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1 Universität Koblenz Landau Fachbereich Informatik Farbquantisierung Jeff Licker Matrikelnummer Seminar Computergraphik betreut von Prof. Dr.-Ing. H. Giesen Wintersemester 2000/2001 Vortrag vom 12. April 2001

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Physikalische Eigenschaften, Beschreibung von Farben Physikalische Aspekte Das RGB-Farbmodell Alternative Farbmodelle Farben am Computer Farbtiefe und Farbpaletten Definition: Quantisierung (Quantization) Anwendungsbereiche Farbquantisierung Mögliche Ansätze Algorithmen zur Farbquantisierung Zeittafel Pre-clustering Verfahren Post-clustering Verfahren Quantisierungsfehler A Beispiele 18 B Literaturverzeichnis 21 1

3 Einleitung Diese Ausarbeitung entstand im Rhamen eines Seminars über Computergrafik. Sie behandelt die verschiedenen Verfahren, die zur Quantisierung von Farben bei digitalen Bildern eingesetzt werden und erhebt keinen Anspruch auf vollständige Behandlung des Themengebiets. Vielmehr wird versucht, das Problem der Farbquantisierung zu erläutern und mögliche Lösungsansätze zu beschreiben. 2

4 Kapitel 1 Grundlagen 1.1 Physikalische Eigenschaften, Beschreibung von Farben Physikalische Aspekte Im 17. Jahrhundert hat Sir Isaac Newton die enge Verbindung zwischen Licht und Farbe entdeckt und hat erkannt, dass man Sonnenlicht in farbige Bänder zerlegen kann. Ein Lichtstrahl setzt sich demnach aus einer Menge von Lichtstrahlen verschiedener Wellenlängen zusammen. Strahlung unterschiedlicher Wellenlänge wird von uns als Licht unterschiedlicher Farben wahrgenommen. Sichtbar wird dies beispielsweise mit Hilfe eines Glasprismas. Die Wellenlängen eines durch ein Glasprisma fallenden weißen Lichtstrahls werden an den Medienübergängen verschieden stark gebeugt. Die Farbverteilung wird als Spektrum des Lichtes bezeichnet, die Lichtbrechung als Dispersion. Das Licht der verschiedenen Wellenlängen, die Spektralfarben, kann beim durchschnittlichen menschlichen Auge in einem Bereich von 770nm (Übergang Infrarot zu Rot) bis 385nm (Übergang Violett zu Ultraviolett) liegen. Das von einem Körper reflektierte Licht, das wir als seine Farbe wahrnehmen, ist wie schon beschrieben eine Mischung aus Licht verschiedener Wellenlängen innerhalb des sichtbaren Spektrums. Abbildung 1.1: Dispersion beim Prisma 3

5 Hiermit wurden die physikalischen Eigenschaften von Licht und Farbe kurz beschrieben. Ein nächster Schritt versucht den Begriff Farbe formell sowie quantitiv zu definieren Das RGB-Farbmodell Um Farben quantitiv beschreiben zu können, gibt es sogenannte Farbmodelle. Da für die Beschreibung der folgenden Verfahren zur Farbquantisierung vorwiegend das RGB-Farbmodell genutzt wird, soll es hier genauer erläutert werden. Alternative Farbmodelle werden anschliessend kurz beschrieben. Alle Farbstufungen entstehen beim RGB-Farbmodell durch Mischen der drei Grundfarben Rot, Grün, Blau (RGB). Ein Beispiel aus der Praxis sind beispielsweise RGB-Monitore. Hier wird jedes Pixel durch die 3 Farbkomponenten RGB dargestellt. Durch das beschränkte räumliche Auflösungsvermögen unseres Auges, sind die drei Farbkomponenten am Mointor örtlich nicht zu unterscheiden. Sie werden als Überlagerung (additive Farbmischung), also als einheitlicher Farbreiz, wahrgenommen. Abbildung 1.2: RGB Farbmischung Im RGB-Farmodell wird jede Farbe also durch ein Tripel aus den Grundfarben Rot, Grün und Blau beschrieben. Aus diesem Grund kann das RGB-Farbmodell als Farbwürfel dargestellt werden. Diesem Würfel liegt ein kartesisches Koordinatensystem zugrunde mit den 3 Achsen R, G, B. Innerhalb des Farbwürfels und an den begrenzenden Flächen ergeben sich alle erzeugbaren Farben. Diese Anzahl der Farben ist abhängig von den möglichen Unterscheidung von Helligkeiten entlang der Achsen. Ist die Einstellung der Stärke der Beleuchtung in 256 Einheiten geteilt (numerisch also durch 1 Byte unterscheidbar), ergeben sich = mögliche Farbstufungen (entspricht einer Farbtiefe von 24 Byte). 4

