Höhere Mathematik II. Universität Stuttgart, SS 09 Prof. Dr. M. Griesemer. Integration

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1 Höhere Mthemtik II Universität Stuttgrt, SS 09 Prof. Dr. M. Griesemer Integrtion

2 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R stetig. Ds bestimmte Integrl von f über [, b] ist die Zhl n f (x)dx = lim f (x k ) x n wobei x k := + k x, k=1 x := b n. Die Rndpunkte, b heißen Integrtionsgrenzen. Die Zhlen S n := n k=1 f (x k) x, n N heißen Riemnnsche Summen, Ds Integrl f (x)dx ist der Grenzwert der Folge (S n). Geometrische Interprettion Wenn f 0 dnn ist S n eine Summe von Rechteckflächen und f (x)dx knn ls Fläche unter dem Grphen von f : [, b] R über dem Intervl [, b] interpretiert werden:

3 b f (x)dx = grue Fläche rote Fläche Eine Funktion f : [, b] R heißt stückweise stetig, wenn sie stetig ist bis uf endlich viele Stellen c 1,..., c N [, b] wobei die einseitigen Grenzwerte lim x ci ± f (x) existieren. Theorem 1.1 Ist f : [, b] R stückweise stetig, dnn existiert f (x)dx = lim n n k=1 f (x k) x und es gilt mx 1 k n f (x)dx = lim n n f (ξ k )(x k x k 1 ) k=1 für jede Prtition = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, und für beliebig gewählte Zwischenpunkte ξ k [x k 1, x k ] sofern nur xk x k 1 0, (n ).

4 Ist f stückweise stetig, dnn konvergieren uch folgende Riemnn-Summen gegen ds Integrl f (x)dx: n f (x k 1 ) x k=1 n m k x k=1 n M k x k=1 m k := min{f (x) x k 1 x x k } M k := mx{f (x) x k 1 x x k } Im ersten Fll ist ξ k = x k 1, im zweiten und dritten Fll wird ξ k so gewählt, dss f (ξ k ) = m k bzw. f (ξ k ) = M k, ws zumindest für stetige f möglich ist. Elementre Eigenschften Es gilt f (x)dx = 0, b f (x)dx = f (x)dx, denn x = ( )/n = 0, bzw x = (b )/n = ( b)/n. Stz 1.2 Sind f, g : [, b] R stückweise stetig, λ R nd < c < b, dnn gilt () (b) (c) λf (x)dx = λ f (x) + g(x)dx = f (x)dx = c f (x)dx, f (x)dx + f (x)dx + c g(x)dx, f (x)dx.

5 Stz 1.3 (Abschätzungen) Sind f, g stückweise stetig und ist < b, dnn gilt: () f (x) g(x) f (x)dx (b) m f (x) M m(b ) (c) f (x)dx f (x) dx g(x)dx f (x)dx M(b ) Mittelwertstz der Integrlrechnung Stz 1.4 Ist f : [, b] R stetig, dnn gibt es ein ξ [, b] mit f Ξ f (x)dx = f (ξ)(b ). Stz 1.5 Sind die Funktion f und p stetig uf [, b] und ist p(x) 0 für lle x [, b], dnn existiert ein Punkt ξ [, b] mit f (x)p(x)dx = f (ξ) p(x)dx.

6 Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Sei f : I R eine gegebene Funktion und I R ein Intervll. Jede differenzierbre Funktion F : I R mit F = f heißt Stmmfunktion von f. Theorem 1.6 Sei f : I R stetig und I R ein Intervll. () Exitenz von Stmmfunktionen. Für jedes I ist F (x) := x f (t)dt eine Stmmfunktion von f, d.h. d dx x f (t)dt = f (x). (b) Integrlberechnung. Ist F eine Stmmfunktion von f und sind, b I, dnn gilt f (t)dt = F (b) F (). Bemerkungen () Zwei Stmmfunktionen F 1 und F 2 von f unterscheiden sich nur um eine Konstnte (denn (F 1 F 2 ) = f f = 0). (b) Nch () ist die Differenz F (b) F () =: F (x) b =: [ F (x) ] b unbhängig von der Whl der Stmmfunktion F. (c) Die Menge ller Stmmfunktionen einer Funktion f : I R wird mit f (x)dx bezeichnet und heißt unbestimmtes Integrl von f. Nch () gilt f (x)dx = F (x) + c mit einer festen Stmmfunktion F und c R beliebig.

7 Die Bestimmung der Limes f (x)dx = lim n n f (x k ) x k=1 nennt mn Qudrtur. Den Prozess der Bestimmung der Stmmfunktionen f (x)dx nennt mn Integrtion. Nch Theorem 1.6 gilt f (x)dx = f (x)dx d.h. mn knn ds Problem der Qudrtur (Flächenberechnung) durch Integrtion (Bestimmung einer Stmmfunktion) lösen, und umgekehrt. Es gibt stetige Funktionen, deren Stmmfunktion nicht durch elementre Funktionen (trig. Funktionen, rtionle Funktion, exp, ln, etc.) usgedrücken werden können! (z.b. f (x) = exp(x 2 )). b Korollr 1.7 Ist f : I R stetig und sind α, β : I R differenzierbre Funktionen, dnn gilt d dx β(x) α(x) f (t) dt = f (β(x))β (x) f (α(x))α (x).

8 Integrtionstechniken Linerität. Für λ, µ R gilt (λf (x) + µg(x) ) dx = λ f (x) dx + µ g(x) dx Prtielle Integrtion. f (x)g (x) dx = f (x)g(x) f (x)g(x) dx f (x)g (x) dx = f (x)g(x) b b f (x)g(x) dx Beweis durch Integrtion beider Seiten von (fg) = f g + fg. Durch prtielle Integrtion bekommt mn z.b. folgendes Resultt: Stz 1.8 Sind, b gnzzhlige Vielfche von π/2, dnn gilt für n 2: (sin x) n dx = n 1 n (cos x) n dx = n 1 n (sin x) n 2 dx (cos x) n 2 dx

9 Substitutionsmethode 1 f (g(x))g (x) dx = f (u) du u=g(x) f (g(x))g (x) dx = g(b) g() f (u) du Formles Vorgehen: 1) Substitution: g(x) = u, g (x)dx = du, 2) Integrtion: f (u) du, 3) Rücksubstitution u = g(x). Bei der bestimmten Integrtion entfällt die Rücksubstitution, wenn in Schritt 1) die Integrtionsgrenzen, b durch g() und g(b) ersetzt werden. Substitutionsmethode 2 f (u) du = f (g(x))g (x) dx x=g 1 (u) f (u) du = g 1 (b) g 1 () f (g(x))g (x) dx Formles Vorgehen: 1) Substitution: u = g(x), du = g (x)dx, 2) Integrtion: f (g(x))g (x) dx, 3) Rücksubstitution g(x) = u. Bei der bestimmten Integrtion entfällt Schritt 3), wenn in 1) zusätzlich die Integrtionsgrenzen, b durch g 1 () und g 1 (b) ersetzt werden.

10 Prtilbruchzerlegung von p/q Seien p, q Polynome mit Grd(p) < Grd(q). Die Zerlegung von q in Linerfktoren gemäß HM1, Stz 1.21 sei: q(x) = d(x 1 ) m1 (x r ) m r (x 2 +b 1 x +c 1 ) k1 (x 2 +b s x +c s ) k s wobei i R und die qudrtischen Polynome x 2 + b i x + c i keine reellen Nullstellen hben. Die Prtilbruchzerlegung von p/q ist eine Summe von Prtilbrüchen bestehend us folgenden Summnden: für jeden Fktor (x ) m gibt es die m Summnden A 1 (x ) + A 2 (x ) A m (x ) m Für jeden Fktor Q(x) k = (x 2 + bx + c) k gibt es die k Summnden B 1 x + C 1 Q(x) + B 2x + C 2 Q(x) B kx + C k Q(x) k Bemerkungen: Die Koeffizienten A i, B i, C i können durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden. Flls Grd(p) Grd(q), dnn ist zuerst eine Polynomdivision mit Rest gemäß HM1, Stz 1.22 durchzuführen. D.h. p(x) q(x) = h(x) + r(x) q(x) wobei h, r Polynome sind und Grd(r) < Grd(q). Die Prtilbruchzerlegung ist eindeutig.

