Mathematik 2. B.Grabowski. 8. Mai 2007

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematik 2. B.Grabowski. 8. Mai 2007"

Transkript

1 Mathematik 2 B.Grabowski 8. Mai 2007 Zusammenfassung Das vorliegende Papier umfasst den Inhalt der Vorlesung Mathematik 2 für Ingenieure und gibt Hinweise zu weiterführender Literatur. Wir verweisen auch auf die übliche Mathematik-Standard-Literatur, z.b. [Pap01]. Zur Ergänzung der im Skript enthaltenen Übungsaufgaben, d.h. zum weiteren Üben und zum Durchführen von Selbst-Kontrollen (Klausuren) verweisen wir auf unseren E-learning-Turor MathCoach. (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 5/2007, Internes Papier zur Veranstaltung Mathematik 2. 1

2 INHALTSVERZEICHNIS 2 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen und ihre Eigenschaften Funktionen Darstellungsformen von Abbildungen Eindeutigkeits-Eigenschaften von Funktionen und Umkehrfunktionen Injektiv, Surjektiv und Bijektiv Umkehrfunktionen Allgemeine Eigenschaften von Funktionen Symmetrie Monotonie Periodizität Beschränkheit Nullstelle einer Funktion Koordinatentransformationen Parallelverschiebung Drehung Abbildungsverzeichnis 1 Funktion und Abbildung Parameterdarstellung einer Kurve Schiefer Wurf Gewöhnliche Zykloide Darstellung einer Abbildung in Polarkoordinaten: r = r(φ) Archimedische Spirale r = aφ für a = 2, φ [0, 2π] Schematische Darstellung injektiver, surjektiver und bijektiver Funktionen Beispiele für injektive, surjektive und bijektive Funktionen Symmetrie-Eigenschaften Periodizität Parallelverschiebung (Translation) Drehung gegen den Urzeiger um den Winkel α Tabellenverzeichnis

3 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 3 1 Funktionen und ihre Eigenschaften In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit allgemeinen grundlegenden Eigenschaften von reellwertigen Funktionen in einer Veränderlichen. Ergänzend verweisen wir auf das Lehrbuch [Pap01]. Zum zusätzlichen interaktiven Rechner- (web-)basierten Üben und zur Klausurvorbereitung verweisen wir auf unseren E-learning-Turor MathCoach. 1.1 Funktionen Häug muss man Zusammenhänge zwischen 2 Gröÿen x und y beschreiben. Das geschieht durch eine Vorschrift f, die festlegt, welchem x-wert welcher y-wert zugeordnet wird. Beispiel 1: Parabel: y = x 2 oder f(x) = x 2 oder f : x x 2, für x R. Beispiel 2: Beschreibung des Weges s in Abhängigkeit von der Zeit t (y=s, x=t): s(t) = 1 2 gt2 + s 0, für t R 0. Denition Unter einer Abbildung verstehen wir ein Tripel (D, f, B), wobei gilt: f ist die Funktionsvorschrift, die beschreibt, wie jedem x D ein y B zugeordnet wird. Wird durch f jedem x D genau ein y B zugeordnet, so bezeichnen wir f auch als Funktion. x wird als unabhängige Variable und y als abhängige Variable bezeichnet. D R ist die Menge aller x-werte, für die die Abbildung erklärt ist und wird als Denitionsbereich bezeichnet. B R ist der Bildbereich, d.h. die Menge von y-werten. Er umfasst mindestens den sogenannten Wertebereich W, wobei W gleich der Menge aller y- Werte ist, die auch tatsächlich durch f(x) angenommen werden, d.h. es ist W = {y R x D mit f(x) = y}. Schreibweisen: (D, f, B) oder y = f(x), x D, y B oder f : x D y = f(x) B. Bemerkung: Wird der Denitionsbereich D bzw. Bildbereich B nicht angegeben, so ist D = R. bzw. B = R. Beispiele:

4 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 4 (1) f(x) = x 2, x R. (Hier sind D = R, B = R, W = R 0 ). (2) f(x) = x 2, x [ 2, 2]. (Hier sind D = [ 2, 2], B = R, W = [0, 4]). (3) f : x R y = x 2 R. (Hier sind D = R, B = R, W = R 0 ). (4) y 2 = x, x [0, 4]. (Hier sind D = [0, 4], B = R, W = [ 2, 2]). Die Abbildungen (1), (2) und (3) sind Funktionen und (4) ist keine Funktion, siehe auch folgende Graken für (2) und (4) in Abbildung 1. Abbildung 1: Funktion und Abbildung Bemerkungen: Da der Wertebereich unserer Funktionen/Abbildungen aus reellen Zahlen besteht, spricht mann auch von reellwertigen Funktionen/Abbildungen im Unterschied z.b. zu komplexwertigen Funktionen. Ist bei Funktionen nur eine unabhängige Variable im Spiel, so spricht man von einer Funktion in einer Veränderlichen, ansonsten von einer Funktion in mehreren Veränderlichen. Beispiel einer Funktion in 2 Veränderlichen: f(x, y) = x 2 + y 2, (x, y) D R 2. Wir beschäftigen uns in diesem Kapitel nur mit Funktionen in einer Veränderlichen.

5 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 5 Übungsaufgaben Aufgabe 1.1 Welche der folgenden Tripel sind Funktionen: a) D = R, B = R, f : x x 2 b) D = R 0, B = D, f : x x c) D = R, B = R, f : x { x2 für x 0 e x für x 0 d) D = R\{0}, f(x) = 1 x 0 e) D = [0, 1], B = {0, 1}, f(x) = { wenn x rational 1 wenn x irrational f) D = N, B = P, f(x) = x 2 x + 41, wobei gilt: N ={0,1,2,...}, P=Menge aller Primzahlen ={2,3,5,7,11,13,17,...} Aufgabe 1.2 Geben Sie für folgende Abbildungen jeweils den Wertebereich W an! c) D = R, B = R, f : x sin(x 2 ) + 2 b) D = R\{0}, B = R, f : x sin(x)/x c) D = R, B = R, f : x { x2 für x 0 e x für x>0 d) D = R\{0}, f(x) = 1 x 1.2 Darstellungsformen von Abbildungen 1. Explizite Darstellung y = f(x) Explizite Darstellungen werden angewendet, wenn es sich um eindeutige Abbildungen, also Funktionen handelt. Beispiele: y = cos(x), x R; f(x) = ln(x), x > 0; f : x 0 wenn x 0 x 2 + 1, x R; f(x) = 1 wenn 0 < x 2 2 wenn x > 2, x R. 2. Implizite Darstellung Nicht eindeutige Abbildungen stellt man i.a. implizit dar, d.h., der Zusammenhang zwischen x und y wird durch eine Gleichung der Form F (x, y) = 0 beschrieben. Ist dieser Zusammenhang nicht eindeutig, so lässt er sich oft nicht mehr nach y umstellen, also explizit formulieren. Beispiele: x 2 + y 2 r 2 = 0, x [0, r]; x 3y = 0, x > 0.