6 Abbildung 1.3: Farbwürfel im RGB-Vektorraum Farben werden im RGB-Modell also als dreidimensionalen Vektorraum definiert. Die Vektoren dieses Raumes heißen Farbvalenzen, die Länge eines Vektors ist ein Maß für die Leuchtdichte und heißt Farbwert, seine Richtung bestimmt die Farbart. Die Basisverktoren heißen Primärvalenzen. Mit den Primärvalenzen R, G, B läßt sich also für jede Farbvalenz F eine Farbgleichung aufstellen: F = r R + g G + b B Alternative Farbmodelle Neben dem RGB-Farbmodell gibt es noch eine Reihe anderer Methoden Farben zu beschreiben. Im folgenden sollen noch 2 Farbmodelle vorgestellt werden. CMY-Modell: Substraktive Farbmischung der drei Grundfarben Cyanblau, Magentarot und Optimalgelb. Anders als im additiven Farbmodell muß bei der subtraktiven Farbmischung mit Absorbtion und Reflexion von Licht gearbeitet werden. Man geht hierbei davon aus, daß Farbauftrag generell den komplementären Farbanteil im Licht schluckt ( absorbiert ) und deshalb nur seinen Farbton reflektiert. Dies entspricht dem Einfügen von Filtern in den Lichtstrahl einer weißen Umgebung. Diese Filter entsprechen den Optimalfarben C ( Cyanblau ), M ( Magentarot ) und Y ( Optimalgelb ). Alle diese drei Grundfaben Cyan, Magenta und Yellow übereinandergelegt ergeben Schwarz nach dem Modell der Subtraktiven Farbmischung (Körperfarben - Malerei und Druckgrafik). Das CMY-Modell wird oft bei Tintenstrahldruckern angewendet. Etwas modifiziert ist es im professionellen Vierfarbendruck: die 3 Grundfarben Cyan, Magenta, Yellow ergeben nur theoretisch Schwarz, deshalb kommt zur Qualitätsverbesserung die vierte Druckfarbe Schwarz dazu: CMYK-Modell. HSB-Modell. Eine anschauliche Einteilung der Farben bietet das HSB- Modell. Es definiert die Farben anhand der Eigenschaften Farbton (hue) 5

7 Sättigung (saturation) Helligkeit (Brightness) Auch bei diesem Modell gibt also 3 definierende Zahlenwerte. Farbtöne können Werte zwischen 0 und 359, Sättigung und Helligkeit die Werte zwischen 0 und 255 annehmen. In der graphischen Datenverarbeitung werden diese Modelle abwechselnd eingesetzt und je nach Operation müssen die Farben zwischen den verschiedenen Modellen konvertiert werden, d.h. die Farbwerte müssen entsprechend dem benutzten Farbmodell umgerechnet werden. 6

8 1.2 Farben am Computer Farbtiefe und Farbpaletten Farbtiefe. Die Anzahl der maximal nutzbaren Farben wird durch die Farbtiefe beschrieben, Die Farbtiefe wird angegeben durch die Anzahl der Bits, mit der eine Farbe beschrieben wird. Bei einer Farbtiefe von 1 Bit sind also zwei Farben nutzbar. Wird eine Farbtiefe von 8 Bit genutzt, so erhöht sich die Anzahl der nutzbaren Farben auf 256. Geläufige Farbtiefen sind: 1Bit=2Farben 4 Bit = 16 Farben 8 Bit = 256 Farbem 16 Bit = Farben 24 bit = 16,7 Millionen Farben Mit der Erhöhung der Farbtiefe erhöht sich auch die Größe der zu speichernden Informationen pro Pixel. Bei 16,7 Millionen Farben ist jedes Pixel 24 Bit groß. Farbpaletten. Bei Farbtiefen bis 8 Bit werden sogenannte Farbpaletten (Color Look-up Table, LUT) genutzt. Die Farbpalette ist ein Array welches mit jedem Eintrag eine bestimmte Farbe definiert. Sie beinhaltet die eigentlichen Farbinformationen. Im Bildspeicher selbst befinden sich dann jeweils Verweise auf die Farbpalette. Zum Ändern von Farben ist also nicht der Bildspeicher selbst zu ändern, sondern nur der Eintrag in der Farbpalette. Jeder Eintrag in der Farbpalette besteht in der Regel aus einem 3er-Tupel, jeweils für die Farbe Rot, Grün und Blau. Abbildung 1.4: Farbtabelle 7

