ANALYSIS Ganzrationale Funktionen

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1 ANALYSIS Ganzrationale Funktionen Kurvendiskussionen Die wichtigsten Methoden zur Untersuchung ganzrationaler Funktionen Hier geht es vor allem auch um das Verständnis: Nicht nur das ie ist gefragt, sondern auch das arum! Natürlich mit Trainingsaufgaben! Auch mit Verwendung von CAS-Rechnern Datei Nr. 0 Stand: 5. Juli 009 Friedrich. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Inhalt Grundbegriffe. Funktionen. Ganzrationale Funktionen. Definitionsbereiche von Funktionen 5. Schaubilder ganzrationaler Funktionen 5.5 Besondere Punkte eines Schaubilds 6 a) Schnittpunkte mit der x-achse 6 b) Schnittpunkte mit der y-achse 6 c) Extrempunkte 7 d) endepunkte und Terrassenpunkte 8.6 eitere Fragestellungen bei einer Kurvediskussion 9 a) Symmetrieverhalten 9 b) Verhalten für x ± 9 c) ertmenge 9 d) Monotonieverhalten 9 Untersuchung des Symmetrieverhaltens 0. Methodenübersicht 0. Beispiele und Schnellerkenntnisse 0. Symmetrie-Nachweis mit CAS-Rechnern Schnittpunkte mit der x-achse Nullstellen Beispiel (Quadratische Gleichung) Beispiel (Ausklammern von x) Beispiel (Ausklammern von x ) 5 Beispiel (Hornerschema und Polynomdivision) 6 Beispiel 5 (Biquadratische Gleichung) 7 Eigenschaften der Potenzfunktionen 8 5 Verhalten ganzrationaler Funktionen für x ± 9 6 Extrempunkt und endepunkte 6. Hochpunkte Absolute und relative Maxima 6. Tiefpunkte Absolute und relative Minima 6. endepunkte 6 6. Drei Musterbeispiele zu Nullstellen, Extrem- und endepunkten 9

3 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 6.5 Terrassenpunkte und Flachpunkte 6.6 Ablaufschema: Berechnung von Extrem- und Terrassenpunkten Ablaufschema: Berechnung von endepunkten und Flachpunkten 8 7 Kurvendiskussionen mit CAS-Rechnern erstellen Rechnen mit TI Nspire CAS 9 Musterbeispiel : Musterbeispiel : Musterbeispiel : f(x) x x 8x = f(x) = x x + x 8 6 f x = x + x Rechnen mit CASIO ClassPad Musterbeispiel : Musterbeispiel : Musterbeispiel : f(x) x x 8x = + 8 f(x) = x x + x f x = x + x Vorwort Man findet hier eine gute Zusammenstellung der wichtigen Methoden zur Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen. Einzelne Methoden werden in anderen Texten ausführlich behandelt und hergeleitet. Dort kann man vertiefend nachlesen. Die Sammlung der über 00 Beispielaufgaben dient dem Training. Die Aufgaben findet man im Text 00.

4 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil. Funktionen Grundbegriffe Berechnungsvorschriften, die zu eindeutigen Ergebnissen führen, nennt man Funktionen. Funktionen sind also eindeutige Zuordnungen.. Ganzrationale Funktionen Kann man eine Berechnungsvorschrift auf diese (Normal-)Form bringen n n n n O f(x) = a x + a x a x + a x + a, () dann nennt man diesen Funktionstyp ganzrational. ichtige Begriffe dazu: a) Die Zahlen a O, a, a,..., a n im Funktionsterm nennt man Koeffizienten. b) Die Zahl a o nennt man auch das Absolutglied (weil sie ohne x dasteht, also absolut unveränderlich ist). c) Die höchste vorkommende Hochzahl (Exponent) nennt man den Grad der Funktion. d) Den auf der rechten Seite stehenden Term nennt man auch Polynom n-ten Grades. e) Die grafische Darstellung einer Funktion nennt man auch ihr Schaubild. Beispiele ganzrationaler Funktionen () f( x) = x x + x Diese ganzrationale Funktion. Grades hat die Koeffizienten a =, a = -, a, a = und a 0 = - (Absolutglied). Rechts ihr Schaubild. 5 () f( x) = x x + x ist eine ganzrationale Funktion 5. Grades mit den Koeffizienten a 5 =, a, a = -, a, a = und a 0 (Absolutglied). Rechts außen ihr Schaubild. () f( x) = x x + ist eine ganzrationale Funktion. Grades. mit den Koeffizienten a =, a, a = -, a und dem Absolutglied a 0 =. Rechts ihr Schaubild.

5 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 5. Definitionsbereiche von Funktionen Eine Funktion hat die Aufgabe, Funktionswerte zu berechnen. Dazu setzt man Zahlen der Grundmenge (sie ist in der Regel R, die Menge der reellen Zahlen) für die Variable (die meistes x heißt) ein und berechnet dann das Ergebnis. Soll mit der Funktion f zur Zahl der Funktionswert berechnet werden, schreibt man f(). Das heißt, dass man für die Variable einsetzt um den Funktionswert auszurechnen. Es kommt bei vielen Funktionen vor, dass man zu einer bestimmten Zahl keinen Funktionswert berechnen kann, weil eine Rechenoperation dies nicht zulässt: (a) Dividieren durch 0 ist nicht möglich. Beispiel: f( x) =. x f(0) = ist nicht berechenbar, 0 weil man nicht durch 0 dividieren kann. (b) Aus negativen Zahlen kann man keine urzel ziehen. Beispiel: f( x) = x f() = = ist nicht berechenbar, weil keine reelle Zahl ist. (c) Logarithmieren kann man nur positive Zahlen. Beispiel: f( x) log ( x) = f(6) = log ( 6) = log ( ) ist nicht berechenbar, weil log ( ) keine reelle Zahl ist. Die genannten drei Rechenoperationen kommen bei ganzrationalen Funktionen nie vor. Daher kann man bei diesen Funktionen zu jeder reellen Zahl einen Funktionswert berechnen. Man versteht unter dem Definitionsbereich einer Funktion die Menge der Zahlen, zu denen man einen Funktionswert berechnen kann. Folgerung: Der maximale Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion ist die Menge R der reellen Zahlen: D=R. Hinweis: Bisweilen schränkt man den Definitionsbereich einer Funktion ein, indem man den Zusatz macht für x 0 oder für x 0 ; usw. Daher spricht man sonst auch oft vom maximalen Definitionsbereich.. Schaubilder ganzrationaler Funktionen Aus einer Zuordnung f: 6 6 bzw. f( 6) = 6 kann man ein Paar bilden: ( 6 6 ) und dieses dann als Punkt in einem Koordinatensystem darstellen. Die Menge aller solcher möglichen Paare nennt man das Schaubild einer Funktion. Die Schaubilder von ganzrationalen Funktionen nennt man auch Parabeln n-ter Ordnung.