6 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 6 3. Parameterische Darstellung Häug wird in Physik und Technik, sowie in der Computergrak die Parameterdarstellung für Kurven verwendet, bei der der Zusammenhang zwischen x und y durch einen reellen Parameter t I R beschrieben wird: ( ) x(t) x = x(t), y = y(t), t I R bzw. r(t) =, t I. y(t) Diese Darstellung nennt man Parameterdarstellung (siehe Abbildung 2). t kann z.b. als Zeit oder als Winkel aufgefasst werden. Abbildung 2: Parameterdarstellung einer Kurve Beispiele (1) Kreis mit Radius r: r(t) = ( ) ( x(t) y(t) = rcos(2πt) rsin(2πt)), t [0, 2π]. (2) Gerade in der Ebene: r(t) = ( ( x(t) y(t)) = 1 ( 1) + t 2 1), t I = R. (3) Funktion y = f(x), x D : x(t) = t, y(t) = f(t), t D. (4) Schiefer Wurf: Ein Körper wird vom Boden aus mit der Anfangsgeschwindigkeit v o und mit dem Abwurfwinkel α o in die Höhe geworfen (siehe Abbildung 3). Die Luftwiederstandskraft soll vernachlässigt werden. In waagerechter Richtung (x-richtung) bewegt sich der Körper dann mit konstanter Geschwindigkeit v o = v o cos(α o ) und in senkrechter Richtung (y-richtung) erfolgt eine gleichförmig beschleunigte Bewegung. D.h. der schiefe Wurf kann wie folgt parametrisch dargestellt werden: x(t) = v o tcos(α o ), y(t) = v o tsin(α o ) g 2 t2, t 0, (g ist die Erdbeschleunigung).

7 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 7 Abbildung 3: Schiefer Wurf (5) Zykloide: Eine gewöhnliche Zykloide entsteht, wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt und wir die Bewegung eines Punktes auf dem Kreis beschreiben. Z.B. bewegt sich ein Punkt auf einem Reifen eines fahrenden Fahrrades (z.b. das Ventil) auf einer gewöhnlichen Zykloide. Abbildung 4: Gewöhnliche Zykloide Diese Zykloide kann wie folgt parametrisch beschrieben werden: x(t) = r(t sin(t)), y(t) = r(1 cos(t)), t [0, 2π], wobei r den Radius des Kreises und t den Parameter ('Wälzwinkel') bezeichnet. Bemerkung: Kurven bzw. Abbildungen in Parameterdarstellung können manchmal in explizite Form umgewandelt werden. Dazu stellt man die Variable x(t) nach t um und setzt dieses t in y(t) ein.

8 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 8 Beispiel: Gegeben sei folgende Abbildung in Parameterform: x(t) = 1 + 2t, y(t) = 1 + t, t [a, b] R. Stellen wir x(t)=x nach t um, so ergibt sich: t = x 1 2. Setzen wir dieses t in y(t) ein, so erhalten wir: y(t) = 1 + t = 1 + x x In expliziter Form lautet also die Abbildung: y = 1 2 x + 1, x [1 + 2a, 1 + 2b]. 2 2 = 4. Darstellung in Polarkoordinaten Zur mathematischen Beschreibung und graschen Darstellung auf dem Computer von geometrischer Figuren, wie Kreisen, Spiralen usw. eignet sich besonders die folgende Darstellung. Hier wird ein Punkt (x,y) der Abbildung f in Polarkoordinaten dargestellt: x(r, φ) = r cos(φ), y(r, φ) = r sin(φ). Der Abbildungs-Zusammenhang zwischen x und y wird dann als Zusammenhang zwischen r und φ also z.b. durch r = r(φ), φ D φ dargestellt, siehe Abbildung 5). Abbildung 5: Darstellung einer Abbildung in Polarkoordinaten: r = r(φ) Beispiele: (1) Kreis mit Radius R und Mittelpunkt (0, 0): r(φ) = R, φ [0, 2π]. (2) Archimedische Spirale: Die Archimedische Spirale wird durch folgende Abbildung in Polarkoordinaten dargestellt: r = r(φ) = aφ, φ [0, 2π], a ist eine fest vorgegebene natürliche Zahl.

9 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 9 Für die grasche Darstellung der Archimedischen Spirale stellen wir zunächst eine Wertetabelle der Funktion r(φ) auf, hier für φ in der Schrittweite π/8, a = 2. φ 0 π/8 π/4 2π r 0 π/4 π/2 4π Wir zeichnen dann Strahlen mit den Winkeln φ in das Koordinatensystem ein und tragen an jedem Strahl den entsprechenden Radius r = r(φ) = aφ ab, siehe Abbildung 6). Die entsprechenden sich ergebenden Punkte werden verbunden und ergeben die Archimedische Spirale. Abbildung 6: Archimedische Spirale r = aφ für a = 2, φ [0, 2π] Übungsaufgaben Aufgabe 1.3 Beschreiben Sie einen Halb-Kreis mit dem Radius R, dem Mittelpunkt 0 und Werten y 0 a) explizit, b) implizit, c) parametrisch, d) in Polardarstellung. Aufgabe 1.4 a) Geben Sie die Gerade y = 3x 7 in Parameterform an! b) Geben Sie die Funktion f(x) = 3x 2 1 in Parameterform an! c) Beschreiben Sie den schiefen Wurf in expliziter Form! d) Beschreiben Sie die gewöhnliche Zykloide in expliziter Form! Aufgabe 1.5