9 Farbtiefen über 8 Bit. Bei Farbtiefen über 8 Bit werden die Farbinformationen direkt im Bildspeicher abgelegt. Bei einer Farbtiefe von 16 Bit werden die Farbanteile zu einem Word zusammengefasst. Für jeden Farbanteil werden 5 Bit bereitgehalten. Das 16. Bit wird nicht genutzt. Bei einer Farbtiefe von 24 Bit (Truecolor) werden für jedes Pixel die RGB-Anteile durch je ein Byte definiert. Bei 32 Bit beschreibt ein zusätzliches Byte die Intensität. Ein m n Truecolor- Bild benötigt 3 m n Bytes Speicherplatz. Erkennbar wird, daß mit steigender Farbtiefe gleichzeitig die zu speichernde Bildinformation umfangreicher wird Definition: Quantisierung (Quantization) Unter Quantisierung versteht man die Diskretisierung der Farb/Grauwerte. Die Quantisierung bestimmt, wieviele Farbwerte bzw. Grauwerte ein Pixel annehmen kann: 2 (0 oder 1) Binärbild 8 ( 0 bis 7) 256 (0 bis 255) usw. 1.3 Anwendungsbereiche Kompatibilität zu älteren Grafikkarten Obwohl heutige Grafikkarten alle Anforderungen zum Darstellen von Farbbildern in 24 Bit oder mehr erfüllen, sah es in der Entwicklung der Grafikkarten lange anders aus. Wegen der hohen Kosten von Speicherchips war der verfügbare Grafikspeicher zur Darstellung der Bildinformationen lange Zeit beschränkt. So konnten Grafikkarten oft nur Bilder mit einer maximalen Farbtiefe von 8 Bit (256 Farben) in einer bescheidenen Auflösung darstellen. Grafiken mit höherer Farbtiefe mussten somit in die Farbtiefe von 8 Bit umgewandelt (quantisiert) werden. Reduktion der Speicherbelegung Auch heute noch wird die Farbquantisierung aus einem ähnlichen Grund genutzt: zur Reduktion der Speicherbelegung von Bildern. Grafiken welche beispielsweise über das WorldWideWeb übetragen werden, werden meistens zuerst farbreduziert (mit anschliessenden Komprimierungsverfahren), um die Übertragung in akzeptabler Zeit zu ermöglichen. Zudem ist unser Auge nur beschränkt in der Lage unterschiedliche Farben wahrzunehmen. So können Bilder oft ohne sichtbare Änderungen farbreduziert werden. 8

10 Kapitel 2 Farbquantisierung 2.1 Mögliche Ansätze Es gibt verschiedene Ansätze zu Lösung des Problems der Farbquantisierung. Eine einfache Variante ist die Nutzung einer fixen Farbtabelle. Bei diesem Verfahren sind die Farbeinträge der Farbtabelle vordefiniert und sind somit für jedes digitale Bild gleich. Ein Vorteil dieses Verfahrens ist es, dass man bei mehreren Anwendungen in fensterorientierten Umgebungen keine Falschfarben erhält. Unter Falschfarben versteht man, daß die Farben nichtaktiver Fenster nicht geändert werden, da die Farbeinträge der Farbpalette nicht an das aktive Fenster angepasst werden müssen. Die Nutzung fixer Farbtabellen ist ein sehr einfaches und schnelles Verfahren, jedoch ist ersichtlich, dass die Resultate einer Quantisierung mit fixer Tabelle eher bescheiden sind. Verfahren, die die Farbtabelle abhängig vom Bildinhalt erzeugen, ergeben dementsprechend bessere Resultate. Verfahren, die die resultierende Farbpalette abhängig von denen im Originalbild vorhandenen Farben erzeugen, heißen color mapped. Das folgende Kapitel beschreibt mögliche Verfahren für diesen Lösungsansatz. 2.2 Algorithmen zur Farbquantisierung Zeittafel Ein kurzer Überblick, wann die wichtigsten Verfahren der Farbquantisierung veröffentlicht wurden: Popularity, Diversity Median Cut, Heckbert Octree, Gervautz und Purgathofer K-means, Dekker Local K-means, Oleg Verevka 9

