Versicherungsnachfragetheorie

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1 65 Versicherungsnachfragetheorie.1 Einführung in die mikroökonomischen Grundlagen Lernziele Güterarten und Marktformen 68. Haushaltstheorie 7..1 Individuelle Nutzenfunktion 7.. Budgetbeschränkung Optimaler Konsumplan Einfluss des Einkommens auf Güternachfrage Einfluss des Preises auf die Güternachfrage Nachfrageelastizitäten 90.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot Annahmen des Grundmodells Ausgangsbeispiel Der optimale Versicherungsschutz Herleitung der Versicherungsgeraden Indifferenzkurven Versicherungsoptimum Versicherungsangebot und Gleichgewicht auf dem Versicherungsmarkt Moral Hazard und staatliche Regulierung Definition Risikoerhöhendes Moral Hazard Mengenerhöhendes Moral Hazard Staatliche Regulierung bei Moral Hazard 14.5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung Prozess der negativen Auslese Versicherung bei Kenntnis der Risikotypen Versicherung bei Unkenntnis der Risikotypen Staatliche Regulierung bei Adverser Selektion Staatliche Risikoübernahme und Versicherungsnachfrage Gründe für die staatliche Risikoübernahme Einfluss staatlicher Grundsicherung auf Versicherungsnachfrage 14 T. Nguyen, F. Romeike, Versicherungswirtschaftslehre, DOI / _, Gabler Verlag Springer Fachmedien Wiesbaden 013

2 .6.3 Auswirkungen staatlicher Grundsicherung bei Moral Hazard Auswirkungen staatlicher Grundsicherung bei Adverse Selection Staatliche Eingriffe in die Versicherungsmärkte Staatliche Eingriffe in die Risikovorsorge Argumente für die staatlichen Eingriffe Übungsaufgaben zu Kapitel 158

3 67.1 Einführung in die mikroökonomischen Grundlagen.1 Einführung in die mikroökonomischen Grundlagen Im Rahmen dieses Kapitels erhalten Sie Einblick in die mikroökonomische Betrachtungsweise der Nachfrage und des Angebots an Versicherungen. Hierzu werden zunächst auch mikroökonomische Grundlagen wiederholt. Dieses Kapitel ist in sechs Unterkapitel gegliedert. Im Ersten werden relevante Grundlagen der Mikroökonomik dargestellt. Die Haushaltstheorie, insbesondere individuelle Nutzenfunktion, optimaler Konsumplan, Einkommens-Konsum-Kurven und Engelkurven, Preis-Konsum-Kurven und Nachfragekurven, Substitutions- und Einkommenseffekt sowie Elastizitäten, sind Inhalt des zweiten Abschnitts. Thema des dritten Unterkapitels sind die Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot. Dazu werden Annahmen des Grundmodells, optimaler Versicherungsschutz, Herleitung der Versicherungsgeraden, Versicherungsoptimum und Gleichgewicht auf dem Versicherungsmarkt vertieft. Im Rahmen des vierten und fünften Abschnitts werden staatliche Regulierung und Moral Hazard bzw. Adverse Selektion näher betrachtet. Das sechste Unterkapitel legt staatliche Eingriffe in die Versicherungsmärkte dar. mikroökonomische Betrachtungsweise.1.1 Lernziele Nachdem Sie dieses Kapitel durchgearbeitet haben sollen Sie in der Lage sein, die Grundlagen der Nachfragetheorie darzulegen, insbesondere den nutzenoptimalen Konsumplan zu ermitteln; die verschiedenen Elastizitäten der Nachfrage im Allgemeinen und die der Versicherungsnachfrage im Besonderen zu erläutern; in der einzelwirtschaftlichen Analyse der Versicherung die Besonderheiten der Versicherungsmärkte darzustellen und die elementare Analyse von Angebot und Nachfrage beherrschen; die optimale Versicherungsnachfrage aus der Nutzenfunktion herzuleiten und zu berechnen; das allgemeine Gleichgewicht auf den Versicherungsmärkten darzustellen; die Begriffe des Moral Hazard und der adversen Selektion zu erklären, die wirtschaftlichen Gründe für Eingriffe des Staates bei der Risikovorsorge wiederzugeben; ein mögliches Marktversagen auf den Versicherungsmärkten aufgrund der asymmetrischen Informationsverteilung zu begründen;

4 68 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Möglichkeiten und Rechtfertigung für den staatlichen Eingriff in die Versicherungsmärkte darzulegen und Beispiele für staatliche Eingriffe bei der individuellen Risikovorsorge aufzuzeigen..1. Güterarten und Marktformen Handeln unter Beschränkungen Ökonomisches Handeln bedeutet ein Handeln unter Beschränkungen, denn die Bedürfnisse der Menschen sind unbegrenzt. Die vorhandenen Ressourcen (Arbeit, Boden und Kapital) sind dagegen begrenzt. Somit bedeutet das ökonomische Handeln, dass man mit den gegebenen knappen Ressourcen ein Maximum an Gütern und Dienstleistungen zu erreichen versucht, um die (unbegrenzten) Bedürfnisse der Menschen bestmöglich zu befriedigen. Positive versus normative Theorie Gegenstand der Mikroökonomik ist die Frage nach der Versorgung der Haushalte mit Konsumgütern (Güter und Dienstleistungen). Dabei geht es um folgende Fragen der Allokation 1 : Positive Theorie: Welche Güter werden in welcher Menge unter Einsatz der knappen Ressourcen ( = Produktionsfaktoren) in einer Volkswirtschaft produziert? Normative Theorie: Welche Güter sollen in welcher Menge unter Einsatz der knappen Ressourcen produziert werden? wertneutral Norm erforderlich In der positiven Theorie wird unter den gegebenen Bedingungen (sozialer, gesellschaftlicher, politischer, wettbewerbsrechtlicher und steuerrechtlicher Art) untersucht, was das Marktergebnis ist. Zum Beispiel wird unter den vorgegebenen Rahmenbedingungen pro Kopf ein bestimmter Betrag jährlich für die Altersvorsorge gespart. Das Ergebnis ist wertneutral. Es kann vorkommen, dass die Politik mit dem Marktergebnis unzufrieden ist, z. B. wenn die Politik meint, dass die Menschen aus bestimmten Gründen (Unvernunft, Sorglosigkeit, falsche Risikoeinschätzung usw.) zu wenig für das Alter sparen. Folglich muss die Altersvorsorge irgendwie durch eine staatliche Maßnahme gefördert werden. Zur Beantwortung der normativen Frage ist ein Werturteil bzw. eine Norm erforderlich, denn nur so kann die Politik beurteilen, ob eine bestimmte ökonomische Aktivität zu viel oder zu wenig durchgeführt wird oder ob eine bestimmte Güterverteilung als 1 Eine Allokation ist die Verteilung der knappen Ressourcen auf die verschiedenen Produktionszweige bzw. die Verteilung der knappen Güter auf die Menschen in einer Volkswirtschaft.

5 69.1 Einführung in die mikroökonomischen Grundlagen»gerecht«oder»ungerecht«empfunden wird. In einer Demokratie werden diese Werturteile im Rahmen der demokratischen Meinungsbildungsprozesse herausgebildet. In Demokratien mit Mehrheitsentscheidungen werden in der Regel diejenigen Werturteile (Allokationen) durchgesetzt, die den Zuspruch der Bevölkerungsmehrheit genießen. Deshalb ist das folgende Pareto-Kriterium von besonderer Wichtigkeit. Nach dem Pareto-Kriterium ist eine Allokation genau dann Pareto-optimal oder effizient, wenn es durch eine Reallokation nicht möglich ist, mindestens ein Individuum besser zu stellen, ohne dass ein anderes Individuum schlechter gestellt wird. Eine neue Allokation (Re-Allokation) ist gegenüber der bisherigen Allokation pareto-superior, wenn dadurch gelingt, mindestens ein Individuum besser zu stellen, ohne dass ein anderes Individuum schlechter gestellt wird. Pareto-Kriterium pareto-superior Es ist offensichtlich, dass pareto-superiore Re-Allokationen in einer Demokratie immer durchsetzbar sind, da niemand dagegen stimmen würde. In der praktischen Wirtspolitik sind viele Maßnahmen jedoch nicht pareto-superior, da es meistens Gewinner und Verlierer gibt: Zum Beispiel um die Staatsschulden zu begrenzen (dadurch sind die zukünftigen Generationen die Gewinner), muss der Staat entweder die Steuern erhöhen (hier sind die»reichen«die Verlierer) oder die Staatsausgaben kürzen (hier sind die»armen«die Verlierer). Bei einem schuldenfinanzierten Konjunkturprogramm sind die jetzigen Generationen die Gewinner, da sie von höherem Wirtschaftswachstum profitieren. Verlierer sind dagegen die zukünftigen Generationen, da sie voraussichtlich höhere Steuern zahlen müssen, um die neuen Staatsschulden zu tilgen und zu verzinsen. An diesen Beispielen kann man erkennen, warum in der Vergangenheit in allen westlichen Demokratien enorme Staatsschulden aufgebaut wurden. Durch die Re-Allokation (staatliche Neuverschuldung, umlagefinanzierte Rentenversicherung usw.) werden die jetzigen Generationen besser und die zukünftigen Generationen schlechter gestellt. Da die zukünftigen Generationen bei der Abstimmung in den Wahlen noch nicht geboren bzw. noch nicht wahlberechtigt sind, werden die Entscheidungen systematisch zu ihren Lasten getroffen. Hier ist ersichtlich, dass die Fragen der normativen Theorie in einer Demokratie nicht von Ökonomen, sondern vom Wahlvolk beantwortet werden. Normen als Ergebnis der demographischen Meinungsbildungsprozesse Vgl. Sen, A. K.: Collective Choice and Social Welfare, London 1970.

6 70 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Güterarten Private Güter Öffentliche Güter. Abb..1 Güterarten private Güter öffentliche Güter Mischformen Güterarten Grundsätzlich kann bei allen in der Volkswirtschaft verfügbaren Gütern und Dienstleistungen zwischen zwei verschiedenen Güterarten unterschieden werden (. Abb..1). Private Güter: sind durch Rivalität und Gültigkeit des Ausschlussprinzips gekennzeichnet. Rivalität bedeutet, dass die Verwendung dieser Güter durch ein Wirtschaftssubjekt die Nutzung durch andere Wirtschaftssubjekte unmöglich macht. Ausschlussprinzip bedeutet, dass nur der Käufer dieses Gutes verfügungsberechtigt ist und somit andere Wirtschaftssubjekte von der Nutzung dieses Gutes ausschließen kann. Ein Beispiel für ein privates Gut ist das eigene Haus. Öffentliche Güter: sind durch Nicht-Rivalität und Nicht-Gültigkeit des Ausschlussprinzips gekennzeichnet. Nicht-Rivalität bedeutet, dass die Verwendung der Güter durch ein Wirtschaftssubjekt die Nutzung derselben Güter durch andere Wirtschaftssubjekte nicht ausschließt. Nicht-Gültigkeit des Ausschlussprinzips bedeutet, dass es nicht möglich oder nur sehr schwer möglich ist, Nichtverfügungsberechtigte von der Verwendung der öffentlichen Güter auszuschließen. Ein Beispiel für ein öffentliches Gut ist eine öffentliche Straße. Es gibt auch Mischformen zwischen privaten und öffentlichen Gütern, z. B. eine verstopfte öffentliche Straße. Hier kann zwar niemand von der Nutzung ausgeschlossen werden, da es sich um eine öffentliche Straße handelt ( = Nicht-Gültigkeit des Ausschlussprinzips). Jedoch beeinträchtigt die Nutzung eines Individuums die Nutzung anderer. Das Kriterium der Nicht-Rivalität ist somit nicht erfüllt. Im versicherungswirtschaftlichen Kontext stellt sich die Frage, ob der Staat die Risikovorsorge selbst durch Bereitstellung öffentlicher Güter ( = staatliche Grundversorgung) organisiert oder ob die Risikovorsorge durch den Abschluss eines privatwirtschaftlichen Versicherungsvertrages betrieben werden soll. Je höher die staatliche Grundversorgung ist, desto stärker verdrängt die Bereitstellung öffentlicher Güter die private Risikovorsorge. Marktformen Die Marktform hängt von der Anzahl der Marktteilnehmer sowohl auf der Nachfrageseite (Anzahl der Konsumenten) als auch auf der Angebotsseite (Anzahl der Anbieter) ab (. Abb..). Wir gehen nachfolgend davon aus, dass es auf der Nachfrageseite viele Nachfrager (Konsumenten) gibt. Die Marktformen Monopol, Oligopol und Polypol definieren sich über die Anzahl der Anbieter: Monopol: nur ein Anbieter Oligopol: wenige Anbieter (bzw. Duopol bei zwei Anbietern) Polypol: viele Anbieter

7 71.1 Einführung in die mikroökonomischen Grundlagen Marktformen Monopol Oligopol Polypol. Abb.. Marktformen Die Marktform des Polypols (viele Anbieter, viele Nachfrager) wird in der Volkswirtschaftslehre als vollständige Konkurrenz (bzw. vollkommener Wettbewerb) bezeichnet. Alle anderen Markformen lassen sich als Formen der unvollständigen Konkurrenz (bzw. unvollkommener Wettbewerb) zusammenfassen. Die mikroökonomische Analyse hat gezeigt, 3 dass der Nutzen der Konsumenten ( = Konsumentenrente) am größten ist, wenn auf dem Markt ein Polypol herrscht und am niedrigsten beim Monopol. Umgekehrt verhält es sich bei den Gewinnen der Produzenten ( = Produzentenrente): die Produzentenrente ist am größten beim Monopol und am kleinsten beim Polypol. Welche Marktform ist somit erstrebenswert? Der gesellschaftliche Gesamtnutzen (Summe aus Konsumentenrente und Produzentenrente) ist am größten beim vollkommenen Wettbewerb, d. h.: die Gewinne der Konsumenten durch diese Marktform überwiegen die Verluste der Produzenten. Deshalb hat der vollkommene Wettbewerb eine Leitbildfunktion für die Wettbewerbspolitik. Ziel ist es, durch staatliche Interventionen (Verbot von Preisabsprachen, Verhinderung von marktbeherrschenden Unternehmensfusionen usw.) für Wettbewerb zu sorgen. In der Versicherungsbranche herrscht ein natürlicher Hang zur Monopolbildung, da nach dem Gesetz der großen Zahlen die relativen Abweichungen vom Erwartungswert mit größerem Versicherungsbestand sinken. Für die möglichen Abweichungen vom Erwartungsschaden muss das Versicherungsunternehmen entsprechendes Eigenkapital bereitstellen, welches Kosten in Höhe der Eigenkapitalverzinsung verursacht. Die Kosten für die Bereitstellung des Versicherungsschutzes sinken mit zunehmendem Versicherungsbestand, so dass Versicherungsunternehmen einen systemimmanenten Anreiz haben, größer zu werden, um diese Kostenvorteile ( = economies of scales) auszunutzen. Eine Monopolstellung bzw. eine marktbeherrschende Stellung eines Versicherungsunternehmens führt jedoch zu einer Senkung der gesamtwirtschaftlichen Wohlfahrt bestehend aus Produzenten- und (un)vollständige Konkurrenz Konsumentenrente Produzentenrente Leitbildfunktion natürlicher Hang zur Monopolbildung 3 Vgl. Krugman, P./Wells, R.: Volkswirtschaftslehre, Schäffer-Poeschel, Stuttgart 010, S. 171 ff.

8 7 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Konsumentenrente. Folglich muss der Staat hier geeignete Maßnahmen ergreifen, um diese natürliche Monopolbildung zu verhindern.. Haushaltstheorie Haushaltstheorie Produktions-theorie Die Haushaltstheorie und die Produktionstheorie sind zwei wichtige Säulen des mikroökonomischen Lehrgebäudes. Die Haushaltstheorie befasst sich mit der Nachfrageseite auf dem Gütermarkt. Wichtiger Untersuchungsgegenstand ist hier der Nutzen (ausgedrückt durch die individuelle Nutzenfunktion), den ein Nachfrager durch den Warenkorb, die Menge aller Güter die er in einer bestimmten Periode kauft, hat. Dafür spielen Präferenzrelationen und Indifferenzkurven eine wichtige Rolle. Demgegenüber steht die Produktionstheorie, die sich mit der Angebotsseite des Gütermarktes beschäftigt. Ausgehend von einer gegebenen Produktionsfunktion, die das Verhältnis von Input- zu Outputfaktoren angibt, wird untersucht, welche Produktionsmengen mit welchen Inputfaktoren produziert werden sollen...1 Individuelle Nutzenfunktion Angenommen, es existieren in der Volkswirtschaft zwei Güter x 1 und x. Ein Individuum hat die folgende Nutzenfunktion U = x 1 x (.1) Indifferenzkurve Die Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller x 1 -x -Kombinationen, bei denen das gleiche Nutzenniveau erreicht wird. Bei der obigen Nutzenfunktion bedeutet, dass das Güterbündel A (5 Einheiten von x 1 und 4 Einheiten von x ) gleichwertig ist mit dem Güterbündel B (10 Einheiten von x 1 und Einheiten x ), denn beide Güterbündel bringen einen Nutzwert von 0. Ein Individuum mit der obigen Nutzenfunktion wäre indifferent zwischen den beiden Güterbündeln A und B. Die Verbindung aller indifferenten Güterbündel ergibt die Indifferenzkurve (vgl.. Abb..3). Aus. Abb..3 sind zwei wichtige Eigenschaften für Indifferenzkurven ersichtlich: zwei verschiedene Indifferenzkurven schneiden sich niemals 4, je weiter die Indifferenzkurve vom Ursprung entfernt ist, desto höher ist das damit verbundene Nutzenniveau. Andere Beispiele für die individuelle Nutzenfunktion sind: U = x 1 1/ x 1/ 4 Andernfalls würden einem Güterbündel zwei verschiedene Nutzenniveaus zugeordnet. Das wäre ein Verstoß gegen die Definition einer Funktion.

9 73. Haushaltstheorie x x Indifferenzkurven B Budgetgerade A C x 1 A. Abb..4 Budgetgerade B U 3 U U 1 x 1. Abb..3 Indifferenzkurven U = x 1 1/3 x /3 U = x 1 + x.. Budgetbeschränkung Kein Individuum verfügt nicht über unbegrenzte Mittel. Wir nehmen an: Ein repräsentatives Individuum habe ein bestimmtes verfügbares Einkommen in Höhe von E (Budgetbeschränkung). Dieses Einkommen wird für Konsumzwecke ausgegeben. begrenzte Mittel Budgetgerade Wir nehmen an, dass das Individuum über Einkommen in Höhe von 0 verfüge und die Marktpreise für die Güter x 1 und x p 1 = bzw. p = 3 betragen. Somit gilt für die Budgetbeschränkung dieses Individuums x 1 + 3x = 0 (.) Alle Güterbündel auf der bzw. unterhalb der Budgetgeraden (vgl.. Abb..4), beispielsweise die Güterbündel A und C kann sich das Individuum bei gegebenem Einkommen leisten. Güterbündel oberhalb der Budgetgeraden (beispielsweise das Güterbündel B) sind für das Individuum nicht mehr erreichbar. Der Raum unterhalb der Budgetgeraden wird auch Raum der Konsummöglichkeiten genannt.