6 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 6.5 Besondere Punkte eines Schaubilds Ein Großteil der Aufgaben wird sich später darum drehen, dass man besondere Punkte eines Schaubilds finden bzw. berechnen soll. Diesen Aufgabenbereich nennt man Kurvendiskussion. Besondere Punkte sind: a) Schnittpunkte mit der x-achse: N ( 0 ) und N ( 0) Alle Punkte, die auf der x-achse liegen, haben die y-koordinate 0. Daher nennt man die x-koordinaten dieser Schnittpunkte auch Nullstellen. Es sind die Stellen, an denen der Funktionswert 0 ist. Oftmals werden aber auch die Schnittpunkte schon als Nullstellen bezeichnet. Dies ist eine Frage der Definition. Meistens versteht man unter einer Stelle die x-koordinate eines Punktes. N f( x) = x S N Die Berechnung der Nullstellen geschieht immer nach demselben Prinzip: Man fragt: An welcher Stelle wird die y-koordinate bzw. der Funktionswert 0? Das führt dann zur Gleichung f( x). Das ist die Nullstellenbedingung. Ihre Lösung sind die Nullstellen, also die x-koordinaten der Schnittpunkte mit der x-achse. b) Schnittpunkt mit der y-achse: S0 ( ) Alle Punkte, die auf der y-achse liegen, haben die x-koordinate 0. Daher kann man den Schnittpunkt mit der x-achse immer durch Einsetzen der Zahl 0 in den Funktionsterm berechnen. Bei unserem Beispiel geht das so: f( x) = x 0 eingesetzt: f( 0) = Schnittpunkt mit der y-achse: S0 ( ) Betrachtet man eine beliebige ganzrationale Funktion der Form (), dann erkennt man, dass nach Einsetzen der Null immer alle Summanden 0 werden, die x dabei haben. Es bleibt also immer nur das Absolutglied übrig: Funktion: 0 eingesetzt: f( 0) = ao n n n n O f(x) = a x + a x a x + a x + a Man kann sich also merken: Das Absolutglied gibt an, wo das Schaubild einer ganzrationalen Funktion die y-achse schneidet!

7 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 7 c) Extrempunkte Hochpunkte und Tiefpunkte Das Schaubild unseres neuen Beispiels hat zwei Extrempunkte, den Hochpunkt H( ) und den Tiefpunkt T( 0 ). Anschaulich gesprochen liegen bei einem Hochpunkt die Kurvenpunkte links und rechts tiefer, und bei einem Tiefpunkt höher. Das gilt zumindest ein Stück weit. (Die exakte mathematische Formulierung kommt später.) f( x) = x + x H Man beobachtet ferner noch eine ganz wichtige Eigenschaft dieser Punkte. Eine ganzrationale Funktion hat in einem Extrempunkt stets eine waagrechte Tangente. T Hinweis: Es gibt noch andere Formen von Extrempunkten: () Die Funktion f(x) = x hat zwei Tiefpunkte, in denen die Kurve keine waagrechte Tangente sondern eine Spitze hat. Bei ganzrationalen Funktionen kommt das nicht vor. In der Regel ist hier ein Betrag im Spiel. () Ist der Definitionsbereich eingeschränkt, dann sind die Randpunkte auch Extrempunkte, die wohl nur in Ausnahmefällen eine waagrechte Tangente haben. Schränkt man bei der Funktion f( x) = x + x den Definitionsbereich auf D=,5 ; 0,5 ein, dann erhält man nebenstehendes Schaubild. R Zugleich sind zwei Randpunkte entstanden. Der linke Randtiefpunkt L(,5 9,5) und der rechte Randhochpunkt H( 0,5,5). L Rechts die Berechnung der y-koordinaten mit TI Nspire.

8 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 8 d) endepunkte und Terrassenpunkte Unsere Beispielfunktion f( x) = x + x hat im Schaubild einen endepunkt: ( ). Links von, also für x < besitzt das Schaubild (kurz: die Kurve) Rechtskrümmung. In einem endepunkt H ändert sich die Krümmung: Rechts von, also für x >, krümmt sich die Kurve nach links. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass es endepunkte gibt, in denen die Kurve (wie in den Extrempunkten) eine waagrechte Tangente besitzt. Merke: T endepunkte mit waagrechter Tangente nennt man Terrassenpunkte. Beispiel: f( x) = ( x ) + Man erkennt den Terrassenpunkt ( ).

9 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 9.6 eitere Fragestellungen bei einer Kurvediskussion a) Symmetrieverhalten Kurven können achsensymmetrisch oder punktsymmetrisch sein. enn man das rasch erkennt, kann man sich Arbeit sparen. Die Methoden werden ausführlich im Text Symmetrie behandelt. In werden die Methoden zusammengestellt und an Beispielen gezeigt. b) Verhalten für x ± Schließlich interessiert auch, wie sich die Funktion für sehr große erte verhält. Man sollte sich wenigstens vorstellen können, wie die Kurve außerhalb des Schaubilds weiter verläuft. c) ertmenge Darunter versteht man die Menge der vorkommenden Funktionswerte der Funktion (also der möglichen y-koordinaten der Kurvenpunkte). d) Monotonieverhalten Dazu gehört die Fragestellung: In welchen Intervallen steigt bzw. fällt die Kurve? Oder anders formuliert: In welchen Intervallen nehmen die Funktionswerte zu bzw. ab? (Siehe Text 0)

10 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 0. Methodenübersicht Untersuchung des Symmetrieverhaltens Die ausführliche Besprechung der Methoden findet man im Text Symmetrie. Daher hier nur die kurze Zusammenstellung der Verfahren und einige Beispiele zum Trainieren. Mit K wird das Schaubild der untersuchten Funktion f bezeichnet:. Methode: Man berechnet f( x) und überprüft Folgendes: Gilt f( x) = f( x), dann ist K symmetrisch zur y-achse. Gilt f( x) = f( x), dann ist K punktsymmetrisch zum Ursprung. Ist aber f( x) ± f( x), dann heißt das nicht, dass K keine Symmetrie aufweist. Man schreibt daher dann auf: Keine Symmetrie erkennbar. In manchen Fällen ist dies jedoch kein guter Rat, denn es gibt noch Symmetrien, die man sofort erkennt, aber mit anderen Methoden nachweisen muss:. Methode: Eine Symmetrie zu einer Parallelen zur y-achse (x = a) liegt dann vor, wenn in D gilt: f( x h) = f( a+ h). Methode: Eine Punktsymmetrie zu einem Zentrum Za b liegt dann vor, wenn in D gilt: f(a + h) + f(a h) = b. Beispiele und Schnellerkenntnisse Beispiel f( x) = x + x K ist symmetrisch zur y-achse. Beweis: f x = x + x = x + x = f x. Man erkennt, warum der Beweis funktioniert : eil f nur gerade Exponenten hat, wird (-x) überall zu x. MERKE: Besitzt eine ganzrationale Funktion f nur gerade Exponenten, ist ihr Schaubild symmetrisch zur y-achse. Man hätte hier also die Berechnung von f(-x) und den Nachweis, dass f( x) = f( x) ist, ersetzen können durch die Aussage: eil f nur gerade Exponenten besitzt, ist das Schaubild K symmetrisch zur y-achse.

11 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Beispiel f( x) = x x y K ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Beweis: f x = x x = x + x = x x = f x. Man erkennt, warum der Beweis funktioniert : eil f nur ungerade Exponenten hat, bleibt das Minuszeichen in x überall erhalten. Beispielsweise ist x = x x x = x = x usw. MERKE: Besitzt eine ganzrationale Funktion f nur ungerade Exponenten, ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Ursprung. Beispiel Man hätte hier also die Berechnung von f(-x) und den Nachweis, dass f( x) = f( x) ist, ersetzen können durch die Aussage: eil f nur ungerade Exponenten besitzt, ist das Schaubild K punktsymmetrisch zum Ursprung. f x = x x+ Das Schaubild zeigt eine Symmetrie zur Geraden x =. Also muss ein Punkt, der um eine Strecke h rechts von dieser Symmetrieachse liegt, dieselbe y-koordinate haben, wie einer, der um die Strecke h links davon liegt. Also ist nachzuweisen: f( + h) = f( h). +h +h Empfehlung: Linke und rechte Seite getrennt berechnen! L.S. = f + h = + h + h + = 6 + 8h + h 8 h + = + h + + = h h 8 h R.S. = f h = h h + = 6 8h + h 8 + h + = h = h h 8 h Beide Seiten stimmen überein, die Achsensymmetrie ist nachgewiesen. Dieses Beispiel war als Rechenübung zur Methode gedacht. Man wird diese spezielle Aufgabe natürlich einfacher erledigen. Eine Parabel ist immer achsensymmetrisch. Man muss hier nur noch berechnen dass der Scheitel bei x = liegt. Dann kennt man auch die Achse: x =.