11 Die (sehr einfachen) Algorithmen Popularity und Diversity werden im folgenden nur kurz beschrieben. Wegen ihrer besseren Ergebnisse werden die Verfahren der Algorithmen Median Cut, Octree und Local K-means detaillierter erklärt Pre-clustering Verfahren Def. Cluster, Pre-clustering Farben im Originalbild, welche nach der Farbquantisierung der gleichen Farbe aus der Farbpalette zugeordnet werden, bilden ein sogenanntes Cluster (=Bereich). Abbildung 2.1: Farbwürfel mit clusters Die in diesem Kapitel vorgestellten Verfahren sind sogenannte Pre-clustering Verfahren. Diese Algorithmen teilen den Farbraum rekursiv in eine bestimmte Menge von Clusters. Diese werden durch Quadrate im Farbraum, welche parallel zu den Achsen liegen, dargestellt. Die Farben eines Clusters bilden die jeweilige Farbe der Farbpalette. Die einfachsten Verfahren zur Erzeugung einer bildbezogenen Farbpalette sind die Algorithmen Popularity und Diversity. Im folgenden sollen beide Verfahren nur kurz beschrieben werden. Popularity Bei beiden Verfahren erstellt man zuerst ein Histogramm der Farben: man ermittelt wie oft jede einzelne Farbe im Bild vorkommt. Beim Popularity wird aus den m häufigsten Farben (m=anzahl der gewünschten Farben) die Farbpalette erzeugt. Dann gilt es den Farben aus dem Originalbild eine passende Farbe aus der so erzeugten Farbtabelle zuzuordnen. Zum Bestimmen der jeweiligen passenden Farbe (d.h. der Farbe, die der Originalfarbe am ähnlichsten ist) gibt es verschiedene Möglichkeiten. Eine ist es, den euklidischen Abstand d zweier Farben a und b zu berechnen ( R, G, B sind die jeweileigen Farbanteile für Rot, Grün und Blau) : d = a, b = (a R b R ) 2 +(a G b G ) 2 +(a B b B ) 2 10

12 Diversity Beim Diversity-Algorithmus erstellt man ebenfalls zuerst das Histogramm der Farben. Beim Erzeugen der Farbpalette geht man allerdings anders vor als beim Popularity. Folgender Pseudo-Code beschreibt das Verfahren: Sei M die Farbpalette. Initialisiere M mit der häufigsten Farbe FOR (int n = 2; n=m; n++) { erweitere M um die Farbe des Histogramms, die zu allen Farben aus M den groessten Abstand hat } Durch das Bestimmen der Farbe mit dem jeweiligen größten Abstand gegenüber der übrigen Farben im Histogramm versucht man repräsentative Farben im Originalbild zu finden. Repräsentativ (die für eine unverzerrteste Wiedergabe notwendigen Farben) kann man jedoch nicht mathematisch beschreiben. Die Ergebnisse des Diversity-Algorithmus sind meistens unzufriedenstellend. Median Cut Idee des Verfahrens. Der Median-Cut Algorithmus geht beim Erstellen der Farbtabelle anders vor. Zuerst wird das Originalbild analysiert: alle im Originalbild vorhandenen Farben werden im RGB-Würfel markiert. Die Idee des Verfahrens ist es, aus dem RGB-Würfel rekursiv Teilwürfel zu erstellen. Dabei sollen die so entstandenen Teilwürfel möglichst die gleiche Anzahl an Farben aus dem Originalbild enthalten. Sei m die gewünschte Anzahl von Farben der Farbpalette. Dann werden die entstandenen Teilwürfel rekursiv weiter zerlegt, bis man m einzelne Würfel erhalten hat. Diese repräsentieren dann jeweils eine Farbe aus der resultierenden Farbtabelle. Aus den verbleibenden Farben in einem Teilwürfel berechnet man den Mittelwert und erstellt die Farbtabelle. Das Verfahren soll in den folgenden Abbildungen verdeutlicht werden (Darstellung im zwei dimensionalen Raum). 11