10 74 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie x Einkommenserhöhung x 1. Abb..5 Einfluss der Einkommenserhöhung auf die Budgetgerade Einfluss einer Einkommenserhöhung auf die Budgetgerade Angenommen, das Einkommen des betrachteten Individuums steige von 0 auf 30 bzw. 40. Wie wirkt sich diese Einkommenserhöhung auf die Budgetgerade aus? Allgemein lässt sich die Budgetbeschränkung in der Form schreiben: p 1 x 1 + p x = E bzw. x = p 1 p x 1 + E p. (.3) Die Einkommenserhöhung bewirkt eine Parallelverschiebung der Budgetgeraden nach außen (vgl.. Abb..5). Der Raum der Konsummöglichkeiten wird durch die Einkommenserhöhung vergrößert, da eine Einkommenserhöhung bei gegebenen Preisen die Kaufkraft und damit die Konsummöglichkeiten des Individuums erweitert. Einfluss einer Preiserhöhung auf die Budgetgerade Angenommen, der Preis für das Gut x 1 steige von auf 3 bzw. 4. Die anderen Größen Einkommen E und p 1 bleiben unverändert. Wie wirkt sich diese Preiserhöhung auf die Budgetgerade aus? Anhand der allgemeinen Gleichung für die Budgetbeschränkung in der Form x = p 1 p x 1 + E p

11 75. Haushaltstheorie x x Indifferenzkurven Preiserhöhung Nutzenoptimum x 1 x * A C. Abb..6 Einfluss der Preiserhöhung auf die Budgetgerade B Budgetgerade x 1 * x 1. Abb..7 Optimaler Konsumplan kann man erkennen, dass die Preiserhöhung von p 1 die Steigung der Budgetgeraden erhöht und somit eine Drehung der Budgetgeraden zum Ursprung hin bewirkt. Die Budgetgerade wird steiler. Aus der obigen. Abb..6 ist zu erkennen, dass der Raum der Konsummöglichkeiten durch die Preiserhöhung kleiner wird. Dies ist auch verständlich, denn mit höheren Preisen kann man bei gegebenem Einkommen weniger Güter kaufen...3 Optimaler Konsumplan Das Individuum versucht, mit den gegebenen Ressourcen (Einkommen) das eigene Nutzenniveau zu maximieren (nutzenmaximierendes Verhalten der Konsumenten). Graphische Darstellung des Nutzenoptimums Das Individuum wählt aus allen möglichen Güterbündeln im Raum der Konsummöglichkeiten dasjenige Güterbündel aus, das auf der höchsten Indifferenzkurve liegt. Das Individuum kann sich z. B. die beiden Güterbündel A und B leisten (vgl.. Abb..7), da sie jeweils noch auf der Budgetgeraden liegen und somit zum Raum der Konsummöglichkeiten gehören. Jedoch wird das Güterbündel A gegen B bevorzugt, da A auf einer höheren Indifferenzkurve liegt. Das Güterbündel C liegt zwar auf einer noch höheren Indifferenzkurve als A. Jedoch liegt C nicht mehr im Raum der Konsummöglichkeiten, so dass es für das Individuum bei

12 76 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie gegebenem Budget unerreichbar ist. Von allen erreichbaren Güterbündeln liegt A auf der höchsten Indifferenzkurve, so dass A den optimalen Konsumplan darstellt. Algebraische Lösung für ein Nutzenoptimum Das Individuum maximiert das Nutzenniveau unter Beachtung der Budgetbeschränkung, d. h.: es löst das folgende mathematische Problem: 5 max. U = U(x 1,x ) = x 1 x u. d. N. p 1 x 1 + p x = E Lagrange-Ansatz Lagrange-Funktion Um dieses mathematische Problem zu lösen das in der Ökonomie sehr häufig vorkommt, verwendet man den so genannten Lagrange- Ansatz 6. Im Lagrange-Ansatz wird aus dem obigen mathematischen Problem die folgende Lagrange-Funktion gebildet und anschließend maximiert: L = U (x 1, x ) + λ (E p 1 x 1 p x ) Die notwendigen Bedingungen für ein Maximum erhält man durch Nullsetzung der partiellen Ableitungen 1. Ordnung: 7 L x 1 = U x 1 λp 1 = 0 (.4) L x = U x λp = 0 (.5) L λ = E p 1x 1 p x = 0 (.6) Aus den Gleichungen (.4) und (.5) erhalten wir die notwendige Bedingung für ein Nutzenoptimum: 5 Dies ist ein typisches Optimierungsproblem in den Wirtschaftswissenschaften. Entweder möchte man bei gegebenen Ressourcen das Maximum erreichen, oder ein vorgegebenes Ziel mit den geringsten Kosten. Beide Optimierungsprobleme lassen sich durch den sogenannten Lagrange-Ansatz lösen. 6 Benannt nach dem italienischer Mathematiker und Astronom Joseph-Louis de Lagrange (geboren 1736 in Turin, gestorben 1813 in Paris). 7 In den Wirtschaftswissenschaften wird zugunsten der Einfachheit in der Regel auf die hinreichenden Bedingungen (partielle Ableitungen. Ordnung) verzichtet.

13 77. Haushaltstheorie x Indifferenzkurve Grenzrate dx /dx 1 x 1. Abb..8 Grenzrate der Gütersubstitution U x 1 U x = p 1 p (.7) Im Nutzenoptimum muss gemäß Bedingung (.7) das Verhältnis der Grenznutzen dem Preisverhältnis entsprechen. Der Grenznutzen U x 1 gibt an, um wie viel Einheit der Nutzen steigt, wenn das Individuum eine zusätzliche Einheit des Gut x 1 konsumiert. Beim Grenznutzen geht es also um den zusätzlichen Nutzen der letzten konsumierten Einheit. Umgangssprachlich entspricht die Bedingung (.7) dem so genannten»preis-leistungs-verhältnis«. Eine Kaufentscheidung wird nur getroffen, wenn das Individuum bei einem Produkt der Meinung ist, dass das Preis-Leistungs-Verhältnis stimmt. Nutzenoptimum Grenzrate der Gütersubstitution Die Grenzrate der Gütersubstitution ist graphisch gesehen (vgl.. Abb..8) die Steigung der Indifferenzkurve und gibt das Tauschverhältnis zwischen den beiden Gütern x 1 und x an. Mathematische Herleitung der Grenzrate der Gütersubstitution: Durch totales Differenzieren der Nutzenfunktion U = U (x 1,x ) erhält man du = U x 1 dx 1 + U x dx

14 78 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie x Nutzenoptimum als Tangentialpunkt x * Budgetgerade x 1 * x 1. Abb..9 Graphische Herleitung eines Nutzenoptimums Mit du = 0, da sich das Nutzenniveau auf der Indifferenzkurve nicht ändert, folgt daraus: U x 1 dx 1 + U x dx = 0, dx = dx 1 U x 1. U x Ökonomische Interpretation Die Grenzrate der Gütersubstitution entspricht somit betragsmäßig dem umgekehrten Verhältnis der Grenznutzen. Die Grenzrate der Gütersubstitution zwischen Gut x und x 1 gibt an, wie viele Einheiten von x das Individuum zusätzlich bekommen muss, wenn man ihm eine Einheit von x 1 wegnimmt, ohne dass sich sein Nutzenniveau ändert. Wie aus. Abb..8 ersichtlich, ändert sich die Grenzrate der Gütersubstitution ( = Steigung der Indifferenzkurve) je nach Anfangsausstattung. Wenn das Individuum z. B. relativ viel von x 1 hat, ist er bereits, eine Einheit x 1 gegen eine kleine Menge von x zu tauschen. Hat das Individuum in der Anfangsausstattung relativ wenig von x 1, verlangt es eine größere Menge von x für den Verzicht auf eine Einheit von x 1. Graphische Lösung für ein Nutzenoptimum Im Nutzenoptimum müssen sich die Budgetgerade und die Indifferenzkurve tangieren (vgl.. Abb..9), denn im Tangentialpunkt erreicht das Individuum das größtmögliche Nutzenniveau. Alle anderen Güterbündel auf der oder unterhalb der Budgetgeraden liegen auf niedrigeren Indifferenzkurven.

15 79. Haushaltstheorie Gegeben ist die Nutzenfunktion U = U(X 1,X ) = X 1 X sowie p 1 =, p = 4 und E = 40. Daraus folgt: U = x x 1 U = x 1 x Im Nutzenoptimum muss gemäß (.7) gelten: U U / = x 1 x p 1, d.h. p x p = 1 1 = x x = x 1 1 p 4 Außerdem muss die Ressourcenbeschränkung p 1 x 1 + p x = E berücksichtigt werden, d.h.: x x = 40 x + x 1 = 40 x 1 = 10 x = 5 Im Nutzenoptimum werden 10 Einheiten von Gut x 1 und 5 Einheiten von Gut x konsumiert. Das dabei erreichte Nutzenniveau beträgt: U = U(x 1,x ) = x 1 x = 10 * 5 = 50. Abb..10 Beispiel zu Berechnung des Nutzenoptimums Diese Tangentialbedingung impliziert, dass die beiden Steigungen der Indifferenzkurven und der Budgetgeraden gleich sein müssen. Somit gilt für ein Nutzenoptimum: U x 1 = p 1 bzw. U p x U x 1 = p 1 U p x Dieses Ergebnis ist identisch mit der Bedingung (.7) für ein Nutzenoptimum, die wir bereits mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes auf dem algebraischen Weg hergeleitet haben (. Abb..10).

16 80 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie x Einkommens-Konsum-Kurve U U 3 U 1 x 1. Abb..11 Einkommens-Konsum-Kurve (normales Gut)..4 Einfluss des Einkommens auf Güternachfrage Eine Erhöhung des Einkommens bei konstanten Güterpreisen bedeutet bei der Budgetgleichung: x = p 1 p x 1 + E p graphisch eine Parallelverschiebung der Budgetgeraden nach außen. Dadurch erreicht der Haushalt eine höhere Indifferenzkurve (und damit auch ein höheres Nutzenniveau). normale Güter inferiore Güter Einkommens-Konsum-Kurven Die Verbindungslinie aller Nutzenoptima bei Einkommensvariationen wird als Einkommens-Konsum-Kurve bezeichnet (vgl.. Abb..11). Abbildung.11 zeigt die Einkommens-Konsum-Kurve für normale Güter. Es ist ersichtlich, dass die Nachfrage nach beiden Gütern x 1 und x mit höherem Einkommen steigt. Der Verlauf der Einkommens-Konsum-Kurve hängt von der Form der Indifferenzkurven bzw. der individuellen Nutzenfunktion ab. 8 Steigt die Nachfrage mit steigendem Einkommen an, so handelt es sich um normale Güter. Sinkt die Nachfrage dagegen mit steigendem Einkommen, so handelt es sich um inferiore Güter. 8 Vgl. Reiß, W.: Mikroökonomische Theorie, Oldenbourg Verlag, München 199 sowie Schumann, J./Meyer, U./Ströbele, W.: Grundzüge der mikroökonomischen Theorie, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 007.

17 81. Haushaltstheorie x Einkommens-Konsum-Kurve U 3 U U 1 x 1. Abb..1 Einkommens-Konsum-Kurve (inferiores Gut) In. Abb..1 ist erkennbar, dass das Gut x 1 ein inferiores Gut ist, denn ab einem bestimmten Einkommen wird die Nachfrage nach x 1 zurückgehen, wenn das Einkommen weiter steigt. Beispiele für inferiore Güter sind billige und qualitativ geringwertige Nahrungsmittel (beispielsweise Brot). Bei niedrigem Einkommen ist der Haushalt gezwungen, die Nahrungsmittel in größerer Menge zur Existenzsicherung nachzufragen. Mit steigendem Einkommen kann er sich höherwertige Nahrungsmittel leisten, die dann die geringwertigen Nahrungsmittel ganz oder teilweise ersetzen, so dass die Nachfrage nach Brot mit höherem Einkommen zurückgeht. Es stellt nun die Frage, ob Versicherungsprodukte ein normales oder ein inferiores Verhalten aufweisen. Es hat sich gezeigt, dass sich das gesamte Prämienvolumen der Versicherungsbranche in den westlichen Industriestaaten zwischen 000 und 010 inflationsbereinigt kaum erhöht hat, obwohl das Volkseinkommen ( = Bruttoinlandsprodukt) in diesem Zeitraum weiter gestiegen ist. Dies lässt sich so deuten, dass sich Versicherungsprodukte in der westlichen Welt aufgrund der Sättigungserscheinungen langsam zu inferioren Gütern entwickeln. Mit der Folge, dass die Versicherungsbranche zukünftig weniger von dem großen Kuchen ( = Bruttoinlandsprodukt) für sich beanspruchen kann. Sättigungserscheinungen auf Versicherungsmärkten Ein Ausweg aus diesem Dilemma wäre die Weiterentwicklung der Versicherungsprodukte zu höherwertigen Produkten. 9 Um Produkte besser zu gestalten, bedarf es Produktinnovationen und damit Investi- 9 Ähnlich wie in der Automobilbranche, wo es den Autoherstellern trotz Marktsättigung immer wieder gelingt, neue Absatzrekorde zu erzielen.

18 8 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie kein Patentschutz umgekehrter Produktionsprozess zu wenig Investitionen in Produktentwicklung Wachstum in den Entwicklungsund Schwellenländern tionen in die Produktentwicklung. Jedoch sind Produktinnovationen nur durch zusätzliche Anstrengungen in Forschung und Entwicklung möglich. Dafür sind erhebliche Investitionskosten erforderlich, die sich aus betriebswirtschaftlicher Sicht amortisieren müssen. Hierin liegt das besondere Problem der Versicherungsbranche. Für neuartige Versicherungskonzepte (oder Produktideen) gibt es keinen Patentschutz (wie dies bei technischen Errungenschaften üblich ist), so dass ein erfolgreiches Versicherungskonzept sofort von anderen Konkurrenzunternehmen kopiert werden kann. Des Weiteren liegt in der Versicherungsbranche ein sogenannten»umgekehrter«produktionsprozess vor, d. h.: das Produkt wird zunächst verkauft und erst anschließend»produziert«. Somit hat ein innovativer Versicherer mit einem neuen und am Markt erfolgreichen Versicherungsprodukt keinen zeitlichen Vorsprung, durch den seine Investitionen in Forschung und Entwicklung amortisiert werden können. Diese beiden systemimmanenten Charakteristika der Versicherungsbranche führen dazu, dass sich die Versicherungsunternehmen mehrheitlich als»drittbrettfahrer«verhalten. Sie warten ab, bis ein Konkurrenzunternehmen entsprechende Investitionen in Produktentwicklung tätigt und dadurch ein neues, eventuell höherwertiges Produkt auf den Markt bringt. Wenn sich das neue Versicherungsprodukt am Markt durchsetzt, wird es sofort von den anderen kopiert. Dieses Drittbrettfahrer-Verhalten impliziert, dass insgesamt zu wenig in Forschung und Entwicklung investiert wird, so dass in der Versicherungsbranche kaum Produktinnovationen stattfinden. Diese theoretischen Überlegungen decken sich auch mit der empirischen Beobachtung, dass auf den Versicherungsmärkten neue Produkte erst dann entstehen, wenn die Rahmenbedingungen sich ändern (z. B. der Wegfall der steuerlichen Begünstigung der Kapitalerträge in den klassischen Lebensversicherungsverträgen führte dazu, dass»neue«produkte wie»riesterrente«oder»rürup-rente«am Markt eingeführt wurden). Ohne Produktinnovationen werden die Versicherungsmärkte jedoch nicht so weiter wachsen können wie die Volkswirtschaft insgesamt. Große Versicherungskonzerne haben das Problem erkannt und investieren z. B. verstärkt in neue Versicherungsprodukte, die nicht sofort von der Konkurrenz kopiert werden können. Allgemein geht es hier um Produktinnovationen in Richtung»Assistance«oder»webbasierte«Versicherungslösungen. Bei solchen Produktverbesserungen kann die Konkurrenz aufgrund der eigenen geringen Größe das neue Versicherungskonzept nicht sofort umsetzen. Es bleibt jedoch festzuhalten, dass aufgrund der systemimmanenten Charakteristika der Versicherungsbranche (kein Patentschutz, kein zeitlicher Vorsprung) tendenziell zu wenig in Forschung und Entwicklung investiert wird, so dass in der Versicherungsbranche

19 83. Haushaltstheorie U = U(x 1,x ) = x 1 x sowie p 1 =, p = 4 und E =? Im Nutzenoptimum muss die Bedingung: U U p / = 1 x 1 x p gelten, d.h. x = p 1 = x 1 p 4 x =0,5 x 1 Aufgrund der Ressourcenbeschränkung muss gelten: p 1 x 1 + p x = E x x = E x 1 + x 1 = E Daraus erhält man die folgenden Nachfragefunktionen in Abhängigkeit vom Einkommen (Engel-Kurven) x 1 (E) = E/4 x (E) = 0,5 x 1 = E/8 Somit steigt die Nachfrage nach x 1 bzw. nach x mit zunehmendem Einkommen. Es handelt sich bei der vorgegebenen Nutzenfunktion sowohl bei x 1 als auch bei x um ein normales Gut.. Abb..13 Beispiel zur Berechnung von Engelkurven kaum Produktinnovationen stattfinden. Die Folge ist, dass das Versicherungsprämienvolumen ab einem bestimmten Volkseinkommen stagniert bzw. zurückgeht. Ein möglicher Ausweg aus diesem Dilemma wäre die intensivere»bearbeitung«der Versicherungsmärkte in den Entwicklungs- und Schwellenländern, wo die Versicherungsnachfrage aufgrund des dort herrschenden geringeren Einkommensniveaus noch ein normales Verhalten aufweist. 10 Engel-Kurven Aus der Einkommens-Konsum-Kurve kann man die sogenannten Engel-Kurven herleiten. Sie gibt den Zusammenhang zwischen Einkommen und Güternachfrage wieder. Abb..13. Aus obigem Beispiel kann man bei gegebenem Einkommen von 40, 60 und 80 den optimalen Konsumplan aus der folgenden. Abb..14 ablesen. Analog lassen sich die optimalen Güterbündel bei anderen Einkommensniveaus ermitteln. Die Einkommens-Konsum- Kurve hat hier einen linearen Verlauf. Aus der obigen Einkommens-Konsum-Kurve (vgl.. Abb.14) können die sogenannten Engel-Kurven für die beiden Güter x 1 und x graphisch hergeleitet werden. Die Güternachfrage x in Abhängigkeit vom Einkommen E gilt die folgende graphische Herleitung (vgl.. Abb..15). Man beachte dabei, dass die Achsen, die nebeneinander stehen, gleich beschriftet sind (hier x ). 10 Jedoch ist dies lediglich eine vorübergehende Lösung, bis das Einkommen in den Entwicklungs- und Schwellenländern ein Niveau erreicht, ab dem die Nachfrage nach Versicherungsprodukten ein inferiores Verhalten aufweist.

