Julia Lutnik, Seminar für Lehramt Mathematik SS2012

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2 Innermathematisches Potenzial Tabellenkalkulation Iteration Darstellungsformen Mathematisches Modellieren Außermathematisches Potenzial alltagsnahe Tätigkeiten Systemdenken fächerübergreifender, anwendungsorientierter Unterricht 2

3 3

4 wichtigstes Werkzeug Matrix von Zellen: Buchstaben- Ziffern-Kombination Inhalt Zelle: Text, Zahl, Formel, Funktion große Vorteile: Kommunikation der Zellen Rechenoperationen iterative Berechnungen grafische Darstellung 4

5 Vorteile beim Arbeiten mit Tabellenkalkulationen: Berechnungen effizienter durchführen Problemlösungen werden einfacher erhalten Förderung des Verständnisses von mathematischen Begriffen und Regeln 5

6 Rekursion verstehen Schritt für Schritt Langzeitverhalten Zeile darüber Variablenbelegung Unterschied Variablenname Variablenwert Zuordnungspfeile Darstellungsebenen: paralleles Sehen symbolische Ebene numerische Ebene grafische Ebene 6

7 Diagramme unterschiedliche Darstellungen derselben Daten Dynamischer Aspekt Was passiert wenn? Schieberegler Erweiterungsmöglichkeiten Differenzierung einfaches Bedienen Verstehen der Struktur Nachbauen eines Applets Entwicklung eigener Ideen 7

8 Fülle von Modelltypen große Datenmengen systematisches Probieren auf Iteration aufbauend zur Auswertung von Daten, die funktionale Zusammenhänge aufweisen Bsp: Bevölkerungsdynamik mit mehreren Altersklassen Methode der kleinsten Quadrate Optimierungsaufgaben Solver 8

9 Tabellenkalkulation als Werkzeugzur Arbeit mit Iteration nutzen Gebrauch von Schiebereglernbegünstigen um dynamischen Aspekt der Modelle zu betonen und Experimentieren mit Parametern und Anfangsbedingungen zu fördern Verwendung unterschiedlicher Darstellungsformen anstreben 9

10 lateinisch: iterare von Grundschule bis Sekundarstufe 2 Iteration im Schulstoff Zinseszinsrechnung exponentielle Wachstumsprozesse rekursive Darstellung von linearen Funktionen Folgen und Grenzwerte iterative Näherungsverfahren Differenzengleichungen 10

11 in Schule oft getrennt voneinander Biomathematik als ständiger Begleiter dieses roten Fadens Spiralprinzip Rekursion lateinisch: recurrere sich selbst aufrufen Beispiele: x n+1 = x n + d x n+1 = x n * q x n+1 = x n + x n-1 11

12 Bedeutung von Iterationen deutlich machen Biomathematikals als verbindendes Element und ständigen Begleiter der Idee der Iteration herausstreichen Schritt-für für-schritt Denken fördern und sie zum eigenständigen Aufstellen von Rekursionsformeln befähigen Iterationen als wesentliches Werkzeugzur Darstellung zeitlicher Prozesse erkennbar machen 12

13 diskrete dynamische Systeme auf viele verschiedene Arten darstellbar Schematische Darstellung Rekursionsformel Vektoren und Tabellen Zeit- und Phasendiagramme 13

14 Situation grafisch veranschaulichen Beispiel: lineare Nahrungskette 14

15 Beispiel: natürliche Nahrungskette mit Verzweigungen 15

16 gewonnene Erkenntnisse und Zusammenhänge aus schematischer Darstellung mathematisches Modell Darstellung mittels Rekursionsformeln 16

17 Vektoren als geordnete Zahlentupel Zahlentupel (t, A t, B t, ) bei diskreten dynamischen Prozessen Berechnungen möglich Beispiel: Räuber-Beute Vektoren: (t, H t, F t ) Berechnung: (t 2, H t2, F t2 ) (t 1, H t1, F t1 ) Vektoren untereinander Tabelle 17

18 viele unterschiedliche Diagrammtypen Einsicht in Langzeitverhalten 18

19 vielfältiges Nebeneinander von unterschiedlichen Darstellungsformen Übersetzungsprozessevon einer Darstellung in eine andere 19

20 Modellierungskreislauf 1 Konstruieren 2 Vereinfachen 3 Mathematisieren 4 Operieren 5 Interpretieren 6 Validieren 7 Darlegen/Erklären 20

21 im Unterricht vernachlässigt Arbeiten im mathematischen Modell im Vordergrund leicht zu beurteilen Abhilfe: Punkteschema erstellen ideal für Gruppenarbeiten Möglichkeit der Differenzierung 21

22 alle Tätigkeiten des Modellierungskreislaufs berücksichtigen kreatives, entdeckendes und forschendes Arbeiten an Modellen fördern 22

23 23

24 viele diskrete Prozesse im Leben kontinuierliche Prozesse diskretisieren Beispiel: Gliederung der Zeit in Stunden, Minuten und Sekunden iteratives Denken Beispiel: feiern des jährlichen Geburtstages rekursive Prozesse zu diskreten Zeitpunkten Beispiel: Bevölkerungszahlen 24

25 Modellieren Verstehen des Problems Aufstellen eines Plans Ausführen eines Plans Rückblick Beispiel: Demographie Bevölkerungswachstum in einem bestimmten Land 25

26 Ursache-Wirkungs-Zusammenhänge Beispiel: Treffen eines Tieres mit Pfeil für eine Wirkung eine Reihe von Ursachen Rückkoppelung Beispiel: Waffenaufrüstung eines Landes Systemdenken: natürliche, soziale, psychische und Technische Strukturen nicht getrennt betrachten als Gefüge 26

27 Grundinteresse an menschlichen Bevölkerung und ihrer Umwelt primäre Motivation nachhaltiger als sekundäre Orientierung am Leben fächerübergreifender Unterricht Thematisieren von Begriffen und Vorgängen 27

28 Problem: organisatorische Schwierigkeiten Abhilfe: Rat von Kollegen gelegentlicher Unterrichtsbesuch selbstständiges Aneignen von Wissen Komplexität beachten 28

29 kaum anwendungsorientierter Unterricht in Schulen fehlende Lehrerausbildung höherer Vorbereitungsaufwand mehr Zeit im Unterricht Unterrichtsverlauf schwer planbar Konsequenzen: verstärkt in Lehreraus- und weiterbildung höhere Verbindlichkeiten in Lehrplänen Verbesserung des Informationsflusses für neue Materialien 29

30 30

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