10 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 10 a) Geben Sie einen Kreis mit dem Radius R und dem Mittelpunkt (3, 4) in Polarkoordinatendarstellung an! b) Skizzieren Sie die sogenannte Kardioide: r = 1 + cos(φ), φ [0, 2π]! 1.3 Eindeutigkeits-Eigenschaften von Funktionen und Umkehrfunktionen In diesem Abschnitt betrachten wir Eigenschaften von eindeutigen Abbildungen, also Eigenschaften von Funktionen Injektiv, Surjektiv und Bijektiv 1. Injektive Funktionen Denition: Eine Funktion (D, f, B) heiÿt injektiv, falls es zu jedem y B höchstens ein x D gibt mit der Eigenschaft: f(x) = y. (Siehe Abbildungen 7) und 8) 2. Surjektive Funktionen Denition: Eine Funktion (D, f, B) heiÿt surjektiv, falls es zu jedem y B mindestens ein x D gibt mit der Eigenschaft: f(x) = y, d.h., falls der Bildbereich gleich dem Wertebereich der Funktion, also B = W ist. (Siehe Abbildungen 7) und 8) 3. Bijektive Funktionen Denition: Eine Funktion (D, f, B) heiÿt bijektiv, falls sie a) injektiv und b) surjektiv ist. (Siehe Abbildungen 7) und 8). Abbildung 7: Schematische Darstellung injektiver, surjektiver und bijektiver Funktionen

11 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 11 Abbildung 8: Beispiele für injektive, surjektive und bijektive Funktionen Umkehrfunktionen Für bijektive Funktionen gibt es zu jedem y B genau ein x D mit f(x) = y und - da f Funktion, also eindeutig ist - auch umgekehrt zu jedem x D genau ein y B mit f(x) = y. Für solche Funktionen kann man die Abbildungsvorscrift y=f(x) nach x umstellen, also die zugehörige Umkehrfunktion x=g(y) bilden. Denition: Sei durch (D, f, W) eine bijektive Funktion f gegeben. Dann heiÿt die Funktion (W, g, D)Umkehrfunktion von f falls gilt: y = f(x) genau dann, wenn x = g(y) für alle Paare (x, y) DxW. Bezeichnung: g = f 1. Beispiele: a) b) Aufgabe 1.6 Welche der folgenden Funktionen sind injektiv oder/und surjektiv oder/und bijektiv? a) D = R, B = R, f : x x 2 b) D = R 0, B = D, f : x x c) D = R, B = R, f : x { x2 für x 0 e x für x>0 d) D = R\{0}, f(x) = 1 x 0 e) D = [0, 1], B = {0, 1}, f(x) = { wenn x rational 1 wenn x irrational Aufgabe 1.7 Geben Sie die Umkehrfunktion der folgenden Funktion an: f(x) = 10 x 3 4, D = R, B = R 0.

12 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 12 Skizzieren Sie diese Funktion und die Umkehrfunktion in einem Koordinatensystem! 1.4 Allgemeine Eigenschaften von Funktionen In diesem Abschnitt betrachten wir weitere Eigenschaften von Funktionen Symmetrie Denition Sei (D, f, B) eine Funktion. 1. f heiÿt achsensymmetrisch bzw. gerade, wenn für alle x D gilt: f(x) = f( x). Der Graph der Funktion wird an der y-achse gespiegelt. 2. f heiÿt punktsymmetrisch bzw. ungerade, wenn für alle x D gilt: f(x) = f( x) bzw. f(x) = f( x). Der Graph der Funktion wird am Ursprung gespiegelt. Beispiele: Abbildung 9: Symmetrie-Eigenschaften (1) f(x) = x 4, x R. f ist achsensymmetrisch, denn es gilt f( x) = ( x) 4 = x 4 = f(x).

13 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 13 (2) f(x) = x 3, x R. f ist punktsymmetrisch, denn es gilt f( x) = ( x) 3 = (x 3 ) = f(x). (3) f(x) = sin(x), x R. f ist punktsymmetrisch, denn es gilt f( x) = sin( x) = sin(x). (4) f(x) = x 3 sin(x), x R. Wir untersuchen zuerst die beiden Teilfunktionen, aus denen f zusammengesetzt ist. Es gilt ( x) 3 = (x 3 ) und sin( x) = sin(x), d.h. beide Teilfunktionen von f sind punktsymmetrisch. Daraus folgt aber, dass ihr Produkt, also f, achsensymmetrisch ist, denn es gilt: f( x) = ( x) 3 sin( x) = (x 3 ) ( sin(x)) = x 3 sin(x). Bemerkung: Wie man sich leicht selbst überlegt, ist das Produkt zweier achsensymmetrischer Funktionen und das Produkt punktsymmetrischer Funktionen achsensymmetrisch, während das Produkt einer achsensymmetrischen mit einer punktsymmetrischen Funktion punktsymmetrisch ist Monotonie Denition Sei (D, f, B) eine Funktion. Dann heiÿt diese Funktion im Bereich M D 1. monoton steigend, falls für alle x 1, x 2 M mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ). 2. streng monoton steigend, falls für alle x 1, x 2 M mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) < f(x 2 ). 3. monoton fallend, falls für alle x 1, x 2 M mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) f(x 2 ). 4. streng monoton steigend, falls für alle x 1, x 2 M mit x 1 < x 2 gilt f(x 1 ) > f(x 2 ). Beispiel: f : R R; x x 2 Sei x 1 < x 2. Gilt dann x 2 1 < x 2 2? In dieser Allgemeinheit nicht, denn z.b. ist 2 < 1 aber ( 2) 2 > ( 1) 2. Wir zerlegen den Denitionsbereich in die beiden Teil-Bereiche (, 0] und [0, ). Verhalten von f im Bereich (, 0]: Es gilt: x 1 < x 2 x 2 1 > x 2 2 f(x 1 ) > f(x 2 ). Folglich ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton fallend. Verhalten von f im Bereich [0, ): Es gilt: x 1 < x 2 x 2 1 < x 2 2 f(x 1 ) < f(x 2 ). Folglich ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton wachsend.

14 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN Periodizität Denition Eine Funktion (D, f, B) heiÿt periodisch mit der Periode T, falls für alle x D und k Z gilt f(x) = f(x + kt ), k Z Abbildung 10: Periodizität Beispiel: Die Periode der Funktion f : x sin(ax + φ), D = R. Periode dieser Funktion ist: T = 2π a Beschränkheit Denition Eine Funktion (D, f, B), D R, B R, heiÿt auf A D 1. nach oben beschränkt, falls es eine Schranke S 0 gibt, so dass f(x) S 0 für alle x A gilt. 2. nach unten beschränkt, falls es eine untere Schranke S n gibt,so dass f(x) S n für alle x A gibt. 3. beschränkt, falls sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist, d.h. es gibt dann ein S mit f(x) S für alle x A Beispiel: f : x sin(2x + pi 4 ), D = R ist beschränkt auf ganz D. Es gilt S = 1 bzw. f(x) 1 für alle x D.

