1} ist regulär. Sei dnn h der Homomorphismus mit sowie h : {0, 1, 2} {, } h(0) =, h(1) = ε, h(2) = D die Fmilie der regulären Sprchen gegenüer elieigen Homomorphismen geschlossen ist, müsste uch h({0 3n 1 4k 1 2 2n n, k 1}) = { 3n 2n n 1} regulär sein, ws er nicht der Fll ist. Widerspruch! Somit knn uch L 3 nicht regulär sein. ) G 4 = ({S, B}, {, }, P, S) mit P = {S 2 S 8 2 B 8, B 5 B, B 8 } Linksleitung für lle n, m 1: S n 1 2(n 1) S 8(n 1) 2n B 8n m 1 2n 5m 5 B 8n 2n 5m+3 8n Beweis indirekt. Angenommen, die Sprche L 4 = { 2n 5m+3 8n n, m 1} ist regulär. Sei dnn M = ({q 0, q 1 }, {, }, {, }, δ, q 0, {q 1 }) 3

4 die (deterministische) gsm mit δ(q 0, ) = (q 0, ), δ(q 0, ) = (q 1, ε), δ(q 1, ) = (q 1, ε), δ(q 1, ) = (q 1, ). / 6 q0 /ε, / /ε q1 D die Fmilie der regulären Sprchen gegenüer elieigen gsm-aildungen geschlossen ist, müsste uch M(L 4 ) = { 2n 8n n 1} regulär sein, ws er nicht der Fll ist. Widerspruch! Somit knn uch L nicht regulär sein. (Mn echte, dss in diesem Flle die Verwendung eines Homomorphismus nicht usreicht, d dmit die Symole nicht gleichzeitig uf Symole und geildet werden können.) Aufge 2.3 Sind folgende Sprchen kontextfrei? Flls j, so eweisen Sie dies mit Hilfe des Stzes von Chomsky-Schützenerger (indem Sie entsprechende Sprchen D n und R sowie einen entsprechenden Homomorphismus h ngeen), flls nein, so eweisen Sie dies mit Hilfe des Pumping Lemms für kontextfreie Sprchen. ) L 5 = { i i c j d j i, j 0} ) L 6 = { i j c i d j i, j 0} c) L 7 = {wc w w {, } } ) L 5 = { i i c j d j i, j 0} ist kontextfrei, d L 5 = h(d 2 R), woei h : {[ 1, ] 1, [ 2, ] 2 } {,, c, d} mit h([ 1 ) =, h(] 1 ) =, h([ 2 ) = c, h(] 2 ) = d und R = {[ 1 } {] 1 } {[ 2 } {] 2 } ) L 6 ist nicht kontextfrei. Beweis indirekt. Nehmen wir n, L ist kontextfrei. Sei dnn m die Konstnte us dem Pumping Lemm für kontextfreie Sprchen. Wir wählen nun z.b. ds Wort w = m m c m d m Für diese Wort w gilt w L und w m, d w = 4m. Nun zerlegen wir w in uvxyz so, dss vxy m und vy 1. Wir wählen i = 0, d.h., w 0 = uv 0 xy 0 z = uxz. Dei ergeen sich folgende Möglichkeiten: 1. vxy liegt in der ersten Hälfte des Wortes. Nchdem er vy 1, enthält nun w 0 in der ersten Worthälfte zumindest ein Symol oder ein Symol weniger ls entsprechende Symole c oder d in der zweiten. Dmit ht ds Wort er nicht mehr die Form i j c i d j, i, j 0, und knn somit nicht in L sein. WIDERSPRUCH! 2. vxy liegt in der zweiten Hälfte des Wortes. Hier gilt ntürlich nlog: Nchdem vy 1, enthält nun w 0 in der zweiten Worthälfte zumindest ein Symol c oder ein Symol d weniger ls entsprechende Symole oder in der ersten. Dmit ht ds Wort er nicht mehr die Form i j c i d j und knn somit nicht in L sein. WIDERSPRUCH! 4