11 Integrtion von Prtilbrüchen Die Integrtion von (x ) m bereitet keine Schwierigkeiten. Aus Q(x) = x 2 + bx + c folgt Q (x) = 2x + b und somit Bx + C Q(x) m = B 2 Q (x) Q(x) m + C Bb/2 Q(x) m. Der erste Summnd wird mit der Substitution Q(x) = u, Q (x)dx = du integriert. Zur Integrtion des zweiten Terms schreiben wir Q(x) = (x + b/2) 2 + λ 2 mit λ 2 = c b 2 /4 > 0, so dss 1 Q(x) m dx = 1 (u 2 + λ 2 ) m du } {{ } I m u=x+ b 2 wobei I 1 = (u 2 + λ 2 ) 1 du = λ 1 rctn(u/λ) und für m 1, I m+1 = 1 ( ) u 2mλ 2 (u 2 + λ 2 ) m + (2m 1)I m. Nicht elementr integrierbre Funktionen Die Fehlerfunktion: E(x) := 2 π x 0 e t2 dt, x 0 spielt eine wichtige Rolle in der Whrscheinlichkeitstheorie. 1 2 Π e x E x2 Die elliptischen Integrle: F (x, k) := E(x, k) := x 0 x 0 dt 1 k 2 sin 2 t 1 k 2 sin 2 t dt

12 Die Fresnelschen Integrle C(x) = S(x) = x 0 x 0 cos(t 2 ) dt sin(t 2 ) dt C(x) + is(x) = x 0 e it2 dt Die Cornusche Spirle (oder Klothoide) spielt eine Rolle im Strßenbu und in der Optik. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem Intervll [, b), b, definiert und stückweise stetig uf [, c] für jedes c < b. Dnn heißt c f (x) dx := lim c b f (x) dx (1) uneigentliches Integrl von f über [, b]. Dieses Integrl konvergiert, wenn der Limes (1) existiert. Sonst divergiert es. Entsprechend definiert mn f (x) dx := lim f (x) dx c + c wenn f : (, b] R,, uf jedem Intervll [c, b], c > b, stückweise stetig ist.

13 Stz 1.9 () 1 (b) x dx konvergiert für α > 1 und divergiert sonst. α 1 x dx konvergiert für α < 1 und divergiert sonst. α Α 1 1 x 1 Stz 1.10 Sei f definiert uf [, b) oder (, b] und stückweise stetig uf bgeschlossenen Teilintervllen. Dnn gilt f (x) dx < f (x) dx ist konvergent Korollr 1.11 () f (x) K x α, mit α > 1 f (x) dx konvergiert, (b) g(x) K 1 x α, mit α < 1 g(x) dx konvergiert. 1 0

14 An beiden Grenzen uneigentliches Integrl: f (x) dx := c f (x) dx + c f (x) dx Hier ist c mit < c < b beliebig wählbr. b Ausnhmestelle im Innern: f (x) dx := c f (x) dx + c f (x) dx c b In beiden Fällen müssen beide Integrle rechts konvergieren! Von obigen Definitionen bweichende Konventionen sind speziell bezeichnet: Ht f bei c eine Singulrität, dnn heißt [ c ε ] P f (x) dx := lim f (x)dx + f (x)dx ε 0+ c+ε Cuchy Huptwert von 1 1 Stz 1.12 (Gmmfunktion) Für x > 0 ist ds Integrl f (x) dx. Beispiel: 1 1 dx divergiert, P x 1 1 dx = 0. x Γ(x) := 0 t x 1 e t dt konvergent, Γ(x + 1) = xγ(x), und Γ(n + 1) = n! für n N.

15 Längen-, Flächen- und Volumenberechnung Eine (prmetrisierte) Kurve in der Ebene ist eine vektorwertige Abbildung c : [, b] R 2, c(t) = (x(t), y(t)), bzw ein System von Gleichungen x = x(t), y = y(t), t [, b]. t heißt Prmeter und [, b] heißt Prmeterintervll. Die Abbildungen x, y : [, b] R werden im folgenden ls stetig differenzierbr ngenommen. Beispiele: Gerde durch die Punkte (x 0, y 0 ) und (x 1, y 1 ): x = x 0 + t(x 1 x 0 ), y = y 0 + t(y 1 y 0 ), t R, Kreis um (x 0, y 0 ) mit Rdius r: x = x 0 + r cos(t), y = y 0 + r sin(t), t [0, 2π].

16 Der Geschwindigkeitsvektor 1 ċ(t 0 ) := lim h 0 h [c(t 0 + h) c(t 0 )] = im Zeitpunkt t 0 ist prllel zur Tngente t c(t 0 ) + tċ(t 0 ), t R, (ẋ(t0 ) ). ẏ(t 0 ) n die Kurve durch den Punkt c(t 0 ). Die Kurve c heißt regulär, wenn ċ(t) 0 für lle t [, b]. Die Länge einer regulären Kurve c : [, b] R 2 ist gegeben durch L = ċ(t) dt = ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 dt Der Grph einer stetig differenzierbren Funktion f : [, b] R ht die Länge L = 1 + f (x) 2 dx. Eine durch Drehung der Kurve y = f (x), x b, um die x-achse erzeugter Rottionskörper ht ds Volumen V = π und die Mntelfläche M = 2π f (x) 2 dx. f (x) 1 + f (x) 2 dx z y x

17 Numerische Integrtion Ist die Stmmfunktion von f : [, b] R nicht elementr berechenbr, so muss f (x) dx numerisch pproximiert werden. Trpezformel Sei f : [, b] R stetig, x = (b )/n und sei x k = + k x. Summtion der Trpezflächen: liefert für x f (x k 1) + f (x k ) 2 T n (f ) := x 2 Mn knn zeigen, dss f (x) dx die Approximtion x k 1 ( ) f () + 2f (x 1 ) f (x n 1 ) + f (b). f (x) dx T n (f ) (b )3 12n 2 sup f (x) x k

18 Simpsonformel Sei f : [, b] R stetig, x = (b )/n, x k = + k x und sei n gerde. Auf den Doppelintervllen [x 0, x 2 ], [x 2, x 4 ], etc wird nun f durch jeweils ein qudrtisches Polynom p 1, p 3,... pproximiert, wobei p k (x) = f (x) für x {x k 1, x k, x k+1 }. Mn nimmt xk+1 x k 1 p k (x) dx = x 3 ( ) f (x k 1 ) + 4f (x k ) + f (x k+1 ) ls Approximtion für x k+1 x k 1 f (x) dx. Summtion dieses Ausdrucks über lle n/2 Doppelintervlle liefert für f (x) dx die Approximtion S n (f ) := x 3 Mn knn zeigen, dss ( ) f () + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) f (b). f (x) dx S n (f ) (b )5 180n 4 sup f (4) (x) x Vergleich von Trpezformel und Simpsonformel: π 0 sin x dx = 2 n T n S n π sin2 x dx = n T n S n Im zweiten Beispiel (elliptisches Integrl) scheint die Trpezformel wider Erwrten schneller zu konvergieren.

19 Reihen Wozu Reihen? x x 3 3! + x 5 5! x 7 7! Π 4 ( sin x + 1 ) π 3 sin(3x) +...

20 Definitionen Gegeben sei eine Zhlenfolge 0, 1, 2,.... Wir betrchten die Summen s n := n k und interessieren uns für den Limes k := lim n n k. Die Folge (s n ) heißt Reihe und wird ebenflls mit k oder mit k k bezeichnet. Die Zhlen k heißen Glieder der Reihe und die Summen s n nennt mn Prtilsummen der Reihe. Entsprechend der Definition k k = (s n ) sgt mn, die Reihe k konvergiert (bzw. divergiert), wenn die Folge (s n ) konvergiert (bzw. divergiert). Im Konvergenzfll nennt mn s := lim n s n, die Summe der Reihe k. Mn schreibt uch nstelle von k. Wichtige Reihen 1. Die Geometrische Reihe. Für q < 1 gilt q k = 1 + q + q = 1 1 q. Für q 1 divergiert die Reihe qk (HM1, Kp. 3.1) 2. Die hrmonische Reihe 1 k = ist divergent. k=1 3. Die lternierende hrmonische Reihe ( 1) k 1 1 k = k=1 ist konvergent (Stz 2.2).

21 Stz 2.1 lim k 0 k k ist divergent. Umgekehrt ist lim k k = 0 nicht hinreichend für Konvergenz! Ds sieht mn m Beispiel der hrmonischen Reihe. Stz 2.2 (Alternierende Reihen) Flls und lim k k = 0, dnn konvergiert die lternierende Reihe ( 1) k k = Der Abbruchfehler s s n, s n = n k, ist betrgsmäßig kleiner ls ds erste vernchlässigte Glied: s s n n+1. Stz 2.3 (Rechenregeln) Flls die Reihen k k und k b k konvergent sind, dnn uch k ( k + b k ) und k λ k und es gilt ( k + b k ) = λ k = λ k + k b k Theorem 2.4 (Cuchy-Kriterium) Die Reihe k k ist genu dnn konvergent, wenn es zu jedem ε > 0 ein Index N ε N existiert, so dss s n s m < ε, für n, m N ε.