20 84 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie x E 3 =80 E =60 Einkommens-Konsum-Kurve E 1 = ,5 5 U U 3 U x 1. Abb..14 Optimaler Konsumplan bei verschiedenen Einkommensniveaus Analog leitet man die Engelkurve für das Gut x 1 graphisch ab (vgl.. Abb..16). Man beachte dabei, dass die Achsen, die untereinander stehen, gleich beschriftet sind (hier x 1 )...5 Einfluss des Preises auf die Güternachfrage Analog zum Einkommen kann der Preis variiert werden. Nachfolgend wird angenommen, dass der Preis p für das Gut x konstant bleibt, während der Preis p 1 für Gut x 1 variiert. Wir wissen, dass eine Preiserhöhung eine Drehung der Budgetgeraden nach innen bewirkt. Umgekehrt hat eine Preissenkung eine Drehung der Budgetgeraden nach außen als Folge. Preis-Konsum-Kurven Die Verbindungslinie aller Tangentialpunkte bei fortlaufender Preisvariation wird als Preis-Konsum-Kurve bezeichnet (vgl.. Abb..17). Aus der obigen Abbildung ist festzustellen: Die Nachfrage nach x 1 steigt, wenn der Preis von x 1 fällt. Die Nachfrage nach x sinkt, wenn der Preis von x 1 fällt. substitutive und komplementäre Güter Auswirkung für die Unternehmensplanung Es handelt sich bei den Güter x 1 und x somit um substitutive Güter (beispielsweise Tee und Kaffee oder Butter und Margarine). Steigt dagegen die Nachfrage nach Gut x 1 als auch nach Gut x an, wenn der Preis p 1 sinkt, so handelt es sich um komplementäre Güter (beispielsweise Tee und Zucker, Auto und Benzin). Für die Unternehmensplanung ist es somit nicht nur erforderlich, die eigenen Preise zu beobachten. Auch die Preise substitutiver Güter

21 85. Haushaltstheorie x x E 3 =80 E =60 Einkommens-Konsum-Kurve Engel-Kurve für x = E/8 E 1 = , ,5 5 U U 3 U E x 1. Abb..15 Herleitung der Egelkurve aus Einkommen-Konsumkurve (Teil1) x x E 3 =80 E =60 Einkommens-Konsum-Kurve Engel-Kurve für x = E/8 E 1 = ,5 5 7,5 5 U U 3 U E x 1 E E Engel-Kurve für x 1 = E/ E x 1. Abb..16 Herleitung der Engelkurve aus Einkommens-Konsumkurve (Teil)

22 86 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie x U 1 U U 1 Preis-Konsum-Kurve x 1. Abb..17 Preis-Konsum-Kurve bzw. komplementärer Güter können die Nachfrage nach den eigenen Produkten beeinflussen, selbst wenn deren Preise sich nicht ändern: Ein höherer Benzinpreis führt dazu, dass das komplementäre Produkt»Auto«weniger nachgefragt wird. Dies hat wiederum einen negativen Effekt auf die Nachfrage nach Kfz-Haftpflichtversicherungen. Hier sieht man, dass die Nachfrage nach Autos und Kfz-Haftpflichtversicherungen zurückgehen kann, obwohl deren Preise sich nicht geändert haben. Ein Beispiel für ein substitutives Produkt wäre Bahnfahren. Wenn das Bahnfahren teurer wird, würden manche Individuen auf das Auto umsteigen. Die Folge ist, dass die Nachfrage nach Autos und damit die Nachfrage nach Kfz-Haftpflichtversicherungen steigen, auch wenn deren Preise gleich geblieben sind (. Abb..18). Giffen-Gut Die Preis-Konsum-Kurve kann auch einen anormalen Verlauf haben, d. h.: die Nachfrage geht zurück, wenn der Preis sinkt. Mit anderen Worten: Die Nachfrage nach einem Gut steigt, obwohl sein Preis steigt (vgl.. Abb..19). Ein solcher Fall wurde Mitte des 19. Jahrhunderts von Robert Giffen beobachtet. 11 Mit steigendem Brotpreis stieg die Nachfrage der ärmeren Bevölkerungsschichten nach Brot an. zz Erklärung: Vor der Preiserhöhung hat der Haushalt das Einkommen auf Brot und höherwertige Nahrungsmittel (beispielsweise Fleisch) so aufgeteilt, 11 Sir Robert Giffen (geboren 1837 in Strathaven, Schottland; gestorben 1910 in Fort Augustus, Schottland) war ein britischer Statistiker und Ökonom sowie Begründer des Giffen-Paradoxon.

23 87. Haushaltstheorie x Preis-Konsum-Kurve komplementäre Güter U 3 U 1 U x 1. Abb..18 Preis-Konsum-Kurve (komplementäre Güter) x Preis-Konsum-Kurve Giffen-Gut U 3 U U 1 x 1. Abb..19 Preis-Konsum-Kurve (Giffen-Gut) dass seine Existenz gerade gesichert war. Nach der Preiserhöhung von Brot musste der Haushalt ganz oder teilweise auf höherwertige Nahrungsmittel verzichten und verstärkt Brot konsumieren, um eine Grundversorgung mit Nahrungsmitteln zu gewährleisten. Neben substitutiven und komplementären Gütern gibt es die sogenannten indifferenten Güter. Es sind zwei Güter, die in keinem Zusammenhang (weder komplementär noch substitutiv) zueinander stehen. Folglich ändert sich die Nachfrage nach einem Gut auch nicht, wenn der Preis des anderen Guts steigt oder fällt. Wenn z. B. der Preis indifferente Güter

24 88 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie U = U(x 1,x ) = x 1 x sowie p 1 =?, p = 4 und E = 40 Im Nutzenoptimum muss die Bedingung: U U P / = 1 x 1 x 1 P gelten. Mit U = x U bzw. x 1 x = x 1 folgt aus der Bedingung für ein Nutzenoptimum, dass x P = 1 P 1 P = x 1 = x 1 x 1 P 4 4 Aufgrund der Einkommensbeschränkung muss die folgende Beziehung gelten: p 1 x 1 + p x = E p 1 x P 1 4 x 1 = 40 p 1 x 1 = 40 Darus erhält man die folgenden Nachfragefunktionen in Abhängigkeit vom Preis p 1 (Nachfragekurven) 0 P 0 x 1 1 (p 1 ) = und x = = 5 P (p 1 ) 1 4 P 1 Somit sinkt die Nachfrage nach x 1 mit steigendem Preis p 1, während die Nachfrage nach x unabhängig ist vom Preis p 1.. Abb..0 Beispiel für indifferente Güter für Brot steigt, ist kaum damit zu rechnen, dass sich die Nachfrage nach Kfz-Haftpflichtversicherungen ändert (. Abb..0). Handelt es sich im obigen Beispiel bei den Gütern x 1 und x um substitutive oder komplementäre Güter? Die Antwort lautet:»weder noch«. Da die Nachfrage nach x völlig unabhängig ist vom Preis p 1, handelt es sich bei den Gütern x 1 und x um indifferente Güter. Substitutions- und Einkommenseffekt Die Auswirkungen einer Preisänderung auf die Nachfrage sollen nun etwas näher analysiert werden. Wir betrachten den Fall einer Preissenkung von p 1 für das Gut x 1. Die Preissenkung bedeutet eine Drehung der Budgetgeraden nach draußen. Durch die Preissenkung wird das Individuum nun das Güterbündel B (anstatt A) realisieren (vgl.. Abb..1). Der Gesamteffekt einer Preisänderung lässt sich wie folgt untergliedern. Zunächst wird ein fiktives Güterbündel C hergeleitet. Das

25 89. Haushaltstheorie x x A B A C B U 1 U Se 1 Ee 1 U 1 U x 1 x 1. Abb..1 Einkommens- und Substitutionseffekt einer Preissenkung Güterbündel C erhält man aus der Parallelverschiebung der verdrehten Budgetgeraden an die ursprüngliche Indifferenzkurve U 1. Der Substitutionseffekt (Se) erfasst die Auswirkungen einer Preisänderung auf die Nachfrage, wobei unterstellt wird, dass der Haushalt auf seiner ursprünglichen Indifferenzkurve bleibt. Graphisch bedeutet dies eine Wanderung entlang der Indifferenzkurve U 1 von A nach C. Im Punkt C ist zwar das neue Preisverhältnis zwischen den beiden Gütern x 1 und x schon berücksichtigt (ausgedrückt in der Steigung der neuen Budgetgeraden). Jedoch ist der Einkommenseffekt der Preisänderung hier ausgeschlossen, da sich das Individuum auf der gleichen Indifferenzkurve wie A befindet und somit das gleiche Nutzenniveau wie vorher hat. Es handelt sich somit bei der Bewegung von A nach C lediglich um einen Substitutionseffekt, da hier die relativen Preise sich geändert haben. Infolge der Preissenkung erreicht der Haushalt jedoch eine höhere Indifferenzkurve. Diese wäre bei konstanten Preisen nur durch eine Einkommenserhöhung erreichbar gewesen. Die Preissenkung bewirkt somit effektiv eine Einkommenserhöhung ( = Erhöhung der Kaufkraft). Graphisch bedeutet dieser implizite Einkommenseffekt (Ee) die Bewegung vom Punkt C zum Punkt B. Bei der parallelen Bewegung von C nach B ändert sich die Steigung der Budgetgeraden nicht, d. h.: die relativen Preise bleiben konstant ( = kein Substitutionseffekt). Die Parallelverschiebung ist auf eine effektive Einkommenserhöhung zurückzuführen, so dass es sich um den reinen Einkommenseffekt einer Preisänderung handelt. Substitutionseffekt Einkommenseffekt Wichtig zu betonen ist, dass das Gütebündel C im Gegensatz zu A und B ein fiktives Gedankenkonstrukt und in der Realität nicht be-

26 90 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Gegeben ist die folgende Einkommens-Konsum-Funktion E x = 4 Die Einkommenselastizität lässt sich wie folgt berechnen: dx de 1 = 4 dx E 1 E (x,e) = = = 1, de x 4 x d. h.: wenn das Einkommen um 1 % steigt, nimmt die Güternachfrage nach Gut x auch um 1 % zu.. Abb.. Beispiel Einkommenselastizität obachtbar ist. Vor der Preisänderung wurde A nachgefragt, und nach der Preisänderung B...6 Nachfrageelastizitäten Die Nachfrageelastizität gibt an, wie elastisch die Nachfrage auf mögliche Einkommens- oder Preisänderungen reagiert. Einkommenselastizität Die Einkommenselastizität entspricht dem Verhältnis zwischen der prozentualen Nachfrageänderung und der prozentualen Einkommensveränderung. Anders ausgedrückt: die Einkommenselastizität gibt an, um wie viele Prozente sich die Nachfrage nach einem Gut ändert, wenn das Einkommen um ein Prozent erhöht wird (. Abb..). ε(x,e) = dx/x de/e = dx E de x (.8) Die Einkommenselastizität eines normalen Gutes ist positiv, da Nachfrage- und Einkommensänderung gleichgerichtet sind, d. h.: dx und de haben das gleiche Vorzeichen. Hingegen ist die Einkommenselastizität von inferioren Gütern negativ, da Nachfrage- und Einkommensänderung entgegengerichtet sind. Je nachdem, wie groß ε ist, spricht man von einer überproportional elastischen Güternachfrage (ε > 1), einer proportional elastischen Güternachfrage (ε = 1) oder einer unterproportional elastischen Güternachfrage (ε < 1),

27 91. Haushaltstheorie Gegeben ist die Güternachfrage x(p) = x 0 P Die Preiselastizität dieser Güternachfrage beträgt dx / x dx P (x,p) = = = dp / P dp x 1, d. h.: Wenn der Preis um 1 % steigt, wird die Nachfrage nach dem Gut um 1 % sinken. Bei normalem Verlauf der Nachfragefunktion ist der Wert der Preiselastizität negativ, da Preis und Nachfrageänderung entgegengerichtet sind: Eine Preissenkung (dp < 0) führt zu einer Nachfrageerhöhung (dx > 0). Die Preiselastizität eines Giffen-Gutes ist positiv, da in diesem Fall eine Preiserhöhung einen Nachfrageanstieg zur Folge hat.. Abb..4 Völlig elastische Nachfragekurve p. Abb..3 Beispiel Preiselastizität Preiselastizität Analog zur Einkommenselastizität entspricht die Preiselastizität dem Verhältnis zwischen der prozentualen Nachfrageänderung und der prozentualen Preisveränderung. Mit anderen Worten: die Preiselastizität gibt an, um wie viel Prozent sich die Nachfrage nach einem Gut ändert, wenn der Preis um ein Prozent steigt (. Abb..3). ε(x,p) = dx/x dp/p = dx p dp x (.9) Spezialfälle Bei der Preiselastizität gibt es zwei Extremfälle, bei denen die Güternachfrage einen senkrechten oder ein waagrechten Verlauf haben (vgl. Abb.4 und.5). In der Regel liegt die Güternachfrage zwischen diesen beiden Extremen und hat einen fallenden Verlauf. Wenn die Nachfrage eher elastisch (unelastisch) ist, verläuft die Nachfragekurve steiler (flacher). Völlig elastische Nachfragekurve Bereits kleinste Preisänderungen haben eine unendlich große Mengenänderung zur Folge (vgl.. Abb..4). Völlig unelastische Nachfragekurve Die nachgefragte Menge ist hier völlig unabhängig vom Preis, so dass eine Preisänderung absolut keine Nachfrageänderung auslösen kann (vgl.. Abb..5). Wichtig zu betonen ist die Tatsache, dass sich die Nachfrageelastizität im Laufe der Zeit verändern kann. Es stellt sich die Frage, ob die Nachfrage nach Versicherungsprodukten eher preiselastisch oder eher preisunelastisch ist und ob die Nachfrageelastizität bei Versicherungsprodukten in den letzten Jahren gestiegen ist. mögliche Veränderungen der Nachfrageelastizität

28 9 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie x(p) Im Allgemeinen kann aus der mikroökonomischen Analyse die Schlussfolgerung gezogen werden, dass die Nachfrageelastizität umso größer ist, je ähnlicher die Produkte sind und je geringer die Such- und Wechselkosten sind.. Abb..5 völlig unelastische Nachfragekurve geringere Suchkosten geringere Wechselkosten p Im ersten Fall sind die Produkte in der Wahrnehmung der Konsumenten kaum voneinander unterscheidbar, so dass der Wettbewerb eher über den Preis erfolgt. Dies ist z. B. bei Versicherungsprodukten der Fall, da Versicherungsprodukte ein abstraktes Schutzversprechen darstellen und ihre Qualität in der Wahrnehmung der Versicherungsnehmer nicht unterscheidbar ist. 1 Somit wird der Wettbewerb bei Kfz- Versicherungsprodukten hauptsächlich über den Preis ausgetragen, mit der Folge, dass die Nachfrageelastizität relativ hoch ist. Des Weiteren steigt die Nachfrageelastizität im Laufe der Zeit, wenn die Such- und Wechselkosten sinken, denn die Konsumenten sind nur bereit, auf ein anderes Produkt zu wechseln, wenn der Vorteil durch den Wechsel ( = Preisdifferenz) den Nachteil des Wechsels (Kosten für Informationssuche, eventuell vorhandene Vertragsstrafen) überwiegt. Durch das Internet wird die Bereitstellung von Informationen immer günstiger. Für die Versicherungsbranche ist in den letzten Jahren zu beobachten, dass der Gesetzgeber und die Rechtssprechung zugunsten des Wettbewerbs Maßnahmen ergreifen, welche die Wechselkosten drastisch senken (z. B. die Mitnahmemöglichkeiten der Altersrückstellung in der privaten Krankenversicherung oder der Mindestrückkaufwert in der Lebensversicherung). Diese Entwicklungen zu geringeren Such- und Wechselkosten führten dazu, dass die Nachfrageelastizität der Versicherungsprodukte in den letzten Jahren zugenommen hat. Die Versicherungsprämie wird mehr und mehr vom Markt vorgegeben. Der einzelne Versicherer muss sich zunehmend als sogenannter»mengenanpasser«13 verhalten, will er sich nicht ganz vom Markt verabschieden. 1 Eine Kfz-Haftpflichtversicherung bei der Allianz ist z. B. in den Augen des Versicherungsnehmers mehr oder weniger gleich einer Kfz-Haftpflichtversicherung bei der Württembergischen oder einer anderen Versicherungsgesellschaft. 13 Mengenanpasser-Verhalten bedeutet im Allgemeinen, dass der Produzent den Marktpreis als gegeben akzeptiert und die produzierte Menge so anpasst, dass sein Gewinn maximiert wird. Dies trifft v. a. bei der Marktform Polypol zu.

29 93.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot Wir befassen uns in diesem Abschnitt mit der Versicherungsnachfragetheorie. Ähnlich wie in der Haushaltstheorie, wo der optimale Konsumplan gesucht wird, ist die Frage nach dem optimalen Versicherungsschutz ein zentraler Punkt in der Versicherungsnachfragetheorie. Wieso fragen die Individuen Versicherungsschutz nach? Ist es immer optimal, sich gegen jedes Risiko voll zu versichern? Welche Verhaltensänderungen ergeben sich aus der Existenz des Versicherungsschutzes? Diese und ähnliche Fragen versuchen wir, im vorliegenden Abschnitt mit Hilfe des nutzenoptimierenden Kalküls der Individuen zu beantworten. Das folgende einfache Modell soll dazu dienen, die nutzenerhöhende Wirkung von Versicherungsschutz zu verdeutlichen und die individuelle Versicherungsnachfrage näher zu analysieren. 14 optimaler Versicherungsschutz.3.1 Annahmen des Grundmodells Über das Geschehen auf dem Versicherungsmarkt werden folgende, vereinfachende Annahmen gemacht. Es wird nur die Entscheidungssituation eines einzelnen repräsentativen Individuums betracht, dessen Verhalten auf alle anderen Individuen übertragbar ist, d. h.: die Nutzenfunktion eine repräsentativen Individuums ist für alle anderen übertragbar. Der repräsentative Versicherungsnehmer wählt aus den angebotenen Versicherungskontrakten denjenigen Versicherungsvertrag aus, der seinen Erwartungsnutzen gemäß Nutzenfunktion maximiert. Es werden nur solche Versicherungskontrakte angeboten, die keinen Verlust verursachen. Ein Gleichgewicht auf einem kompetitiven Versicherungsmarkt herrscht dann, wenn es für kein Versicherungsunternehmen mehr möglich ist, weitere Versicherungskontrakte abzusetzen und damit einen positiven Gewinn zu erwirtschaften. 14 Das hier vorgestellte Modelle basiert auf den theoretischen Arbeiten von Mossin, J.: Aspects of Rational Insurance Purchasing, in: Journal of Political Economy, Bd. 76 (1968), S ; Pauly, M. V.: Overinsurance and public provision of insurance: The role of moral hazard and adverse selection, in: Quarterly Journal of Economics, Bd. 88 (1974), S. 44 6; Rothschild, M./J. Stiglitz: Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information, in: Quarterly Journal of Economics, Bd. 90 (1976), S Vgl. auch Zweifel, P./Eisen, R.: Versicherungsökonomie,. Auflage, Springer-Verlag, Berlin et al. 003 sowie Schulenburg, J.-M.: Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 005.

30 94 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie U. Abb..6 Individuelle Nutzenfunktion individuelle Nutzenfunktion U(v) v Die Schadenwahrscheinlichkeit aller Individuen ist voneinander unabhängig; es liegen somit weder Ansteckungs- noch Kumulrisiken vor Die Nutzenfunktion U(v) eines repräsentativen Individuums sei eine steigende Funktion des Vermögens v. Wir nehmen wie in der mikroökonomischer Analyse üblich an, dass das Gesetz von abnehmenden Grenzerträgen gelte, d. h.: der Grenznutzen einer zusätzlichen Geldeinheit sinkt mit zunehmendem Einkommen (vgl.. Abb..6). Es gilt also: U (v) > 0 und U (v) < Ausgangsbeispiel Ein repräsentatives Individuum habe ein anfängliches Vermögen in Höhe von v a (beispielsweise ein Haus). Dieses Haus könnte im Laufe einer bestimmten Periode mit einer Wahrscheinlichkeit von p durch Stürme beschädigt werden. Der dadurch entstehende Sachschaden betrage L (L: Loss). Schließt das Individuum keine Versicherung gegen Sturmschäden ab, so ergeben sich für seine Vermögensposition am Ende der Periode folgende Möglichkeiten (vgl.. Abb..7). Das Individuum könnte sich durch eine Versicherung vor Sturmschäden schützen. Der Versicherer zahle im Schadensfall eine Versicherungsleistung in Höhe von I (I: Indemnity). Vollversicherungsvertrag und proportionaler Selbstbeteiligungsvertrag Prämiensatz Proportionaler Zuschlag I = αl. I kompensiert ganz oder nur teilweise den Schaden L. Bei α = 1 handelt es sich um einen Vollversicherungsvertrag und bei α < 1 um einen proportionalen Selbstbeteiligungsvertrag. Um diesen Versicherungsschutz zu bekommen, zahle das Individuum eine Versicherungsprämie in Höhe von P = πi, wobei π den Prämiensatz bedeute. Der Prämiensatz π ist der Faktor, mit dem der Versicherer aufgrund seiner Erfahrungen die Prämie kalkuliert, wobei u. a. folgende Faktoren berücksichtigt werden: die erwartete Schadenzahlung E(I) = p I, die Abschlusskosten, die Verwaltungskosten, die erwarteten Schadenabwicklungskosten. Um die eigenen Verwaltungskosten zu decken, erhebe das Versicherungsunternehmen einen proportionalen Zuschlag in Höhe von β auf die Nettoprämie.