15 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN Nullstelle einer Funktion Denition Sei durch (D, f, B), D R, B R, eine Funktion gegeben. Dann heiÿt x 0 Nullstelle von f, wenn gilt: f(x 0 ) = 0. Beispiel: f : x f(x) = sin(2x π 4 ), x R. Eine Nullstelle ergibt sich an der Stelle x = x 0, für die gilt x π 4 = 0, also bei x 0 = π 8. Die anderen Nullstellen ergiben sich von x 0 aus gesehen nach jeweils einer halben Schwingungsdauer, also an den Stellen x k = x 0 + k T 2 = π 8 + k π 2. Alle Nullstellen sind demzufolge gegeben durch x k = π 8 + k π 2, k Z. Übungsaufgaben Aufgabe 1.8 Sei f(x) = (3x 2 1)sin(2x + π/4), x R. a) Untersuchen Sie f(x) auf Symmetrie, Periodizität und Beschränktheit! b) Geben Sie alle Nullstellen von f(x) an! c) Für welche x-werte ist f(x) streng monoton wachsend? d) Geben Sie alle Nullstellen von f(x) an! Aufgabe 1.9 Zeigen Sie, dass das Produkt einer geraden mit einer ungeraden Funktion ungerade ist! 1.5 Koordinatentransformationen Parallelverschiebung Verschieben wir das x-y-koordinatensystem parallel um a in x-richtung und um b in y-richtung, so erhalten wir ein neues Koordinatensystem mit den Achsen u und v.

16 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 16 Abbildung 11: Parallelverschiebung (Translation) Wir erkennen folgende Beziehungen: u = x a v = y b bzw. x = u + a y = v + b Wir stellen uns nun die Frage, wie die Gleichung einer Funktion y = f(x) im neuen (u,v)-koordinatensystem aussieht. Dazu setzen wir x = u + a, y = v + b in die Funktion ein und erhalten: y = f(x) v + b = f(u + a) v = f(u + a) b Beispiel: Wie lautet die Gleichung der Funktion y = 2 + 3x in einem um 2 Einheiten in positiver x-richtung und um 3 Einheiten in Richtung der negativen y-achse verschobenen Koordinatensystem? Es ist a=2 und b=-3. Die Funktionsgleichung lautet folglich: Drehung v = f(u + 2) + 3 v = 2 + 3(u + 2) + 3 v = 3u + 11 Die Drehung eines Koordinatenystems entgegen dem Urzeiger um den Winkel α ist in Abbildung 12 dargestellt.

17 1 FUNKTIONEN UND IHRE EIGENSCHAFTEN 17 Abbildung 12: Drehung gegen den Urzeiger um den Winkel α Wir erkennen folgende Beziehungen: u = OE = OD + DE = OD + BP = ysin(α) + xcos(α) und v = OA = DB = DC BC = ycos(α) xsin(α) D.h. es gilt folgende Beziehung zwischen alten Koordinaten (x,y) und neuen Koordinaten (u,v): u = xcos(α) + ysin(α) und v = ycos(α) xsin(α) In Matrizenschreibweise erhalten wir: ( ) ( u cos(α) sin(α) = v sin(α) cos(α) ) ( x y ) Die Matrix ( cos(α) sin(α) sin(α) cos(α) wird als Drehungsmatrix bezeichnet. Mit der inversen Drehungsmatrix ) 1 ) = ( cos(α) sin(α) ) sin(α) cos(α) ( cos(α) sin(α) sin(α) cos(α) erhalten wir die Transformation von neuem (u,v)-koordinatensystem zum alten (x,y) - Koordinatensystem, bzw. die Transformation bei Drehung des (u,v)- Systems in Urzeigerrichtung um den Winkel α: ( ) ( ) ( ) x cos(α) sin(α) u = y sin(α) cos(α) v Beispiel: Wie lautet die Gleichung der Funktion y = 2x+1 in einem um α = 20 nach links gedrehten Koordinatensystem?

18 LITERATUR 18 Es ist sin(20 ) = 0, 34 und cos(20 ) = 0, 94. Aus den Transformationsgleichungen ergibt sich dann: y = 2x + 1 0, 34u + 0, 94v = 2x + 1 0, 34u + 0, 94v = 2(0, 94u 0, 34v) + 1 v = 2 0,94u 0,34u+1 0,94+2 0,34 v = 1,54 1,62 u + 1 1,62 Übungsaufgaben Aufgabe 1.10 Sei f(x) = (3x 2 + 2x 1), x R. Wie lautet die Gleichung dieser Funktion in einem um α = 45 nach rechts gedrehten und um a = 2 und b = 4 in positive x- bzw. y-richtung verschobenen Koordinatensystem? Literatur [Pap01] L.Papula. Mathematik für Ingenieure. Friedr. Vieweg und Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, Band 1, 2005.

Mathematik 2. B.Grabowski. 17. Mai (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 5/2007, Internes Papier zur Veranstaltung

Mathematik 2. B.Grabowski. 17. Mai (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 5/2007, Internes Papier zur Veranstaltung Mathematik 2 1 B.Grabowski 17. Mai 2007 1 (C) Prof.Dr.B.Grabowski, HTW des Saarlandes, 5/2007, Internes Papier zur Veranstaltung Mathematik 2. Zusammenfassung Das vorliegende Papier umfasst den Inhalt

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 1: Funktionen

Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 1: Funktionen Mathematik I Herbstsemester 2018 Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 23 1. Funktionen Definition einer Funktion Darstellungsformen einer Funktion Funktionseigenschaften Nullstellen

Mehr

Funktionen. x : Variable von f oder Argument f x : Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle x D f. : Definitionsmenge(Urbildmenge)

Funktionen. x : Variable von f oder Argument f x : Funktionswert, Wert der Funktion f an der Stelle x D f. : Definitionsmenge(Urbildmenge) Funktionen Eine Funktion oder Abbildung ist eine Beziehung zwischen zwei nicht leere Mengen D f und Z, die jedem Element x aus einer Menge D f genau ein Element y aus anderer Menge Z zuordnet. f : D f

Mehr

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Funktionen einer reellen Veränderlichen KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen.1 Eigenschaften von Funktionen........................... 39. Potenz- und Wurzelfunktionen............................ 1.3 Trigonometrische Funktionen.............................