22 Bemerkungen: Die Klmmerstellung zu ändern ist im llgemeinen verboten: = (1 1) + (1 1) + (1 1) ( 1 + 1) + ( 1 + 1) +... = 1 Umsortieren der Glieder einer Reihe ist verboten: Zur Berechnung von Prtilsummen ist Zusmmenfssen oder Umsortieren der Glieder erlubt: n 1 n ( 1 k(k + 1) = k 1 ) = 1 1 k + 1 n + 1 k=1 k=1 (teleskopierende Summe). Also gilt k=1 1 k(k+1) = 1. Absolute Konvergenz Die Reihe k k heißt bsolut konvergent, wenn k k konvergent ist. Eine Reihe heißt bedingt konvergent, wenn sie konvergent, ber nicht bsolut konvergent ist. Theorem 2.5 Jede bsolut konvergente Reihe ist konvergent: k < k ist konvergent. Aufgrund dieses Stzes benötigen wir Tests für bsolute Konvergenz. Stz 2.6 k b k, b k < k ist konvergent. 0 b k k, b k = k ist divergent.

23 Stz 2.7 (Integrltest) Sei k = f (k) > 0, wobei f, stetig und monoton fllend ist. Dnn gilt: k < f (x)dx <. Korollr 2.8 k=1 1 k=1 1 k α { < α > 1, = α 1. Theorem 2.9 (Quotientenkriterium) Flls k 0 für k k 0 und lim k k+1 / k existiert, dnn gilt lim k lim k k+1 k k+1 k < 1 > 1 k k ist bsolut konvergent. ist divergent. Im Fll lim k k+1 / k = 1 ist sowohl Konvergenz ls uch Divergenz möglich. Z.B. ist k=1 k 1 divergent und konvergent, ber in beiden Fällen ist lim k k+1 / k = 1. k=1 k 2 ist

24 Stz 2.10 (Cuchy-Produkt) Für bsolut konvergente Reihen k k und k b k gilt die Produktformel ( ) ( ) ( n ) k b k = k b n k n=0 = ( 0 b 0 ) + ( 0 b b 0 ) + ( 0 b b b 0 ) +... Bemerkung: Bei bsolut konvergenten Reihen spielt die Reihenfolge der Glieder keine Rolle. Funktionenfolgen

25 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz Eine Folge von Funktionen f 0, f 1, f 2,..., lle uf demselben Intervll I definiert, konvergiert uf I punktweise gegen die Funktion f, flls f (x) = lim k f k(x), lle x I. Die Funktionenfolge (f k ) k 0 konvergiert uf I gleichmäßig gegen f, wenn es zu jedem ε > 0 einen Indexwert N ε gibt, so dss n > N ε f (x) f n (x) < ε für lle x I. (N ε knn unbhängig von x gewählt werden!) Bemerkung: Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz ber nicht umgekehrt. Gleichmäßige Konvergenz f n f uf I : f Ε f f Ε f n Punktweise Konvergenz f n f uf I, die nicht gleichmäßig ist: f 10 f 25 f Ε f f Ε

26 Stz 2.11 Ist f n : I R, n N, eine Folge stetiger Funktionen, welche gleichmäßig gegen f : I R konvergiert, dnn ist uch f stetig. Punktweise Konvergenz genügt in Stz 2.11 nicht! Die stetigen Funktionen f n (x) = x n konvergieren uf [0, 1] punktweise gegen eine unstetige Funktion f : 1 1 f 1 f 2 f 3 f 10 f n f n Theorem 2.12 Ist f n : [, b] R, n N, eine Folge stetiger Funktionen, welche gleichmäßig gegen f konvergiert, dnn gilt: lim f n (x) dx = lim f n(x) dx = f (x) dx. n n f 2 f 1 Punktweise Konvergenz genügt in Theorem 2.12 nicht! In der Figur: f n (x) 0 und somit: n 2 0 = 2 0 lim n lim f n(x)dx n 2 0 f n (x)dx = 1.

27 Theorem 2.13 Ist f n : I R, n N, eine Folge stetig differenzierbrer Funktionen, welche punktweise gegen f konvergiert, und konvergieren die Ableitungen f n gleichmäßig gegen eine Funktion g, dnn ist f stetig differenzierbr und f = g. Insbesondere gilt lim n d dx f n(x) = d dx lim n f n(x) = d dx f (x). Bemerkung: Auf die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen f n kommt es n! Gleichmäßige Konvergenz der Funktionen f n und punktweise Konvergenz der Ableitungen genügt in Thm 2.13 nicht. Beispiel: f n (x) = x 2 + n 1 konvergiert uf [ 1, 1] gleichmäßig gegen f (x) = x und f n ist punktweise konvergent, ber f ist nicht differenzierbr. Funktionenreihen

28 Eine Funktionenreihe k f k(x) heißt uf I gleichmäßig konvergent, wenn die Funktionenfolge der Prtilsummen s n = f 0 + f f n uf I gleichmäßig konvergent ist. Stz 2.14 (M-Test) Flls es zu jeder Funktion f k : I R der Reihe k f k eine Schrnke M k sup x I f k (x) gibt, so dss M k <, dnn ist die Reihe k f k uf I gleichmäßig und bsolut konvergent. Stz 2.15 Ist k f k eine uf [, b] gleichmäßig konvergente Reihe stetiger Funktionen f k, dnn ist f (x) = k f k(x) stetig, und es gilt f k (x)dx = f k (x)dx. Stz 2.16 Ist k f k eine uf I punktweise konvergente Reihe stetig differenzierbrer Funktionen f k und ist die Reihe k f k uf I gleichmäßig konvergent, dnn ist f (x) = k f k(x) differenzierbr und d dx f k (x) = d dx f k(x).

29 Illustrtion: Sei f (x) = f k(x) wobei cos((2k + 1)x) f k (x) = k (2k + 1) 2, f k sin((2k + 1)x) (x) =. 2k + 1 Es gilt sup x f k (x) = (2k + 1) 2 und sup x f k (x) = (2k + 1) 1 wobei 1 (2k + 1) 2 <, 1 2k + 1 =. Also ist f stetig, ber Differenzierbrkeit ist nicht zu erwrten und liegt uch nicht vor: k 2Π 4Π Potenzreihen

30 Eine Potenzreihe ist eine Funktionenreihe der Form k x k = x + 2 x (2) mit festen Koeffizienten k R. Der Konvergenzrdius R von (2) ist definiert durch { R := sup x } k kx k ist konvergent Stz 2.17 Eine Potenzreihe k kx k mit Konvergenzrdius R > 0 ist bsolut konvergent für x < R, divergent für x > R und gleichmäßig konvergent uf jedem Intervll [ ρ, ρ] mit ρ < R. Die Konvergenzmenge M := {x R k kx k ist konvergent} ist, nch Stz 2.17, eines der Intervlle ( R, R), ( R, R], [ R, R) oder [ R, R], lso ein Konvergenzintervll. Die Rndpunkte x = R, x = R sind in jedem Fll gesondert zu betrchten. Stz 2.18 Der Konvergenzrdius von k kx k ist gegeben durch R = lim k k k+1 sofern dieser Limes existiert oder ist. Allgemeingültige Formeln für den Konvergenzrdius sind: R = ( ) k 1, lim sup k k R = sup { r die Folge k r k ist beschränkt }.

31 Theorem 2.19 Die Summe einer Potenzreihe, f (x) = k kx k, mit Konvergenzrdius R > 0 ist im Intervll ( R, R) beliebig oft differenzierbr. Die Ableitungen von f erhält mn durch gliedweise Differentition: f (x) = f (x) = k kx k 1, k=1 k k(k 1)x k 2. k=2 Eine Stmmfunktion von f bekommt mn durch gliedweise Integrtion: x x k+1 f (t) dt = k k Der Konvergenzrdius ändert sich nicht bei gliedweiser Differentition oder Integrtion. Potenzreihendrstellung wichtiger Funktionen: e x = sin x = cos x = ln(1 + x) = (1 + x) α = x k k! = 1 + x + x 2 2! +... x R ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! = x x 3 3! + x 5 5!... x R ( 1) k x 2k = 1 x 2 (2k)! 2! + x 4 4!... x R ( 1) k x k+1 k + 1 wobei α R und ( ) α := 1, 0 = x x 2 ( ) α x k = 1 + αx + k ( ) α := k 2 + x x < 1 α(α 1) x x < 1 2 α(α 1)(α 2) (α k + 1) k!

32 Potenzreihen mit Entwicklungspunkt 0 Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt ist eine Funktionenreihe der Form: k (x ) k = (x ) + 2 (x ) (3) Sie konvergiert für x < R und divergiert für x > R wobei R der Konvergenzrdius von kx k ist. Stz 2.20 Flls f (x) = k(x ) k für x < R wobei R > 0, dnn gilt k = f (k) (), k = 0, 1, 2,... k! Folgerungen us Stz 2.20: Flls k(x ) k = b k(x ) k für x < R wobei R > 0, dnn gilt (Koeffizientenvergleich) k = b k für lle k. Flls eine Funktion f in ( R, + R) ls Summe einer Potenzreihe k(x ) k drstellbr ist, dnn nur in Form einer Tylorreihe: f (x) = f (k) () (x ) k (4) k! Ist f : I R eine beliebig oft differenzierbre Funktion und I, stellen sich nun folgende Frgen: Wie groß ist der Konvergenzrdius der Tylorreihe (4)? Stimmt die Summe der Tylorreihe im Konvergenzintervll mit f überein?

