Komprimierung von dünnbesetzten Matrizen
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- Kasimir Burgstaller
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1 von Raffael Lorup, Paolo Di Stolfo Präsentation, am
2 Inhalt von
3 Dünnbesetzte Matrix (sparse matrix) von Definition: Dünnbesetzte Matrix Eine m n-matrix A heißt dünnbesetzt, wenn gilt: wenige Elemente in A ungleich 0 auf A sind spezielle Techniken anwendbar, die die große Anzahl von 0 ausnützen Definition Nz heißt Anzahl der Elemente in A, die ungleich 0 sind
4 1. Speicherung: Platzersparnis Graphen mit wenigen Kanten: Adjazenzmatrizen mathematische Modelle liefern dünnbesetzte Gleichungssysteme von
5 1. Speicherung: Platzersparnis Graphen mit wenigen Kanten: Adjazenzmatrizen mathematische Modelle liefern dünnbesetzte Gleichungssysteme z.b. Temperatur auf Platte x i,j 1 x i 1,j x i+1,j x i,j = 1 4 x i,j xi,j 1 + x i 1,j + x i,j+1 + x i+1,j von x i,j+1
6 1. Speicherung: Platzersparnis Graphen mit wenigen Kanten: Adjazenzmatrizen mathematische Modelle liefern dünnbesetzte Gleichungssysteme z.b. Temperatur auf Platte n := 10 7 Gleichungen = Gitterpunkte Koeffizienten naive Datenstruktur braucht dann 400 TB (für Gleitkommazahlen) von
7 1. Speicherung: Platzersparnis Graphen mit wenigen Kanten: Adjazenzmatrizen mathematische Modelle liefern dünnbesetzte Gleichungssysteme z.b. Temperatur auf Platte n := 10 7 Gleichungen = Gitterpunkte Koeffizienten naive Datenstruktur braucht dann 400 TB (für Gleitkommazahlen) von 2. Operationen: Performance-Gewinn y := Ax naiver Gauß: braucht 2 3 n3 Operationen
8 Überlegungen zur Wahl des Speicherformats von Speicherverbrauch Ausführungsgeschwindigkeit der Operationen anzuwendender Algorithmus Struktur der Matrix Rechnerarchitektur... Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
9 von Nichtnull-Elemente festhalten geeignete Reihenfolge zugehörige Position Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
10 von Nichtnull-Elemente festhalten geeignete Reihenfolge zugehörige Position Allgemeine Formate: Koordinaten-Format (COO) Compressed Row Storage (CRS) Compressed Column Storage (CCS) Modified Row Storage (MRS) Spezielle Formate: Compressed Diagonal Storage (CDS) Skyline Storage (SKS) Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
11 Koordinaten-Format (COO) Vorteil: Einfachheit von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
12 Koordinaten-Format (COO) Vorteil: Einfachheit Speicheraufwand 3Nz von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Values RowIndices Compressed Diagonal Storage Skyline Storage ColumnIndices
13 Compressed Row Storage (CRS) zeilenweiser Durchgang von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
14 Compressed Row Storage (CRS) zeilenweiser Durchgang Zeile von RowPointers[i] bis RowPointers[i + 1] 1 Speicheraufwand ist 2Nz + (m + 1) von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Values RowPointers Compressed Diagonal Storage Skyline Storage ColumnIndices
15 Compressed Column Storage (CCS) wie CRS auf A T von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
16 Compressed Column Storage (CCS) wie CRS auf A T Speicherbedarf ist 2Nz + (n + 1) von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Values ColumnPointers Compressed Diagonal Storage Skyline Storage RowIndices
17 Modified Row Storage (MRS) A sei n n-matrix Hauptdiagonale zeilenweise von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
18 Modified Row Storage (MRS) A sei n n-matrix Hauptdiagonale zeilenweise Speicheraufwand ist 2(Nz #Nullen in Diagonale) von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Values Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage Indices RowPointers ColumnIndices
19 Compressed Diagonal Storage (CDS) A sei n n-matrix konstante Bandbreite Bandbreite von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
20 Compressed Diagonal Storage (CDS) A sei n n-matrix konstante Bandbreite Speicherverbrauch liegt bei n Bandbreite Bandbreite Values Diagonals von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
21 Skyline Storage von spezielle Skyline-Struktur Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
