Bayes kommt Markowitz zu Hilfe
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- Oskar Baum
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1 Moderne Portfoliotheorie Bayes kommt Markowitz zu Hilfe Die Moderne Portfoliotheorie nach Harry Markowitz ist mathematisch kristallklar. Bei der Umsetzung gibt es aber Fallstricke. Das Ersetzen der Parameter von Rendite, Volatilität und Korrelation durch Schätzgrößen ist problematisch. Die Theorie des Mathematikers Thomas Bayes hilft weiter, erklären Rémy Croisille und Christophe Olivier vom Vermögensverwalter Finaltis. Die sichtbarste Konsequenz der Probleme beim praktischen Umsetzen der Modernen Portfoliotheorie nach Harry Markowitz ist die extreme Konzentration der Wertpapierauswahl, die sich daraus ergibt. Tatsächlich wählt man eine kleine Anzahl von Aktien aus, für die die jüngsten Beobachtungen der Parameter besser sind als für den Rest. Das garantiert allerdings in keinster Weise, dass deren wirkliche Parameter anders oder gar besser als die der aussortierten Aktien sind. Wenn der Portfoliomanager dem beschriebenen Konzentrationsproblem gegenüber steht, kann er es mit einer künstlichen Erhöhung der Diversifikation lösen. In diesem Fall werden zusätzliche Bedingungen oder Faktoren in den Auswahlprozess integriert, wie zum Beispiel: Eine Obergrenze pro Aktie, Sektor oder Land; Eine willkürliche Regel, die das Gewicht großer Positionen zugunsten kleinerer verringert. Diese Lösung behandelt jedoch eher Symptome als Ursachen. Eine alternative Lösung wäre, zusätzliche Hypothesen aufzustellen wie: Alle Korrelationen sind gleich null und alle Renditen sind gleich; dies führt zum Risk-Parity-Ansatz; Renditen sind proportional zu ihren Volatilitäten; dies führt zum Maximum-Diversification-Ansatz. Sind solche Hypothesen kohärent mit unseren Beobachtungen? Nein, zumindest nicht im Aktienbereich. In dieser Studie schlagen wir daher einen dritten Lösungsweg vor, der auf dem Bayes-Theorem basiert. Von Reverend Thomas Bayes (lebte 1701 bis 1761) sind nur zwei Publikationen bekannt. Seine Arbeit über bedingte Wahrscheinlichkeitsrechnung wurde nach seinem Tod von einem seiner Freunde publiziert und später vom Mathematiker Pierre-Simon Laplace bestätigt.
2 In seiner einfachsten Form besagt das Bayes-Theorem: P(A B)=P(A) *P(B A)/P(B) Hierbei gilt für die beiden Ereignisse A und B: P(A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A P(A B) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist Bayes Erfindung einer Formel zur einfachen Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeit ermöglicht die Wahrscheinlichkeitsschätzung basierend auf neuen Informationen zu revidieren. Als Beispiel soll eine praktische Anwendung dienen: Monty Hall, der Moderator der amerikanischen TV-Spieleshow Let s Make a Deal mit einem Auto als Hauptgewinn (dieser Fall ist auch bekannt als das Ziegenproblem ), bat seine Gäste eins von drei geschlossenen Toren auszuwählen, wobei sich hinter zwei Toren eine Ziege als Trostpreis befand und hinter einem Tor das Auto. Die Kandidaten wählten zunächst ein Tor aus, ohne es zu öffnen. Der Moderator, der wusste, wo sich das Auto befand, öffnete dann ein anderes Tor, hinter dem sich immer eine Ziege befand. Dann fragte er seinen Gast, ob er bei seiner ersten Wahl bleiben wolle oder ob er es vorzöge, das ausgewählte Tor zu wechseln. Sollte der Gast die Wahl des Tores beibehalten oder ändern, um seine Gewinnchance zu optimieren? Generell gibt es zwei Gruppen von Antworten: Es bleiben zwei (geschlossene) Tore übrig, jede mit der gleichen Gewinnwahrscheinlichkeit. Es ist also sinnlos zu wechseln. Zu Beginn des Spieles betrug die Gewinnwahrscheinlichkeit ein Drittel. Eine Beibehaltung der Wahl bedeutet, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit immer noch ein Drittel beträgt. Wenn man das Tor wechselt, wird man eine Gewinnwahrscheinlichkeit von zwei Drittel haben. Es ist also besser, die Wahl des Tores zu ändern. Es handelt sich hier um ein klassisches Problem der bedingten Wahrscheinlichkeit, das einfach mit dem Bayes-Ansatz zu lösen ist. Lassen Sie uns für dieses Beispiel annehmen, dass der Kandidat Tor 1 ausgewählt hat und dass der Moderator dann Tor 3 geöffnet hat. Der Moderator kann Tor 1 nicht