33 Theorem 2.21 (Stz von Tylor) Ist I R ein offenes Intervll und f : I R eine (n + 1)-ml stetig differenzierbre Funktion, dnn gilt für lle, x I : f (x) = n f (k) () (x ) k + R n+1 (x, ) k! mit dem Integrlrestglied: R n+1 (x, ) = 1 n! x (x t) n f (n+1) (t) dt, bzw., dem Restglied nch Lgrnge: R n+1 (x, ) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x )n+1 mit ξ zwischen und x. Ds n-te Tylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt T n (x) := f ()+f ()(x )+ f () 2 (x ) f (n) () (x ) n n! ht mit f im Punkt den Funktionswert sowie die ersten n Ableitungen gemeinsm (vgl. Stz 2.20): f (k) () = T (k) n (), k = 0,..., n. T 1 T 5 T 9 2Π sin T 3 T 7 Ist f ein Polynom vom Grd m n, dnn gilt f = T n für lle.

34 Stz 2.22 Für lle n N, x R gilt: n sin x ( 1) k x 2k+1 (2k + 1)! n cos x ( 1) k x 2k (2k)! n x k ex k! x 2n+3 (2n + 3)! x 2n+2 (2n + 2)! e x x n+1 (n + 1)! Stz 2.23 (Extremwert-Test) Sei f : I R n-ml stetig differenzierbr und I mit f () = f () =... = f (n 1) () = 0, f (n) () 0. Ist n gerde, dnn gilt: f (n) () > 0 ist lokle Minimlstelle, f (n) () < 0 ist lokle Mximlstelle. Ist n ungerde, dnn ist keine Extremlstelle sondern ein Wendepunkt (d.h. f wechselt ds Vorzeichen).

35 Tylorreihe Sei f : I R eine beliebig oft differenzierbre Funktion, I ein offenes Intervll und I. Die Tylorreihe von f mit Entwicklungspunkt ist die Potenzreihe: f (k) () (x ) k. (5) k! Die Funktion f lässt sich um in eine Tylorreihe entwickeln, flls ein ε > 0 existiert, so dss f (x) = f (k) () (x ) k, x < ε. (6) k! Selbst wenn die Tylorreihe (5) einen positiven Konvergenzrdius ht, muss (6) nicht zutreffen! Beispiel: Die Funktion f definiert durch f (x) := { e 1/x x > 0, 0 x ist beliebig oft differenzierbr und f (k) (0) = 0 für lle k N. Also f (k) (0) x k = 0 f (x), für x > 0. k! Der Stz von Tylor ist nwendbr und er besgt, dss für jedes n N die Funktion f durch ds Restglied R n (x, 0) gegeben ist: f (x) = 1 (n 1)! x 0 (x t) n 1 f (n) (t) dt = f (n) (ξ n ) x n, n! wobei ξ n zwischen 0 und x liegt. Für festes x > 0 folgt f (n) (ξ n ) = f (x)n!/x n für n.

36 Stz 2.24 Ist f uf dem Intervll I R beliebig oft differenzierbr, und, x I, dnn gilt f (x) = f (k) () (x ) k, k! genu dnn, wenn R n (x, ) = f (n) (ξ x )(x ) n /n! 0, für x. Dfür ist hinreichend, dss f (n) (x) AB n für lle x I, n N. Lndusche o-symbole Die o-symbole o( ) (klein oh von...) und O( ) (groß oh von...) sind definiert durch f (x) = o(g(x)), (x ) lim x f (x) g(x) = 0, f (x) = O(g(x)), (x ) f (x) C g(x) für x nhe bei. In Anwendungen ist meist g(x) = 1 oder g(x) = (x ) n für ein n N. Aus Theorem 2.21 folgt: f (x) = n f (k) () (x ) k + O((x ) n+1 ), (x ), k! wenn f eine (n + 1)-ml stetig differenzierbre Funktion uf einem Intervll I, x ist.

37 Nchtrg zu Kp. 1: Stirlingsche Formel Theorem 2.25 (Stirlingsche Formel) Für lle n 1 gilt ( n ) n ( n ) n 2πn < n! 2πn e 1/12n. e e Nch diesem Theorem gilt n! ( n ) n 2πn e mit dem reltiven Fehler: n! 2πn ( ) n n e ( 2πn n ) n e 1/12n n. e n n! 2πn (n/e) n e 1/12n

38 Differentilrechnung in R n Kurven in R n Wir betrchten vektorwertige Funktionen x : I R n definiert uf einem Intervll I R. Sei x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)) T und c = (c 1,..., c n ) T R n. Der Limes lim t t0 x(t) wird komponentenweise definiert. D.h. lim x(t) = c t t 0 def. lim x k (t) = c k. t t0 Somit gilt: x(t + h) x(t) ẋ(t) := lim = (ẋ 1 (t),..., ẋ n (t)) T h 0 h n x(t)dt := lim x(t k ) t n k=1 ( = x 1 (t)dt,..., ) T x n (t)dt

39 Folgerungen: Die Funktion t x(t) ist stetig im Punkt t 0 lle Funktionen t x k (t), k = 1,..., n, sind stetig in t = t 0. Die Funktion t x(t) ist differenzierbr im Punkt t 0 lle Funktionen t x k (t) sind differenzierbr in t 0. ẋ(t 0 ) = v ẋ k (t 0 ) = v k für lle k = 1,..., n. Für vektorwertige Funktionen t x(t) gilt ebenflls der Huptstz der Differentil-und Integrlrechnung. Stz 3.1 Sind x, y : I R n, γ : I R differenzierbr und α, β R, dnn gilt () (b) (c) (d) d (αx + βy) = αẋ + βẏ, dt d (x y) = ẋ y + x ẏ, dt d (x y) = ẋ y + x ẏ, (n = 3), dt d ( ) γx = γx + γẋ. dt Folgerung: x(t) = const. ẋ(t) x(t), lle t I.

40 Sei G R n und [, b] R. Eine stetig differenzierbre Abbildung x : [, b] G nennen wir Kurvenstück in G mit Anfngspunkt x(), Endpunkt x(b) und Spur {x(t) : t b}. Ein Kurvenstück x heißt regulär, wenn ẋ(t) 0 für lle t I. Eine Kurve ist us endlich vielen Kurvenstücken zusmmengesetzt, d.h., sie knn Ecken hben. Kurvenstück in Zylindermntel Kurve Die Bogenlänge s : [, b] R eines Kurvenstücks x : [, b] G ist definiert durch s(t) := t ẋ(τ) dτ. Ebene Kurven Sei c(t) = (x(t), y(t)) eine reguläre Kurve in der Ebene und sei ϕ(t) der Winkel zwischen x-achse und Tngentenrichtung im Punkt c(t). Die Krümmung κ(t) der Kurve c im Punkt c(t) ist definiert durch: wobei ϕ(t) κ(t) := lim t 0 s(t) = ϕ(t) ṡ(t) ϕ(t) := ϕ(t + t) ϕ(t) s(t) := s(t + t) s(t), Winkeländerung der Tngente und Zuwchs der Bogenlänge sind. Eine Gerde ht Krümmung κ = 0. Bei einem Kreis mit Rdius r ist κ = 1/r.

41 Stz 3.2 () Die Krümmung eines zwei Ml stetig differenzierbren Kurvenstücks c(t) = (x(t), y(t)) T beträgt κ = ẋÿ ẍẏ det(ċ, c) (ẋ 2 + ẏ 2 = ) 3/2 ċ 3 (b) Die Krümmung des Grphen einer zwei Ml stetig differenzierbren Funktion f : [, b] R beträgt κ(x) = f (x) (1 + f (x) 2 ) 3/2. Der Krümmungskreis des Kurvenstücks c : [, b] R 2 im Punkt c(t) = (x(t), y(t)) ist der Kreis mit Rdius r = 1/ κ(t) und derselben Tngentenrichtung wie c. Der Mittelpunkt (x M (t), y M (t)) des Krümmungskreises ist gegeben durch: x M (t) = x(t) 1 κ y M (t) = y(t) + 1 κ ẏ(t) ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 ẋ(t) ẋ(t) 2 + ẏ(t) 2 Die durch die Mittelpunkte (x M (t), y M (t)) ller Krümmungskreise gebildete Kurve heißt Evolute der gegebenen Kurve.