31 95.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot Mit diesem Zuschlag sollen die Abschlusskosten, die Verwaltungskosten sowie die Schadenabwicklungskosten abgedeckt werden. Somit beträgt die Bruttoversicherungsprämie: 1 - P v a P = (1 + β) p I bzw. v a π = (1 + β) p. P v a - L Nach Abschluss des Versicherungsvertrags ergeben sich für das Individuum am Ende der betrachteten Periode je nach dem, ob ein Schaden eingetreten ist oder nicht, die folgenden, in. Abb..8 abgebildeten, möglichen Vermögenspositionen. 15. Abb..7 Vermögenssituation ohne Versicherung.3.3 Der optimale Versicherungsschutz Das Individuum wählt den Umfang α des Versicherungsschutzes derart, dass sein erwarteter Nutzen maximiert wird, d. h.: max. E(U(v)) = (1 p) U(v 1 ) + pu (v ) (.10) mit v 1 = v a π I = v a (1 + β) p I v = v a L π I + I = v a L (1 + β) p I + I. v 1 : Vermögenssituation am Ende der Periode, wenn kein Schaden eingetreten ist v : Vermögenssituation am Ende der Periode, wenn ein Schaden in Höhe von L eingetreten ist I: vereinbarte Versicherungsleistung mit I = α L P: Versicherungsprämie mit P = (1 + β) p I L: Schadenhöhe α: Deckungsgrad p: Schadenwahrscheinlichkeit β: Kostenzuschlag Das Individuum maximiert somit die folgende Erwartungsnutzenfunktion: max.: E(U(v)) = (1 p) U(v a (1 + β) pαl) + p U(v a L (1 + β) pαl + αl) 15 Vgl. Schulenburg, J.-M.: Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 005, S. 63 f.

32 96 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v a 1-P P. Abb..8 Vermögenssituation mit Versicherungsschutz notwendige Bedingung v a πi v a L π I + I Die notwendige Bedingung für ein Maximum lautet: (1 p) U (v 1 ) 1 + β) p L + p U (v ) (L (1 + β) p L) = 0 bzw. p U (v ) (L (1 + β) p L) = (1 p) U (v 1 ) (1 + β) p L bzw. p L U (v ) (1 p pβ) = U(v 1 ) (1 p + β pβ) p L bzw. U (v ) U (v 1 ) = 1 p + β pβ 1 p pβ (.11) Aus der obigen Bedingung (.11) können wir die folgende Schlussfolgerungen ziehen: Ist der Kostenzuschlag β = 0, dann ist 1 p + β pβ 1 p pβ U (v ) U (v 1 ) = 1 bzw. = 1, d. h. U (v ) = U (v 1 ) bzw. v = v 1. In diesem Fall ist die Vermögenssituation des Individuums am Ende der Periode davon unabhängig, ob während der Periode ein Schaden eingetreten ist oder nicht. Dies kann nur erreicht werden, wenn das Individuum einen Vollversicherungsvertrag abgeschlossen hat, d. h.: α = 1 bzw. I = L. zz Folgerung: Ist der Kostenzuschlag gleich Null, d. h.: Verlangt der Versicherer eine Prämie, die genau dem Erwartungswert der Schadenzahlung entspricht (faire Prämie), so ist es optimal für den Versicherten, den vollen Versicherungsschutz zu wählen. 16 Ist dagegen der Kostenzuschlag β positiv, dann ist 1 p + β pβ 1 p pβ > 1, d. h. U (v ) U (v 1 ) > 1 bzw. 16 Vgl. Smith, V. L.: Optimal Insurance Coverage, in: Journal of Political Economy, Bd. 76 (1968), S. 70 sowie Kim, B. J./Schlesinger, H.: Adverse Selection in an Insurance Market with Government-guaranteed Subsistence Levels, in: Journal of Risk and Insurance, Bd. 7 (005), S. 6.

33 97.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot v v 1 = v v a L Sicherheitsgerade v a -L A v a v 1. Abb..9 Sicherheitsgerade U (v ) > U (v 1 ) bzw. v < v 1. Letzte Beziehung folgt aus der annahmegemäß (Gesetz von abnehmenden Grenzerträgen) negativen Steigung der ersten Ableitung der Nutzenfunktion (konkaver Verlauf!). Wenn das Vermögen im Schadensfall v kleiner ist als im Nichtschadensfall v 1, dann hat das Individuum keinen Vollversicherungsschutz gekauft, d. h.: I < L bzw. α < 1. zz Folgerung: Ist der Kostenzuschlag größer Null, d. h.: Verlangt der Versicherer mehr als den Erwartungswert der Versicherungsleistung, so ist es optimal für den Versicherten, sich nicht voll zu versichern..3.4 Herleitung der Versicherungsgeraden Im Folgenden sollen die durch Versicherung erreichbaren Vermögenspositionen am Ende der Periode graphisch hergeleitet werden (. Abb..9). Je nach dem, ob das Individuum einen Versicherungsvertrag abgeschlossen hat, sind folgende Vermögenspositionen am Ende der Periode möglich Vgl. Rothschild, M./J. Stiglitz: Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information, in: Quarterly Journal of Economics, Bd. 90 (1976), S. 633.

34 98 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v 1 = v v a L B Versicherungsgerade v a -L A P v a -P v a v 1. Abb..30 Versicherungsgerade Schließt das Individuum keinen Versicherungsvertrag (α = 0), so befindet sich seine Vermögensposition am Ende der Periode im Punkt A. Entweder ist kein Schaden eingetreten, so hat das Individuum sein Anfangsvermögen v 1 = v a wieder, oder ist ein Schaden eingetreten, so dass sein Anfangsvermögen auf v = v a L sinkt. Wählt das Individuum dagegen die Vollversicherung (α = 1), so beträgt seine Vermögenssituation am Ende der Periode v 1 = v = v a P mit P = π I, unabhängig davon, ob ein Schaden in der Periode eingetreten ist oder nicht. Dies wird im Punkt B verdeutlicht. Der Punkt B liegt auf der Winkelhalbierenden, die auch als Sicherheitslinie bezeichnet wird (. Abb..30). Neben der Voll- und Nichtversicherung (α = 1 bzw. α = 0) sind auch andere Deckungsgrade von α zwischen Null und Eins denkbar. Für den Fall der Proportionalität von Prämie und Deckungsgrad ergibt sich als geometrischer Ort aller möglichen Vermögenspositionen am Ende der Periode die Verbindungslinie AB. Die Gleichung für den geometrischen Ort aller durch Versicherung erreichbaren Vermögenspositionen kann wie folgt hergeleitet werden. Die Punkte A und B haben die Koordinaten A(v a, v a L), B(v a P, v a P),

35 99.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot Für = 0, beträgt die Steigung der Versicherungsgeraden m = -4, d. h.: bei einer Versicherungsprämie von 1 EUR würde das individuum im Schadensfall eine Versicherungseistung i. H. v. 4 EUR erhalten. Entspricht der Zuschlagsfaktor genau der Schadenwahrscheinlichkeit p ( = faire Prämie), so beträgt die Steigung der Versicherungsgeraden m = 1-P P. Auf dieses Ergebnis werden wir später zurückkommen.. Abb..31 Beispiel: Steigung der Versicherungsgeraden wobei P = π I = π L, da im Punkt B Vollversicherung gewählt wird, so dass I = L gilt. Setzt man die Koordinaten von A und B in die allgemeine Gradengleichung v = mv 1 + t ein, so erhält man die Beziehungen: v a L = mv a + t v a π L = m(v a π L) + t. Nach Umformungen erhält man für die Steigung der Versicherungsgeraden m = 1 π π. Die Steigung der Versicherungsgeraden, auch Grenzrate der Transformation genannt, gibt an, in welchem Verhältnis das Vermögen im Schadensfall (v ) durch Abschluss eines Versicherungsvertrags bei gleichzeitiger Verminderung des Vermögens im Nichtschadensfall (v 1 ) erhöht werden kann (. Abb..31). 18 Grenzrate der Transformation.3.5 Indifferenzkurven Ob und in welchem Umfang Versicherung nachgefragt wird, hängt insbesondere von den Präferenzen des Individuums ab. Nach dem Präferenzen des Individuums 18 Vgl. Zweifel, P./Eisen, R.: Versicherungsökonomie,. Auflage, Springer-Verlag, Berlin et al. 003, S. 86 sowie Schulenburg, J.-M.: Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 005, S. 70.

36 100 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Erwartungsnutzentheorem wird sich ein Individuum unter Unsicherheit so entscheiden, dass sein Erwartungsnutzen maximiert wird, d. h. max.e(u(v)) = (1 p) U(v 1 ) + p U(v ) Die Nutzenfunktion eines Individuums lässt sich als Indifferenzkurve darstellen. Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller v 1 -v -Kombinationen gleichen Erwartungsnutzens. Durch totales Differenzieren der Erwartungsnutzenfunktion erhält man: de (U(v)) = (1 p) U (v 1 ) dv 1 + p U(v ) dv Entlang der Indifferenzkurve ändert sich der Erwartungsnutzen nicht, so dass Daraus folgt: de(u(v)) = 0. (1 p) U (v 1 ) dv 1 + p U (v ) dv = 0 bzw. dv = 1 p U (v 1 ) dv 1 p U (v ). Grenzrate der Substitution dv dv 1 wird auch als Grenzrate der Substitution bezeichnet. Die Grenzrate der Substitution gibt an, wie hoch der Vermögensbetrag für ein Individuum sein muss, den es im Schadensfall als Kompensation für den Verzicht einer Vermögenseinheit für die Zahlung der Prämie bekommt. Graphisch entspricht die Grenzrate der Substitution der Steigung der Indifferenzkurve. Analog zur Haushaltstheorie gilt auch hier: Je weiter eine Indifferenzkurve vom Ursprung entfernt ist, desto höher ist der damit verbundene Erwartungsnutzen. Da sich die Steigung der Indifferenzkurven allgemein durch die Formel dv = 1 p U (v 1 ) dv 1 p U (v ). berechnen lässt, beträgt die Steigung der Indifferenzkurve entlang der Sicherheitslinie (v 1 = v, und damit U (v 1 ) = U (v )) dv = 1 p dv 1 p. Die Indifferenzkurven haben also entlang der Sicherheitslinie immer die gleiche Steigung (vgl.. Abb..3). Aufgrund des konvexen Kurvenverlaufs ist die Steigung der Indifferenzkurve unterhalb der Winkelhalbierenden betragsmäßig kleiner als 1 p p.

37 101.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot v v 1 = v Indifferenzkurven 1 P P v a v 1. Abb..3 Indifferenzkurven.3.6 Versicherungsoptimum Aus den Indifferenzkurven und den durch die Versicherungsgerade gegebenen Versicherungsmöglichkeiten lässt sich das Versicherungsoptimum ableiten. Das Individuum maximiert seinen Nutzen, indem es die Indifferenzkurve so weit nach außen verschiebt, dass noch ein gemeinsamer Punkt zwischen der Indifferenzkurve und der Versicherungsgeraden (Tangentialpunkt) existiert. Das Versicherungsoptimum liegt somit im Tangentialpunkt B zwischen der Indifferenzkurve und der Versicherungsgeraden. Im Tangentialpunkt B müssen die beiden Steigungen übereinstimmen. Es gilt also die optimale Bedingung: 1 p p U (v 1 ) U (v ) = 1 π π (Steigung der Indifferenzkurve = Steigung der Versicherungsgeraden) Fall 1: Faire Prämie Wird eine faire Prämie 19 erhoben, d. h.: p = π, folgt aus der optimalen Bedingung 19 Eine faire Versicherungsprämie stellt sich dann ein, wenn auf dem Versicherungsmarkt freier Markteintritt und vollkommener Wettbewerb herrschen. Vgl. Rothschild, M./J. Stiglitz: Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information, in: Quarterly Journal of Economics, Bd. 90 (1976), S. 634.

38 10 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie. Abb..33 Versicherungsoptimum ohne Kostenzuschlag 1 p p U (v 1 ) U (v ) = 1 π π, dass U (v 1 ) = U (v ) bzw. v 1 = v. Dies impliziert, dass der Vermögensstand am Ende der Periode der gleiche ist unabhängig davon, ob der Schadenfall eingetreten ist oder nicht. In diesem Fall muss das Individuum den vollen Versicherungsschutz gewählt haben (vgl.. Abb..33). Fall : Proportionaler Zuschlag Wird ein proportionaler Zuschlag erhoben, d. h.: der Prämiensatz betrage π = (1 + β) p und ist damit größer als die Schadenwahrscheinlichkeit p, so gilt π > p 1 π < 1 p 1 π π < 1 p π < 1 p p,

39 103.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot so ist die Steigung der Versicherungsgeraden (absolut) kleiner als die Steigung der Indifferenzkurven bei v1 = v. Das Versicherungsoptimum muss somit unterhalb der Sicherheitsgeraden liegen. Folglich ist der optimale Deckungsgrad kleiner als 1. Das Individuum wünscht in diesem Fall keinen vollen Versicherungsschutz. 1 p p U (v 1 ) U (v ) = 1 π π bzw. U (v 1 ) U (v ) = 1 π π / 1 p p U (v 1 ) = U (v ) bzw. v 1 > v < 1 zz Satz von Smith 0» Übersteigt die Prämie den Erwartungsschaden, so ist es nicht optimal, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen «Die Erhebung eines proportionalen Zuschlages bewirkt in der obigen. Abb..34 eine Drehung der Versicherungsgeraden nach unten. Im Versicherungsoptimum T wird kein voller Versicherungsschutz nachgefragt. Fall 3: Fixer Zuschlag Um die Betriebskosten und den Sicherheitszuschlag zu finanzieren, könnte das Versicherungsunternehmen auch einen fixen Zuschlag Z zu der fairen Prämie erheben. Das Individuum maximiert in diesem Fall die folgende Erwartungsnutzenfunktion: max. E(U(v)) = (1 p) U(v a pαl Z) + p U(v a L pαl Z + αl) Die notwendige Bedingung für ein Nutzenmaximum lautet: (1 p) U (v 1 ) p L + p U (v )(L pl) = 0 bzw. p U (v )(L p L) = (1 p)u (v 1 )p L bzw. U (v ) = U (v 1 ) v = v 1. 0 Vgl. Smith, V. L.: Optimal Insurance Coverage, in: Journal of Political Economy, Bd. 76 (1968), S. 70 f.

40 104 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v 1 = v v a L B T v a - L A v a v 1. Abb..34 Versicherungsoptimum mit proportionalem Zuschlag Das heißt, in diesem Fall wird das Individuum den vollen Versicherungsschutz nachfragen (. Abb..35). Die Erhebung des fixen Zuschlags bewirkt eine Parallelverschiebung der Versicherungsgeraden nach unten (vgl.. Abb..36). Es kann auch der Fall eintreten, dass der fixe Zuschlag so hoch ausfällt, dass das Individuum ganz auf Versicherungsschutz verzichtet. zz Satz von Pauly:» Bei fixen Zuschlägen ist es für den Versicherungsnehmer entweder optimal, sich voll zu versichern oder sich gar nicht zu versichern. «Entweder ist der Zuschlag so hoch, dass lieber kein Versicherungsschutz gekauft wird (α = 0). Der Zuschlag wird von den Versicherungsnehmern als Einstiegsbarriere empfunden. Es handelt sich hier um eine Randlösung. Oder aber der fixe Zuschlag ist so gering, dass sich das Individuum entscheidet, Versicherungsschutz zu kaufen. In diesem Fall muss der Zuschlag in voller Höhe bezahlt werden, egal wie viel Versicherungsschutz gekauft wird. Der Zuschlag stellt aus der Sicht des Versicherungsnehmers sog.»sunk Costs«dar, die bei der Nutzenoptimierung keine Rolle spielen, da der Zuschlag für alle Deckungsgrade α > 0 (innere Lösung) immer anfällt. optimaler Kostenzuschlag Für den Versicherer ist es immer sinnvoll, den maximalen fixen Kostenzuschlag zu erheben, bei dem ein Versicherungsvertrag noch zustande kommt. Denn durch eine solche Strategie wird sein Gewinn maximiert. Jedoch variiert sich der maximale fixe Kostenzuschlag je nach Risikoneigung der Versicherungsnehmer (in Form unterschied-

41 105.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot v v 1 =v v a L B v a - L A v a v 1. Abb..35 Versicherungsoptimum mit fixem Kostenzuschlag (1. Fall) licher Krümmungen der Indifferenzkurven), so dass der Versicherer bei einem zu hoch angesetzten fixen Kostenzuschlag die komplette Versicherungsnachfrage zu verlieren. In Praxis wird deswegen oft eine Kombination aus beiden Zuschlägen (proportional + fix) als Kostenaufschlag verlangt. Dabei wird zunächst ein geringer fixer Kostenzuschlag erhoben, damit möglichst viele potenzielle Versicherungsnehmer dabei bleiben. Anschließend wird ein geringerer proportionaler Kostenzuschlag erhoben, so dass der Rückgang der Versicherungsnachfrage nicht so stark ausfällt. Diese Mischkalkulation soll dazu dienen, den Umfang der Versicherungsnachfrage sowie die Einnahmen aus Kostenzuschlägen zu maximieren. Mischkalkulation Learning by Doing (Versicherungsnachfrage) Anhand der folgenden Aufgabe soll das Versicherungsoptimum bei verschiedenen Kostenzuschlägen ermittelt werden. zz Aufgabe zur Versicherungsnachfrage: Ein Individuum besitzt ein Haus im Wert von , das durch Feuer völlig zerstört werden kann. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 1 %. Weiterhin besitzt das Individuum die Nutzenfunktion u(v) = v. a. Berechnen Sie den erwarteten Nutzen des Individuums, falls kein Versicherungsmarkt existiert. b. Wie hoch sind der optimale Deckungsgrad und der zugehörige erwartete Nutzen für den Fall, dass Versicherungsschutz mit fairer Prämie angeboten wird?

42 106 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v 1 =v v a L v a - L A v a v 1. Abb..36 Versicherungsoptimum mit fixem Kostenzuschlag (. Fall) c. Wir nehmen an, dass ein Versicherungsmarkt existiert. Der Versicherer verlangt jedoch einen Prämiensatz von 1,3 % (Schadenwahrscheinlichkeit 1 % + Risiko- und Kostenzuschlag 0,3 %), um seine Verwaltungskosten zu decken. Berechnen Sie den optimalen Deckungsgrad sowie das zugehörige erwartete Nutzenniveau! d. Wie hoch ist der optimale Deckungsgrad, wenn der Versicherer einen fixen Zuschlag pro Vertrag i. H. v. 300 verlangt? e. Wie hoch darf der fixe Zuschlag pro Vertrag sein, damit ein Versicherungsvertrag noch zustande kommt? f. Stellen Sie in einer Skizze Ihre bisherigen Ergebnisse graphisch dar! zz Lösung: a. Erwarteter Nutzen im Fall ohne Versicherung E(U) = 0, = 313,07 b. Bei fairer Prämie = voller Versicherungsschutz (Satz von Smith). Die faire Prämie beträgt in diesem Fall P = % = E(U) = = 314,64 c. α sei der gesuchte optimale Deckungsgrad. In Abhängigkeit des Deckungsgrad erhält man die Prämie: P = 1,3% α = 1.300α.