22 Skyline Storage spezielle Skyline-Struktur von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage
23 Skyline Storage spezielle Skyline-Struktur Speicherverbrauch ist Nz + 2(n + 1) + #Skyline-Nullen von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage LowerValues LowerRowPointers Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage UpperValues UpperColumnPointers
24 Skyline Storage spezielle Skyline-Struktur Speicherverbrauch ist Nz + 2(n + 1) + #Skyline-Nullen von Überlegungen zur Wahl des Speicherformats Koordinaten-Format Compressed Row Storage Compressed Column Storage LowerValues LowerRowPointers Modified Row Storage Compressed Diagonal Storage Skyline Storage UpperValues UpperColumnPointers
25 Musteroperation: für m n-matrix A und Vektor x n : y := Ax = a 11 a a 1n a 21 a a 2n.... a m1 a m2... a mn x 1 x 2. x n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a = 21 x 1 + a 22 x a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n von
26 CRS - y := Ax Zeilen i Values RowPointers ColumnIndices von
27 CRS - y := Ax Zeilen i Values RowPointers ColumnIndices for i 1 to #RowPointers 1 do for j RowPointers[i] to RowPointers[i + 1] 1 do y[i] y[i] + Values[j] x[columnindices[j]] end for end for von
28 CRS - y := Ax Zeilen i Values RowPointers ColumnIndices for i 1 to #RowPointers 1 do for j RowPointers[i] to RowPointers[i + 1] 1 do y[i] y[i] + Values[j] x[columnindices[j]] end for end for von Kosten: (2Nz) Fließkomma-Operationen vs. vorher ca. (2mn)
29 Beispielhafter Durchschnittlicher Speicherverbrauch je Form verglichen mit der ursprünglichen Matrix 1 von 1 nach [Überhuber], S. 405f.
30 Beispielhafter Durchschnittlicher Speicherverbrauch je Form verglichen mit der ursprünglichen Matrix 1 % aller Einträge ,88 % 12,92 % von 4 2 Nz = 0.87 % 1,76 % 1,86 % 2,66 % MRS CRS, CCS COO Skyline CDS 1 nach [Überhuber], S. 405f.
31 Danksagung von Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
32 Literaturverzeichnis I Aydin, B., T., F. J., Matteo, F., R., G. J., and E., L. C. Parallel sparse matrix-vector and matrix-transpose-vector multiplication using compressed sparse blocks. In Proceedings of the twenty-first annual symposium on Parallelism in algorithms and architectures (New York, NY, USA, 2009), SPAA 09, ACM, pp Bai, Z., Demmel, J., Dongarra, J., Ruhe, A., and van der Vorst, H., Eds. Templates for the Solution of Algebraic Eigenvalue Problems: A Practical Guide. SIAM, Philadelphia, Barrett, R., Berry, M., Chan, T. F., Demmel, J., Donato, J., Dongarra, J., Eijkhout, V., Pozo, R., Romine, C., and van der Vorst, H. Templates for the Solution of Linear Systems: Building Blocks for Iterative Methods, 2nd ed. SIAM, Philadelphia, PA, Eijkhout, V. Distributed Sparse Data Structures for Linear Algebra Operations. Department of Computer Science, University of Tennessee, Knoxville, von Gundersen, G., and Steihaug, T. Data structures in Java for matrix computations: Research articles. Concurr. Comput. : Pract. Exper. 16 (July 2004), I.S. Duff, A.M. Erisman, J. R. Direct Methods for Sparse Matrices. Oxford University Press, New York, ISBN: Montagne, E., and Ekambaram, A. An optimal storage format for sparse matrices. Inf. Process. Lett. 90 (April 2004),
33 Literaturverzeichnis II Pooch, U. W., and Nieder, A. A survey of indexing techniques for sparse matrices. ACM Comput. Surv. 5 (June 1973), Saad, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems, second ed. Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN-13: Silva, M. Sparse matrix storage revisited. In Proceedings of the 2nd conference on Computing frontiers (New York, NY, USA, 2005), CF 05, ACM, pp Smailbegovic, F., Gaydadjiev, G. N., and Vassiliadis, S. Sparse matrix storage format. In Proceedings of the 16th Annual Workshop on Circuits, Systems and Signal Processing, ProRisc 2005 (November 2005), pp von Stathis, P. T. Sparse Matrix Vector Processing Formats. TU Delft, Delft University of Technology (NL), Doctoral thesis. Überhuber, C. Computer-Numerik 2. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, ISBN
34 Beispiel: Skyline-Matrix 1 1 von Zurück
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