42 Rumkurven Sei c(t) ein reguläres Kurvenstück mit ċ(t) 0 und ċ(t) c(t) 0 für lle t. Mn definiert T (t) := ċ(t)/ ċ(t), N(t) := Ṫ (t)/ Ṫ (t), B(t) := T (t) N(t), Tngenteneinheitsvektor, Normlenvektor, Binormlenvektor. Ds Orthonormlsystem {T (t), N(t), B(t)} heißt begleitendes Dreibein der Kurve im Punkt c(t) und die durch (T (t), N(t)) ufgespnnte Ebene durch c(t) heißt Schmiegebene der Kurve im Punkt c(t). Die Krümmung κ einer Rumkurve c ist definiert durch T (t) κ(t) := lim t 0 s(t) = Ṫ (t) ṡ(t). Sie ist immer positiv im Gegenstz zur Krümmung einer ebenen Kurve. Abgesehen dvon ist die Interprettion dieselbe: 1/κ ist der Rdius des Krümmungskreises in der Schmiegebene. Die Zerlegung von ċ und c bezüglich der Bsis {T (t), N(t), B(t)} lutet ċ = ṡt, c = st + ṡ 2 κn, und drus folgt: κ(t) = ċ(t) c(t) ċ(t) 3

43 Ds Heruswinden einer Rumkurve us der Schmiegebene wird beschrieben durch Ḃ/ṡ wobei Ḃ B und Ḃ T denn B = 1 und Ḃ = Ṫ N + T Ṅ = T Ṅ. Also ist Ḃ prllel zu N und somit ist die Torsion τ := 1 ṡ Ḃ N ein sklres Mß für ds Heruswinden us der Schmiegebene. Aus Ḃ N = B Ṅ und der Ableitung von c = st + ṡ 2 κn bekommt mn... det(ċ, c, c ) τ = ċ c 2 Funktionen mehrer Vriblen

44 Definitionen Ein Funktion von n Vriblen ist eine Abbildung: f : D R n R die jedem Punkt x = (x 1,..., x n ) D eine Zhl f (x) R zuordnet. Zur Beschreibung und Untersuchung solcher Funktionen ist es nützlich, f uf Teilmengen von D zu betrchten. Mn definiert dzu: Die Niveumenge (Niveulinie, Niveufläche) von f zum Niveu c: N c := {x D f (x) = c} Die n prtiellen Funktionen von f, welche durch festhlten von n 1 Vriblen entstehen: x i f ( 1,..., i 1, x i, i+1,... n ) Beknntlich ist der Grph von f die Menge Γ f := {(x, f (x)) x D} R n+1. Beispiele Druck und Tempertur ls Funktion von geogrphischer Breite und Länge: Isobren = Niveulinien zu festem Druckniveu, Isothermen = Niveulinien zu konstntem Temperturniveu.

45 Die prtiellen Funktionen des Affensttels f : R 2 R, f (x, y) = x 3 3xy 2 x f (x, b) = x 3 3xb 2 kubische Prbeln y y f (, y) = 3 3y 2 y Prbeln x x Grenzwerte und Stetigkeit Der Abstnd von zwei Punkten x, y R n wird definiert durch x y := n (x i y i ) 2. Zu jedem Punkt R n und zu jedem ε > 0 ist eine ε-umgebung von definiert durch i=1 U ε () := {x R n x < ε}. Für n = 1 ist U ε () = ( ε, + ε), für n = 2 ist U ε () eine Kreisscheibe um, für n = 3 ist U ε () eine Kugel um mit Rdius ε.

46 Sei D R n. Ein Punkt D heißt inneren Punkt von D wenn es eine ε-umgebung von gibt die gnz in D liegt: U ε () D. D heißt offen, wenn jeder Punkt von D ein innerer Punkt von D ist. Ein Punkt b R n heißt Rndpunkt von D wenn jede ε-umgebung von b sowohl D ls uch R n \D schneidet. Die Menge der Rndpunkte von D heißt Rnd von D und wird mit D bezeichnet. Die Menge D heißt bgeschlossen, wenn sie lle ihre Rndpunkte enthält, d.h. wenn D D. Die Menge D = D D heißt Abschluss von D. D b Sei f : D R n R und sei D. () f ht in den Grenzwert c R, in Zeichen lim f (x) = c, oder f (x) c, (x ) x wenn es zu jedem ε > 0 eine δ-umgebung gibt, so dss x U δ () f (x) f () < ε. (b) f heißt stetig im Punkt wenn lim x f (x) = f (). (c) Die Funktion f heißt stetig, wenn sie in jedem Punkt von D stetig ist. Stz 3.3 Summe, Produkt und Quotient stetiger Funktionen sind stetig. Stz 3.4 Sind f : D R n R und g : R R stetig, dnn ist uch x g(f (x)) uf D stetig.

47 Vorsicht: Die Stetigkeit der prtiellen Funktionen x f (x, b) und y f (, y) grntiert nicht, dss f im Punkt (, b) stetig ist! Sei f : R 2 R definiert durch f (0, 0) = 0 und f (x, y) = 2xy x 2, (x, y) (0, 0) + y 2 dnn gilt f (x, 0) = f (0, y) = 0 für lle x, y R, ber f (x, x) = 1 für lle x R. Also ist f im Punkt (0, 0) nicht stetig. Eine Menge D R n heißt beschränkt, wenn es eine Zhl R gibt mit x D x < R. Eine Menge D R n heißt kompkt, wenn sie bgeschlossen und beschränkt ist. Theorem 3.5 Sei D R n kompkt und f : D R stetig. Dnn gilt: () Die Funktion f nimmt ihr Mximum und ihr Minimum n, d.h. es gibt, b D mit f () f (x) f (b) für lle x D. (b) Die Funktion f ist gleichmäßig stetig, d.h. zu jedem ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dss für lle x, y D gilt: x y < δ f (x) f (y) < ε.

48 Prtielle Ableitungen Sei D R n offen und sei f : D R. Flls die Ableitung der prtiellen Funktion x i f ( 1,..., i 1, x i, i+1,..., n ) n der Stelle x i = i existiert, so heißt sie prtielle Ableitung von f nch x i im Punkt = ( 1,..., n ). Sie wird mit bezeichnet. Also f x i (), xi f (), i f (), oder f xi () 1[ i f (x) := lim f (x1,..., x i 1, x i + t, x i+1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) ] t 0 t f (x + te i ) f (x) = lim t 0 t wobei e i den iten Bsisvektor der Stndrdbsis von R n bezeichnet. Die Funktion f : D R n R heißt prtiell differenzierbr, wenn lle prtiellen Ableitungen i f (x) in llen Punkten x D existieren. Sie heißt stetig prtiell differenzierbr, wenn die prtiellen Ableitungen uch noch stetig sind. Sind die prtiellen Ableitungen i f wieder prtiell differenzierbr, dnn schreibt mn 2 f f xk x x i x i (f xk ) xi := ( ) f k 2 f x 2 i := x i ( f x i ). x i x k und mn sgt, f sei zweiml prtiell differenzierbr. f heißt k-ml prtiell differenzierbr, wenn f (k 1)-Ml prtiell differenzierbr ist, und lle kten prtiellen Ableitungen k f x i1... x ik f xik...x i1 existieren. Sind sämtliche Funktionen f xik...x i1 k-ml stetig prtiell differenzierbr. stetig, dnn heißt f

49 C 0 (D) := {f : D R f ist stetig} C k (D) := {f : D R f ist k-ml stetig prtiell differenzierbr} Stz 3.6 (Schwrz) Sei D R n offen und sei f C 2 (D). Dnn gilt ( ) f = ( ) f x k x i x i x k für lle i, k {1,..., n}. Im Allgemeinen ist i ( k f ) k ( i f ), wenn die zweiten prtiellen Ableitungen nicht stetig sind! Aus dem Stz von Schwrz folgt x ( y ( z f )) = y ( x ( z f )) = z ( y ( x f )) = etc. wenn f (x, y, z) dreiml stetig prtiell differenzierbr ist. Ableitung und linere Approximtion Sei D R n offen. Eine Funktion f : D R heißt differenzierbr in x 0 D, wenn es einen Vektor R n gibt mit ws äquivlent ist zu bzw. f (x) f (x 0 ) (x x 0 ) lim x x 0 x x 0 = 0 f (x) = f (x 0 ) + (x x 0 ) + o( x x 0 ), (x x 0 ), f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h + o( h ), (h 0). Die linere Abbildung h h heißt Ableitung oder Differentil von f im Punkt x 0 und wird mit df (x 0 ) bezeichnet. D.h. df (x 0 )h = h.

50 Stz 3.7 Sei f in x 0 differenzierbr mit Ableitung df (x 0 )h = h. Dnn gilt: () f ist stetig in x = x 0, (b) Für jeden Vektor v R n gilt: d dt f (x 1 [ ] 0 + tv) = lim f (x 0 + tv) f (x 0 ) = v. t=0 t 0 t (c) f ist prtiell differenzierbr in x 0 und 1 f (x 0 ) =. =: f (x 0 ). n f (x 0 ) Der Vektor f (x 0 ) heißt Grdient von f im Punkt x 0. Ds Symbol wird mit Nbl bezeichnet. Korollr 3.8 Ist f : D R n R in x 0 differenzierbr, dnn gilt f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + o( x x 0 ), (x x 0 ). Für x nhe bei x 0 gilt lso: f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) im Sinn von Korollr 3.8. Der Grph der Funktion L(x) = f (x 0 )+ f (x 0 ) (x x 0 ) ist, für n = 2, die Tngentilebene n den Grphen von f im Punkt x 0.