43 107.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot Der erwartete Nutzen im Fall der Versicherung mit proportionalem Kostenzuschlag beträgt somit: E(U) = 0, α + 0, α (1 α) E(U) = 0, α + 0, α Den optimalen Deckungsgrad erhält man durch: E(U) α α = 0,59. = 0 und somit Der zugehörige Nutzenwert beträgt E(U) = 314,8. d. Bei einem fixen Kostenzuschlag beträgt die zu zahlende Prämie P = 1% α = 1.000α Für der erwarteten Nutzen im Fall der Versicherung mit fixem Kostenzuschlag gilt: E(U) = 0, α + 0, α 300 Auch hier erhält man den optimalen Deckungsgrad durch die Bedingung: E(U) α = 0 und somit α = 1, d. h.: es ist in diesem Fall optimal, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen, da der zugehörige Nutzenwert: E(U) = = 314,17 > 313,07 (aus Teilaufgabe a)) e. Sei Z der fixe Kostenzuschlag. Bei Erhebung eines fixen Kostenzuschlags ist es für den Versicherten optimal, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen oder ganz darauf zu verzichten (Satz von Pauly). Den maximalen fixen Kostenzuschlag erhält aus der Bedingung E(U) = Z = 313,07 d. h.: der Versicherte muss in Fall der Vollversicherung gerade so gut gestellt sein wie im Fall ohne Versicherung. Durch die obige Bedingung erhält man für Z: Z max = 987,18

44 108 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v 1 = v v a B L D C v a - L v a A v 1 Z max. Abb..37 Graphische Darstellung der Versicherungsnachfrage f. Graphische Darstellung der bisherigen Ergebnisse (vgl.. Abb. 3.37): A: Ausgangssituation (ohne Versicherung) B: Faire Prämie (voller Versicherungsschutz) C: proportionaler Kostenzuschlag (teilweise Versicherungsdeckung) D: fixer Kostenzuschlag (voller Versicherungsschutz).3.7 Versicherungsangebot und Gleichgewicht auf dem Versicherungsmarkt In diesem Abschnitt betrachten wir das Versicherungsgeschäft aus Sicht des Versicherers. Es stellt sich die Frage, warum die Übernahme von Risiken für den Anbieter von Versicherungsverträgen vorteilhaft sein kann. Zu bedenken ist der Umstand, dass die Versicherer selbst auch risikoscheu eingestellt sind. 1 1 In der Literatur wird häufig angenommen, dass die Versicherer risikoneutral sind, vgl. z. B. Rothschild, M./J. Stiglitz: Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information, in: Quarterly Journal of Economics, Bd. 90 (1976), S Es ist jedoch nicht ersichtlich, wieso dies sein sollte. Versicherer sind genauso risikoscheu wie die allgemeine Bevölkerung. Warum sie bereit sind, trotz der risikoscheuen Einstellung Risiken auf sich zu nehmen, werden wir im Folgenden mit versicherungsmathematischen Argumenten begründen.

45 109.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot Gründe für Risikoübernahme Wenn Versicherer und Versicherten die gleiche Risikoscheue besitzen, dürfte es nicht zu einem Austausch von Risiken gegen Prämien kommen. In der Realität gibt es aber einen Versicherungsmarkt. Warum sind Versicherer dann bereit, Risiken gegen Zahlung einer Prämie aufzunehmen? Der Grund liegt darin, dass bei Abschluss vieler Versicherungsverträge mit gleichartigen Risiken die entsprechenden Risiken pro Periode in der Regel nur bei einer kleinen Anzahl der Versicherten tatsächlich eintreten werden und mit einer zunehmenden Anzahl von Verträgen sich der gesamte Schaden pro Versicherten immer zuverlässiger einschätzen lässt. Dadurch verringert sich das Risiko. Für ein einzelnes, risikoaverses Individuum ist es relativ unsicher, ob in einer Periode ein Schaden entsteht; aber wenn ein Schaden eintritt, ist dieser im Vergleich zu seinem Vermögen relativ hoch. Für ein Kollektiv mit gleichartigen Risiken kann der Schaden pro Periode hingegen mit einer relativ großen Sicherheit berechnet werden. Der Versicherer übernimmt von dem Versicherungsnachfrager ein geringeres Risiko, als dieser abgibt. 3 Durch den Risikoausgleich im Kollektiv und in der Zeit wird bereits ein großer Teil des Risikos durch den Risikotransfer vom Versicherten zum Versicherer vernichtet. Nach diesem Gesetz der großen Zahlen kann sich das Kollektiv der Versichertengemeinschaft relativ indifferent gegenüber dem pro Periode entstehenden Schaden einerseits und den pro Periode erhaltenen sicheren Prämieneinnahmen andererseits verhalten. 4 Die Risiken können in einem Kollektiv folglich nach dem Erwartungswert eines Schadens ( = Eintrittswahrscheinlichkeit mal Schadenpotenzial) kalkuliert werden. Eine Versichertengemeinschaft kann sich deshalb im Gegensatz zu einem Individuum risikoneutral verhalten. Angebotsseite des Versicherungsmarkts Die Darstellung der Angebotsseite des Versicherungsmarkts erfolgt im Prinzip analog zu der der Nachfrageseite. Versicherungsunternehmen haben eine finanzielle Eigenausstattung (Anfangsausstattung) Schulenburg spricht in diesem Zusammenhang von einem»risikopoolungseffekt«. Vgl. Schulenburg, J.-M.: Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 005, S In diesem Zusammenhang ist die wahre Produktion der Versicherungswirtschaft zu sehen, nämlich die Reduktion der Risiken durch Risikoverdichtung. Vgl. Freeman, P. K./Scott, K.: Comparative Analysis of Large Scale Catastrophe Compensation Schemes, in: OECD (Hrsg.), Catastrophic Risks and Insurance, Paris 005, S. 193 f. 4 Mit Hilfe des Gesetzes der Großen Zahlen gelingt es dem Versicherer, die Schadenentwicklung innerhalb eines engen Bereichs vorherzusagen. Vgl. Vaughan, E. J./Vaughan, T.: Fundamentals of Risk and Insurance, 9. Ed., John Wiley & Sons, New York 003, S. 34 f.

46 110 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v. Abb..38 Indifferenzkurve des Versicherungsunternehmens Edgeworth-Box zwei Seiten der gleichen Medaille A v 1 und sind je nach ihrer Risikoneigung im unterschiedlichen Maße bereit, Risiken zu übernehmen. Die Bedeutung als Versicherer ergibt sich v. a. aus dem Risikoausgleich im Kollektiv, der beim Zusammenschluss mehrerer Einzelrisiken zu einer Verringerung des Gesamtrisikos führt. Da auch Versicherungsunternehmen risikoscheu sind, sind sie nur dann bereit, Risiken zu übernehmen, wenn ihnen eine Risikoprämie vom Markt angeboten wird, welche die Realisation eines Gewinns erwarten lässt. Es wird angenommen, dass die Ausgangssituation eines repräsentativen Versicherungsnehmers durch den Punkt A und das abgebildete Indifferenzkurvensystem beschrieben wird (vgl.. Abb..38). Für das Versicherungsunternehmen können wir eine ähnliche Graphik zeichnen. Es hat in der Ausgangssituation A kein Risiko. Wir nehmen an, dass das Versicherungsunternehmen risikoscheu ist, so dass die Indifferenzkurven auch einen konvexen Kurvenverlauf besitzen. Gleichgewicht auf dem Versicherungsmarkt Dreht man nach der Methode von Edgeworth 5 die Graphik des Versicherungsunternehmens um 180 und setzt sie auf die des Versicherungsnehmers auf, so entsteht die so genannte Edgeworth-Box, deren Seitenlänge die Summe der Vermögen beider Marktteilnehmer in der Ausgangslage ist (vgl.. Abb..38). 6 Optimal ist ein Versicherungsvertrag, der zu einem Pareto-Optimum führt, d. h.: keine Partei kann sich verbessern, ohne dass die andere Seite Nutzenverluste erleiden muss. Dieser Tausch findet zu Marktpreisen ( 1 π π = Steigung der Versicherungsgeraden) statt. Im Punkt B tangieren sich die Indifferenzkurven des Versicherungsnehmers und des Versicherungsunternehmens. Eine Pareto-Verbesserung ist dann nicht mehr möglich. Diese Form der Darstellung in. Abb..39 zeigt, dass die Abgabe und die Übernahme von Risiken zwei Seiten der gleichen Medaille sind. Auch für einen risikoaversen Entscheidungsträger kann es durchaus rational sein, zusätzliche Risiken freiwillig zu übernehmen, da der Markt die Übernahme des Risikos über die Prämie belohnt. Der Versicherer erhält für die Risikoübernahme eine Prämie, die höher ist als der erwartete Schaden. Das Versicherungsunternehmen erzielt einen Gewinn, wenn der Zuschlag in Höhe von β α p L größer ist als die Kosten K. Der erwartete positive Gewinn E(G) = β α p L K rechtfertigt die Übernahme von zusätzlichem Risiko. 5 Benannt nach dem irischen Ökonomen Francis Ysidro Edgeworth (geboren 1845 in Edgeworthstown, Irland; gestorben 196 in Oxford, England). 6 Die Breite der Edgeworth-Box entspricht dann der Summe der Vermögen beider Marktteilnehmer in der Ausgangslage abzüglich des möglichen Schadens.

47 111.3 Versicherungsnachfrage und Versicherungsangebot v B A v 1. Abb..39 Gleichgewicht auf dem Versicherungsmarkt Die Konkurrenz zwischen den Versicherern führt dazu, dass der Zuschlagsfaktor β tendenziell so weit absinkt, dass von den Versicherungsunternehmen nur noch die auf dem Markt üblichen Gewinne für das eingesetzte Kapital erzielt werden können. Mit sinkendem Zuschlagsfaktor β steigt die Versicherungsnachfrage, da höhere Deckungsgrade nachgefragt werden. Eine Intensivierung des Wettbewerbs führt somit zu einer Erhöhung des Versicherungsumfangs. Die Qualität des Versicherungsschutzes mag hingegen sinken, da die erwarteten Gewinne der Versicherungsanbieter schrumpfen und die Wahrscheinlichkeit einer Insolvenz einzelner Anbieter steigt. Ökonomische Sinnhaftigkeit staatlicher Haftung bei Terrorismusrisiken Auf der Grundlage des Versicherungsgleichgewichts soll nun analysiert werden, ob eine staatliche Risikoübernahme zu einer Pareto- Verbesserung führt und damit ökonomisch begründet ist. Kurz nach den Anschlägen am 11. September 001 haben die Versicherungsgesellschaften alle bestehenden Haftpflichtversicherungsverträge mit den Fluggesellschaften gekündigt. Auf den privaten Versicherungsmärkten war lediglich Versicherungsschutz mit Deckungssummen vorhanden, die weit unterhalb der geforderten Mindestdeckungen lagen und zudem noch zu extrem hohen Prämien angeboten wurden. Die Verhandlungen zwischen Fluggesellschaften auf der einen Seite und den Versicherungsunternehmen auf der anderen Seite hatten nicht zu einem befriedigenden Ergebnis geführt, da die Versicherungsunternehmen nach den terroristischen Anschlägen sich gezwungen sahen, das Haftungsrisiko im Luftverkehr völlig neu zu bewerten. Ihnen stand kurz nach den Anschlägen jedoch nicht genü- vorübergehende Haftungsgarantie durch den Staat

48 11 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie gend Zeit zur Verfügung, um neue Bewertungsmodelle zu entwickeln. Zudem wurde das Haftungsrisiko im Luftverkehr in der politischen und gesellschaftlichen Schocksituation kurz nach den Anschlägen als sehr hoch eingestuft. Aufgrund dieser kurzfristigen Unsicherheiten hat die Bundesrepublik Deutschland den Fluggesellschaften eine vorübergehende Haftungsgarantie gewährt. Eine solche übergangsweise Gewährung staatlicher Haftungszusagen könnten grundsätzlich sinnvoll sein, um den Luftverkehr aufrechtzuerhalten und die Nachteile der sonst drohenden Stilllegung der Flugzeuge abzuwenden. In der so gewährten»atempause«würden die Verhandlungspartner die notwendige Zeit gewinnen, um die neue Risikosituation zu überdenken und geeignete Lösungsalternativen zu erarbeiten. Damit es jedoch nicht zu einer Subventionierung einer Branche und den damit verbundenen Allokationsineffizienzen kommt, muss die staatliche Haftung zeitlich begrenzt sein und die Kosten des Terrorismusrisikos im Luftverkehr internalisiert werden. Dieser Sachverhalt kann anhand der. Abb..40 erläutert werden. Betrachten wir einen idealtypischen Versicherungsmarkt wie in. Abb..40 dargestellt. Ausgangspunkt ist die Risikolage im Punkt A. Durch den Versicherungsschutz ausgedrückt in Form der Versicherungsgeraden g 1 ist eine Pareto-Verbesserung gegenüber A möglich. Aufgrund des gestiegenen Terrorismusrisikos dreht sich die Versicherungsgerade nach unten g. Auch hier ist eine Pareto-Verbesserung durch Versicherungslösungen möglich. Die flachere Versicherungsgerade g impliziert einen höheren Prämiensatz, um dem gestiegenen Risiko Rechnung zu tragen. Hier besteht absolut kein Anlass für einen staatlichen Eingriff in die Versicherungsmärkte. Es kann aber eine Situation vorkommen, dass z. B. kurz nach einem terroristischen Anschlag mit nicht vorhergesehenen Schadenausmaßen die Wahrnehmung des Risikos so intensiv geworden ist, dass der Versicherer die Risikolage überschätzt und eine zu hohe Risikoprämie (ausgedrückt durch den sehr flachen Verlauf der Versicherungsgeraden g 3 ) verlangt. In diesem Fall bricht der Versicherungsmarkt zusammen, da es aufgrund der hohen Kosten für den Versicherungsnehmer nicht optimal ist, Versicherungsschutz nachzufragen. Als Marktlösung wäre die Ausgangslage A. Diese Marktlösung im Punkt A ist aber nicht pareto-optimal, da bei Zugrundelegung der wahren Risikowahrscheinlichkeit (ausgedrückt durch die Versicherungsgerade g ) eine Pareto-Verbesserung gegenüber A möglich wäre. Ineffizienz der Marktlösung Um diese Ineffizienz der Marktlösung zu beseitigen, ist ein staatlicher Eingriff erforderlich, damit der Versicherungsmarkt nicht völlig zusammenbricht. Nach und nach haben die Versicherer Zeit gewonnen, um die neue Risikolage zu überdenken und zu einer realistischeren Einschätzung der Gefahrensituation zu kommen. Dies wird sich in

49 113.4 Moral Hazard und staatliche Regulierung v g g 1 Anstieg des Terrorrisikos g 3 A Versicherungsgeraden Versicherungsunternehmen Versicherungsnehmer v 1. Abb..40 Staatliche Risikoübernahme bei Terrorismusrisiken der Prämienkalkulation niederschlagen, und die Versicherer werden von sich aus Versicherungslösungen entlang der Versicherungsgeraden g anbieten. Der Staat muss sich dann aus dem Versicherungsmarkt zurückziehen, um keine bestimmte Branche ungerechtfertigt zu subventionieren. Bleibt das Risiko jedoch trotz zeitintensiver Überprüfung und Abklingen der Schockwirkung weiterhin hoch (ausgedrückt durch die Versicherungsgerade g 3 ), so ist es nicht sinnvoll, eine staatliche Versicherung zu subventionierten Preisen zu gewähren. Die staatlichen Garantien sollen keinesfalls dafür eingesetzt werden, um Versicherungsfrage dort zu generieren, wo sie bei einer risikogerechten Prämie nicht bestehen würde. 7 Darüber hinaus können bei staatlicher Risikoübernahme wohlfahrtsökonomisch zu riskante Produktionstechnologien gewählt werden, die unter Berücksichtigung ihres hohen Gefährdungsgrades nicht effizient sind..4 Moral Hazard und staatliche Regulierung In Bezug auf Versicherungsmärkte wird von Moral Hazard 8 gesprochen, wenn das Individuum, weil es versichert ist, eigene Maßnahmen zur Reduzierung seines Risikos vernachlässigt..4.1 Definition Moral Hazard kann mit»gefahr der Verhaltensänderung«übersetzt werden und liegt vor, wenn jemand sein Verhalten ändert, weil er 7 Vgl. Nell, M.: Staatshaftung für Terrorrisiken?, Working Papers on Risk and Insurance, Hamburg University, 001/4, S Auch als Subjektives Risiko, moralische Versuchung oder moralisches Risiko bezeichnet.

50 114 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie. Abb..41 Ausprägungen des Moral Hazard asymmetrische Informationsverteilung Schadenverhütungsmaßnahmen Versicherungsschutz genießt und hierdurch entweder seine Schadenwahrscheinlichkeiten (Risiko erhöhendes Moral Hazard) oder die potenziellen Schäden (Mengen erhöhendes Moral Hazard) steigen. Wesentlich für Moral Hazard ist die asymmetrische Informationsverteilung. Nach Abschluss des Versicherungsvertrags ändert der Versicherte sein Verhalten derart, dass seine Schadenwahrscheinlichkeit steigt (beispielsweise Unterlassung von Schadenverhütungs- und -begrenzungsmaßnahmen). Der Versicherer kann diese Verhaltensänderung nicht beobachten. Moral Hazard kann im Extremfall dazu führen, dass Risiken unversicherbar sind (. Abb..41). Der Tatsache, dass die Schadenwahrscheinlichkeit p bzw. die Schadenhöhe L nicht mehr exogen gegeben, sondern durch das Individuum beeinflussbar sind, wird im analytischen Rahmen durch die Einführung von Schadenverhütungsmaßnahmen e und Schadenverhütungsgütern g Rechnung getragen. Schadenverhütungsmaßnahmen umfassen alle Aktivitäten, welche die Schadenwahrscheinlichkeit oder die Schadenhöhe reduzierten. Schadenverhütungsgüter sind Güter, die eigens dafür bereitgestellt werden, die Schadenwahrscheinlichkeit oder die Schadenhöhe zu senken. Schadenverhütungsmaßnahmen e können sowohl die Schadenwahrscheinlichkeit p als auch die Schadenhöhe L beeinflussen. Im folgenden gehen wir davon aus, dass p und L von e abhängig sind, d. h. p = p(e) mit p (e) < 0 und p (e) > 0 bzw. L = L(e) mit L (e) < 0 und L (e) > 0. Eine Verhaltensänderung des Versicherungsnehmers, die die Schadenwahrscheinlichkeit p(e) beeinflusst, wird als Risiko erhöhendes Moral Hazard und eine Verhaltensänderung, die die Schadenhöhe L(e) beeinflusst, wird als Mengen erhöhendes Moral Hazard bezeichnet. Die Schadenverhütungsmaßnahmen e lassen sich durch eine Erweiterung der Nutzenfunktion in Form von U(v, e) modellieren. Da die Schadenverhütungsmaßnahmen zu Kosten und damit zur Ver-

51 .4 Moral Hazard und staatliche Regulierung 115 minderung des Anfangsvermögens v a führen, wird im Folgenden von der Nutzenfunktion U(v, e) = U(v a ) c(e) ausgegangen, wobei c(e) die Kosten für die Durchführung der Schadenverhütungsmaßnahmen darstellt..4. Risikoerhöhendes Moral Hazard Beim Vorliegen vom Risiko erhöhendem Moral Hazard hängt die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit vom Umfang der Schadenverhütungsmaßnahmen ab, d. h.: p = p(e). Versicherungslösung bei Beobachtbarkeit der Schadenverhütungsmaßnahmen Gehen wir von der obigen Nutzenfunktion aus, so maximiert das Individuum die folgende Erwartungsnutzenfunktion: max. E(U(v)) = (1 p(e))(u (v a απl) c(e)) + +p(e) (U(v a L απl + αl) c(e)) Das Individuum bestimmt den Umfang des Versicherungsschutzes α derart, dass sein Erwartungsnutzen optimal wird. Die notwendige Bedingung für ein Maximum lautet: (1 p(e)) U (v 1 ) π L + p(e) U (v ) (L π L) = 0 bzw. p(e) U(v ) (L πl) = (1 p(e)) U (v 1 ) π L bzw. p(e) L U (v ) (1 π) = (1 p(e)) U (v 1 ) π L bzw. U (v ) (1 p(e))π = U (v 1 ) p(e)(1 π). Unter der Annahme, dass der Versicherer risikoneutral ist und keine Verwaltungskosten hat sowie die Schadenwahrscheinlichkeit p(e) beobachtbar ist, wird der Versicherer den Prämiensatz π gleich p(e) setzen. Daraus folgt: U (v ) U (v 1 ) = 1. In diesem Fall ist Vollversicherung optimal. Auch wenn der Versicherungsnehmer durch Schadensverhütungsmaßnahmen einen Einfluss auf die Schadenwahrscheinlichkeit hat und damit einen externen Effekt auf den Versicherer ausübt, kommt es nicht zu einer suboptima-