13 Abbildung 2.2: Rekursives Zerlegen des Farbwürfels beim Median Cut Octree Der Octree-Algorithmus verfolgt ein ganz anderes Verfahren. Einleitend sei zu erwähnen, dass die Farbinformationen des Bildes zur schnellen Suche bzw. Manipulation in einer Baumstruktur (daher auch der Name: ein Octree ist ein Baum der Höhe 8) abgelegt werden. Dabei wird das Originalbild sequentiell eingelesen und die Farben jeweils nach einem bestimmten Schema im Baum abgelegt. Farben eintragen: Zuerst sei zu erklären, wie die Farben im Octree abgebildet werden. Abbildung 2.3 verdeutlicht das Vorgehen. Abbildung 2.3: Bit-Muster der Farben als Index im Baum Seien R, G, B die jeweiligen Farbanteile einer Farbe F aus dem Originalbild. Nun gilt es zu wissen, in welchem Knoten des Baumes die Farbinformationen von 12

14 F abgelegt werden soll. Dabei geht man folgendermassen vor: Man nimmt hierzu die Bit-Muster der RGB-Tripel. Aus diesen bestimmt man die sogenannten Index-Bytes der jeweiligen Farbe. Beginnend beim jeweils höchstwertigsten Bit aus dem Bit-Muster der Farbanteile R, G, B setzt man die Index-Bytes zusammen (man erhält pro Farbe also insgesamt 8 Index-Bytes). Das Index-Byte selbst erhält demnach mögliche Werte zwischen (dez. 0) und (dez. 7). Abbildung 2.3 zeigt die ersten beiden Schritte des Vorgehens. Die Farbanteile der Farbe F haben bei diesem Beispiel die Werte R = 140 ( ),G = 200 ( ),B = 255 ( ). Die Index-Bytes werden nun von den höchstwertigsten Bits der Farbanteile aus erstellt. Beim ersten Schritt hat das Index-Byte den Wert Index = 111. Beginnend bei der Wurzel zeigt es also auf den 8. Nachfolger. Beim zweiten Schritt hat das Index-Byte den Wert Index =011. Der weitere Nachfolgeknoten ist somit der 4. Knoten. Nun wiederholt man diese Schritte bis man das letzte Index-Byte erstellt hat. Dieses Index- Byte zeigt nun auf den Knoten, wo die Farbinformationen der Farbe F abgelegt werden. In diesem Knoten wird nun ein Zähler, der sogenannte Referenz-Counter, erhöht und die RGB-Werte zu den Variablen red, green, blue addiert. Die Knoten des Baums haben also folgende Struktur: struct octreenode { unsigned long reference; unsigned long red; unsigned long green; unsigned long blue; struct octreenode childs[8]; } Nachdem nun verdeutlicht wurde, wie man die Farbinformationen im Baum ablegt, soll nun das Verfahren der Farbreduktion mittels Octree erläutert werden. Sei k die Anzahl der Blätter des Baums. k ist dabei gleichzeitig die Anzahl der resultierenden Farben, d.h. die Blätter des Baumes enthalten die Farben der Farbpalette. Bei einer Quantisierung nach einer Farbtiefe von 8 Bit hat k also den Wert 256. Der Baum hat somit maximal 256 Blätter. Sind bereits k Blätter des Baumes belegt, so muss für folgende Farben jeweils eine Knotenreduktion erfolgen. Welche Knoten reduziert werden wird natürlich nicht willkürlich gewählt. Knotenreduktion: Sei r die Summe der Referenz-Zähler aller Nachfolgeknoten eines bestimmten Knotens. Für die Farbquantisierung mittels Octree gilt: der Knoten mit kleinstem r wird reduziert. Folgender Pseudo-Code beschreibt die Reduktion des Knotens: 13