51 Stz 3.9 Ist D R n offen und f : D R stetig prtiell differenzierbr, dnn ist f uf D (totl) differenzierbr. Wenn die prtiellen Ableitungen von f existieren ber nicht stetig sind, dnn brucht f nicht differenzierbr zu sein! Ein Beispiel dfür ist die Funktion f : R 2 R mit f (0, 0) = 0, und f (x, y) = xy 2 x 2, (x, y) (0, 0). + y 2 Fehlerrechnung Sei f differenzierbr im Punkt x 0, sei f := f (x) f (x 0 ), x := x x 0 R n und sei x k = (x x 0 ) k. Dnn gilt f (x) = f (x 0 ) x + o( x ), (x x 0 ), n f = (x 0 ) x k + o( x ), x k (x x 0 ). k=1 Drus folgt f (x) n f (x 0 ) x k x k + o( x ), (x x 0 ). k=1 Somit knn n k=1 kf (x 0 ) x k ls pproximtive Schrnke für f (x) ngesehen werden (vgl. Fehlerbschätzung bei Messungen).

52 Richtungsbleitung und Kettenregel Sei v R n. Wir definieren 1 [ ] D v f (x) := lim f (x + tv) f (x) t 0 t flls dieser Limes existiert. Wenn v = 1 dnn heißt D v f (x) Richtungsbleitung von f n der Stelle x in Richtung v und knn ls Steigung von f n der Stelle x in Richtung v interpretiert werden. Wenn f prtiell differenzierbr ist, dnn D ek f (x) = k f (x), k = 1..., n und flls f differenzierbr ist, dnn gilt nch Stz 3.7 D v f (x 0 ) = f (x 0 ) v = n k f (x)v k. k=1 Die Formel D v f (x 0 ) = f (x 0 ) v ist ein Spezilfll von: Stz 3.10 (Kettenregel) Sei D R n offen, f C 1 (D) und sei x : [, b] D differenzierbr (z.b. ein Kurvenstück.) Dnn gilt: d n f (x(t)) = f (x(t)) ẋ(t) = dt k=1 k f (x(t))ẋ k (t). Folgerungen: Der Grdient f (x 0 ) steht senkrecht uf der Niveufläche N f (x0 ) = {x D f (x) = f (x 0 )}. Der Grdient f (x) zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs von f n der Stelle x und f (x) ist die Steigung von f in dieser Richtung.

53 Niveulinien und Grdientenfeld f (x, y) = x 2 + 3y 2 g(x, y) = x 3 3xy 2 ( ) ( 2x 3x f (x, y) = g(x, y) = 2 3y 2 ) 6y 6xy Tylorsche Formel Sei D R n offen und konvex, d.h. wenn x, y D dnn ist x + t(y x) D für 0 t 1. Sei f C m (D), x D, v R n und x + v D. Um f (x + v) zu berechnen betrchten wir h(t) := f (x + tv) für 0 t 1. Es gilt f (x + v) = h(1) und nch dem Stz von Tylor (Theorem 2.21): h(t) = m h (k) (0) t k + h(m+1) (ξ t ) k! (m + 1)! tm+1 h(1) = h(0) + h (0) h (0) h(m) (0) m! + h(m+1) (ξ) (m + 1)! wobei 0 ξ 1.

54 Nch der Kettenregel gilt h (t) = h (t) = h (t) = n v k ( k f )(x + tv), k=1 n i,j=1 n i,j,k=1 v i v j ( i j f )(x + tv), v i v j v k ( i j k f )(x + tv). Also h (0) = v f (x) und h (0) = v T H f (x)v mit der Hesseschen Mtrix H f (x) ij = ( i j f )(x). Allgemein gilt h (k) (0) = (Dv k f )(x) = D v (D v (D v... f )))(x) mit k-mliger Anwendung von D v uf f. Theorem 3.11 Sei D R n offen und konvex und sei f C 3 (D). Für lle x, x + v D gilt f (x + v) = f (x) + v f (x) v T H f (x)v + O( v 3 ), (v 0). Im Fll n = 1 reduziert sich die Aussge des Theorems uf f (x + v) = f (x) + f (x)v f (x)v 2 + O(v 3 ), (v 0) ws beknnt ist us Kpitel 2.5. Die qudrtische Form 1 2 v T H f (x)v beschreibt die Abweichung der Funktion f von der Tngentilebene v f (x) + v f (x) n der Stelle x korrekt bis uf Terme der Größe O( v 3 ).

55 Klssifiktion der Flächenpunkte durch die qudrtische Form q(v) = v T H f (x)v x D H f (x) Grph von q Flchpunkt Nullmtrix Ebene elliptisch pos./neg. definit elliptisches Prboloid prbolisch semidefinit, nicht definit prbolischer Zylinder hyperbolisch indefinit hyperbolisches Prboloid elliptisch prbolisch hyperbolisch Bemerkungen: Flls f C 3 (D) und f (x + v) = 0 + n k v k + k=1 n k 1,k 2 =1 A k1 k 2 v k1 v k2 + o( v 2 ) dnn gilt 0 = f (x), = f (x), und A k1 k 2 = k1 k2 f (x)/2. Theorem 3.11 und obige Bemerkung hben nheliegende Verllgemeinerungen uf Funktionen die m + 1 Ml stetig differenzierbr sind (vgl. Meyberg/Vchenuer).

56 Lokle Minim und Mxim Ein Punkt D heißt lokle Mximlstelle der Funktion f : D R, wenn es eine Umgebung U ε () von gibt, so dss x U ε () D f (x) f (). Der Punkt heißt globle Mximlstelle von f, wenn x D f (x) f () Die Zhl f () heißt lokles, bzw., globles Mximum. Die Begriffe lokle/globle Minimlstelle und lokles/globles Minimum sind nlog definiert. Extremwert ist der gemeinsme Überbegriff für Mximum und Minimum. Stz 3.12 (Lokle Extrem im Inneren) Ist ein innerer Punkt von D R n und ist f : D R prtiell differenzierbr im Punkt, dnn gilt ist lokle Extremlstelle von f f () = 0. Ein Punkt D wo f () = 0 heißt sttionärer oder kritischer Punkt von f. Ein sttionärer Punkt, welcher keine Extremlstelle ist nennen wir Sttelpunkt. In einem sttionären Punkt gilt f ( + v) = f () v T H f ()v + o( v 2 ), (v 0), wobei H f () = ( i j f ()) die Hesse-Mtrix von f im Punkt ist. Wir nehmen hier n f sei eine C 2 Funktion in einer Umgebung von. Drus folgt: Stz 3.13 (Extremstellen-Test) Sei D R n offen und sei D ein sttionärer Punkt einer C 2 -Funktion f : D R. Dnn gilt: H f () positiv definit ist lokle Minimlstelle, H f () negtiv definit ist lokle Mximlstelle, H f () indefinit ist Sttelpunkt.

57 Im Fll n = 2 ist die Hesse-Mtrix eine 2 2-Mtrix: ( ) fxx () f H f () = yx (). f xy () f yy () Korollr 3.14 (Extremstellen-Test für n = 2) Sei D R 2 offen und sei D ein sttionärer Punkt einer C 2 -Funktion f : D R. Dnn gilt: det H f () > 0, f xx () > 0 ist lokle Minimlstelle, det H f () > 0, f xx () < 0 ist lokle Mximlstelle, det H f () < 0 ist Sttelpunkt. Lokle Extrem der Funktion: f (x, y) = x 4 + y 3 x 2 y 2

58 Stz über implizite Funktionen Problemstellung: Durch eine Gleichung der Form f (x, y) = 0 wird eine Kurve in der Ebene beschrieben. Lssen sich wenigstens Teile dieser Kurve ls Grph y = g(x) eine Funktion g uffssen? Ws lässt sich über g ussgen? x 3 + y 3 3xy = 0 Stz 3.15 Sei D R 2 offen, f C 1 (D) und sei (x 0, y 0 ) eine Lösung von f (x, y) = 0 wobei 2 f (x 0, y 0 ) 0. Dnn gibt es Intervlle I = (x 0 δ, x 0 + δ), K = (y 0 ε, y 0 + ε) und eine differenzierbre Funktion g : I K mit () I K D (b) Für lle x I gilt f (x, g(x)) = 0 und y = g(x) ist die einzige Lösung von f (x, y) = 0 in K. (c) Für lle x I ist 2 f (x, g(x)) 0 und g (x) = 1f (x, g(x)) 2 f (x, g(x)) Die Funktion g wird implizit durch die Gleichung f (x, y) = 0 definiert.