12 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Beispiel f ( x) = x + x 0x Laut Schaubild liegt eine Symmetrie zum endepunkt ( ) vor. Zum Nachweis muss gelten: ( + ) + ( ) f h f h = bzw. f( + h) + f( h) = :. Teilrechnung: ( + ) = ( + ) + ( + ) ( + ) f h h h 0 h = + h + h + h + + h + h 0 0h = h h = h + h h + + h + h 0 0h P h +h P. Teilrechnung: ( ) = ( ) + ( ) ( ) f h h h 0 h = h + h h + h + h 0 + 0h = + h h = h h + h + h + h 0 + 0h Summe: f( + h) ( h) ( h + h ) + ( h h ) + f = = Damit ist diese Punktsymmetrie bewiesen. Man erkennt, dass diese Rechnungen schnell sehr aufwändig werden. enn Schüler mit CAS- Rechnern arbeiten, geht das selbstverständlich schneller. Die Schwierigkeit besteht eigentlich nur darin, die Formel zu wissen, die man zum Nachweis benötigt, und dann zu wissen, wie man die Rechnung mit dem Gerät umsetzen muss. Man erkennt in der Abbildung auch, wie man zur verwendeten Nachweisformel kommt: Geht man vom Symmetriezentrum um h nach rechts, kommt man zum Kurvenpunkt P + h f + h. ( ) Geht man vom Symmetriezentrum um h nach links, kommt man zum Kurvenpunkt P h f h. ( ) Für eine Punktsymmetrie, muss der Mittelpunkt von P und P sein, und das ist dann der Fall, wenn gilt: ( + ) + ( ) y + y f h f h = y =.

13 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil. Symmetrie-Nachweis mit CAS-Rechnern Zu Beispiel : f ( x) = x + x 0x Die Rechnung ist kein Problem, wenn man die Vorarbeit kennt, und die sollte so aussehen: Es liegt eine Symmetrie zum endepunkt ( ) vor. Beweis: ( + ) + ( ) f h f h = bzw. f( + h) + f( h) = : f x = x x x + x+ Beispiel 5 Laut Schaubild liegt eine Symmetrie zur Geraden x = vor. Also muss ein Punkt, der um eine Strecke h rechts von dieser Symmetrieachse liegt dieselbe y-koordinate haben, wie einer, der um die Strecke h links davon liegt, Also ist nachzuweisen: f( + h) = f( h). Diese Aufgabe wird man ohne CAS-Rechner nur schwer meistern. ie man sieht, ist hier nur die Eingabe zweier Rechenbefehle erforderlich und man ist fertig.

14 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Schnittpunkte mit der x-achse - Nullstellen ISSEN: Alle Punkte, die auf der x-achse liegen, haben die y-koordinate 0. Daher nennt man die x-koordinaten dieser Schnittpunkte auch Nullstellen. Die Berechnung der Nullstellen geschieht immer nach demselben Prinzip: Man fragt: o werden die Funktionswerte 0. Das ist die so genannte Nullstellenbedingung: f( x) Ihre Lösung sind die Nullstellen, die x-koordinaten der Schnittpunkte mit der x-achse. Beispiel : f( x) = x x Nullstellenbedingung: f( x) : x x Dies ist eine quadratische Gleichung mit der Lösung: N N x, ± + ± = = = Ergebnis : Die Nullstellen von f sind und -. Ergebnis : Die Schnittpunkte mit der x-achse sind N ( 0 ), N ( 0) Achtung: Man merke sich den Unterschied in den Formulierungen! ISSEN: Die quadratische Gleichung ax + bx + c hat die Lösung x, b± b ac = (genannt Mitternachtsformel) a Beispiel : f x = x + x Nullstellenbedingung: f( x) : + = x x 0 Dies ist eine quadratische Gleichung ohne Absolutglied. Man löst sie durch Ausklammern von x: Dann entsteht ein Nullprodukt : x x+ issen: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist.. Faktor: x (. Nullstelle). Faktor: x+ x = ( ) x = (. Nullstelle) Ergebnis: Schnittpunkte mit der x-achse: N( 0 0 ), N( 0 ). MERKE: Ist das Absolutglied 0, dann geht die Kurve durch den Ursprung.

15 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 5 Beispiel : f x = x x Nullstellenbedingung: f( x) : x x Das ist eine Gleichung ohne Absolutglied. Daher wird man x ausklammern und bekommt als erste Nullstelle x. = x x 0 x x x ausklammern: x( x ). Faktor : x. Faktor : x x = x, =± =± ±,6 Diese Funktion hat also Nullstellen, die Kurve besitzt Schnittpunkte mit der x-achse. Ergebnis: N( 0 0 ), N( 0 ); N( 0). Man sollte stets den urzelterm als Ergebnis angeben, die Dezimalzahl ist ja nur ein Näherungswert.

16 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 6 Beispiel : f x = x x + 7x Nullstellenbedingung: f( x) : Brüche weg: Mal 5 ergibt: x x + 7x x x + 5x 5 Bei solchen Gleichungen benötigt man eine Probierlösung. Man findet x = : ISSEN: Kennt man eine Nullstelle a, kann man den Faktor (x - a) ausklammern. Das macht man entweder mit Polynomdivision oder mit dem Hornerschema. So reduziert man den Grad der Gleichung, bis man alle Nullstellen kennt. Ausklammern mit dem Hornerschema: x = = ( ) + f x x x 0 x 5 Ausklammern mit Polynomdivision: ( x x ) x x 5x 5 : x x 0x 5 + = + 0x + 5x ( 0x + 0x) 5x 5 (5x 5) 0 Beide Verfahren führen auf die Produktdarstellung für die Gleichung: x x + 5x 5 x x 0x+ 5 Das ist wieder ein Nullprodukt. Es wird 0, wenn einer der Faktoren 0 ist:. Faktor: ( x ) x = (Das war die bekannte Nullstelle).. Faktor: 0 ± x 0x+ 5 x, = = 5 Die. Nullstelle ist eine doppelte Nullstelle. MERKE: Bei einer doppelten Nullstelle berührt die Kurve die x-achse! Ergebnis: N( 0 ), N( 5 0 ) Anmerkung: Manche würden hier N, 5 0 schreiben, weil wir bei der quadratischen Gleichung, auf die der. Faktor geführt hat, auch x, geschrieben haben. Man weiß ja im Voraus oft nicht, ob es eine oder zwei Lösungen gibt. In irklichkeit ist aber ( 5 0 ) ein Punkt und keine zwei. Also würde ich von der Schreibweise N ( 5 0 ) abraten.,

17 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 7 Beispiel 5: f( x) = x x Nullstellenbedingung: f( x) : x x. ISSEN: Eine Gleichung mit den Exponenten 0, und heißt biquadratisch. Sie ist eine quadratische Gleichung für x. Gleichung: Brüche weg, also mal : x x x x () Meistens wandelt man diese Gleichung durch eine Substitution in eine echte quadratische Gleichung um: Setze: z = x : z z ± + ± z, = = = Rücksubstitution: Aus z = folgt: x, =± Aus z = - folgt: x, = ± R Es gibt also nur Nullstellen: x, =±. () Man kann aber auch sofort die Lösung für x berechnen: x x x ± + ± Aus x = folgt: x, =± Aus x = - folgt: x, = ± R Ergebnis: Schnittpunkte mit der x-achse sind N, ( 0) = = = ±. Anmerkung Eine Funktion. Grades kann aber auch zu einer Nullstellengleichung führen, die nicht biquadratisch ist. Hat sie diese Form: x x + x x ( x x+ ), dann kann man durch Ausklammern von x weiterkommen. Hat sie eine Form wie x x + x x+, muss man zwei Probierlösungen finden, damit zwei Klammern abspalten und so die Lösungen finden. Dies wird ausführlich besprochen in den Texten 800 (Gleichungen höheren Grades lösen) und 5 (Funktionsterme faktorisieren, wie hier). Eine ähnliche Gleichung, 8 6 sich dieses Verfahren ansehen. x x =, wird im Musterbeispiel in 6. gelöst. Dort kann man

