Grundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α

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1 Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben. Man nennt sie Bogenmaß des Winkels. Wenn man dagegen einen Winkel in angibt, sagt man, dass der Winkel im Gradmaß gegeben ist. Überblick: Gradmaß Bogenmaß 0 π π π π π π 3 π π b) Kreisteile c) Kugel rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α 360 Inhalt eines Sektors mit dem Mittelpunktswinkel α: A = α r π 360 Für das Volumen einer Kugel V vom Radius r gilt:. Für die Oberfläche einer Kugel O vom Radius r gilt: O = πr.. Trigonometrie a) Trigonometrie am Einheitskreis Beispiele sin50 = sin = sin30 = tan300 = tan( ) = tan60 = 3 cosα = α = 5 α = = 35 Für die Vorzeichen gilt: /6 Grundwissen 0

2 Für Winkel größer als 360 gilt: ( ) sin(α + k 360) = sinα k ; cos(α + k 360) = cosα ( ) tan(α + k 360) = tanα ; α 90 + k 80. Für negative Winkel (im Uhrzeigersinn) gilt: sin( α) = sinα ; cos( α) = cosα ; tan( α) = tanα. b) Sinussatz und Kosinussatz In jedem Dreieck ABC gilt der Sinussatz: a b c = = sinα sinβ sin γ... und der Kosinussatz: a = b + c bc cosα b = a + c ac cosβ c = a + b ab cos γ c) Sinusfunktion und Kosinusfunktion y y = sinx x " Eigenschaften der Sinuskurve: x k = k π; k Z ;. Nullstellen: π + kπ; k Z ; 3 x k = π + kπ; k Z ; Wiederholung des Kurvenverlaufs in Abständen von jeweils π.. Hochstellen: x k = 3. Tiefstellen:. Periode: y y = cosx x " Eigenschaften der Kosinuskurve: π + k π; k Z ;. Hochstellen: x k = kπ; k Z ;. Nullstellen: xk = 3. Tiefstellen: x k = π + kπ; k Z ;. Periode: Wiederholung des Kurvenverlaufs in Abständen von jeweils π. Die allgemeine Sinusfunktion /6 Grundwissen 0

3 π f(x) = asin b( x + c) + d mit a,b 0; Periode b a: Streckung oder Stauchung in y-richtung; b: Streckung oder Stauchung in x-richtung; c: Verschiebung nach rechts (c<0) oder links (c>0); d: Verschiebung nach oben (d>0) oder unten (d<0). 3. Exponentielles Wachstum Ist die Änderung pro Zeiteinheit direkt proportional zum aktuellen Bestand, so liegt ein exponentielles Wachstum oder eine exponentielle Abnahme vor. Wachstumsgesetz: y = b a x b: Anfangswert a: Wachstumsfaktor oder Abnahmefaktor a>: exponentielle Zunahme; 0<a<: exponentielle Abnahme. Beispiel: Anfangskapital: K 0 = 000 ; p = 6% nach 3 Jahren: bei jährlicher Verzinsung: K 3 = Exponentialfunktionen: 3 9,0 Eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift der Form x a x, wobei a + \ { } ist, heißt Exponentialfunktion. Eigenschaften der Graphen Basis größer als Basis zwischen 0 und Der Punkt P(0 ) liegt auf allen Graphen. Der Punkt P(0 ) liegt auf allen Graphen. Die Graphen sind für alle x streng monoton steigend. noton fallend. Die Graphen sind für alle x streng mo- Die Funktionswerte gehen gegen 0, wenn x Die Funktionswerte gehen gegen +, wenn gegen geht und gehen gegen +, x gegen geht und gehen gegen 0, wenn wenn x gegen + geht. x gegen + geht. Die Graphen haben eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y=0. Die Graphen haben eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung y=0. 3/6 Grundwissen 0