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014

Mathematik I Herbstsemester 2014 Mathematik I Herbstsemester 2014 www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 22 1 Funktionen Definitionen

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung: Woche vom bis

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 3. Übung: Woche vom bis Übungsaufgaben 3. Übung: Woche vom 27. 10. bis 31. 10. 2010 Heft Ü1: 3.14 (c,d,h); 3.15; 3.16 (a-d,f,h,j); 3.17 (d); 3.18 (a,d,f,h,j) Übungsverlegung für Gruppe VIW 05: am Mo., 4.DS, SE2 / 022 (neuer Raum).

Mehr

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion.

Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren. Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion. Tutorium Mathe 1 MT I Funktionen: Funktionen lassen sich durch verschiedene Eigenschaften charakterisieren Man nennt die Untersuchung von Funktionen auch Kurvendiskussion 1 Definitionsbereich/Wertebereich

Mehr

1 Funktionen einer Variablen

1 Funktionen einer Variablen 1 Funktionen einer Variablen 1.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fikosten von 170.000. Die sind

Mehr

Parameterdarstellung einer Funktion

Parameterdarstellung einer Funktion Parameterdarstellung einer Funktion 1-E Eine ebene Kurve Abb. 1-1: Die Kurve C beschreibt die ebene Bewegung eines Teilchens 1-1 Eine ebene Kurve Ein Teilchen bewegt sich in einer Ebene. Eine ebene Kurve

Mehr

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5

Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1. 1 Grundlagen 2. 2 Der Graph einer Funktion 4. 3 Umkehrbarkeit 5 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Funktionen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 2 Der Graph einer Funktion

Mehr

2 Funktionen einer Variablen

2 Funktionen einer Variablen 2 Funktionen einer Variablen 2.1 Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertige Waschmaschinen. Es hat monatliche Fikosten von 170.000. Die sind

Mehr

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2 Urs Wyder, 4057 Basel Urs.Wyder@edubs.ch Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 ) Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT...3.3 ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4

Mehr

Lösung - Serie 7. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)

Lösung - Serie 7. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2016 Dr. Andreas Steiger. 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 016 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 7 1. MC-Aufgaben Online-Abgabe 1. Gegeben sind die Kurven K 1 links und K rechts, die beide für wachsenden Parameter t von aussen nach

Mehr

Serie 8 - Parametrisierte Kurven

Serie 8 - Parametrisierte Kurven Analysis D-BAUG Dr Meike Akveld HS 05 Serie 8 - Parametrisierte Kurven Geben Sie für die folgenden Bewegungen eines Punktes jeweils eine parametrisierte Darstellung I [0, ] R xt, t yt an Lösung a Geradlinige

Mehr

1.4. Funktionen, Kurven und Parameterdarstellungen

1.4. Funktionen, Kurven und Parameterdarstellungen .4. Funktionen, Kurven und Parameterdarstellungen Reellwertige Funktionen Eine reelle Relation ist eine beliebige Teilmenge F der Ebene (also eine ebene "Fläche"). Von einer reellen Funktion spricht man,

Mehr

Bezeichnung von Funktionen x := y:=

Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Bezeichnung von Funktionen x := y:= Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit: (aufgelöst nach y) Analytische Darstellung (Funktionsgleichung) Explizit:

Mehr

Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation

Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen. Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen. Idee der Koordinatentransformation Verschiebung/Streckung von Funktionsgraphen Verwenden von Schablonen zum Zeichnen von Funktionsgraphen Idee der Koordinatentransformation Rahmenlehrplan Berlin P4 9/10: Situationen mit n und Potenzfunktionen

Mehr

Mathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen

Mathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen N.Mahnke Mathematik II: Übungsblatt 01: Lösungen Verständnisfragen: 1. Was versteht man unter einer parametrisierten ebenen Kurve? Eine parametrisierte ebene Kurve ist eine auf dem offenen Intervall ]t

Mehr

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten

Einführung. Ablesen von einander zugeordneten Werten Einführung Zusammenhänge zwischen Größen wie Temperatur, Geschwindigkeit, Lautstärke, Fahrstrecke, Preis, Einkommen, Steuer etc. werden mit beschrieben. Eine Zuordnung f, die jedem x A genau ein y B zuweist,

Mehr

Funktionen einer reellen Veränderlichen

Funktionen einer reellen Veränderlichen KAPITEL Funktionen einer reellen Veränderlichen. Grundbegriffe Definition.. Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung(svorschrift), die jeder Zahl x aus dem Definitionsbereich D(f) der Funktion

Mehr

Mathematik II Frühjahrssemester 2013

Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 8 Funktionen von mehreren Variablen 81 Einführung Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 81 Einführung 1 / 18 1 Definition

Mehr

Kurven in der Ebene Darstellungsformen, Bogenlänge, Tangente

Kurven in der Ebene Darstellungsformen, Bogenlänge, Tangente Kurven in der Ebene Darstellungsformen, Bogenlänge, Tangente Wir betrachten Kurven in der -Ebene. Als erstes wollen wir uns damit beschäftigen, wie sich solche Kurven mathematisch beschreiben lassen. Dafür

Mehr

9 Funktionen und ihre Graphen

9 Funktionen und ihre Graphen 57 9 Funktionen und ihre Graphen Funktionsbegriff Eine Funktion ordnet jedem Element aus einer Menge D f genau ein Element aus einer Menge W f zu. mit = f(), D f Die Menge aller Funktionswerte nennt man

Mehr

2 Von der Relation zur Funktion

2 Von der Relation zur Funktion 2 Von der Relation zur Funktion 2.1 Relationen Gegeben seien zwei Zahlenmengen P = 1, 2, 3, 4 und Q = 5, 6, 7. Setzt man alle Elemente der Menge P in Beziehung zu allen Elementen der Menge Q, nennt man

Mehr

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 26 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e x ist definiert durch die Potenzreihe e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = für alle x in R. Insbesondere ist die Eulersche

Mehr

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet.