18 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 8 Eigenschaften der Potenzfunktionen f x = a x Potenzfunktionen haben Gleichungen dieser Art: k Ist k eine natürliche Zahl, liegt eine ganzrationale Funktion vor. Diese sollte man sich anschauen und ihren Verlauf und die wichtigsten Eigenschaften wissen. (Ausführliches im Text 800.). Fall: k sei eine gerade natürliche Zahl Die Abildung zeigt: y = x (Parabel) y = x y = x Die Exponenten stehen an den passenden Kurven. Eigenschaften: () Alle Kurven sind symmetrisch zur y-achse (wegen der geraden Exponenten). () Alle Funktionen haben die ertmenge + = R 0. 6 () Alle Kurven gehen durch die Einheitspunkte E ( ), ±. E 6 E. Fall: k sei eine ungerade natürliche Zahl: Die Abildung zeigt: y = x (Urpsrungsgerade) y = x 5 y = x 7 y = x Die Exponenten stehen an den passenden Kurven. Eigenschaften: () Alle Kurven sind punktsymmetrisch zum Ursprung. (wegen der ungeraden Exponenten). () Alle Funktionen haben die ertmenge = R. E und E. () Alle Kurven gehen durch die Einheitspunkte. Fall: k = - : f( x) = x = x Diese Funktion ist nicht mehr ganzrational. Aber wir benötigen ihre Eingenschaften dennoch! () Definitionsbereich: D=R\ { 0} () Sie geht durch die Einheitspunkte E( ) und E( ). () Für x gilt f( x) 0, für x gilt auch f( x) 0. Schreibweise: lim (Dies brauchen wir!) x ± x () Die Koordinatenachsen sind ihre Asymptoten. E 5 7 E

19 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 9 5 Verhalten ganzrationaler Funktionen für x ± Es gibt genau Möglichkeiten, wie sich eine ganzrationale Funktion außerhalb des Zeichenblattes verhalten kann: f ( x) = x + x f ( x) = x x 7 f ( x) = x x+ 6 6 f x = x + x + 6 Für x : (nach rechts) f ( x) f ( x) f ( x) f Für x : (nach links) f ( x) f ( x) f ( x) f MERKE: x x Dieses Verhalten wird alleine durch den Summanden mit dem höchsten Exponenten bestimmt. ungerade gerade ungerade gerade f ( x) = pos x +.. f ( x) = pos x +.. f ( x) = neg x +.. f x = neg x +.. z. B. f ( x) = x +... f ( x) = x +... f ( x) = x f x = x Diese Ergebnisse, wonach man nur an Hand des Summanden mit dem höchsten Exponenten vohersagen kann, welch grobe Richtung die Kurve einschlägt, lässt sich sehr einfach beweisen. Und viele Lehrer verlangen von ihren Schülern auch, dass sie diesen kleinen Trick beherrschen. Schauen wir ihn also an!

20 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 0 Gründliche Untersuchung des Verhaltens für x ± Oder, wie man auch schreibt, für x : Beispiel (Sehr ausführlich zum Verstehen): f x = x + x Ausklammern von x führt zu: f ( x) x = + x x (denn: Ausklammern bedeutet in der Klammer dividieren!) Für große x, also für x ± werden die Summanden x und so klein, dass man x sie vernachlässigen kann. Mathematiker schreiben das so: lim und lim. x ± x x ± x Die Auswirkung muss man sich an Beispielen ansehen: Statt f ( 000) = = erhält man dann: f ( 000) f 000 = und 0 0 Man sieht also nach diesem Ausklammern, dass in der Klammer die Summanden mit x im Nenner sehr klein werden und keine wesentliche Rolle mehr spielen. Daher kann man nach dem Ausklammern sagen: f( x) = x + x verhält sich für x wie die Funktion g( x) x =. Das Verhalten dieser Potenzfunktion kennen wir: Für x folgt: g( x) Für x folgt: g( x) Dasselbe gilt jetzt auch für f. Nach demselben Prinzip kann man jede ganzrationale Funktion untersuchen: Man klammert die höchste x-potenz aus. Für normale Rechnungen schreibt man das viel kürzer auf. Das wird in den Beispielen bis gezeigt.

21 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Beispiel : 7 f x = x x 7 = x 6 6 x x 7 egen lim und lim gilt für große x : x ± x x ± x f(x) x. 6 Ergebnis: Für x folgt: f( x) Für x folgt: f( x) Beispiel : f x = x x+ = x x x egen lim und lim gilt für große x : x ± x x ± x f(x) x. 6 Ergebnis: Für x folgt: f( x) Für x folgt: f( x) f x = x + x + = x x x egen lim und lim gilt für große x : x ± x x ± x Beispiel : f(x) x. 6 Ergebnis: Für x folgt: f( x) Für x folgt: f( x)

22 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 6 Extrempunkte und endepunkte Diese Thematik wird ausführlich im Text "Ableitungsstory 0" behandelt. Dort gibt es auch ausführliche Erklärungen und Musterbeispiele zu den Begriffen Monotonie und Krümmung. Diese wichtigen Funktionseigenschaften bilden den unverzichtbaren Hintergrund zu Extrem- und endepunkten. Natürlich reicht es für das praktische Arbeiten (Kurvendiskussions-Aufgaben), wenn man die Regeln dazu kennt. Dennoch ist das Verständnis dieser Hintergründe zum Lösen anspruchsvoller Aufgaben unverzichtbar. Ich stelle hier nur die Ergebnisse aus den entsprechenden Kapiteln der "Ableitungsstory" vor. Dann gibt es Musterbeispiele 6. Hochpunkte Zunächst muss man in der Lage sein, mathematisch zu formulieren, was ein Hochpunkt ist. Ist f die zugehörige Funktion, und liegt der Hochpunkt an der Stelle a, dann kann man diesen Hochpunkt so darstellen: Ha f a. Spricht man von der Funktion f, dann darf man den Begriff Hochpunkt nicht verwenden, denn er gehört zur geometrischen Darstellung, die man Schaubild oder Kurve nennt. Bei einer Funktion sagt man: f hat an der Stelle a ein Maximum (einen maximalen Funktionswert). H H f( a) a Abb. H Es gibt zwei Arten von Maxima. In Abbildung liegt erkennt man Hochpunkte. H ist der absolute Hochpunkt, denn es gibt keinen Kurvenpunkt mit einer größeren y-koordinate. Die Funktion hat bei -,75 ihr absolutes Maximum. H dagegen ist nur innerhalb einer Umgebung von 0,6 ein Hochpunkt, denn es gibt ja links davon Punkte, die eine größere y-koordinate als H haben. Man nennt H einen relativen Hochpunkt. Die Funktion hat bei 0,6 ein relatives Maximum. Abb. Abb. H P Die Abbildung zeigt eine Kurve, die nur einen Hochpunkt hat, aber es gibt durchaus Punkte, die höher liegen, womit ausgedrückt werden soll, dass sie eine größere y-koodinate als H besitzen, etwa P. H ist für diese Kurve ein relativer Hochpunkt, und die Funktion f hat bei - nur ein relatives Maximum. Mathematische Beschreibung eines Hochpunkts Man sieht an der zweiten Abbildung, dass es nicht genügt, wenn man sagt: Ein Hochpunkt hat die größte y-koordinate. Das kann schlichtweg falsch sein. Die richtige Idee ist diese: Man betrachtet nur den Kurvenbogen, in dem H wirklich die größte y-koordinate hat, also f wirklich einen maximalen Funktionswert besitzt. Man kann sich etwa auf das Intervall x 0 festlegen, oder anders geschrieben auf ;0. Dort sind dann alle Funktionswerte höchstens so groß wie f( ) =.