4 . Logarithmus Löst man die Gleichung y = a x ( a > 0; a ; a ) nach x auf, so heißt x der Logarithmus von y zur Basis a. Schreibweise: x = log a y Rechengesetze () log b (r s) = log b r + log b s ( b,r,s ) + () log b (r : s) = log b r log b s ( b,r,s ) + (3) log b ( r ) s = s log b r ( b,r,s ) + Wie kann man mit dem Taschenrechner einen Näherungswert für z.b. log 3 berechnen? log 3 = w w = 3 lg w Allgemein gilt sogar: = lg3 w lg = lg3 w = lg3 log b a = log c a log c b lg ; also: log 3 = lg3 lg,5896. Exponential- und Logarithmusgleichungen Variable im Exponenten Lösungsprinzip x = 3 x logaritmieren lg3 lg x = lg3 x xlg = ( x )lg3 xlg xlg3 = lg3 x = lg lg3 Variable im Logarithmus Lösungsprinzip = 3 delogarithmieren log 5 x + x + = 5 3 x = 6 5. Zusammengesetzte Zufallsexperimente Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel Bei einer Befragung von 80 Personen gaben 65 an Englisch und 55 Französisch zu sprechen. Von denen die Englisch sprechen, sprechen 5 auch Französisch. Wenn man nur die 65 Personen betrachtet, die Englisch sprechen, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person Französisch spricht 5 65 = 9 3 =:P (F) (bedingte Wahrscheinlichkeit). E Es gilt: P(E) P E (F) = P( E F). Seien A,B Ereignisse aus einem Ergebnisraum Ω eines ZE mit P B Dann heißt P B ( A) := P B A P B bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. 0. /6 Grundwissen 0

5 Die Vierfeldertafel 6. Ganzrationale Funktionen en Ein Term der Form a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0 Polynom n-ten Grades. mit a 0,,a n ; a n 0 heißt mit a 0,,a n ; a n 0 heißt ganzrationa- Eine Funktion f der Form f : x a n x n + a n x n + + a x + a x + a 0 le Funktion n-ten Grades. Jede Funktion f mit f : x x n mit D f = und n heißt Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten. Gerade Exponenten Eigenschaften der Graphen Ungerade Exponenten Die Punkte O(0 0), P( ) und Q(- ) liegen Die Punkte O(0 0), P( ) und Q(- -) liegen auf allen Graphen. auf allen Graphen. Die Graphen sind achsensymmetrisch zur y- Die Graphen sind punktsymmetrisch zum Achse. Ursprung. Die Graphen sind für x<0 streng monoton Die Graphen sind für alle x streng fallend und für x>0 streng monoton steigend. monoton steigend. Die Funktionswerte gehen gegen +, wenn Die Funktionswerte gehen gegen, wenn x gegen geht, und gehen gegen +, x gegen geht, und gehen gegen +, wenn x gegen + geht. wenn x gegen + geht. 5/6 Grundwissen 0

6 Nullstellen Sei f eine ganzrationale Funktion n-ten Grades. Dann gilt: f hat höchstens n Nullstellen, ist x=a Nullstelle von f, so gilt: f(x) = (x a) g(x) mit grad g(x) = n Polynomdivision ( 6x 3 + 6x 7x 0) : 3x + 6x 3 + x x 7x x + 8x Grenzwert 5x 0 5x 0 0 = x + x 5 Wenn sich die Funktionswerte f(x) für x bzw. x beliebig wenig von der Zahl a unterscheiden, so sagt man, dass f(x) gegen den Grenzwert a konvergiert und schreibt: lim f ( x ) = a bzw. lim f x x x = a. Vorzeichenbetrachtung Beispiel: f(x) = x 3 x = x x + Symmetrie ( x ) x x< - <x< 0 <x< <x x x x f(x) Der Graph G f einer Funktion f ist achsensymmetrisch zur y-achse, wenn für alle x D f gilt: f( x) = f(x). Der Graph G f einer Funktion f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x D f gilt: f( x) = f(x). 6/6 Grundwissen 0