15 FOR (int n = 0; n<8; n++) { IF (curnode->child[n]) { curnode->reference += curnodechild[n].reference; curnode->red += curnode->child[n].red; curnode->green += curnode->child[n].green; curnode->blue += curnode->child[n].blue; // free the node. We don t need it anymore delete (curnode->child[n]) curnode->child[n]=null; } } Der Knoten erhält also die addierten Werte der Referenz-Zähler sowie die Summen der Variablen red, green, blue seiner Kinder. Wurden alle Farben des Bildes gelesen, so gilt es die Farbpalette aufzubauen. Farbtabelle erstellen: Für die Farben der Palette werden die jeweiligen Farbanteile durch die Werte der Referenz-Zähler geteilt. Man berechnet also einen Mittelwert aus den (eventuell durch Knotenreduktion gesammelten) Farbinformationen. Folgender Pseudo-Code beschreibt, wie die Palette aufgebaut wird: pal[index].red = curnode->red / curnode->reference; pal[index].green = curnode->green / curnode->reference; pal[index].blue = curnode->blue / curnode->reference; 14

16 2.2.3 Post-clustering Verfahren Post-clustering, k-means Algorithmus In diesem Kapitel wird eine Methode mit einem völlig anderem Ansatz vorgestellt. Die Autorin des hier vorgestellten Local K-means Algorithmus [Ver95] ist der Meinung, daß sich die sogenannten Pre-clustering Verfahren nicht für jeden Anwendungsbereich eignen (bspw. bei fensterorientierten Oberflächen). Hierfür sei ein Post-clustering Verfahren geeigneter. Post-clustering Verfahren versuchen in einem ersten Schritt die wirklich repräsentativen Farben (wichtige Farben) des Originalbildes zu bestimmen. Weitere Farben beeinflussen das Ergebnis immer geringer. Der Algorithmus endet nach definiertem Iterationsschritt. Zu diesem Zeitpunkt unterschreitet der Einfluss weiterer Farben einen bestimmten vordefinierten Faktor. Die bekannteste Implementierung nach diesem Verfahren ist der k-means Algorithmus [Dek94]. Im Vergleich zu Median Cut und Octree ist das Ergebnis normalerweise besser, allerdings ist die Laufzeit deutlich höher. Der sogenannte Local K-means [Ver95] soll dieses Dezifit beheben. Local K-means Der Local K-means Algortihmus ist also ein Post-clustering Verfahren: ein iterativer Prozeß bei dem die ersten Farben der Eingabe den größten Einfluß auf die resultierende Farbtabelle haben. Diese erste Phase bezeichnet man auch als Lernphase (vgl. Kohonen Netze, Neuronale Netze). Da bei diesem Algorithmus die Eingabefarben ab einem gewissenen Zeitpunkt nur noch einen geringen Einfluß auf die resultierende Farbtabelle haben, müssen nicht alle Farben des Originalbildes als Eingabe genutzt werden. Experimente ergaben, daß schon nach ungefähr 15% der Farben zufriedenstellende Ergebnisse erzielt werden können. Dabei gilt es möglichst unterschiedliche Farben des Bildes als Eingabe zu wählen. Verfahren Sei C die Menge der Farben des Originalbildes, C die Menge der Farben aus der Farbpalette. Sei c (t) C die Eingabe zum Zeitpunkt t. Falls die Farbpalette noch freie Einträge hat, so erhält die nächste Position der Tabelle die Eingabefarbe. Ansonsten wird der Abstand der Eingabe c (t) zu allen Farben aus der Tabelle C zum Zeitpunkt t berechnet. Die ähnlichste Farbe c (t) k C (t), der Gewinner wird folgendermassen bestimmt: c (t) c (t) = min c (t) c (t) k j=1,2..k K beschreibt dabei die Anzahl der Farben in der Farbtabelle zum Zeitpunkt t. Beim Local K-means gilt kompetitives Lernen: Nur der Gewinner in der Tabelle wird hinsichtlich der Eingabe c (t) geändert. Für den Einfluß der Eingabe auf c (t) k gilt: j 15