23 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Definition a) Eine Funktion f hat an einer Stelle a ein relatives Maximum, wenn es eine Umgebung U(a) gibt, in der gilt: f( x) f( a). Eine solche Umgebung ist dann ein Intervall x ;x, in dem a als innere Stelle liegt, also: x < x < x. b) Gilt die Ungleichung f( x) f( a) sogar ein absolutes Maximum vor. für alle x D, dann liegt f( x) H f( a) a x x U(a) Folgerungen Hat eine Funktion f an einer Stelle a ein Maximum, Ha f a. dann besitzt ihr Schaubild den Hochpunkt Man achte darauf, die Begriffe nicht zu vermischen: Zur Funktion gehört das Maximum, zur Kurve der Hochpunkt. Falsch wären Ausdrucksweisen wie Die Funktion hat den Hochpunkt H oder: Die Kurve hat bei a ihr Maximum. Dies ist mathematischer Unsinn. Es gibt ein wichtiges Kriterium zum Auffinden solcher Hochpunkte: enn eine Kurve in einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt und wenn die Kurve dort Rechtskrümmung hat, dann muss dieser Punkt ein Hochpunkt sein! Mathematisch formuliert man das so: Voraussetzung ist: enn für eine Stelle a gilt: f' ( a) () und zugleich: f'' ( a) < 0 () dann hat f bei a ein lokales Maximum. Die Funktion ist zweimal differenzierbar. (bzw.: Das Schaubild K von f hat den Hochpunkt Ha f( a ) Erklärungen: Die Voraussetzung wird benötigt, damit man () überprüfen kann. Bei ganzrationalen Funktionen ist diese Voraussetzung immer erfüllt. () heißt die hinreichende Bedingung und bedeutet: In H gibt es eine waagrechte Tangente. () heißt die notwendige Bedingung und bedeutet: In H hat die Kurve Rechtskrümmung. Übrigens: Ein lokales Maximum bezieht sich auf eine bestimmte Umgebung, es bezeichnet also dasselbe aus wie ein relatives Maximum. Beide Begriffe sind zunächst erst mal vorläufiger Natur. Es kann sich am Ende zeigen, dass sie doch ein absolutes Maximum darstellen.

24 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 6. Tiefpunkte Zunächst muss man in der Lage sein, mathematisch zu formulieren, was ein Tiefpunkt ist. Ist f die zugehörige Funktion, und liegt der Tiefpunkt an der Stelle b, dann kann man diesen Hochpunkt so darstellen: Tb fb. f(b) Abb. T Spricht man von der Funktion f, dann darf man den Begriff Tiefpunkt nicht verwenden. Dann sagt man: f hat an der Stelle b ein Minimum (einen minimalen Funktionswert). Es gibt zwei Arten von Minima. Abb. 5 b In Abbildung 5 liegt erkennt man Tiefpunkte. T ist der absolute Tiefpunkt, denn es gibt keinen Kurvenpunkt mit einer kleineren y-koordinate. Die Funktion hat bei -,75 ihr absolutes Minimum. T T T dagegen ist nur innerhalb einer Umgebung von 0,6 ein Tiefpunkt, denn es gibt ja links davon Punkte, die eine kleinere y-koordinate als T haben. Man nennt T einen relativen Tiefpunkt. Die Funktion hat bei 0,6 ein relatives Minimum. Abb. 6 Die Abbildung 6 zeigt eine Kurve, die nur einen Tiefpunkt hat, aber es gibt durchaus Punkte, die tiefer liegen, womit ausgedrückt werden soll, dass sie eine kleinere y-koodinate als T besitzen, etwa P. T ist für diese Kurve ein relativer Tiefpunkt. Die Funktion hat bei 0 nur ein relatives Minimum. P T Mathematische Beschreibung eines Tiefpunkts Man sieht an der zweiten Abbildung, dass es nicht genügt, wenn man sagt: Ein Tiefpunkt hat die kleinste y-koordinate. Das kann schlichtweg falsch sein. Die richtige Idee ist die: Man betrachtet nur den Kurvenbogen, in dem T wirklich die kleinste y-koordinate hat, also f wirklich einen minimalen Funktionswert besitzt. Man kann sich etwa auf das Intervall x festlegen, oder anders geschrieben auf ;. Dort sind dann alle Funktionswerte mindestens so groß wie f( 0) =.

25 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 5 Definition a) Eine Funktion f hat an einer Stelle b ein relatives Minimum, wenn es eine Umgebung U(b) gibt, in der gilt: f( x) f( b). Eine solche Umgebung ist dann ein Intervall x ;x, in dem b als innere Stelle liegt, also: x < x < x. b) Gilt die Ungleichung f( x) f( b) sogar ein absolutes Minimum vor. für alle x D, dann liegt Folgerungen Hat eine Funktion f an einer Stelle b ein Minimum, Tb fb. dann besitzt ihr Schaubild den Tiefpunkt f(b) T U(a) b x Ub x Man achte darauf, die Begriffe nicht zu vermischen: Zur Funktion gehört das Minimum, zur Kurve der Tiefpunkt. Falsch wären Ausdrucksweisen wie Die Funktion hat den Tiefpunkt T oder: Die Kurve hat bei b ihr Minimum. Dies ist mathematischer Unsinn. Es gibt ein wichtiges Kriterium zum Auffinden solcher Tiefpunkte: enn eine Kurve in einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt und wenn die Kurve dort Linkskrümmung hat, dann muss dieser Punkt ein Tiefpunkt sein! Mathematisch formuliert man das so: Voraussetzung ist: enn für eine Stelle b gilt: f' ( b) () und zugleich: f'' ( b) > 0 () dann hat f bei b ein lokales Minimum. Die Funktion ist zweimal differenzierbar. (bzw.: Das Schaubild K von f hat den Tiefpunkt Tb fb Erklärungen: Die Voraussetzung wird benötigt, damit man () überprüfen kann. Bei ganzrationalen Funktionen ist diese Voraussetzung immer erfüllt. () heißt die hinreichende Bedingung und bedeutet: In T gibt es eine waagrechte Tangente. () heißt die notwendige Bedingung und bedeutet: In T hat die Kurve Linkskrümmung. Übrigens: Ein lokales Minimum bezieht sich auf eine bestimmte Umgebung, es bezeichnet also dasselbe aus wie ein relatives Minimum. Beide Begriffe sind zunächst erst mal vorläufiger Natur. Es kann sich am Ende zeigen, dass sie doch ein absolutes Minimum darstellen.