Funktionen. Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. 1 Der Funktionsbegriff Funktionen Definition. Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Vorschrift, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer Menge B zuordnet. Dabei nennt man die Menge A Definitionsmenge

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Serie 8

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Serie 8 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Serie 8 Die ersten Aufgaben sind Multiple-Choice-Aufgaben (MC, die online gelöst werden. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den Online MC-Fragen bis

Mehr

f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv?

f(x) = x f 1 (x) = x. Aufgabe 2. Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv, bijektiv? Umkehrfunktionen Aufgabe 1. Sei A = {1, 2, 3, 4}. Definieren Sie eine bijektive Funktion f A A und geben Sie ihre Umkehrfunktion f 1 an. Lösung von Aufgabe 1. Zum Beispiel f, f 1 A A mit f(x) = x f 1 (x)

Mehr

Lösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe)

Lösung - Serie 3. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 3 MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Es sei die Funktion f : [0, ) [0, ) definiert durch f(x) = ln(x + 1), wobei der Logarithmus ln zur Basis

Mehr

1. Begründen Sie, ob durch folgende Vorschriften reelle Funktionen y = f(x) definiert werden.

1. Begründen Sie, ob durch folgende Vorschriften reelle Funktionen y = f(x) definiert werden. Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Elementare Funktionen. Begründen Sie, ob durch folgende Vorschriften reelle Funktionen y = f( definiert werden. { { 2

Mehr

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen

2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen 27 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e x ist definiert durch die Potenzreihe e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = für alle x in R. Insbesondere ist die Eulersche

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 20, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende

Mehr

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007

Analysis1-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 2007 Analysis-Klausuren in den ET-Studiengängen (Ba) ab 7 Im Folgenden finden Sie die Aufgabenstellungen der bisherigen Klausuren Analysis im Bachelorstudium der ET-Studiengänge sowie knapp gehaltene Ergebnisangaben.

Mehr

Übungen mit dem Applet Kurven in Polarkoordinaten

Übungen mit dem Applet Kurven in Polarkoordinaten Kurven in Polarkoordinaten 1 Übungen mit dem Applet Kurven in Polarkoordinaten 1 Ziele des Applets...2 2 Wie entsteht eine Kurve in Polarkoordinaten?...3 3 Kurvenverlauf für ausgewählte r(ϕ)...4 3.1 r

Mehr

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007

Einführung in das mathematische Arbeiten im SS Funktionen. Evelina Erlacher 1 7. März 2007 Workshops zur VO Einführung in das mathematische Arbeiten im SS 007 Inhaltsverzeichnis Funktionen Evelina Erlacher 7. März 007 Der Funktionsbegriff Darstellungsmöglichkeiten von Funktionen 3 Einige Typen

Mehr

FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz.

FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz. FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Funktionen Einige elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Eine Funktion f

Mehr

Mathematik I für MB und ME

Mathematik I für MB und ME Übungsaufgaben Aufgaben zur Wiederholung Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 06/07 a) Stellen Sie die Gleichung a b 3+c = a +c, a, b > 0, nach

Mehr

Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht

Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Der Kosinussatz und der Sinussatz: Wenn in einem Dreieck nur zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, oder nur die drei Seiten bekannt

Mehr

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α

Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.

Mehr

hat den maximalen Definitionsbereich R\{0}.

hat den maximalen Definitionsbereich R\{0}. Wir nennen f() die Zuordnungsvorschrift und G f = {(,y) D(f) R : y = f()} den Graph von f. Viele Zuordnungsvorschriften haben einen natürlichen maimalen Definitionsbereich. Oft wird dann nur die Zuordnungsvorschrift

Mehr

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Einführung

Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.1 Einführung Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap 9: Funktionen von mehreren Variablen 91 Einführung wwwmathethzch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof Dr Erich Walter Farkas http://wwwmathethzch/

Mehr

Serie 9. D-MAVT, D-MATL Analysis I HS 14. Abgabetermin der schriftlichen Aufgaben: Freitag, in der Übungsstunde.

Serie 9. D-MAVT, D-MATL Analysis I HS 14. Abgabetermin der schriftlichen Aufgaben: Freitag, in der Übungsstunde. D-MAVT, D-MATL Analysis I HS 14 Prof. Dr. Paul Biran Nicolas Herzog Serie 9 Abgabetermin der schriftlichen Aufgaben: Freitag, 28.11.2014 in der Übungsstunde. 1. Gegeben sei die hyperbolische Spirale durch

Mehr

Logarithmusfunktion zur Basis 2, Aufgaben. 7-E Vorkurs, Mathematik

Logarithmusfunktion zur Basis 2, Aufgaben. 7-E Vorkurs, Mathematik Logarithmusfunktion zur Basis 2, Aufgaben 7-E Vorkurs, Mathematik Logarithmusfunktion zur Basis 2: Aufgaben 7-9 Aufgabe 7: Bestimmen Sie eine vertikale Asymptote für die folgenden Funktionen: f ( x) =

Mehr

Umkehrfunktionen 1-E. Ma 1 Lubov Vassilevskaya

Umkehrfunktionen 1-E. Ma 1 Lubov Vassilevskaya Umkehrfunktionen 1-E Wiederholung: Funktion als eine Abbildung Abb. 1-1: Darstellung einer Abbildung Eine Funktion f (x) beschreibt eine Abbildung von X nach Y f X Y, x f x Der erste Ausdruck charakterisiert

Mehr

Funktionen. Mathematik-Repetitorium

Funktionen. Mathematik-Repetitorium Funktionen 4.1 Funktionen einer reellen Veränderlichen 4.2 Eigenschaften von Funktionen 4.3 Die elementaren Funktionen 4.4 Grenzwerte von Funktionen, Stetigkeit Funktionen 1 4. Funktionen Funktionen 2

Mehr

Münchner Volkshochschule. Themen

Münchner Volkshochschule. Themen Themen Logik und Mengenlehre Zahlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie und Trigonometrie Vektoren in der Ebene und Punktemengen Funktionen

Mehr

Kapitel II Funktionen reeller Variabler

Kapitel II Funktionen reeller Variabler Kapitel II Funktionen reeller Variabler D (Funktion) Es sei f XxY eine Abbildung Die Abbildung f heiß Funktion, falls sie eindeutig ist Man schreibt dann auch: f : X Y f ( x) = y, wobei y das (eindeutig

Mehr

Trigonometrie. In der Abbildung: der Winkel 120 (Gradenmaß) ist 2π = 2π (Bogenmaß).