59 Bemerkungen: Ist f (x 0, y 0 ) = 0 und 1 f (x 0, y 0 ) 0, dnn lässt sich die Gleichung f (x, y) = 0 nch x ls Funktion von y uflösen, d.h. es gibt eine Funktion h : (y 0 ε, y 0 + ε) R mit f (h(y), y) = 0 für y 0 ε < y < y 0 + ε. Der Stz 3.15 gilt uch für C 1 Funktionen f : D R n R: Flls f ( 1,..., n ) = 0, und n f ( 1,..., n ) 0 dnn gibt es eine Umgebung U R n 1 von ( 1,..., n 1 ), ein Intervll K = ( n ε, n + ε), und ein differenzierbre Funktion g : U K, so dss U K D, f (x 1,..., x n 1, g(x 1,..., x n 1 )) = 0 (7) und x n = g(x 1,..., x n 1 ) ist die einzige Lösung von (7) in K. Extrem mit Nebenbedingung Die Funktion f : D R n R ist im Punkt p D lokl mximl unter der Nebenbedingung g(x) = 0, wenn p in der Menge M := {x D g(x) = 0} liegt und eine Umgebung U ε (p) von p existiert, so dss x U ε (p) M f (x) f (p). Stz 3.16 Sind f : D R n R und g : R n R zwei C 1 -Funktionen und ist f im Punkt p lokl extreml unter der Nebenbedingung g(x) = 0, wobei g(p) 0, dnn gibt es eine Zhl λ, so dss f (p) = λ g(p). Die Zhl λ heißt Lngrnge Multipliktor.

60 Um Kndidten für Extremlstellen von f unter der Nebenbedingung g(x) = 0 zu finden, müssen, nch Stz 3.16, die n + 1 Gleichungen f (x) λ g(x) = 0 g(x) = 0. nch x 1,..., x n, λ ufgelöst werden. Dbei ist der Wert von λ meist nicht von Interesse. Stz 3.16 ht folgende Verllgemeinerung uf k < n Nebenbedingungen: sind f, g 1,... g k C 1 Funktionen und sind g 1 (x),..., g k (x) liner unbhängig für lle x us M := {x R n g 1 (x) =... = g k (x) = 0}, dnn sind die Extremlpunkte von f unter den Nebenbedingungen g 1 (x) =... = g k (x) = 0 zu finden unter den Lösungen von f (x) λ 1 g 1 (x)... λ k g k (x) = 0, g 1 (x) =... = g k (x) = 0. (8) Die Funktion F (x 1..., x n, λ 1,..., λ k ) k := f (x 1..., x n ) λ i g i (x 1..., x n ) wird Lgrngesche Prinziplfunktion gennnt. Die Gleichungen (8) sind äquivlent zu den n + k Gleichungen i=1 F (x 1..., x n, λ 1,..., λ k ) = 0. (9) Ist für lle Punkte von M := {x R n g 1 (x) =... = g k (x) = 0} die Bedingung der lineren Unbhängigkeit von g 1,..., g k erfüllt, dnn nennt mn M eine (n k)-dimensionle Fläche, und die Punkte x M, welche zu Lösungen von (8) bzw. zu (9) gehören, heißen bedingt sttionäre Punkte von f (bez. M).

61 Globle Extrem Ist K R n kompkt und die Funktion f : K R stetig, dnn nimmt sie ihr globles Minimum und ihr globles Mximum in K n (Thm. 3.5). D.h. es gibt Punkte, b K, so dss Kndidten für, b sind: f () f (x) f (b), für lle x K. die sttionären Punkte von f im Inneren von K, die bedingt sttionären Punkte von f in Teilflächen von K, die Eckpunkte von K und die Punkte wo f nicht differenzierbr ist. Um f () und f (b) zu finden, muss f in llen obengennnten Punkten usgewertet werden. Vektorwertige Funktionen Wir betrchten nun Funktionen der Form f : D R n R m, f (x 1,..., x n ) = f 1 (x 1,..., x n ). f m (x 1,..., x n ) Definitionen: () lim f (x) = x x 0 lim x x0 f 1 (x)., lim x x0 f m (x) k f (x) = lim t 0 f (x + te k ) f (x) t (c) f heißt stetig in x = x 0 wenn lim x x0 f (x) = f (x 0 ). (d) f heißt C r -Funktion (Funktion der Klsse C r (D)), wenn lle prtiellen Ableitungen k1... kr f existieren und stetig sind.

62 Stz 3.17 Für jede Funktion f : D R n R m mit f = (f 1,..., f m ) T gilt: () f ist genu dnn stetig im Punkt x 0 wenn lle Komponentenfunktionen f k stetig sind in x 0. (b) f ist genu dnn prtiell differenzierbr im Punkt x 0 wenn lle Komponentenfunktionen f k in x 0 prtiell differenzierbr sind und dnn gilt k f 1 (x) k f (x) =., k f m (x) (c) f ist genu dnn eine C r -Funktion, wenn f 1,..., f m C r -Funktion sind. Sei D R n offen. Eine Funktion f : D R m heißt differenzierbr im Punkt x 0 D, wenn eine m n Mtrix A existiert, so dss oder, äquivlent dzu, wenn f (x 0 + h) f (x 0 ) Ah lim h 0 h = 0, f (x 0 + h) = f (x) + Ah + o(h), ( h 0) Die linere Abbildung h Ah heißt Ableitung von f n der Stelle x 0 und wird mit df (x 0 ) oder Df (x 0 ) bezeichnet. D.h. df (x)h = Ah. Stz 3.18 Eine Funktion f = (f 1,..., f m ) T ist genu dnn differenzierbr in x 0, wenn lle m Komponentenfunktionen f 1,..., f m in x 0 differenzierbr sind.

63 Stz 3.19 Sei f in x 0 differenzierbr mit Ableitung df (x 0 )h = Ah. Dnn gilt: () f ist stetig in x = x 0, (b) Für jeden Vektor v R n gilt: d dt f (x 1 [ ] 0 + tv) = lim f (x 0 + tv) f (x 0 ) = Av. t=0 t 0 t (c) f ist prtiell differenzierbr in x 0 und f 1 (x 0 ) T A = ( 1 f,..., n f ) =. =: J f (x 0 ). f m (x 0 ) T D.h. J f (x 0 ) ik = f i,k (x 0 ) = k f i (x 0 ). Die m n Mtrix J f (x 0 ) heißt Jcobi-Mtrix von f im Punkt x 0. Aus den Sätzen 3.9, 3.18 und 3.19 folgt: Theorem 3.20 Sei D R n offen und f (x) = (f 1 (x),..., f m (x)) T für x D. Flls f 1,..., f m stetige prtielle Ableitungen hben, dnn ist f differenzierbr und somit für lle x, x 0 D, f (x) f (x 0 ) + J f (x 0 )(x x 0 ) mit dem Fehler o(x x 0 ) für x x 0. Stz 3.21 Sei D R n offen und konvex und sei f : D R m eine C 1 -Abbildung. Flls m k=1 f k(x) M für lle x D, dnn gilt für lle x, x 0 D. f (x) f (x 0 ) M x x 0 Vorsicht: Der Mittelwertstz gilt nicht für m > 1!

64 Offensichtlich gilt für differenzierbre Funktionen f (x), g(x) R m : wenn α, β Konstnten sind. Theorem 3.22 (Kettenregel) J αf +βg (x) = αj f (x) + βj g (x) Ist f : D R n R m differenzierbr im Punkt x 0 D und ist g : G R m R l differenzierbr in f (x 0 ) G, dnn ist (g f )(x) = g(f (x)) differenzierbr in x 0 und J g f (x 0 ) = J g (f (x 0 ))J f (x 0 ). Im Fll n = m = 1 reduziert sich die Aussge von Theorem 3.22 uf die ltbeknnte Kettenregel (g f ) (x) = g (f (x))f (x). Schreibt mn y(x) = f (x) dnn bekommt die Kettenregel die suggestive Form x k g i (f (x)) = n j=1 g i y j (y) y j x k (x). Stz 3.23 Sei D R n offen, sei f : D R n R n eine C 1 -Funktion und sei x 0 ein Punkt mit det J f (x 0 ) 0. Dnn gibt es offene Mengen U x 0 und V y 0 = f (x 0 ), so dss f : U V bijektiv ist, f 1 : V U wieder eine C 1 -Funktion ist und J f 1(y 0 ) = J f (x 0 ) 1. Beweis: Siehe O. Forster, Anlysis 2.