26 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 6 6. endepunkte Zunächst muss man in der Lage sein, mathematisch zu formulieren, was ein endepunkt ist. Es geht jetzt um die Krümmung der Kurve. Man stelle sich vor, die Kurve so zu durchfahren, dass dabei die x-erte zunehmen. Im Punkt R muss man das Lenkrad schon leicht nach rechts einschlagen: In R hat das Schaubild K Rechtskrümmung. In L liegt Linkskrümmung vor. Dazwischen gibt es dann mindestens eine Stelle, an der wir einen Übergang von Rechts- nach Linkskurve haben. Das ist hier im Punkt der Fall. Ein solcher Punkt heißt endepunkt. R L Man kann also sagen: In einem endepunkt erfährt eine Kurve Krümmungswechsel. Man erinnere sich: Hoch- und Tiefpunkte gehören zur Kurvensprache. Spricht man von einer Funktion, muss man Maximum und Minimum sagen. Bei endepunkten gibt es kein Analogon in der Funktionensprache. Die Krümmung ist eine ausgesprochen geometrische Angelegenheit. Man kann sich dazu etwas überlegen, wenn man über achstum spricht, aber das sei erst einmal hinten an gestellt. Es gibt zwei Arten von endepunkten. Die Kurve y = x + x hat 6 im endepunkt ( 5) im endepunkt echsel von RK nach LK und 5 echsel von LK nach RK. RK RK Mathematische Beschreibung eines endepunkts ie in 0 erklärt worden ist, kann man mit einer Ableitungsfunktion die Änderung der erte der Funktion beschreiben, die abgeleitet worden ist. LK Beispiel: Ist in einerm Intervall 0; f' x > 0, dann nehmen in diesem Intervall die erte f(x) zu. Da f die Ableitung von f darstellt, gilt für f sinngemäß dasselbe: enn in einem Bereich ; f'' x > 0 ist, dann nehmen in ; die f (x)-erte zu. Da man aber mit f (x) die Tangentensteigung berechnen kann, heißt das, dass die Steigungen von bis zunehmen. Und nun schauen wir dazu die Abbildung ab. Genau das passiert nämlich hier. In der Tabelle (TI Nspire) kann man die f (x)-erte, also die Tangentensteigungen ablesen: Von x = -5 an nehmen die erte ab, bei sind sie am kleinsten. Dann nehmen sie zu und erreichen bei x = ein (relatives) Maximum. Und dann nehmen sie wieder ab.

27 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 7 In einem Bereich mit Rechtskrümmung nehmen die Tangentensteigungswerte ab, in einem mit Rechtskrümmung nehmen sie zu. enn f (x) links von abnimmt, dann ist dort die Ableitung von f negativ: f'' ( x) < 0 für x<. Zwischen - und nehmen die f (x)-erte zu, also ist dort f (x) positiv: f'' ( x) > 0 für < x<. Und rechts von nehmen die f (x)-erte wieder ab: f'' ( x) < 0 für x>. An den endestellen wechselt somit die. Ableitungsfunktion ihr Vorzeichen, und das macht sie an einer Nullstelle. Hier sind einige dieser Zusammenhänge dargestellt. Anfänger werden damit vielleicht nur Schwierigkeiten haben. H H f Zwischen und hat K Linkskrümmung: f'' x > 0 f' f'' Links von H steigt K, also ist f' x > 0 f'' ( ) f'' f' ( xh ) f' x H Re chts von H fälltt K, also ist f' x < 0 Links von hat K Rechtskrümmung: f'' x < 0 f'

28 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 8 Definition: Hat die. Ableitungsfunktion an einer Stelle w einen Vorzeichenwechsel, dann heist w eine endestelle des Schaubilds K von f und w f w endepunkt. Es gibt ein wichtiges Kriterium zum Auffinden von endepunkten: Man kann diesen Vorzeichenwechsel bei stetigen Funktionen über die dritte Ableitung beweisen: Mathematisch formuliert man das so: Voraussetzung ist: Die Funktion ist dreimal differenzierbar. enn für eine Stelle w gilt: f'' ( w) () und zugleich: f '''( w) 0 () dann hat K den endepunkt: w f( w ) Manche merken sich noch: Ist f '''( w) > 0, dann hat man echsel von LK auf RK, Ist f '''( w) < 0, dann hat man echsel von RK auf LK. (LK = Linkskrümmung, RK = Rechtskrümmung) Hinweise: In manchen Aufgaben ist die Berechnung einer. Ableitung so aufwändig, dass man anstelle der Überprüfung f '''( w) 0 den Vorzeichenwechsel für f an der Stelle nachweist. Darauf gehe ich in dieser Zusammenfassung nicht ein. () heißt die hinreichende Bedingung, () heißt die notwendige Bedingung und bedeutet: In ändert f ihr Vorzeichen, und das heißt Krümmungswechsel. endepunkte mit waagrechter Tangente heißen Terrassenpunkte. Sie werden in 6.5 besprochen.

29 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 9 6. Drei Musterbeispiele (Nullstellen, Extrempunkte, endepunkte) Musterbeispiel : Ableitungen: f(x) = x x + 8x f'(x) = x 8x+ 8 f''(x) = x 8 f'''(x) = Nullstellen: Bed.: f( x) x x + 8x x ausklammern: ( ) x x x+ 8. Faktor : x. Faktor : + =. ± 6 8 x, = x x 8 0 = ± 6 6 = Schnittpunkte mit der x-achse: N( 0 0 ), N( 0 ) ( ist doppelte Nullstelle). In einer doppelten Nullstelle berührt die Kurve die x-achse, d.h. es liegt sogar eine Hoch- oder Tiefpunkt vor. Extrempunkte: Bed.: f' ( xe ) : + = 8± 6 8 8± 6 8 8± = = = = { x 8x 8 0 x E y-koordinaten; f( ) Das war die doppelte Nullstelle! f = + 8 = =, Kontrolle: f'' ( ) = 8> 0: d. h. f hat bei ein rel. Minimum, K also den Tiefpunkt T( 0 ). f'' = 8= 8< 0 d.h. f hat bei ein relatives Maximum, 8 K also den Hochpunkt H ( ) 7 endepunkte: Bed.: f ''(x ), d.h. x 8 x = y-koordinate: Kontrolle: = + = = 7 f f''' = 0 d.h. f hat bei x = Vorzeichenwechsel. 8 6 Ergebnis: Also ist 8 endepunkt von K. 7

30 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 0 Musterbeispiel : 8 f(x) = x x + x Ableitungen: 9 f'(x) = x x + x 9 f ''(x) = x x + f'''(x) = x Nullstellen: Bed.: f( x) 9 8 x x + x x x + 6x x ausklammern: ( ). Faktor :. Faktor : x x x + 6 x, doppelte Lösung (also Extremstelle) + = mit ± 9 6 x, = x x 6 0 Ergebnis: Diese Funktion hat also nur die doppelte Nullstelle 0. K berührt also die x-achse in N0 0. Extrempunkte: Bed.: f' ( xe ) 9 x x + x E E E 9 x ausklammern: E ( E E ) x x x +. Faktor : x, doppelte Lösung Multiplizieren mit statt 8 erzeugt eine optimale quadratische Gleichung, die in der Lösungsformel zum Nenner führt = ± 9 R. Faktor : x x + 9 E E Im Gegensatz zu oben multipliziere ich hier alle Brüche weg, weil der Bruch 9 in der Lösungsformel zu Rechenschwierigkeiten führen würde. Den Vorteil, den x bringt, gibt man damit gerne auf. y-koordinate: f( 0) Kontrolle: f''(0) = > 0 9 ± 8 9 ± 8 96 xe 9xR + mit xe = = R Ergebnis: f hat bei 0 ein relatives Minimum. K hat somit den Tiefpunkt N0 0. endepunkte: Bed.: f ''(x ) d.h. y-koordinaten: Kontrolle: 9 x 9x + 6 : x x + ± 9 8 ± x = = = { x x + 7 f() = und f() = 8 f'''() 0 und f'''() 0 d.h. es liegen endestellen vor. 7 Ergebnis: ( ) und ( ) 8