5 3. vxy efindet sich in einer Mittellge : Nchdem vy 1, fällt nun in w 0 zumindest ein Symol in der ersten Worthälfte oder ein Symol c in der zweiten Worthälfte weg. Auch dmit ht ds Wort er nicht mehr die Form i j c i d j und knn somit nicht in L sein. WIDERSPRUCH! Wir hen lle möglichen Zerlegungen von w untersucht, sind er in jedem Fll uf einen Widerspruch gestoßen, d.h., L knn nicht kontextfrei sein. c) L 7 = {wc w w {, } } ist kontextfrei, d L 7 = h(d 2 R), woei h : {[ 1, ] 1, [ 2, ] 2 } {,, c} mit h([ 1 ) =, h([ 2 ) =, h(] 1 ) = h(] 2 ) = c und R = {[ 1, [ 2 } {] 1, ] 2 } Aufge 2.4 Definieren Sie jeweils eine deterministische Turingmschine M in Normlform, welche die folgenden Sprchen kzeptiert. Erläutern Sie die Funktionsweise Ihrer Turingmschine uch verl. ) { 2n n n 1} ) {wcw w {, } } ) Wir definieren eine (deterministische) Turingmschine M = ({q 0, q 1, q 2, q f }, {, }, {Z 0, B, A}, δ, q 0, {Z 0, Z 1, Z 2 }, B, {q f }) in Normlform, welche die kontextfreie Sprche { 2n n n 1} kzeptiert; die Üergngsfunktion δ knn z.b. folgendermßen definiert werden: 1 : δ(q 0,, B) = (q 1, B, R, S) 2 : δ(q 1,, B) = (q 0, A, R, R) 3 : δ(q 0,, B) = (q 2, B, S, L) 4 : δ(q 2,, A) = (q 2, B, R, L) 5 : δ(q 2, Z 2, Z 0 ) = (q f, Z 0, S, R) Erläuterung: 1, 2 : für jedes zweite eingelesene Symol wird ein Symol A uf ds Areitsnd geschrieen; 3 : ds erste Symol wird eingelesen; 4 : für jedes eingelesene Symol wird ein Symol A uf dem Areitsnd gelöscht; 5 : wird mit dem Eingeende (d.h., Erreichen von Z 2 uf dem Eingend) ds linke Begrenzungssymol des Areitsndes Z 0 erreicht, so geht M in den (einzigen) Enzustnd q f üer und kzeptiert somit die Einge. (Anmerkung: M erfüllt die Kellerutomtenedingung) ) Wir definieren eine (deterministische) Turingmschine M = ({q 0, q 1, q 2, q f }, {,, c}, {Z 0, B, A, C}, δ, q 0, {Z 0, Z 1, Z 2 }, B, {q f }) in Normlform, welche die kontextsensitive Sprche {wcw w {, } } kzeptiert; die Üergngsfunktion δ knn z.b. folgendermßen definiert werden: 5

6 1 : δ(q 0,, B) = (q 0, A, R, R) 2 : δ(q 0,, B) = (q 0, C, R, R) 3 : δ(q 0, c, B) = (q 1, B, S, L) 4 : δ(q 1, c, A) = (q 1, A, S, L) 5 : δ(q 1, c, C) = (q 1, C, S, L) 6 : δ(q 1, c, Z 0 ) = (q 2, Z 0, R, R) 7 : δ(q 2,, A) = (q 2, B, R, R) 8 : δ(q 2,, C) = (q 2, B, R, R) 9 : δ(q 2, Z 2, B) = (q 2, B, S, L) 10 : δ(q 2, Z 2, Z 0 ) = (q f, Z 0, S, R) Erläuterung: 1, 2 : Für jedes eingelesene Symol zw. wird ein Symol A zw. C uf ds Areitsnd geschrieen. 3, 4, 5, 6 : Wird die Mitte des Eingewortes erreicht, so leit der Lesekopf m Eingend stehen, is der Lese-/Schreikopf uf dem Areitsnd is zum linken Begrenzungssymol zurückgewndert ist. 7, 8 : Für jedes eingelesene Symol zw. in der zweiten Worthälfte wird nun ein Symol A zw. C uf dem Areitsnd gelöscht. 9, 10 : ist gleichzeitig mit dem Ende der Einge (dem Erreichen von Z 2 uf dem Eingend) ds Areitsnd leer, wndert der Lese-/Schreikopf uf dem leeren Areitsnd is zum linken Begrenzungssymol m Areitsnd (Normlform!) zurück, M geht in den (einzigen) Enzustnd q f üer und kzeptiert somit die Einge. (Anmerkung: M ist ein LBA) Aufge 2.5 Sind folgende Aussgen korrekt? Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. ) Sind L 1 und L 2 entscheidr, so ist uch L 1 L 2 entscheidr. ) Es ist entscheidr, o ds Komplement der von einer Turingmschine kzeptierten Sprche kontextfrei ist. c) Es ist entscheidr, o eine Turingmschine ds Leerwort in 100 Schritten kzeptiert. ) Ds ist korrekt. L 1 (zw. L 2 ) werde durch die stets hltende Turingmschine M 1 (zw. M 2 ) erknnt. Um L 1 L 2 zu erkennen, entwerfen wir eine Turingmschine M, die zuerst M 1 simuliert und dnn M 2 simuliert. M wird genu dnn kzeptieren, wenn eine der eiden Turingmschinen kzeptiert. D M stets hält, ist L 1 L 2 entscheidr. ) Nein, diese Aussge ist nicht korrekt, ws mn leicht mit Hilfe des Stzes von Rice zeigen knn: P = {L L ist kontextfrei} ist eine nicht-trivile Eigenschft, denn es gilt: { n n 0} P und Hlteprolem / P. Somit ist P nch dem Stz von Rice unentscheidr. c) J, Simuliere 100 Rechenschritte von M mit Hilfe einer universellen TM. 6

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