Trigonometrie. In der Abbildung: der Winkel 120 (Gradenmaß) ist 2π = 2π (Bogenmaß). Trigonometrie. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0 und 60 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit dem Bogenmaß,

Mehr

Mengen, Funktionen und Logik

Mengen, Funktionen und Logik Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Mengen, Funktionen und Logik Literatur Referenz: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Lösungen zu Übungsblatt 8 Einführung in die höhere Mathematik 6. Dezember 2006 Prof. Dr. H.-R.

FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Lösungen zu Übungsblatt 8 Einführung in die höhere Mathematik 6. Dezember 2006 Prof. Dr. H.-R. FH Gießen-Friedberg, FB 06 (MNI) Lösungen zu Übungsblatt 8 Einführung in die höhere Mathematik 6. Dezember 006 Prof. Dr. H.-R. Metz Aufgabe 1 Skizzieren Sie die Funktionen e x, ln(x) = log e (x) und e

Mehr

c) y = ln( 2x + 5) d) y = 2) Verwandeln Sie die gegebene implizite Funktion in die explizite Form y(x):

c) y = ln( 2x + 5) d) y = 2) Verwandeln Sie die gegebene implizite Funktion in die explizite Form y(x): Übungen zur Einführung in die Physikalischen Rechenmethoden I (Mathematische Grundlagen für das Physikstudium I) WS /, 6 VO+UE Univ. Prof. Dr. Christoph Dellago ) Finden Sie die Umkehrung von folgenden

Mehr

13. Funktionen in einer Variablen

13. Funktionen in einer Variablen 13. Funktionen in einer Variablen Definition. Seien X, Y Mengen. Eine Funktion f : X Y ist eine Vorschrift, wo jedem Element der Menge X eindeutig ein Element von Y zugeordnet wird. Wir betrachten hier

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

KAPITEL 5. Kurven im R 2. Definition 5.1. Kurve im R 2. Sei G R 2 und [a, b] R ein abgeschlossenes Intervall. Jede Abbildung

KAPITEL 5. Kurven im R 2. Definition 5.1. Kurve im R 2. Sei G R 2 und [a, b] R ein abgeschlossenes Intervall. Jede Abbildung KAPITEL 5 Kurven im R 2 1. Kurven In der Physik und in den Ingenieurwissenschaften besteht oft das Problem die Bewegungskurve\ von Objekten zu beschreiben. Der Einfachheit halber betrachten " wir Kurven

Mehr

Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren

Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren a Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren y ex +e x e x ye x + 0 e x y ± y Da y ist, ist die Wurzel auf der rechten Seite immer reell Wir interessieren uns nur für nichtnegative x Der Logarithmus

Mehr

Definition, Funktionsgraph, erste Beispiele

Definition, Funktionsgraph, erste Beispiele 5. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 07 Reelle Funktionen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Reelle Funktionen Definition, Funktionsgraph, erste Beispiele Markus Herrich Reelle Funktionen Definition Eine

Mehr

Mathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis

Mathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis Mathematik 3 für Informatik im Februar/März 2016 Teil 1: Analysis Funktionen, Stetigkeit Dierentialrechnung Funktionen mit mehreren Variablen Integralrechnung Dierentialgleichungen Teil 2: Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Mathematisches Denken. Übungsserie 1. γ : [0, 2] IR 2,t r(t) := 2t 1

Mathematisches Denken. Übungsserie 1. γ : [0, 2] IR 2,t r(t) := 2t 1 Studiengang Architektur Mathematisches Denken Übungsserie 1 HS 2007 Abgabe der (z.t. mit dem TR) gelösten Aufgaben: Freitag 26. Oktober 2007 in der Vorlesung 1. Durch die folgende Parameterdarstellung

Mehr

Die elementaren Funktionen (Überblick)

Die elementaren Funktionen (Überblick) Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und

Mehr

Die elementaren Funktionen (Überblick)

Die elementaren Funktionen (Überblick) Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und

Mehr

1 Die Strahlensätze 2. 2 Winkel 3. 3 Rechtwinklige Dreiecke 3. 4 Kreise 6. 5 Trigonometrische Funktionen 8. 6 Kurven in Parameterdarstellung 10

1 Die Strahlensätze 2. 2 Winkel 3. 3 Rechtwinklige Dreiecke 3. 4 Kreise 6. 5 Trigonometrische Funktionen 8. 6 Kurven in Parameterdarstellung 10 Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Die Strahlensätze 2 2 Winkel 3 3 Rechtwinklige

Mehr

Spezielle Klassen von Funktionen

Spezielle Klassen von Funktionen Spezielle Klassen von Funktionen 1. Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f : R R mit f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, n N 0 und a 0, a 1,, a n R, (a n 0) heißt ganzrationale Funktion n

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3

Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Differential und Integralrechnung 3 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 25/6): Differential und Integralrechnung 3 3. (Herbst 2, Thema 3, Aufgabe 2) Gegeben ist für m R die Funktion f m : ], 2π[ R; f m (x) = Folgende Tatsachen

Mehr

Folgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen:

Folgende Eigenschaft beschreibt eine gewisse Symmetrie des Funktionsgraphen: für alle x [0,2000]. Das Intervall [0,2000] könnte aus ökonomischer Sicht relevant sein, wenn etwa die Maximalauslastung bei 2000 produzierten Waschmaschinen liegt. Folgende Eigenschaft beschreibt eine

Mehr

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel

α π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,

Mehr

x(t) t x(t) = y(t) x(t) = v H t y(t) = h + v V t g 2 t2, x/v H

x(t) t x(t) = y(t) x(t) = v H t y(t) = h + v V t g 2 t2, x/v H Ebene Kurven Definition: Eine parametrisierte ebene Kurve ist eine stetige Abbildung x(t) t x(t) = y(t) eines Intervalls [a, b] nach R. Dabei heißt t [a, b] der Kurvenparameter. Beide Komponentenabbildungen

Mehr

F u n k t i o n e n Potenzfunktionen

F u n k t i o n e n Potenzfunktionen F u n k t i o n e n Potenzfunktionen Die Kathedrale von Brasilia steht in der brasilianischen Hauptstadt Brasilia wurde von Oscar Niemeyer (*907 in Rio de Janeiro). Die Kathedrale von Brasilia besteht

Mehr

Zusammenfassung An1I HS2012 Analysis für Informatiker 1

Zusammenfassung An1I HS2012 Analysis für Informatiker 1 Zusammenfassung An1I HS2012 Analysis für Informatiker 1 Emanuel Duss emanuel.duss@gmail.com 19. November 2012 Analysis für Informatiker 1 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Lehre von