31 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Musterbeispiel : 8 6 = + + (Sehr wichtig da anspruchsvoll) f x x x 9 Ableitungen: f'(x) = x + x f''(x) x x = + f'''(x) = x+ Nullstellen: Bed.: f(x) = x x x + 8x + ISSEN: Gleichungen. Grades kann man nur in diesen Fällen lösen: () ax + bx + c Das ist eine biquadratische Gleichung, also eine quadratische Gleichung für x. () ax + bx + cx x ausklammern (Seite vorher). () x = k x = ± k, Für die hier gegebene Gleichung gibt es keine direkte Methode. Also muss man die indirekte Methode verwenden: Man sucht zwei Lösungen durch Probieren/Erraten und spaltet zu jeder einen Linearfaktor ab. Dies geschieht mittels Polynomdivision oder das Hornerschema. Man kommt dann auf eine Form: x x x x rx + sx+ t. Der quadratische Term liefert dann die restlichen Lösungen. ir benötigen eine Probierlösung für Überlegung: x + 8x +. x muss sicher negativ sein und wegen der Brüche (Kürzen!) sollte man x = -6 vermuten: f ( 6) = ( 6) = = (TR.) Oder schneller: Somit ist x = - 6 die erste Nullstelle. egen x = 6 ( x+ 6) kann man den Linearfaktor ( x+ 6) aus x + 8x + ausklammern, man sagt auch abspalten. Die beste Methode dafür das Hornerschema: (Siehe Text 050). Nach dem ersten Durchgang hat man die Zerlegung: ( x+ 6)( x + x x + 7). Diese Zahlen legen die Vermutung nahe, dass -6 auch Lösung der Folgegleichung ( x + x x + 7) ist. Der zweite x+ 6 x+ 6 x x + Durchgang liefert: x = 6 x =

32 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil (Die Faktorisiereung klappt, wenn am Ende 0 herauskommt. (Das ist der Divisionsrest!) Deutlich umständlicher ist die Faktorisierung mittels Polynomdivision: ( x 6x ) x + 0x + ( x x ) x + 0x ( x 7x) 7x + 7 ( 7x + 7) 0 (x + 8x + 0x + 0x + ) : x + 6 = + (x x x 7): x = + ( x 6x ) x x ( x x) x ( x 7) + x x x + x x+ 7 Nach der ersten Division hat man die Zerlegung: ( x+ 6)( x + x x + 7). Diese Zahlen legen die Vermutung nahe, dass -6 auch Lösung der Folgegleichung ( x 7) x + x + ist. Die zweite Division liefert dann: ( x 6)( x + ) + x Kommentar: Man erkennt, wie unsinnig die Methode mit der Polynomdivision hier ist. Dennoch lernen viele Schüler das einfache Hornerschema nicht. Allerdings werden beide Methoden dann überflüssig, wenn man moderne Rechner zur Verfügung hat. In 7 wird gezeigt, wie man diese Musteraufgaben mit CAS-Rechnern löst. Nun die Übersicht nicht verlieren. ie haben herausgefunden, dass die Zahl 6 eine doppelte Lösung der Gleichung x + 8x + ist. Daher kann man sie so darstellen: ( 6) ( x x + ) x+ Aus der. Klammer folgenden die weiteren Nullstellen: ± 6 ± x, = = R Es gibt also keine weiteren Nullstellen, sondern nur die eine (doppelte) x = -6. Ergebnis: Das Schaubild berührt die x-achse in N( 6 0) Extrempunkte: Bed.: f' ( xe ), d.h. x + x x + 6x x ausklammern:. Faktor : x. Faktor : x = -6 y-koordinaten: f( 0) = 9 und x x+ 6 An beiden Stallen liegt eine waagrechte Tangente vor! f 6 (das war doch die Nullstelle)

33 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Kontrolle: f'' ( 0) Das aber heißt Verdacht auf endepunkt! f'' ( 6) = 9 > 0 Das bedeutet Linkskrümmung (und zusammen mit Ergebnis: K hat den Tiefpunkt N( 6 0). endepunkte: Bedingung: f''(x ), d. h. + x x x + x x ausklammern: x( x+ ). Klammer: x,. Klammer: x = - der waagrechten Tangente: Tiefpunkt!) 6 6 y-koordinaten: f( 0) = 9 und Kontrolle: f '''( 0) 0 f ''' = + 0 Ergebnis: ( ) f = = + 9 = + 9 = 8 6 Daher hat K an den Stellen 0 und - je einen endepunkt. 0 9 ist ein endepunkt mit waagrechter Tangente (Terrassenpunkt) ist der. endepunkt. Hinweis: Hier ist uns ein Terrassenpunkt begegnet. ichtig ist dabei folgendes issen: Terrassenpunkte sind endpunkte mit waagrechter Tangente. Sie tauchen also wegen der waagrechten Tangente schon bei der Suche nach Extrempunkten ( f'(x) ) auf. Die Kontrolle liefert jedoch f'' ( w). Dies deutet auf einen endepunkt hin, weshalb man am besten Verdacht auf endepunkt notiert. Die endepunktskontrolle f '''( w) 0 bestätigt dies dann. Also: Nach Terrassenpunkten wird nicht gezielt gesucht. Sie tauchen bei der Extremwertberechnung auf und müssen dann wie beschrieben durch zwei Kontrollen bestätigt werden. Siehe dazu Abschnitt 6.5.

34 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 6.5 Terrassenpunkte und Flachpunkte () Terrassenpunkte sind endepunkte mit waagrechter Tangente. Nachweis eines Terrassenpunkts: Normalerweise findet man sie bei der Suche nach Extrempunkten. Deren Bedingung lautet bekanntlich. f' ( xe ) (*). Diese Gleichung führt zu allen Punkten, die eine waagrechte Tangente haben können. Dazu gehören Tiefpunkte, Hochpunkte und eben auch Terrassenpunkte. Man unterscheidet sie dann durch eine Kontrolle mit der. Ableitungsfunktion. Dazu setzt man die x-koordinate a der Lösung von (*) in f (x) ein: f'' ( a) > 0 führt zu einem Tiefpunkt und f'' ( a) < 0 zu einem Hochpunkt. f'' ( a) deutet jedoch auf einen endpunkt hin. Diesen kontrolliert man durch f '''( a) 0. f' a und f'' a 0 > f' a und f'' a 0 < f' a und f'' ( a) und f ''' a 0

35 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 5 () Flachpunkte sind Punkte, für die gilt. f'' ( a) und f''' ( a). Zur Entscheidung über die genauere Art des Flachpunktes macht man fortgesetzt diese Kontrollen in immer höheren Ableitungen, bis eine davon ein Ergebnis 0 liefert.. Fall: Ist f'' ( a) und f''' ( a) aber IV f (a) 0, dann liegt kein endepunkt vor. Beispiele: a) f( x) = x + x f'' ( x) x x= 0 f '''( x) = x, f '''( 0) IV f (x) = 0 K verläuft im Flachpunkt O ganz lange dicht an der Ursprungstangente y = x. f x = x b) Hier gilt schon f' ( 0) und dann wie in a) f'' ( 0) = f''' ( 0) aber 'V f (0) 0. Also hat der Flachpunkt in O0 0 sogar eine waagrechte Tangente. Es liegt ein IV Tiefpunkt vor, weil f ( 0) > 0 ist. IV. Fall: Ist f'' a, f''' a und f a aber V f (a) 0, dann liegt ein endepunkt vor. Beispiele: 5 a) f( x ) = (x ) + x+ Man leitet mit der Kettenregel ab: f' ( x) = 5 ( x ) + f'' ( x) ( x ) f '''( x) = 60( x ) IV f ( x) (x ) V f ( x). Bei der Suche nach endepunkten führt f'' ( x) T auf 0(x ) (x ) x =. Nun folgen die Kontrollen: IV V f''', f und f 0. () () Also liegt ein endpunkt vor. egen y = f = gilt: (. ) Die Tangentensteigung in ist f' =. Die Tangente in ist: y = x+