65 Vektorfelder und Sklrfelder Ein Vektorfeld v uf D R n ist eine Abbildung v : D R n (m = n), wobei mn sich den Vektor v(x) im Punkt x D ngeheftet vorstellt. Ein C r -Vektorfeld ist eine Vektorfeld, ds r-ml stetig prtiell differenzierbr ist. Ein Sklrfeld f uf D R n ist eine Funktion f : D R (m = 1). Windgeschwindigkeit ist ein Vektorfeld, Druck ein Sklrfeld Die Divergenz (oder Quellstärke) eines C 1 -Vektorfeldes v uf D ist ds Sklrfeld div v uf D definiert durch div v := n k v k. k=1 Forml: div v(x) = v(x), ds Sklrprodukt von = ( 1, 2, 3 ) T mit v(x). Die Rottion (oder Wirbeldichte) eines C 1 -Vektorfeldes v uf D R 3 ist ds Vektorfeld rot v : D R 3 definiert durch 2 v 3 3 v 2 rot v := 3 v 1 1 v 3 1 v 2 2 v 1 Forml: rot v(x) = v(x), ds Vektorprodukt von mit v(x).

66 Vektorfelder mit konstnter Divergenz/Rottion v(x, y) = ( ) x y w(x, y) = div v = 2 1 w 2 2 w 1 = 2. ( ) y x Ds Sklrfeld f (sprich Lplce f ) eines C 2 -Sklrfeldes f : D R n R ist definiert durch f = n 2 f x 2 k=1 k mit dem Lplce-Opertor := n k=1 2 k. Sei f ein Sklr- und v ein Vektorfeld uf D R 3, wobei beide Felder zwei-, bzw. einml stetig prtiell differenzierbr sind, dnn gilt: rot(grd f ) = 0, div(rot v) = 0, div(grd f ) = f, div(fv) = (grd f )v + f div v, rot(fv) = (grd f ) v + f rot v, rot(rot v) = grd(div v) v. Grdientenfelder sind wirbelfrei, die Rottion eines Vektorfeldes ist quellfrei,

67 Jedes wirbelfreie Vektorfeld ist lokl ein Grdientenfeld, und jedes quellfreie Vektorfeld ist lokl die Rottion eines nderen Vektorfeldes: Theorem 3.24 Sei v : U R (x 0 ) R 3 R 3 ein C 1 -Vektorfeld. Dnn gilt: rot v = 0 in U R (x 0 ) v = grd f in U R (x 0 ), div v = 0 in U R (x 0 ) v = rot w in U R (x 0 ), wobei f und w gewählt werden können ls: f (x) := w(x) := v(x 0 + t(x x 0 )) (x x 0 )dt, tv(x 0 + t(x x 0 )) (x x 0 )dt. Ds sklre Potentil f und ds Vektorpotentil w sind durch v nicht eindeutig bestimmt! Koordintenwechsel Im ffinen Koordintensystem K = (p; b 1, b 2, b 3 ) von R 3 wird ein Vektor x R 3 drgestellt durch den Koordintenvektor y = (y 1, y 2, y 3 ) T mit x = 2 y k b k + p = By + p, B = (b 1, b 2, b 3 ). k=1 Ds Sklrfeld f und ds Vektorfeld v werden in K drgestellt durch y g(y) R und y w(y) R 3 wobei g(y) = f (x), Bw(y) = v(x), d.h. g(y) = f (By + p), d.h. w(y) = B T v(by + p). Hier wurde B 1 = B T ngenommen. D.h. {b 1, b 2, b 3 } sei eine Orthonormlbsis von R 3.

68 Stz 3.25 Sei B eine Orthogonlmtrix mit det B = 1 und p R 3 ein fester Punkt. Sei f ein C 2 -Sklrfeld, v ein C 1 -Vektorfeld und sei g(y) := f (x), w(y) := B T v(x) wobei x = By + p, dnn gilt: ( g)(y) = ( f )(x) (div w)(y) = (div v)(x) ( g)(y) = B T ( f )(x) (rot w)(y) = B T (rot v)(x). Die Sklrfelder f und div v trnsformieren sich gleich wie f, die Vektorfelder f und rot v trnsformieren sich gleich wie v. Forml: y = x und y = B T x. Integrlrechnung in R n

69 Integrle mit Prmeter Wir betrchten Funktionen der Form: F (x) = d c f (x, y)dy. (10) Stz 4.1 Sei f : [, b] [c, d] R stetig und sei F : [, b] R definiert durch (10), wobei, b, c, d R. Dnn gilt: () F ist stetig in [, b]. (b) Wenn zusätzlich x f existiert und stetig ist, dnn ist F differenzierbr und es gilt: F (x) = d dx d c f (x, y)dy = d c x f (x, y)dy. (c) [ d c ] d [ ] f (x, y)dy dx = f (x, y)dx dy. c Stz 4.2 (Leibniz-Regel) Die Funktion f : [, b] [c, d] R erfülle die Annhmen von Stz 4.1 (b) und g, h : [, b] [c, d] seien differenzierbr. Dnn gilt: d dx h(x) g(x) f (x, y)dy = f (x, h(x))h (x) f (x, g(x))g (x) + h(x) g(x) x f (x, y)dy.

70 Kurvenintegrle Sei γ : [, b] R n, γ : t x(t), ein reguläres Kurvenstück und sei f : Spur γ R stetig. Ds Kurvenintegrl von f längs γ ist definiert durch: f ds := f (x(t)) ẋ(t) dt. γ Eine Kurve γ in D R n ist eine endliche Kollektion von Kurvenstücken γ k : [ k, b k ] D, k = 1,..., n γ k (b k ) = γ k+1 ( k+1 ), k = 1,..., n 1. Sei Spur γ := n k=1 Spurγ k und sei f : Spur γ R stetig. Dnn γ f ds := n k=1 γ k f ds. Ds Integrl γ f ds ist unbhängig von der Prmetrisierung des Kurvenstücks γ : [, b] R n. Insbesondere gilt f ds = f ds, γ γ wenn γ (t) = γ( + b t) für t [, b] (umgekehrter Durchlufsinn). Ds Kurvenintegrl ist liner in f, d.h. αf ds = α f ds γ γ f + g ds = f ds + γ γ γ g ds.

71 Kurvenintegrle von Vektorfeldern Sei γ : [, b] R n, γ : t x(t), ein Kurvenstück und sei v : Spur γ R n ein stetiges Vektorfeld. Ds Kurvenintegrl von v längs γ ist definiert durch: γ v dx := v(x(t)) ẋ(t)dt. Für Kurven γ := {γ 1,..., γ n } definiert mn γ v dx := n k=1 γ k v dx. Eine gebräuchliche Nottionen ist: v 1 dx v n dx n := γ γ v(x) dx, und wenn γ geschlossen ist, d.h. γ() = γ(b), dnn schreibt mn mnchml γ n Stelle von γ. Für eine reguläre Kurve γ gilt: v dx = γ γ v T ds wobei T (x) = ẋ(t)/ ẋ(t) = Tngenteninheitsvektor. Ds Kurvenintegrl γ v(x) dx ändert ds Vorzeichen, wenn γ in umgekehrter Richtung durchlufen wird: v(x) dx = v(x) dx. γ γ Ds Kurvenintegrl ist liner in v, d.h. αv dx = α v dx, α R, γ γ (v + w) dx = v dx + w dx. γ γ γ

72 Theorem 4.3 Sei f : D R n R eine C 1 Funktion und sei γ eine Kurve in D mit Anfngspunkt γ() und Endpunkt γ(b). Dnn gilt: f (x) dx = f (γ(b)) f (γ()). γ Ein Vektorfeld ds ein Grdientenfeld ist, nennt mn uch konservtiv, d bei einer Bewegung im Krftfeld F (x) = U(x) die Energie erhlten bleibt: Ist t x(t) eine Lösung der Newtonschen Gleichung mẍ(t) = F (x(t)), dnn ist unbhängig von der Zeit t. m 2 ẋ(t)2 + U(x(t)) Eine Menge G R n heißt zusmmenhängend, wenn sich jedes Pr von Punkten x 0, x 1 D durch eine Kurve γ in D verbinden lässt. Eine Menge G R n heißt Gebiet, wenn sie offen und zusmmenhängend ist. Stz 4.4 Sei G R n ein Gebiet und v : G R n ein stetiges Vektorfeld. Dnn sind folgende Aussgen äquivlent: () v ist ein Grdientenfeld, (b) γ v(x) dx hängt nur von den Endpunkten der Kurve γ b, (c) Für jede geschlossene Kurve γ in G gilt: v dx = 0. γ

73 Ein Gebiet G R n heißt einfch zusmmenghängend, wenn jede geschlossene Kurve in G stetig uf einen Punkt in G zusmmengezogen werden knn, ohne dss dbei ds Gebiet G verlssen wird. Genuer: ds Gebiet G R n heißt einfch zusmmenghängend, wenn es zu jeder geschlossenen Kurve γ : [, b] G einen Punkt x 0 G und eine Fmilie {γ s s [0, 1]} von geschlossenen Kurven γ s : [, b] G gibt, mit γ 1 = γ, γ 0 (t) = x 0 für lle t [, b], so dss die Abbildung stetig ist uf [0, 1] [, b]. (s, t) γ(s, t) := γ s (t)