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Mathematik für Ökonomen 1

Mathematik für Ökonomen 1 Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstemester 2008 Mengen, Funktionen und Logik Inhalt: 1. Mengen 2. Funktionen 3. Logik Teil 1 Mengen

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 01/13 Hochschule Augsburg Mathematik : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren

Mehr

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6

Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Differential und Integralrechnung 6 Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 205): Differential und Integralrechnung 6 6. (Frühjahr 2009, Thema, Aufgabe 3) Sei r > 0. Berechnen Sie die Punkte auf der Parabel y = x 2 mit dem

Mehr

1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel

1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel 1 Trigonometrie 2 1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel In einem Kreis mit Mittelpunkt M(0,0) und Radius r ist der zunächst spitze Winkel α gezeichnet. α legt auf dem Kreis

Mehr

31. Kurven in Ebene und Raum

31. Kurven in Ebene und Raum 31. Kurven in Ebene und Raum Für ebene Kurven (also Kurven im R gibt es mehrere Darstellungsmöglichkeiten: implizite Darstellung : F (x, y = explizite Darstellung : y = f(x oder x = g(y Parameterdarstellung

Mehr

FUNKTIONEN. ein Leitprogramm für die Berufsmaturität

FUNKTIONEN. ein Leitprogramm für die Berufsmaturität FUNKTIONEN ein Leitprogramm für die Berufsmaturität von Johann Berger 2000 Inhaltsverzeichnis Einleitung 3 Arbeitsanleitung 3 1 Der Funktionsbegriff 3 2 Lineare 6 3 Quadratische 10 EINLEITUNG Dieses Leitprogramm

Mehr

Zwischenprüfung, Gruppe A Analysis I/II. Bestimmen Sie bei jeder der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist. ist eine Nullfolge.

Zwischenprüfung, Gruppe A Analysis I/II. Bestimmen Sie bei jeder der folgenden Aussagen, ob sie wahr oder falsch ist. ist eine Nullfolge. Multiple Choice. Die folgenden acht Aufgaben sind Multiple Choice-Aufgaben. Bei jeder Aufgabe gibt es 4 Aussagen, die wahr oder falsch sind. Für 4 korrekte Antworten gibt es 4 Punkte, für 3 korrekte Antworten

Mehr

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0

f(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0 5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Serie 2

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Serie 2 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Serie Die ersten Aufgaben sind Multiple-Choice-Aufgaben MC), die online gelöst werden. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den Online MC-Fragen bis Mittwoch,

Mehr

Vorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben

Vorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe. a) Schreiben Sie die folgenden periodischen Dezimalzahlen

Mehr

Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1

Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 Quadratische Funktionen Arbeitsblatt 1 Spezielle quadratische Funktion Die Funktionsgleichung einer speziellen quadratischen Funktion hat die Form y = 3 x 2. Der dazugehörige Graph heißt Parabel. Bei einer

Mehr

Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich. der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 2018

Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich. der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 2018 Technische Universität Dresden, Fakultät Mathematik Prof. Dr. F. Schuricht, Dr. M. Herrich E R G E B N I S S E der Übungsaufgaben zum Brückenkurs Mathematik 08 Ergebnisse zur. Übung am.09.08 Thema: Logik,

Mehr

Vorkurs Mathematik B

Vorkurs Mathematik B Vorkurs Mathematik B Dr. Thorsten Camps Fakultät für Mathematik TU Dortmund 8. September 2011 Für die Mathematik zentral sind Abbildungen und Funktionen. Häufig wird zwischen beiden Begriffen nicht unterschieden.

Mehr

Lösung - Serie 8. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Was für eine Kurve stellt die Parametrisierung

Lösung - Serie 8. D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Was für eine Kurve stellt die Parametrisierung D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 8 MC-Aufgaben Online-Abgabe 1. Was für eine Kurve stellt die Parametrisierung sin1 t rt = cos1 t, t R dar? a Ein Kreis. Es gilt x t +

Mehr

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Serie 2

D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Serie 2 D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 017 Dr. Andreas Steiger Serie Die erste Aufgabe ist eine Multiple-Choice-Aufgabe MC-Aufgabe), die online gelöst wird. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den Online MC-Fragen

Mehr

Die trigonometrischen Funktionen

Die trigonometrischen Funktionen Die trigonometrischen Funktionen Betrachte die Funktion f(x) = 1 x auf dem Intervall [ 1, 1]. Für x = 1 erhält man den Punkt P 1 = ( 1, ), für x = den Punkt P = (, 1) und für x = 1 den Punkt P 1 = (1,

Mehr

Mathematische Einführung

Mathematische Einführung und euklidische Geometrie 13.04.2011 Motivation Warum braucht man eine mathematische Einführung? Die Physik ist in der Sprache der Mathematik formuliert. Mathematische Methoden essentiell zur Lösung von

Mehr

1 2 x x. 1 2 x 4

1 2 x x. 1 2 x 4 S. Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihre Ableitung Zuordung f(x) = x g(x) = x h(x) = x k(x) = x p(x) = x 0, q(x) = x r(x) = x s(x) = x, 6 7 Wurzelfunktionen a) f(x) = x + D = [ ; [ f '(x)

Mehr

Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion

Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion Der Funktionsbegri und elementare Kurvendiskussion Christoph Jansen Institut für Statistik, LMU München Formalisierungspropädeutikum 6. Oktober 2017 1 / 25 Allgemeiner Funktionsbegri Eine Funktion f ist

Mehr

Kapitel 5. Reelle Funktionen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 5 Reelle Funktionen 1 / 81

Kapitel 5. Reelle Funktionen. Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 5 Reelle Funktionen 1 / 81 Kapitel 5 Reelle Funktionen Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 207/8 5 Reelle Funktionen / 8 Reelle Funktion Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge als auch

Mehr

Mathematik Brückenkurs an der TUD Prof. Dr. habil. M. Ludwig Mitschrift. Fabian Kurz

Mathematik Brückenkurs an der TUD Prof. Dr. habil. M. Ludwig Mitschrift. Fabian Kurz Mathematik Brückenkurs an der TUD Prof. Dr. habil. M. Ludwig Mitschrift Fabian Kurz 15. Oktober 2003 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen und Grundbegriffe der math. Logik 3 1.1 Aussage..............................

Mehr

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,

Mehr