36 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 6 f x = x b) 5 Hier gilt schon f' ( 0) und dann wie in a) IV V f'' ( 0) = f''' ( 0) = f ( 0) aber f (0) 0. Also hat der Flachpunkt O0 0, der zugleich endepunkt ist, sogar eine waagrechte Tangente. Verallgemeinerung: () Entsteht das erste von 0 verschiede Kontrollergebnis in einer geraden Ableitung, dann liegt kein endepunkt vor. Beispiele: f'' ( a), f''' ( a),... aber gerade f (a) 0, Dargestellt sind (oben von außen nach innen): f 0 f(x) x und f( x) x x, = = = 6 x 0. Sie alle haben allerdings zusätzlich f' ( 0), also im Flachpunkt O0 0 eine waagrechte Tangente, wodurch der Flachpunkt zum Tiefpunkt wird. () Entsteht das erste von 0 verschiede Kontrollergebnis in einer ungeraden Ableitung, dann ist der Flachpunkt sogar ein endepunkt. Beispiel: f'' ( a), f''' ( a),... aber Dargestellt sind (oben von außen nach innen): f f(x) x und f( x) x x, = = = 7 x. Sie alle haben allerdings zusätzlich f' ( 0), also im Flachpunkt O0 0 eine waagrechte Tangente, wodurch der endpunkt zum Terrassenpunkt wird. ungerade f (a) 0, Man erkennt an diesen Abbildungen, wieso man den Namen Flachpunkt eingeführt hat. In einer (nicht zu großen) Umgebung eines Flachpunktes verläuft die Kurve flach, also fast gradlinig dicht entlang der Tangente im Flachpunkt.

37 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Ablaufschema für die Berechnung von Extrempunkten und Terrassenpunkten () Bedingung für waagrechte Tangenten: f'(x ) ergibt x E E = a usw. () Berechnung der zugehörigen y-koordinaten: y = f a =... usw. E () Kontrollrechnung: f ''( a ) =... mit dieser Entscheidung: enn f'' ( a) < 0 enn f'' ( a) < 0 enn f'' ( a) dann hat f bei a dann hat f bei a dann Verdacht auf P. ein relatives Maximum. ein relatives Minimum. enn f '''( a) 0 H( a f( a )) T ( a f( a) ) ( a f( a )) ist dann Hochpunkt. ist dann Tiefpunkt. ist dann endepunkt mit waagr. Tangente, also Terrassenpunkt.

38 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 8 Ablaufschema für die Berechnung von endepunkten und Flachpunkten () Bedingung für endepunkt: f ''(x ) ergibt x w = a usw. () Berechnung der zugehörigen y-koordinaten: y = f a =... usw. E () Kontrollrechnung: f '''( a ) =... (Vorzeichenwechsel von f?) enn f '''( a) 0 enn f '''( a) dann hat f bei a einen endepunkt dann hat f bei a einen Flachpunkt ( a f( a )) Ist der erste von 0 verschiedene Ableitungswert von ungerader Ordnung, ist dieser Flachpunkt auch ein endepunkt.

39 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 9 7 Kurvendiskussionen mit CAS-Rechnern erstellen 7. Rechnen mit TI Nspire CAS In diesem Abschnitt werden die drei Musterbeispiele aus 6. sowohl mit dem CAS-Rechner TI Nspire CAS, also auch mit CASIO ClassPad durchgerechnet. Dabei wird erklärt, wie man die Rechner bedient, aber auch, was man bei dieser Art Lösung noch aufschreiben sollte. Musterbeispiel : f(x) = x x + 8x Zuerst definiert man die Funktion f und gleich dazu auch die Ableitungsfunktionen. Es ist günstig, mit f die. Ableitung zu bezeichnen, mit f die zweite und mit f die dritte. Für die (abzugebende) Lösung sollte man sich dann die Ableitungsfunktionen anzeigen lassen und sie dann abschreiben: Ableitungen: f'(x) = x 8x+ 8 f''(x) = x 8 f'''(x) = Nullstellen: Bed.: f( x) () Für die Berechnung der Nullstellen kennt TI Nspire zwei Befehle: solve und zeros. Ergebnis: Die Schnittpunkte mit der x-achse sind N( 0 0 ), N( 0 ). Hinweis: ie wir gleich sehen werden, ist die Lösung der Gleichung mit zeros sehr ökonomisch. Man findet diesen Befehl im Katalog, den man mit k aufruft. Dann gibt man den Anfangsbuchstaben z ein und erhält zeros, was mit in den Calculator übertragen wird. Extrempunkte: Bed.: f' ( xe ) () y-koordinaten; f( ) 8 Die Lösungen dieser Gleichung sind x = und x =. f =,7 7 Kontrolle: f'' ( ) = < 0 f'' ( ) = > 0: 8 d.h. Hochpunkt H ( ), Tiefpunkt 7 T 0. /

40 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil 0 Man spart deutlich Arbeit, wenn man die Gleichung () nicht mit solve sondern mit zeros löst. Die Ausgabe des Ergebnisses als Menge (Liste), ermöglicht eine simultane Berechnung der erte von f und f für beide Ergebnisse! Man sollte die Lösungsmenge der Gleichung in einer Variablen (z. B. ep (Extrempunkte)) zwischenspeichern! endepunkte: Bed.: f''(x ) Ergebnis: x = y-koordinate: Kontrolle: 8 f =, f ''' = 0 / d.h. f hat bei x = Vorzeichenwechsel. 8 6 Ergebnis: 7 8 ist endepunkt von K. Schaubild mit Nspire: Man öffnet ein Grafikfenster und lässt f zeichnen. Dazu nimmt man den nächsten freien Namen, also f und schreibt in die Befehlszeile: f(x) = f(x). Jetzt kann man die Fensterparameter ändern b. Ich habe dann noch mit /G die Eingabezeile ausgeblendet und die Beschriftung verschoben. Für eine Übertragung ins Heft braucht man eine ertetabelle. Dazu öffnet man ein Spreadsheet und betätigt die Menüfolge b5. Dann erhält nebenstendes Bild. Mit wählt man f aus und erhält eine Tabelle mit der Schrittweite. enn man die Schrittweite 0,5 bevorzugt, kann man das über b5 ändern:

41 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Symmetrieverhalten: 8 6 ( 7) ( 8 ( )) und P ( h f ( h )) Die Zeichnung lässt vermuten, dass eine Punktsymmetrie zum endepunkt vorhanden ist. Diese ist so nachzuweisen: Zwei zu symmetrische Kurvenpunkte sind: P h f h Also untersucht man die Gleichung: ( f( h) f( h) ) + + = enn ihr Mittelpunkt ist, liegt Punktsymmetrie zu vor. Man sieht, dass die Berechnung der linken Seite zum gewünschten ert führt, also ist K punktsymmetrisch zu. Bleibt noch die ertmenge. Diese kann man an der Zeichnung schon ablesen: = R. Oder man lässt Nspire rechnen:

42 0 Kurvendiskussionen ganzrational - Teil Musterbeispiel : 8 f(x) = x x + x Ausführliche Erklärungen zur Bedienung von Nspire findet man im Musterbeispiel. Ableitungen: 9 f'(x) = x x + x 9 f ''(x) = x x + f'''(x) = x Nullstellen: Bed.: f( x) xn Schnittpunkt mit der x-achse: N0 0 Extrempunkte: Bed.: f' ( xe ) xe y-koordinate: f( 0) Kontrolle: f''(0) = > 0 Ergebnis: Tiefpunkt N0 0. endepunkte: Bed.: f ''(x ) 9 7,. 8 Kontrolle: f '''() 0 und f ''' 0 ertetafel für die Zeichnung im Heft: Eine Symmetrie ist nicht erkennbar. ertmenge: Da f. Grades ist, gibt es einen absoluten Tiefpunkt N0 0 : Für x ± gilt f( x). Da f stetig ist, gilt also = [ 0; [.