52 116 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie len Allokation der Risiken im Marktgleichgewicht, wenn der Versicherer diesen Einfluss beobachten kann und die Versicherungsprämie entsprechend anpasst. Der externe Effekt wird durch die Festsetzung der Prämie π = p(e) internalisiert. Versicherungslösung bei Nicht-Beobachtbarkeit der Schadenverhütungsmaßnahmen Das Problem des Moral Hazard entsteht erst, wenn der Umfang der Schadenverhütungsmaßnahmen und die damit verbundene Schadenwahrscheinlichkeit p(e) nicht beobachtbar sind. Der Prämiensatz π kann deshalb nicht mehr in Abhängigkeit von e festgelegt werden, obwohl er ex post davon abhängt. In diesem Fall tendieren die Versicherungsnehmer dazu, zu geringe Schadensverhütungsmaßnahmen durchzuführen. 9 Dies führt dazu, dass die Schadenwahrscheinlichkeit p(e) steigt, d. h.: p(e) > π. Aus der Beziehung U (v ) (1 p(e))π = U (v 1 ) p(e)(1 π) folgt U (v ) U (v 1 ) < 1 bzw. U (v ) < U (v 1 ). Gesetz von abnehmenden Grenzerträgen Dies kann bei Gültigkeit des Gesetzes von abnehmenden Grenzerträgen nur gelten, wenn v > v 1. Fehlallokation In diesem Fall ist das Individuum überversichert (α > 1). Dies wäre ein Verstoß gegen das Bereicherungsverbot 30. Da α nur Werte zwischen Null und Eins annehmen kann, wird sich das Individuum für α = 1 entscheiden (Randlösung). Die Nichtbeobachtbarkeit von Schadenverhütungsmaßnahmen führt dazu, dass zu wenig Schadenverhütungsmaßnahmen durchgeführt werden und zu viel Versicherungsschutz nachgefragt wird. 31 Dies führt zu einer Fehlallokation der knappen Ressourcen, da Ver- 9 Die Reduktion der Schadenverhütungsmaßnahmen ist dabei um größer, je höher der Deckungsgrad ist. Vgl. Zweifel, P./Eisen, R.: Versicherungsökonomie,. Auflage, Springer-Verlag, Berlin et al. 003, S Das Bereicherungsverbot im versicherungswissenschaftlichen Kontext besagt, dass der Versicherte im Schadenfall nicht besser gestellt werden darf als im Nichtschadenfall. Dieses Verbot ist essentiell für die Versicherungswirtschaft, denn sonst würde der Versicherte einen enormen Anreiz haben, den Versicherungsfall selbst herbeisehnen bzw. herbeiführen. 31 Vgl. Zweifel, P./Eisen, R.: Versicherungsökonomie,. Auflage, Springer-Verlag, Berlin et al. 003, S. 301.

53 117.4 Moral Hazard und staatliche Regulierung sicherung als Mittel des Risikomanagements in zu hohem Ausmaß und Schadenverhütungsaktivitäten in zu geringem Ausmaß eingesetzt werden. Wenn π < p(e) ist, erleidet der Versicherer Verluste aus dem Versicherungsvertrag. Auf längere Sicht wird der Versicherer feststellen, dass die von ihm angenommenen Schadenwahrscheinlichkeiten zu niedrig sind und dass er mit höheren Schadenwahrscheinlichkeiten kalkulieren und damit höhere Prämien verlangen muss. Dieser Prämienanpassungsprozess setzt sich weiter fort, bis die Schadenverhütungsmaßnahmen auf Null gesenkt werden. In diesem Fall kann die geforderte Versicherungsprämie so hoch sein, dass nicht mehr nach Versicherungsschutz nachgefragt wird. Es liegt dann ein Fall der Nicht-Versicherbarkeit vor. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem Marktversagen. Marktversagen In. Abb..4 wird die Situation eines möglichen Marktsagens aufgrund von Moral Hazard dargestellt. Durch das Weglassen von Schadenvergütungsmaßnahmen steigen die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit und damit auch der Prämiensatz. Die Versicherungsgerade dreht sich nach unten. In diesem Fall ist die Drehung der Versicherungsgeraden so stark, dass alle Punkte der Versicherungsgeraden (alle möglichen Versicherungslösungen) unterhalb der Indifferenzkurve liegen, die durch den Ausgangspunkt A verläuft. Das Individuum würde in diesem Fall auf Versicherungsschutz verzichten und selbst wieder Schadenverhütungsmaßnahmen durchführen..4.3 Mengenerhöhendes Moral Hazard Hier gehen wir davon aus, dass die Höhe des Schadens L = L(e) von den Schadenverhütungsmaßnahmen abhängt. Versicherungslösung bei Beobachtbarkeit der Schadenverhütungsmaßnahmen Beim Deckungsgrad α zahlt der Versicherungsnehmer die Prämie P = α π L. Das Individuum maximiert den folgenden Erwartungsnutzen: max.e(u(v)) = (1 p) (U(v a απl) c(e)) + p (U(v a L(e) απl + αl(e)) c(e)) Die notwendige Bedingung für ein Maximum lautet:

54 118 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v Moral Hazard B A Versicherungsgerade Versicherungsunternehmen Versicherungsnehmer v 1. Abb..4 Marktversagen aufgrund von Moral Hazard (1 p)u (v 1 ) πl + p U (v ) (L(e) πl) = 0 bzw. p U (v ) (L(e) π L) = (1 p) U (v 1 ) π L bzw. U (v ) U (v 1 ) = (1 p) π L p (L(e) π L). Wenn der Versicherer risikoneutral ist und keine Verwaltungskosten hat sowie die Schadenhöhe L(e) beobachtbar ist, wird der Versicherer die Prämie P = α p L(e) verlangen, d. h.: π = p und L = L(e). Somit folgt aus der obigen Beziehung. U (v ) U (v 1 ) = 1 bzw. v = v 1. In diesem Fall ist es für den Versicherungsnehmer optimal, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen. Versicherungslösung bei Nicht-Beobachtbarkeit der Schadenverhütungsmaßnahmen Ist die Abhängigkeit der Schadenhöhe von den Schadenverhütungsmaßnahmen nicht beobachtbar, so werden die Versicherungsnehmer die Schadenverhütungsaktivitäten reduzieren mit der Folge, dass L(e) > L gilt. Dann folgt aus U (v ) U (v 1 ) = (1 p) π L p (L(e) π L), dass U (v ) U (v 1 ) < 1 bzw.

55 119.4 Moral Hazard und staatliche Regulierung U (v ) < U (v 1 ) bzw. v > v 1. Bei Nichtbeobachtbarkeit ist das Individuum also überversichert (α > 1). Wegen des Bereicherungsverbots wird sich das Individuum für α = 1 entscheiden (Randlösung) und den vollen Versicherungsschutz nachfragen. Wenn der Versicherungsnehmer voll versichert ist, d. h. den Schaden gleichgültig in welcher Höhe nicht trägt und wenn die Prämie wegen Nichtbeobachtbarkeit unabhängig vom Umfang der Schadenverhütungsmaßnahmen ist, so macht es für den Versicherungsnehmer keinen Sinn, Schadenverhütung zu betreiben. In diesem Fall werden die Schadenverhütungsmaßnahmen auf Null reduziert. Volkswirtschaftlich bedeutet die Unterlassung der Schadenverhütungsmaßnahmen eine Verschwendung von Ressourcen durch vermeidbare Schäden. Diese Lasten müssen alle Versicherungsnehmer durch höhere Prämien tragen. Das Vorliegen von Moral Hazard führt zu einem Marktgleichgewicht, das nicht pareto-optimal ist. Graphisch lässt sich das Marktgleichgewicht wie folgt darstellen. In der Ausgangslage T betreibt der Versicherungsnehmer keine Schadenverhütung. Wir nehmen an, dass er dadurch einen Totalverlust des Anfangsvermögens erleidet, d. h.: L(0) = v a. Durch die Zunahme der Schadenverhütungsmaßnahmen wird die Schadenhöhe L(e) kleiner. Durch Variation von e erhält man die Transformationskurve TT. Je höher das Niveau der Schadenverhütung ist, desto weiter wandert die Ausgangsverteilung auf der Transformationskurve in Richtung T. Die Steigung der Transformationskurve gibt an, um wie viel Geldeinheiten der Schaden reduziert werden kann, wenn der Aufwand für die Schadenverhütung um eine Geldeinheit erhöht wird. Falls keine Versicherung existiert, wird das Individuum die Schadenverhütungsmaßnahme im Umfang von e A betreiben, um das eigene Nutzenniveau zu optimieren (vgl.. Abb..43). Existiert dagegen ein Versicherungsmarkt (graphisch ausgedrückt durch die Versicherungsgeraden), d. h.: Ist ein Versicherer bereit, einen Teil des Risikos gegen eine Versicherungsprämie zu übernehmen, wird der Versicherungsnehmer so viel Versicherungsschutz kaufen, dass sein Nutzen maximiert wird. Dies geschieht im Punkt B. In diesem Fall wird der Versicherungsnehmer den Umfang der Schadenverhütungsaktivitäten auf e C verringern. Im Punkt C entspricht die Steigung der Versicherungsgeraden der Steigung der Transformationskurve TT. Rechts von C ist die Steigung der Transformationskurve größer als die Steigung der Versicherung. Transformationskurve

56 10 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v 1 = v A L(0) T e e A T 0 v 1. Abb..43 Transformationskurve In diesem Bereich ist es effektiver, Risikomanagement durch Schadenverhütungsmaßnahmen als durch Versicherungsschutz zu betreiben. Für Schadenverhütungsaktivitäten größer als e C ist die Effektivität der Versicherung als Instrument des Risikomanagements höher als die Effektivität der Schadenverhütung. Moral Hazard bei Nichtbeobachtbarkeit Der Punkt B stellt eine Pareto-Verbesserung gegenüber A dar, denn in diesem Punkt erreicht der Versicherungsnehmer ein höheres Nutzenniveau (vgl.. Abb..44). Bei einer fairen Prämie, d. h.: π = p bzw. β = 0 liegt der Punkt B auf der Sicherheitslinie. Dies ist der Fall der Vollversicherung. Das Auftreten von Moral Hazard bei Nichtbeobachtbarkeit von Schadenverhütungsmaßnahmen führt schließlich dazu, dass der Versicherungsnehmer bei Abschluss des Vollversicherungsvertrags die Schadenverhütungsmaßnahmen auf Null reduzieren. Durch das Weglassen von Schadenhütungsmaßnahmen steigt das Nutzenniveau des Versicherungsnehmers zunächst, da er die Kosten für die Schadenverhütung nicht mehr trägt. Dadurch steigt aber die Schadenhöhe auf L(0). Nach einer Weile wird das Versicherungsunternehmen die neue Schadenhöhe realisieren und sie als neue Grundlage für die Prämienberechnung verwenden (. Abb..45). Das neue Marktgleichgewicht liegt im Punkt D. Das Niveau der Schadenverhütung von Null ist aber aus volkswirtschaftlicher Sicht suboptimal (Punkt D liegt auf einer niedrigeren Indifferenzkurve als Punkt B). Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Schadenverhütungsmaßnahmen im Umfang zwischen 0 und e C zwar eine höhere

57 11.4 Moral Hazard und staatliche Regulierung v v 1 = v B A L(0) T C e e A e C T 0 v 1. Abb..44 Optimale Schadensverhütung ohne Moral Hazard v v 1 = v D B A L(0) T C e e A e C T 0 v 1. Abb..45 Optimale Schadensverhütung bei Moral Hazard Effektivität aufweisen als der Versicherungsschutz, diese Schadenverhütungsmaßnahmen werden jedoch nicht betrieben, da sie nicht beobachtbar sind. Die Unterlassung von Schadenverhütungsmaßnahmen durch die Versicherungsnehmer verursacht höhere Schäden. Nicht nur die

58 1 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v 1 = v D B A L(0) T C e e A e C T 0 v 1. Abb..46 Marktversagen durch Moral Hazard Marktversagen durch Moral Hazard Schadenhöhe, sondern auch die Schadenwahrscheinlichkeit wird steigen. Langfristig müssen die Versicherer die Prämien bzw. den Prämiensatz π erhöhen, um die höheren Kosten aufgrund des höheren Schadenaufwandes zu decken. Eine Erhöhung des Prämiensatzes führt zu einer flacheren Versicherungsgeraden (Steigung der Versicherungsgeraden = 1 π π ). Die Versicherungsgerade dreht sich nach unten (vgl.. Abb..46). Die Erhöhung der Prämien kann so stark ausfallen, dass es sich für die Individuen nicht mehr lohnt, Versicherungsschutz nachzufragen. Die Risiken sind nicht versicherbar. Es liegt ein Fall von Marktversagen vor. Das Marktgleichgewicht liegt wieder im Punkt A. Durch die Drehung der Versicherungsgeraden wird nicht mehr nach Versicherungsschutz nachgefragt, da sich das Individuum in diesem Fall (Punkt E) schlechter stellen würde. Es verzichtet auf Versicherungsschutz und betreibt eigene Schadenverhütungsmaßnahmen. Learning by Doing (Moral Hazard) Anhand der folgenden Aufgabe soll die Ermittlung der Versicherungsnachfrage beim Vorliegen von Moral Hazard geübt werden. zz Aufgabe zu Moral Hazard Ein Individuum besitzt ein Haus im Wert von 100 GE. Dieses Haus kann durch Sturm beschädigt werden. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt 0 %. Die Höhe des Schadens hängt von den durchgeführten Schadenverhütungsmaßnahmen ab und beträgt: L = 99,5e,

59 13.4 Moral Hazard und staatliche Regulierung wobei e die Kosten für die Schadenverhütungsmaßnahmen darstellt. Weiterhin besitzt das Individuum die Nutzenfunktion u(v) = ln(v), wobei v das Endvermögen darstellt. a. Berechnen Sie den erwarteten Nutzenwert, falls das Individuum keine Schadenverhütungsmaßnahmen durchführt und keine Versicherung existiert! b. Berechnen Sie die optimale Höhe der Schadenverhütungsmaßnahmen sowie den zugehörigen erwarteten Nutzenwert, falls keine Versicherung existiert! c. Es existiert nun ein Versicherungsmarkt, und wir nehmen an, dass der Versicherer nicht beobachten kann, ob Schadenverhütungsmaßnahmen durchgeführt werden. Der Versicherer geht von dem schlimmsten Fall aus und verlangt für die Übernahme des Risikos eine Prämie i. H. v. P = 99 0, = 19,8 GE. Soll das Individuum diesen Versicherungsvertrag abschließen? d. Wie ist die Frage c) zu beantworten, wenn der Versicherer pro Vertrag einen fixen Zuschlag von 10 GE verlangt, um seine Verwaltungskosten zu decken? e. Wie hoch darf der fixe Zuschlag maximal sein, damit ein Versicherungsvertrag zustande kommt? f. Begründen Sie anhand geeigneter Beispiele verbal und graphisch, warum Moral-Hazard-Verhalten zum Zusammenbruch der Versicherungsmärkte und damit zur Unversicherbarkeit von Risiken führen kann! zz Lösung: a. keine Versicherung, keine Schadenverhütungsmaßnahmen: E(U) = 0, ln1 + 0,8 ln100 = 3,684 b. keine Versicherung, Schadenverhütungsmaßnahmen i. H. v. e E(U) = 0,8 ln(100 e) + 0, ln(100 e (99,5e)) E(U) = 0,8 ln(100 e) + 0, ln(1 + 1,5e) Die optimale Höhe der Schadenverhütungsmaßnahmen erhält man durch die Bedingung: E(U) e e = 19,36. = 0 und somit Der zugehörige Nutzenwert beträgt E(U) = 4,156. Es lohnt sich also, Schadenverhütungsmaßnahmen durchzuführen.

60 14 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie c. Bei Vollversicherung zu einer Prämie P von 19,8 GE beträgt der erwartete Nutzen: E(U) = ln 80, = 4,385. Somit ist die Vollversicherung vorzuziehen. d. Durch Erhebung des fixen Kostenzuschlags reduziert sich der erwartete Nutzen auf E(U) = ln 70, = 4,51. In diesem Fall ist es immer noch vorteilhaft, die Versicherung abzuschließen. e. Es muss gelten E(U) = ln(100 19,8 Z max ) = 4,156. Somit gilt: Zmax = 80, 63,816 = 16,38 Euro Falls der verlangte fixe Zuschlag pro Vertrag höher als 16,38 ausfällt, verzichtet das Individuum auf den Versicherungsschutz und betreibt selbst Schadenverhütungsmaßnahmen. f. Falls keine Versicherung existiert, wird das Individuum die Schadenverhütungsmaßnahme im Umfang von e A betreiben, um das eigene Nutzenniveau zu optimieren (vgl. hierzu. Abb..46). Existiert dagegen ein Versicherungsmarkt (graphisch ausgedrückt durch die Versicherungsgerade), d. h.: ist ein Versicherer bereit, einen Teil des Risikos gegen eine Versicherungsprämie zu übernehmen, wird der Versicherungsnehmer so viel Versicherungsschutz kaufen, dass sein Nutzen maximiert wird. Dies geschieht im Punkt B. In diesem Fall wird der Versicherungsnehmer den Umfang der Schadenverhütungsaktivitäten auf e C verringern..4.4 Staatliche Regulierung bei Moral Hazard Staat als Versicherer Wie in den vorangegangen Abschnitten gezeigt wurde, kann das Auftreten von Moral Hazard zu einer Fehlallokation sowie zu einem Marktversagen auf den Versicherungsmärkten führen. Es stellt sich die Frage, ob der Staat eingreifen sollte, um eine bessere Allokation zu erreichen bzw. um das Marktversagen zu beseitigen. Welche Maßnahmen kann der Staat ergreifen? Im Folgenden sollen mögliche Maßnahmen staatlicherseits diskutiert werden. 3 Eine staatliche Aufgabe ergibt sich immer dann, wenn ein Versicherungsmarkt für ein Risiko nicht zustande kommt. Der Staat sollte bei Moral-Hazard-Verhalten eingreifen, um eine 3 Vgl. Schulenburg, J.-M.: Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 005, S. 94 ff.