3 öffnen, da es sich um das Tor handelt, welches der Kandidat ausgewählt hat. Indem der Moderator ein zweites Tor öffnet, erhält der Gast (und wir) neue Informationen. Wenn wir diese Informationen korrekt berücksichtigen und die bedingte Wahrscheinlichkeitsrechnung verwenden, können wir, indem wir von Tor 1 zu Tor 2 wechseln, unsere Gewinnchancen von ein Drittel auf zwei Drittel deutlich erhöhen EXKURS: In der Sprache der Mathematiker P(C2) die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet; P(D3) die Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator Tor 3 öffnet; P(C2 D3) die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet, unter der Bedingung, dass der Moderator Tor 3 öffnet; P(D3 C2) die Wahrscheinlichkeit, dass der Moderator Tor 3 öffnet, unter der Bedingung, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet. Der Bayesianer stellt fest: P (C2 D3)= P(C2)*P(D3 C2)/P(D3)= (1/3)*(1/1) /(1/2) = 2/3 P(D3 C2)=1/1: der Moderator kann Tor 1 nicht öffnen, weil der Kandidat es ausgewählt hat und er kann Tor 2 auch nicht öffnen, weil er weiß, dass sich das Auto dahinter befindet: er muss Tor 3 öffnen. P(D3)=1/2: der Moderator kann Tor 1 nicht öffnen, weil der Kandidat es ausgewählt hat; er hat dann zwei Wahlmöglichkeiten: Tor 2 oder 3. Der Satz von Bayes (oder das Bayes -Theorem) wird weithin verwendet bei der sogenannten Bayesschen Inferenz, wo geschätzte Wahrscheinlichkeiten oder Parameter auf der Basis von Beobachtungen und ihrer Wahrscheinlichkeitsgesetze revidiert werden. In unserem Beispiel der Portfolioallokation haben wir zunächst eine methodische Analyse aller vierteljährigen Volatilitäten und Korrelationen von Aktien über einen Zeitraum von 20 Jahren durchgeführt. Im Fall der Volatilität haben wir für jedes Quartal ein Histogramm von 4 bis 5 Buckeln/Buckets beziehungsweise Volatilitätswerte beobachtet, an denen sich eine große Anzahl von Aktien gruppiert. Dann haben wir die Gesamtheit der Aktien mit nur fünf möglichen Volatilitätswerten modelliert. Das nachfolgende Histogramm illustriert die realisierten Volatilitäten aller Aktien des Euro Stoxx im Dezember Obwohl das Histogramm die theoretische Linie (kalibriert) nicht perfekt
4 abzubilden scheint, bestätigt eine Überprüfung der kumulierten Wahrscheinlichkeit die Relevanz des Modells. >>Vergrößern Die Interpretation von Informationen der Gesamtheit, das heißt die Beobachtung von realisierten Volatilitäten, ermöglicht uns Volatilitätstöpfe oder sogenannte Buckets (siehe unten) mit ihnen assoziierten Wahrscheinlichkeiten zu definieren. >>Vergrößern
5 Wir befinden uns im klassischen Rahmen der Baysschen Interferenz, wo wir, basierend auf unseren Beobachtungen, die A-priori-Wahrscheinlichkeit von Aktien, dem jeweiligen Topf oder Bucket anzugehören, revidieren können. Im Fall der Aktie Veolia, die eine realisierte Volatilität von 23,9 Prozent aufweist, welches nah am Topf (Bucket) 1 ist, leiten wir folgende Wahrscheinlichkeiten ab: >>Vergrößern Unsere Schätzung verwendet nicht nur die individuellen Informationen jeder Aktie sondern auch kollektive Informationen aus der Beobachtung der Gesamtheit der Aktien. Zusätzlich wird durch einen probabilistischen Ansatz die Unsicherheit berücksichtigt, die mit Schätzfunktionen einhergeht. Damit ist dieser Allokations-Ansatz in der Lage, ohne Zusatz von künstlichen Bedingungen optimale Portfolien zu generieren, die weit bessere Ertrags-Risiko-Profile als die der Benchmark-Indizes aufweisen. Danke Reverend Bayes. Über die Autoren: Christophe Olivier ist Investment-Chef von Finaltis in Paris und hat den akademischen Grad eines Master of Science in Ingenieurswesen von der Ecole Centrale de Paris. Er ist zugleich Absolvent magna cum laude (1991) des Institut d Etudes politiques de Paris Business School. Rémy Croisille ist Research-Chef von Finaltis und hat über 10 Jahre lang
6 Powered by TCPDF ( Mathematik an verschiedenen Hochschulen gelehrt. Er ist Diplom-Mathematiker und hat an der Ecole Normale Supérieure d Ulm in Paris studiert. Dieser Artikel erschien am unter folgendem Link:
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