17 c (t) j = c (t 1) j c (t 1) j c + α (t) t c (t) j j = k sonst Der Faktor α (0 <α<1) bestimmt also den Einfluß einer Eingabe auf das Resultat. α konvergiert dabei gegen ein lokales Miminum. Wie groß die Änderung von α bei jedem Iterationsschritt ist, ist wichtig für das Ergebnis der Farbquantisierung. Sie muß so gewählt werden, daß das Gelernte nicht verloren geht, jedoch auch, dass die Eingabe bei jeder Iteration noch Einfluß hat. Es wird klar, daß die Eingaben in der Lernphase (also die ersten eingelesenen Farben) sehr wichtig sind, um ein zufriedenstellendes Ergebnis zu erzielen. Wie schon beschrieben, darf eine Farbe zu diesem Zeitpunkt nur dann als Eingabe gelten, falls sie unterschiedlich genug zu den vorherigen (Eingabe-) Farben ist. Local K-means für fensterorientierte Betriebssysteme Solche Betriebssysteme haben normalerweise eine gewisse Anzahl vordefinierter und unveränderbarer Farben (MS Windows: 16). Diese Farben belegen also immer Einträge in der Farbpalette. Nach der Autorin des Local K-means Algorithmus [Ver95] wäre dieser mit folgender Änderung für fensterorientierte Betriebssysteme geeignet: c (t) j = c (t 1) j c (t 1) j + α c (t) t c (t) j j = k, k > K sonst Dabei ist K die Anzahl der festen Farben in der Farbtabelle. 16

18 2.3 Quantisierungsfehler Ziel der Quantisierung ist es, möglichst verlustfreie farbreduzierte Bilder zu erstellen. Bei Quantisierungen von Bildern mit 24bit Farbtiefe nach 8bit Farbtiefe ist dies meistens nicht möglich. Um die entstehende Verzerrung sowie die Qualität der verschiedenen Verfahren der Quantisierung beschreiben zu können, muß man den auftretenden Fehler definieren. Das Beschreiben dieses Fehlerfaktors ist allerdings problematisch. Die für unser Auge (zudem oft individuell) wirklich wichtigen Farben in einem Bild oder einer Photographie sind durch mathematische Berechnungen nicht beschreibbar. Trotzdem versucht man die auftretende Verzerrung in eine Zahl zu fassen. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten. Die einfachste ist es, den Fehler (also die Differenz) aller Originalfarben zu der Ersatzfarbe aus der Farbtabelle zu berechnen. Je höher dieser Faktor, umso verzerrter ist das Resultat. Für die Berechnung des totalen Fehlers (die Verzerrung zwischen dem Originalbild und dem quantisierten Bild) schlägt der Autor des Median Cut Algorithmus [Hec82] folgende Formel vor: E = i,j d(c i,j,q(c i,j )) C x,y ist die Originalfarbe im Bild (an den Koordinaten x, y), q(c x,y ) die Farbe im quantisierten Bild, d(x, y) ist die Distanz zwischen beiden Farben. Je kleiner der Wert für E umso besser das Resultat der Farbquantisierung. Nach der Autorin des Local K-means Algorithmus [Ver95] soll der Fehlerfaktor aus dem Mittelwert der Verzerrung der Farben und dem Mittelwert der Verzerrung aller Pixel berechnet werden: ε (q) (c) = 1 N N c i q(c i ) i=1 Mittelwert der Verzerrung der Farben ε q(c,i) = 1 M (x,y) I c (x,y) q(c (x,y) ) Mittelwert der Verzerrung aller Pixel 17

19 Anhang A Beispiele Abbildung A.1: Originalbild, 24bit (13583 verschiedene Farben) 18

20 Abbildung A.2: Popularity Abbildung A.3: Median Cut 19

21 Abbildung A.4: Octree Abbildung A.5: Local K-means 20

22 Literaturverzeichnis [Hec82] [Dek94] [Ver95] P.Heckbert:Color image quantization for frame buffer display, Computer Graphics, 16(3), pages , A.Decker:Kohonen neural networks for optimal colour quantization, Computation in Neural Systems, Volume 5, Institute of Physics Publishing, pages , O.Verevka: Color Image Quantization in Windows Systems with Local K-means Algorithm, Proc. Western Computer Graphics Symposium '95, month 20-22, Sowie zahlreiche Web-Pages. Eine der wichtigsten: 21

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