61 15.4 Moral Hazard und staatliche Regulierung Versorgung mit dem Gut Versicherung zu gewährleisten. Als monopolistischer Anbieter ist der Staat in der Lage, die Gesamtnachfrage eines Individuums nach Versicherungsschutz zu beobachten und gegebenenfalls zu rationieren. Dadurch kann der Staat dazu beitragen, dass das Moral-Hazard-Verhalten des Individuums begrenzt wird. Diese Maßnahme bedeutet jedoch einen starken Eingriff in den privaten Versicherungsmarkt: der Staat verdrängt nämlich vollkommen die private Konkurrenz. Die so genannte»pigou-steuer«33 versucht, die Versicherungsnachfrage durch Besteuerung zu beschränken. Eine proportionale Besteuerung der Versicherungsprämie führt dazu, dass ein Anreiz zu einer geringeren Versicherungsnachfrage und damit zu vermehrter Schadenverhütung besteht als im Fall der Nichtbesteuerung. 34 Dadurch kann das Problem des Moral-Hazard-Verhaltens gemildert werden. Allerdings darf der Steuersatz nicht so hoch sein, dass die Versicherungsdeckung für die Menschen zu teuer wird und diese völlig auf Versicherungsschutz verzichten. Durch die fiskalische Begünstigung von Schadenverhütungsmaßnahmen und Schadenverhütungsgütern (beispielsweise durch Gewährung von Subventionen) wird deren Einsatz gefördert. Die Kosten durch Schadenverhütungsaktivitäten werden relativ zum Preis von Versicherungsschutz gesenkt. Folglich werden vermehrt Schadenverhütungsmaßnahmen und Schadenverhütungsgüter eingesetzt. Bei dieser Maßnahme muss berücksichtigt werden, dass der Staat die entsprechenden Ausgaben finanzieren muss. Außerdem muss gewährleistet sein, dass keine Branche unberechtigterweise subventioniert wird. Durch gesetzliche Vorgaben von Mindeststandards kann der Staat dafür sorgen, dass ein Mindestmaß an Schadenverhütungsmaßnahmen betrieben wird. Bei dieser Maßnahme besteht vor allem die Schwierigkeit, das richtige Mindestmaß an Sicherheitsvorkehrungen zu finden. Im Idealfall sollen die Mindeststandards so hoch sein, dass die Individuen von sich aus Schadenverhütungsmaßnahmen im Umfang e C (vgl.. Abb..44) durchführen. Besteuerung der Prämien fiskalische Begünstigung Mindeststandards 33 Benannt nach dem englischen Ökonomen Arthur Cecil Pigou (geboren 1877 in Ryde, Isle of Wight; gestorben 1959 in Cambridge, England). Pigou gilt als Vertreter der Cambridger Schule der Neoklassik und forschte im Bereich der Wohlfahrts-, Konjunktur- und Geldtheorie. 34 Die Besteuerung hat dabei den gleichen Effekt wie ein proportionaler Kostenzuschlag. In diesem Fall ist es für den Versicherten nicht optimal, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen.

62 16 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie.5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung Adverse Selektion kann mit»negativer Risikoselektion«35 übersetzt werden und kennzeichnet die Situation, in der bei einer asymmetrischen Informationsverteilung zwar der Versicherungsnehmer über seine eigene Schadenwahrscheinlichkeit informiert ist, der Versicherer die Schadenwahrscheinlichkeit des Versicherungsnehmers jedoch nicht kennt..5.1 Prozess der negativen Auslese negative Risikoselektion Die Unkenntnis der wahren Risikoklasse der Versicherungsnehmer führt dazu, der der Versicherer gezwungen ist, eine von der Schadenklasse unabhängige Prämie zu verlangen. Dies hat zur Folge, dass gute Risiken nach und nach abwandern, da Versicherungsschutz für diese Individuen zu teuer ist. Die verbleibenden schlechteren Risiken verursachen im Durchschnitt höhere Schäden, die den Versicherer dazu veranlassen, die Prämien zu erhöhen. Dieser Prozess der negativen Auslese kann dazu führen, dass die guten und besseren Risiken auf Versicherungsschutz verzichten. Im Versicherungsbestand bleiben nur noch die schlechtesten Risiken, so dass der Versicherer abermals gezwungen ist, die Prämien zu erhöhen. Am Schluss kann der Versicherungsschutz so teuer sein, dass selbst die schlechtesten Risiken den Versicherungsbestand verlassen. Es kommt zu einem Zusammenbruch des Versicherungsmarktes (Marktversagen). Im Folgenden wird analog zum Modell von Rothschild und Stiglitz (1976) vereinfachend unterstellt, dass es nur zwei mögliche Schadenwahrscheinlichkeit gibt: Individuen mit einer hohen Schadenwahrscheinlicht p h (schlechte Risiken) und Individuen mit einer niedrigen Schadenwahrscheinlichkeit p n (gute Risiken). 36 Es gilt p h > p n Auch als Negativauslese oder Gegenauslese bezeichnet. Das erste grundlegende Modell im Kontext»Adverse Selection«wurde 1970 von George A. Akerlof entwickelt, der am Beispiel des Gebrauchtwagenmarkts gezeigt hat, wie es zur Verdrängung der erwünschten Anbieter kommt (so genannte Saure-Gurken-Problem bzw. Lemons problem bzw. Problem der Montagsautos). Vgl. vertiefend: Akerlof, G. A.: The Market for»lemons«, in: Quarterly Journal of Economics, Vol. 84 (1970), S Vgl. Rothschild, M./J. Stiglitz: Equilibrium in Competitive Insurance Markets: An Essay on the Economics of Imperfect Information, in: Quarterly Journal of Economics, Bd. 90 (1976), S Es ist darauf hinzuweisen, dass»schlechte«und»gute«risiken sich ausschließlich auf die versicherungsmathematischen Schadenwahrscheinlichkeiten beziehen.

63 .5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung 17 Beide Individuentypen maximieren den eigenen Erwartungsnutzen max. E(U(v)) = (1 p j ) U(v 1 ) + p j U(v ) mit j = {h,n} Durch totales Differenzieren der Erwartungsnutzenfunktion erhält man: de(u(v)) = (1 p j ) U (v 1 ) dv 1 + p j U (v ) dv Entlang der Indifferenzkurve ändert sich der Erwartungsnutzen nicht, so dass Daraus folgt: de(u(v)) = 0. (1 p j ) U (v 1 ) dv 1 + p j U (v )dv = 0 bzw. dv = 1 pj U (v 1 ) mit j = {h,n} dv 1 p j U (v ) Daraus folgt, dass die Steigung der Indifferenzkurven der guten Risiken in jedem Punkt steiler ist als die der schlechten Risiken..5. Versicherung bei Kenntnis der Risikotypen Bei Kenntnis der Risikotypen kann der Versicherer erkennen, zu welcher Risikoklasse ein Individuum gehört. Der Versicherer ist imstande, je nach Risikoklasse des Versicherten eine risikoadäquate Prämie zu verlangen. Die beiden Risikotypen maximieren ihre Erwartungsnutzenfunktion durch Auswahl eines geeigneten Deckungsgrades α max. E(U(v)) = (1 p j ) U(v a π j αl) +p j U(v a L π j αl + αl) mit j = {h,n} Die notwendige Bedingung für ein Nutzenmaximum lautet: (1 p j ) U (v 1 j ) π j L + p j U (v j ) (L π j L) = 0 bzw. p j U (v j ) (1 π j ) L = (1 p j ) U (v 1 j ) π j L bzw. U (v j ) U (v 1j ) = (1 pj ) π j mit j = {h,n} p j (1 π j )

64 18 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Kenntnis der Risikotypen Unter der Annahme der fairen Prämie sowie der Kenntnis der Risikotypen würde der Versicherer den Prämiensatz π j gleich der jeweiligen Schadenwahrscheinlichkeit p j setzen. Somit folgt aus der obigen Beziehung: U (v j ) U (v 1j ) = 1 bzw. U (v j ) = U (v 1 j ), d. h. v j = v 1 j mit j = {h,n} Dieses Ergebnis bedeutet, dass alle Individuen, ob gute oder schlechte Risiken, voll versichert sind. Graphisch bedeutet dieses Ergebnis, dass für beide Risikotypen das Nutzenoptimum auf der Sicherheitslinie liegt. Wir haben oben festgestellt, dass die Indifferenzkurven der guten Risiken in jedem Punkt steiler als die der schlechten Risiken sind. Auch die Steigung der Versicherungsgeraden ( 1 ) pj mit j = {h, n} p j für die guten Risiken g n ist höher als die der schlechten Risiken g h, da der Versicherer bei Kenntnis der Risikoklasse nur bereit ist, schlechte Risiken gegen höhere Prämien zu versichern. Im Punkt B haben wir das Versicherungsoptimum für die schlechten Risiken. Das Versicherungsoptimum der guten Risiken liegt im Punkt C. Aus. Abb..47 ist ersichtlich, dass die Individuen der schlechten Risikoklasse bei gleicher Anfangsausstattung im Marktgleichgewicht ein niedrigeres Nutzenniveau erreichen als die Individuen der guten Risikoklasse, denn sie müssen für ihren Risikoschutz eine höhere Versicherungsprämie zahlen. Manchmal kann es sozialpolitisch oder gesellschaftlich wünschenswert erscheinen, die schlechten Risiken besser zu stellen nach dem Motto: Die schlechten Risiken können nichts dafür, dass sie aus versicherungsmathematischer Sicht als»schlecht«eingestuft werden. In diesem Licht ist auch die gesetzliche Vorschrift zu verstehen, dass ab dem nur noch sogenannte»unisex-tarife«zulässig sind. D. h.: Eine Unterscheidung zwischen Männer und Frauen ist bei der Prämienberechnung nicht mehr zulässig. Der Gesetzgeber verfolgt bei dieser Vorschrift die Auffassung, dass

65 19.5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung v v a g n v 1 = v g h C B A v a v 1. Abb..47 Versicherungsgeraden für verschiedene Risikotypen ein Mensch nichts dafür kann, ob er als»mann«oder als»frau«geboren wird. Auch in der kostenlosen Mitversicherung von Familienangehörigen in der gesetzlichen Krankenversicherung ist eine Art»Subvention«der Familie zu sehen. Im einfachsten Fall belastet der Staat die guten Risiken mit einer vom Versicherungsumfang unabhängigen Steuer und subventioniert aus dem Steueraufkommen die schlechten Risiken. Die Anfangsausstattung der guten Risiken verschiebt sich von A nach A, während sich diejenige der schlechten Risiken durch die Subvention von A nach A bewegt (vgl.. Abb..48)..5.3 Versicherung bei Unkenntnis der Risikotypen Bei asymmetrischer Informationsverteilung kennt der Versicherungsnehmer seine Schadenwahrscheinlichkeit, während sie dem Versicherer verborgen bleibt. In diesem Fall kann der Versicherer die guten Risiken von den schlechten Risiken nicht trennen, so dass er seine Versicherungstarife nicht nach Risikoklassen differenzieren kann. asymmetrische Informationsverteilung

66 130 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v va v 1 = v C B A A A v a v 1. Abb..48 Versicherungslösung bei Kenntnis der Risikotypen einheitlicher Tarif Das vereinende Gleichgewicht Aus der Unkenntnis der Risikotypen ergibt sich ein einheitlicher Tarif für beide Risikotypen. Bei diesem Prämiensatz werden sich die schlechten Risiken überversichern, weil der Prämiensatz unter ihrer Schadenwahrscheinlichkeit liegt, und die guten Risiken unterversichern, weil ihnen der Versicherungsschutz zu teuer ist. Der einheitliche Tarif ist für die guten Risiken keine faire Prämie mehr. Da der einheitliche Prämiensatz zwischen dem schlechten und dem guten Prämiensatz liegt, bewegt sich die Versicherungsgerade g e zwischen g h und g n (vgl.. Abb..49). Aus der Graphik 48 ist ersichtlich, dass die schlechten Risiken aufgrund der einheitlichen Versicherungsprämie besser gestellt werden als bei Kenntnis der Risikoklassen (höhere Indifferenzkurve im Punkt D). Bei den guten Risiken ist die Lage umgekehrt. Die guten Risiken müssen bei Unkenntnis der Risikoklassen zu viel für Versicherungsschutz zahlen, so dass sich die guten Risiken nur teilweise versichern. Im Punkt E erreichen die guten Risiken ein niedrigeres Nutzenniveau. Im Punkt D würden sich die schlechten Risiken überversichern, d. h.: der Versicherte würde im Schadenfall eine Entschädigung erhalten, die höher als der erlittene Verlust ist, und sich damit bereichern. Dies wäre ein Verstoß gegen das Bereicherungsverbot in der Versiche-

67 131.5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung v g e g n v 1 = v v a g h D C B E A v a v 1. Abb..49 Versicherungslösung bei Unkenntnis der Risikotypen rungswirtschaft. Die Versicherungsnachfrage der schlechten Risiken muss deshalb rationiert werden, zum Beispiel auf Vollversicherung (Punkt F, vgl.. Abb..49) bzw. auf den Umfang, den die guten Risiken von sich aus wählen (Punkt E). Bei Rationalisierung der Versicherungsnachfrage auf Vollversicherung werden sich die schlechten Risiken im Punkt F voll versichern (vgl.. Abb..49) und die guten Risiken versichern sich nur teilweise (Punkt E). Bei dieser Lösung wäre der Prämiensatz jedoch nicht ausreichend, da die schlechten Risiken im vollen Umfang und die guten Risiken nicht teilweise versichert sind (. Abb..50). Das Versicherungsunternehmen kann auch die Versicherungsnachfrage der schlechten Risiken auf den Umfang beschränken, den die guten Risiken von sich aus wählen (Punkt E). Der Vertrag E in. Abb..51 stellt das sogenannte vereinendes Gleichgewicht bzw. pooledequilibrium dar, da bei diesem Vertrag beide Risikoklassen zum gleichen Prämiensatz und zum gleichen Versicherungsumfang versichert sind. Zur Ermittlung des vereinenden Gleichgewichts muss man aus der Sicht des guten Risikos die Versicherungsnachfrage optimieren. Der gemischte Tarif hat bei dem guten Risiko die gleiche Wirkung wie der proportionaler Kostenzuschlag. vereinendes Gleichgewicht

68 13 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v a g e g n v 1 = v g h D C B F E A v a v 1. Abb..50 Rationierung der Versicherungsnachfrage auf Vollversicherung Es stellt sich nun die Frage, ob der Punkt E (vereinendes Gleichgewicht bzw. pooled equilibrium) ein stabiles Gleichgewicht darstellt. Ein konkurrierendes Versicherungsunternehmen könnte z. B. einen Vertrag G im schraffierten Bereich anbieten (vgl.. Abb..5). Bei diesem Vertrag G bekommen die guten Risiken weniger Versicherungsschutz (G liegt weiter weg von der Sicherheitslinie als E) zu niedrigeren Prämien (steilere Versicherungsgerade). Im Punkt G stellen sich die guten Risiken besser, da hier eine höhere Indifferenzkurve erreicht wird. G wird folglich von den guten Risiken gegenüber E bevorzugt. Die schlechten Risiken bleiben weiterhin im Punkt E, da sie mit diesem Vertrag ein höheres Nutzenniveau erreichen als im Punkt G. Es gelingt somit dem Konkurrenten, die guten Risiken zu sich zu ziehen und so im Erwartungswert sogar einen Gewinn zu erzielen, während die schlechten Risiken beim betrachteten VU verbleiben. 38 Aus dessen Sicht passiert adverse Selektion. Damit verschiebt sich die Zusammensetzung des Versichertenbestands in Richtung schlechter Risiken, und Mischverträge entlang der Versicherungsgerade g e machen im Erwartungswert Verlust. 38 Ein Vertrag G im schraffierten Bereich existiert immer, da die Indifferenzkurve der guten Risiken in jedem Punkt des Koordinatensystems steiler verläuft als die der schlechten Risiken.

69 133.5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung v g e g n v 1 = v v a g h D C B E A v a v 1. Abb..51 Vereinendes Gleichgewicht bei Unkenntnis der Risikotypen v g e g n v 1 = v v a g h D C B E G A v a v 1. Abb..5 Stabilität des vereinenden Gleichgewichts zz Folgerung:» Bei einperiodiger Betrachtung kann ein vereinendes Gleichgewicht stets von einem konkurrierenden Versicherungsunternehmen angegriffen werden und ist deshalb nicht stabil. «

70 134 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Es stellt sich nun die Frage, was in den darauf folgenden Perioden passieren wird. Das angegriffene Versicherungsunternehmen macht Verluste, da die schlechten Risiken bei ihm versichert sind. Es hat zwei Handlungsalternativen: Entweder werden die Prämie neu und risikoadäquat berechnet oder das VU zieht den Vertrag E zurück. In beiden Fällen werden sich die schlechten Risiken mit dem Vertrag G versichern, um das eigene Nutzenniveau zu maximieren. Die Folge ist, dass das angreifende VU sowohl die guten als auch die schlechten Risiken versichert und damit Verluste macht, da die Prämien im Punkt G nicht ausreichend berechnet sind. zz Folgerung» Bei mehrperiodiger Betrachtung kann ein vereinendes Gleichgewicht ein stabiles Marktgleichgewicht darstellen. «trennende Versicherungsverträge Das trennende Gleichgewicht Das Versicherungsunternehmen kann versuchen, aus dem Umfang der Versicherungsnachfrage des Versicherungsnehmers Rückschlüsse auf seine Risikoklasse zu ziehen. Erfahrungsgemäß wollen sich die schlechten Risiken eher voll versichern. Das VU bietet mit der Vertragskombination (B, H) trennende Versicherungsverträge (separating contracts) an (vgl.. Abb..53): Bei Vollversicherung (Punkt B) wird nun die Prämie gemäß der Versicherungsgerade g h verlangt. Bei teilweisem Versicherungsschutz (Punkt H) wird die Prämie gemäß der Versicherungsgerade g n (niedriger Tarifsatz) berechnet. 39 Die beiden Verträge B (Vollversicherung und hohe Prämie) und H (teilweiser Versicherungsschutz und niedrige Prämie) liegen für die schlechten Risiken auf der gleichen Indifferenzkurve, so dass diese sich für die Vollversicherung (Vertrag B) entscheiden, sobald der Versicherungsschutz etwas geringer ist als im Punkt H. Bei allen Deckungsgraden zwischen H und C würden sich die guten Risiken besser stellen als mit dem Vertrag H. Jedoch darf das Versicherungsunternehmen keine höheren Deckungsgrade als im Punkt H anbieten, da diese dann von den schlechten Risiken abgeschlossen würden. Im Punkt H liegt somit der trennende Deckungsgrad. Auch diese Marktlösung mit den trennenden Verträgen stellt kein Pareto-Optimum dar, denn bei Kenntnis der Risikoklassen würden sich die guten Risiken voll versichern und ein höheres Nutzenniveau im Punkt C erreichen. Es stellt sich die Frage, ob die trennenden Verträge B und H stabil sind. Man kann sich analog zum vereinenden Gleichgewicht 39 Vgl. Zweifel, P./Eisen, R.: Versicherungsökonomie,. Auflage, Springer-Verlag, Berlin et al. 003, S. 37.

71 135.5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung v g e g n v 1 = v v a g h C B H A v a v 1. Abb..53 Trennendes Gleichgewicht bei Unkenntnis der Risikotypen (vgl.. Abb..5) vorstellen, dass es rechts unterhalb von H (vgl.. Abb..53) einen Vertrag G gibt, der die guten Risiken besser stellt als in H und die schlechten Risiken schlechter stellt als in B. 40 Mit einem solchen Vertrag G würde ein mögliches Konkurrenzunternehmen die guten Risiken zu sich ziehen und die schlechten Risiken beim Vertrag B belassen. Hat ein Konkurrenzunternehmen einen Anreiz, diese Strategie zu verfolgen? Die Antwort lautet nein, denn selbst wenn das Konkurrenzunternehmen mit dem Vertrag G ausschließlich die guten Risiken an binden kann, ist der Vertrag G nicht ausreichend prämiert, da G oberhalb der Versicherungsgeraden für die guten Risiken liegt. Somit besteht für das Konkurrenzunternehmen kein Anlass, einen Vertrag G anzubieten, da es damit erwartungsgemäß Verluste macht. Learning by Doing (Adverse Selektion) Bei der folgenden Aufgabe soll der Einfluss der Adverse Selektion auf die Versicherungsnachfrage untersucht werden. zz Aufgabe zu Adverse Selektion Die Studenten PAFFSAUF und NARZISS besitzen jeweils ein Anfangsvermögen von 1000 GE. Beide wollen sich durch eine Krankenversicherung gegen das Krankheitsrisiko absichern. Wir nehmen 40 Ein solcher Vertrag G existiert, da die Indifferenzkurve der guten Risiken in jedem Punkt des Koordinatensystems steiler verläuft als die der schlechten Risiken.

72 136 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie an, dass während einer Versicherungsperiode Behandlungskosten entweder in Höhe von 0 (Versicherte bleibt gesund) oder in Höhe von 500 anfallen. Die Wahrscheinlichkeit, dass Student PAFFSAUF krank wird, liegt bei 0 %, während die Krankheitswahrscheinlichkeit für NARZISS 5 % beträgt. Beide Studenten haben die Nutzenfunktion u(v) = v wobei v das Endvermögen darstellt. a. Berechnen Sie den Erwartungsnutzen für beide Studenten, falls keine Versicherung existiert! b. Berechnen Sie den optimalen Versicherungsschutz sowie den zugehörigen Erwartungsnutzen, falls der Versicherer die Risikoklasse der Versicherten kennt und eine faire Prämie verlangt! c. Wir nehmen nun an, dass der Versicherer zwar weiß, dass es die beiden Schadenwahrscheinlichkeiten 0 % bzw. 5 % gibt, die Risikoklasse der Versicherten jedoch nicht beobachten kann. Berechnen Sie den optimalen Deckungsschutz, wenn der Versicherer wegen Unkenntnis der Risikoklasse einen einheitlichen Prämiensatz von 0 % verlangt! d. Um die asymmetrische Informationsverteilung zu reduzieren, kann der Versicherer bei vollem Versicherungsschutz (schlechte Risiken) einen Prämiensatz von 0 % und bei teilweiser Versicherungsdeckung (gute Risiken) den Prämiensatz von 5 % verlangen. Beschreiben Sie graphisch das sog.»trennende Gleichgewicht«sowie stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich der»trennende Deckungsgrad«ermitteln lässt! e. Inwiefern führt die asymmetrische Informationsverteilung zwischen Versicherer und Versicherten zu einer Pareto-Verschlechterung? zz Lösung a. Erwartungsnutzen für beide Studenten, falls keine Versicherung existiert! U PAFF = 0, , 500 = 9,77 U NARZ = 0, , = 31,16 b. Da eine faire Prämie verlangt wird, werden beide den vollen Versicherungsschutz nachfragen mit den folgenden Prämien: P PAFF = 0, 500 = 100 P NARZ = 0, = 5

73 137.5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung Bei vollem Versicherungsschutz befinden sich beide Individuen auf der Sicherheitslinie, d. h.: ihr Vermögen bleibt unabhängig davon, ob ein Schaden eingetreten ist oder nicht. Ihr Nutzenniveau beträgt jeweils: E(U PAFF ) = 900 = 30 E(U NARZ ) = 975 = 31, c. Wird eine faire Prämie erhoben, wird das Individuum den vollen Versicherungsschutz wählen. PAFFSAUF wird somit die volle Versicherungsdeckung nachfragen. Für ihn beträgt der optimale Deckungsgrad 1. Übersteigt die Prämie den Erwartungsschaden, so ist es nicht optimal, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen. Für NARZISS ist es nicht optimal, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen. NARZISS muss den folgenden Erwartungsnutzen optimieren: E(U NARZ ) = 0, , 500 α + 0, α (1 α)500 E(U NARZ ) = 0, α + 0, α Den optimalen Deckungsgrad erhält man durch Ableitung nach α und Gleichnullsetzen. Bei der obigen Erwartungsnutzenfunktion ist α negativ. In diesem Fall verzichtet NARZISS aufgrund des zu hohen Prämiensatzes (0 % anstatt 5 %) vollständig auf Versicherungsschutz. Graphisch lässt sich der Sachverhalt wie folgt darstellen (. Abb..54): d. Das VU bietet mit der Vertragskombination (B, H) trennende Versicherungsverträge (separatingcontracts) an: Bei Vollversicherung (Punkt B) wird nun die Prämie gemäß der Versicherungsgerade g h verlangt. Bei teilweisem Versicherungsschutz (Punkt H) wird die Prämie gemäß der Versicherungsgerade g n berechnet. Die beiden Verträge B (Vollversicherung und hohe Prämie) und H (teilweiser Versicherungsschutz und niedrige Prämie) liegen für die schlechten Risiken auf der gleichen Indifferenzkurve, so dass diese sich für die Vollversicherung (Vertrag B) entscheiden, sobald der Versicherungsschutz etwas geringer ist als im Punkt H. Graphisch lässt sich das trennende Gleichgewicht wie folgt darstellen Zur Ermittlung des trennenden Deckungsgrades muss man die Optimierung der Versicherungsnachfrage aus Sicht der schlechten Risiken behandeln. Die schlechten Risiken dürfen mit dem Vertrag H nicht

74 138 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v a L B v v a - L v 1 = v A v a v 1. Abb..54 Versicherungsverzicht beim zu hohen proportionalen Kostenzuschlag besser stellt werden wie mit dem Vertrag B. Aus Teilaufgabe b) wissen wir, dass die schlechten Risiken einen Erwartungsnutzen von E(U PAFF ) = 900 = 30 haben. Mit dem Vertrag H hätten die schlechten Risiken den Erwartungsnutzen: E(U PAFF ) = 0, , α + 0, α (1 α)500 E(U PAFF ) = 0, α + 0, α. Somit erhält man die Bedingung, mit der sich der trennende Deckungsgrad ermitteln lässt: 0, α + 0, α. e. Wie in der obigen Abbildung dargestellt, wird das gute Risiko im Punkt H schlechter gestellt als im Punkt C. Wenn keine asymmetrische Informationsverteilung vorläge, würde sich das gute Risiko zu seiner fairen Prämie voll versichern (Punkt C). Dies ist jedoch bei asymmetrischer Informationsverteilung nicht möglich. Die guten Risiken können sich nur bis zu dem trennenden

75 139.5 Adverse Selektion und staatliche Regulierung Deckungsgrad im Punkt H versichern und damit ein geringeres Nutzenniveau erreichen (Pareto-Verschlechterung)..5.4 Staatliche Regulierung bei Adverser Selektion Offenbar führt Adverse Selektion im Marktgleichgewicht zu einer suboptimalen Allokation. Es stellt sich die Frage, ob die Allokation durch Staatseingriffe in den Markt derart verbessert werden kann, so dass eine Pareto-Verbesserung erreicht wird. Nachfolgend werden mögliche Maßnahmen der staatlichen Regulierung dargestellt. 41 Der Staat kann als Monopolversicherer die Versicherungsnachfrage rationieren und damit den schlechten Risiken die Möglichkeit nehmen, zu viel Versicherungsschutz nachzufragen. Adverse Selektion tritt vor allem auf, wenn der Versicherer aus dem Verhalten des Versicherungsnehmers nicht auf das Risiko schließen kann. Wenn Zusatz- und Zweitversicherungen ausgeschlossen werden, so kann der Versicherer immer feststellen, wie viel Versicherungsschutz der Versicherungsnehmer gekauft hat. Daraus kann er Rückschlüsse auf die Risikoklasse des Versicherungsnehmers ziehen. Die Besteuerung verteuert den Versicherungsschutz und verhindert, dass zu viel Versicherungsschutz von den schlechten Risiken nachgefragt wird. Das Problem der Adversen Selektion wird dadurch gemildert. Die Versicherungsnehmer müssen den Versicherer über den Umfang des gesamten Versicherungsschutzes und über Besonderheiten ihrer Risikosituation informieren (beispielsweise Gesundheitsprüfung bei der Krankenversicherung oder Angabe über die jährliche Fahrleistung in der Kfz-Versicherung), ansonsten verlieren sie den Anspruch auf die Versicherungsleistung. Durch steuerliche Anreize können Schadenverhütungsmaßnahmen gefördert werden, wodurch sich gute und schlechte Risiken in ihrer Risikolage annähern. Die vor allem in der Kfz-Versicherung eingesetzte Tarifierung aufgrund von Vergangenheitserfahrungen sieht für Versicherungsnehmer mit vielen Schäden in der Vergangenheit eine höhere Prämie vor. Der Staat als Monopolversicherer Zusatzversicherungen ausschließen Pigou-Lösung Offenlegung aller Informationen Subventionierung von Schadenverhütung Bonus-Malus-Tarifierung 41 Vgl. Schulenburg, J.-M.: Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 005, S. 305 ff.

76 140 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Versicherungspflicht Durch eine Versicherungspflicht werden alle Bürger gezwungen, sich an einer Versicherung zu beteiligen. Das Risiko wird gleichmäßig auf die Gesamtheit der Bevölkerung verteilt. Die Adverse Selektion wird damit unterbunden..6 Staatliche Risikoübernahme und Versicherungsnachfrage.6.1 Gründe für die staatliche Risikoübernahme In Zeiten sich häufender Naturkatastrophen oder terroristischer Anschläge wird der Ruf nach dem Staat immer lauter. Die Regierungen können in solchen extremen Situationen des Öfteren dem öffentlichen Druck nicht standhalten und gewähren staatliche Hilfen zur Beseitigung der entstandenen Schäden. 4 Meist wird die staatliche Hilfe in Form einer Grundsicherung ohne nennenswerte Gegenleistung gewährt. Die staatliche Risikoübernahme wird in der Fachliteratur vor allem mit der volkswirtschaftlichen Funktion von Versicherungen begründet. Einschränkungen des Versicherungsschutzes können manche Investoren dazu veranlassen, geplante Investitionen aufgrund des höheren Risikos nicht durchzuführen. 43 Die Beeinträchtigung der Investitionstätigkeit hat wiederum Auswirkungen auf die Schaffung und Sicherung von Arbeitsplätzen. Um die Arbeitsmarktlage und den sozialen Frieden zu stabilisieren, aber auch um Wählerstimmen zu gewinnen, neigen Regierungen bei Naturkatastrophen oder Unglücken größeren Ausmaßes immer häufiger dazu, den Opfern staatliche Hilfen zu gewähren. Ein weiterer Grund für die staatliche Risikoübernahme liegt in der»self-fulfilling-prophecy«-theorie. 44 Wenn die Bürger aus irgendeinem Grund glauben können, dass der Staat im Falle eines Katastrophenereignisses für ihre Schäden aufkommen würde, würden sie freiwillig 4 So gestattet z. B. die US-Regierung im Rahmen des National Flood Insurance Program den Versicherern den überschießenden Betrag, wenn die Schadenzahlungen die Prämien plus Investmenterträge übersteigen. Charakteristisch für eine staatliche Risikoübernahme ist, dass die geforderten Prämien nicht aktuariell fair sondern stark subventioniert sind. Vgl. Dorfman, M. S.: Introduction to Risk Management and Insurance, 8. Ed., Prentice Hall, New Jersey 004, S Banken könnten die Vergabe von Krediten von der Existenz des Versicherungsschutzes abhängig machen. 44 Vgl. Gollier, C.: Some Aspects of the Economics of Catastrophe Risk Insurance, in: OECD (Hrsg.), Catastrophic Risks and Insurance, Paris 005, S. 5.

77 .6 Staatliche Risikoübernahme und Versicherungsnachfrage 141 auf privaten Versicherungsschutz verzichten. Nach dem Katastrophenereignis zwingt der fehlende Versicherungsschutz den Staat oftmals dazu, einzugreifen und»unbürokratisch«soforthilfe zu leisten. Allerdings hat der staatliche Versicherungsschutz nicht uneingeschränkt positive Effekte: Bei einer privaten Versicherungslösung wird das Risiko genau analysiert und Versicherungsschutz nur gegen eine risikogerechte Prämie gewährt. Dadurch werden zu riskante und volkswirtschaftlich deshalb ineffiziente Aktivitäten herausgefiltert. Dagegen tritt bei der staatlichen Risikoübernahme an die Stelle risikogerechter Tarifierung die politische Entscheidung, bestimmte»wünschenswerte«aktivitäten zu ermöglichen. Dies birgt die Gefahr, dass die staatlich Versicherten z. B. weniger in Schadenverhütungsmaßnahmen investieren, da sich höhere Investitionen in Schadenverhütungsmaßnahmen nicht in der zu zahlenden Versicherungsprämie niederschlagen. 45 Das Phänomen, dass ein Versicherter sich anders, meist riskanter, verhält als im Falle ohne Versicherungsschutz, wird in der Fachliteratur als»moral-hazard-verhalten«bezeichnet. Darüber hinaus können bei staatlicher Risikoübernahme wohlfahrtsökonomisch zu riskante Produktionstechnologien gewählt werden, die unter Berücksichtigung ihres hohen Gefährdungsgrades nicht effizient sind. Diese aus wohlfahrts- und versicherungsökonomischer Sicht negative Auslese wird im Schrifttum als»adverse Selection«bezeichnet. Die oben erwähnten Phänomene Moral Hazard und Adverse Selection resultieren hauptsächlich aus der asymmetrischen Informationsverteilung zwischen Versicherern und Versicherten. Diese Probleme treten auf dem Versicherungsmarkt selbst dann auf, wenn der Staat keine staatliche Beihilfe gewährt. In diesem Abschnitt wollen wir untersuchen, welchen Einfluss die staatliche Risikoübernahme in Form einer Grundsicherung auf die Versicherungsnachfrage ausübt und inwiefern der Staat dazu beitragen kann, die Probleme mit Moral Hazard und Adverse Selection zu lösen. 45 In der Praxis finden sich zahlreiche Beispiele für das Moral-Hazard-Verhalten bei staatlicher Risikoübernahme, z. B. bei der Entscheidung, ob ein Gebäude in einem vom Hochwasser gefährdeten Gebiet gebaut werden soll, wird das Hochwasserrisiko meist nicht genügend berücksichtigt, da der Bauherr eventuell davon ausgehen kann, staatliche Hilfen im Schadenfall zu erhalten. Weitere Beispiele für ineffizient staatlich gestaltete Risikoübernahmen vgl. Nell, M.: Staatshaftung für Terrorrisiken?, Working Papers on Risk and Insurance, Hamburg University, 001/4, S. 3 f.

78 14 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v a g e g n v 1 = v g h C B H A v a v 1. Abb.. Das trennende Gleichgewicht.6. Einfluss staatlicher Grundsicherung auf Versicherungsnachfrage Wie bereits oben dargestellt, ist es optimal für den Versicherungsnehmen, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen, wenn das Versicherungsunternehmen eine faire Prämie verlangt. Behält dieses Resultat auch Gültigkeit, wenn eine staatliche Grundsicherung existiert? Dies soll im Folgenden überprüft werden. Wir nehmen an, dass der Staat im Katastrophenfall eine staatliche Unterstützung in Form einer Grundsicherung gewährt. Die staatliche Grundsicherung in Höhe von S wird jedoch nur gewährt, wenn der individuelle Vermögensstand nach eventuellen Versicherungsleistungen niedriger ist als die Grundsicherung. Um den Einfluss staatlicher Risikoübernahme isoliert zu betrachten, nehmen wir an, dass auf den privaten Versicherungsmärkten faire Prämien verlangt werden. Im Anfangsstadium (Punkt A) erreicht das Individuum das Nutzenniveau U 1. Bei fairer Prämie würde sich das Individuum voll versichern (Punkt B) und erreicht das Nutzenniveau U (vgl.. Abb..). Je nach dem, wie hoch die staatliche Grundsicherung ausfällt, hat dies unterschiedliche Auswirkungen auf die Versicherungsnachfrage. Dieser Sachverhalt wird in. Abb..56 verdeutlicht. Beträgt die Grundsicherung S 0, so ist der Vermögensstand im Schadenfall v a L auch ohne Versicherungsleistung größer als S 0. In diesem Fall ist der entstandene Schaden nicht groß genug, so dass der Staat selbst keinen Handlungsbedarf sieht. Die Grundsicherung hat somit keinen Einfluss auf die individuelle Versicherungsnachfrage.

79 143.6 Staatliche Risikoübernahme und Versicherungsnachfrage v U v 1 = v v a U 1 L B S 3 S S 1 v a - L Staatliche Hilfe A S 0 Grundsicherung v a v 1. Abb..56 Staatliche Grundsicherung und Versicherungsnachfrage Erreicht dagegen die staatliche Grundsicherung das hohe Niveau von S 3, so ist es für das Individuum optimal, auf jeglichen Versicherungsschutz zu verzichten, da in diesem Fall die durch S 3 verlaufende Indifferenzkurve weiter vom Ursprung entfernt liegt als die Indifferenzkurve U. Die staatliche Risikoübernahme verdrängt somit vollständige die privatwirtschaftliche Versicherungslösung. Bei der Grundsicherung in Höhe von S ist das Individuum gerade indifferent zwischen Vollversicherung und Nullversicherung. Wenn sich die staatliche Grundsicherung auf weniger als S beläuft, würden die Individuen auf die staatliche Hilfe verzichten und den vollen Versicherungsschutz abschließen. Die Grundsicherung S stellt somit die kritische Grenze dar, ab der die staatliche Risikoübernahme überhaupt einen Einfluss auf die individuelle Versicherungsnachfrage ausübt. Diese Grenze hängt jedoch von der individuellen Risikoeinstellung ab: je risikoscheuer (ausgedrückt in der höheren Konvexität der Indifferenzkurve) das Individuum ist, desto höher ist die kritische Grundsicherung (vgl.. Abb..57). 46 Die Wirkungsweise einer staatlichen Grundsicherung erfolgt analog wie die eines fixen Zuschlags. Überschreitet die Grundsicherung eine bestimmte, individuell abhängige, kritische Marke, so wird vollständig auf privaten Versicherungsschutz verzichtet. Andernfalls wird der volle Versicherungsschutz nachgefragt. 47 Somit wird die Vermutung bestätigt, dass die staatliche Risikoübernahme tendenziell die private Versicherungsnachfrage verdrängt. Jedoch nur, wenn das Aus- 46 Vgl. Kim, B. J./Schlesinger, H.: Adverse Selection in an Insurance Market with Government-guaranteed Subsistence Levels, in: Journal of Risk and Insurance, Bd. 7 (005), S Vgl. Nguyen, T.: Der Einfluss einer staatlichen Grundsicherung auf die Versicherungsnachfrage bei asymmetrischer Informationsverteilung, in: Zeitschrift für die gesamte Versicherungswissenschaft, Bd. 95 (006), S. 437.

80 144 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v 1 = v v a L B unterschiedliche Risikoneigung v a - L A Grundsicherung v a v1. Abb..57 Kritische Grundsicherung bei unterschiedlicher Risikoneigung maß der staatlichen Risikoübernahme hinreichend groß ist, hat sie einen Einfluss auf die private Risikovorsorge..6.3 Auswirkungen staatlicher Grundsicherung bei Moral Hazard Im Abschn..4 haben wir herausgefunden, dass das Moral Hazard Verhalten bei Nichtbeobachtbarkeit der Schadenverhütungsmaßnahmen dazu führt, dass überhaupt keine Schadenverhütung betrieben wird. Wie verändert sich die Marktlösung (Punkt D), wenn der Staat eine Grundsicherung gewährt? Diese Frage kann anhand der. Abb..58 erläutert werden. Der Einfluss der staatlichen Risikoübernahme auf die Versicherungsnachfrage hängt von der Höhe der staatlichen Beihilfe ab. Bei einer staatlichen Grundsicherung in geringer Höhe von S 1, hat sie keinerlei Auswirkungen auf die individuelle Versicherungsnachfrage. Existiert eine Versicherungsmarkt, so wird sich das Individuum voll versichern und keine Schadenverhütungsmaßnahmen durchführen (Punkt D). Ist dagegen kein Versicherungsschutz vorhanden, wird das Individuum eigene Schadenverhütungsmaßnahmen durchführen (Punkt A). Beträgt die staatliche Grundsicherung S, so ist es für den Versicherten nutzenoptimal, keine Schadenverhütungsmaßnahmen durchzuführen unabhängig davon, ob ein privater Versicherungsschutz vorhanden ist oder nicht. Hier wird die Gefahr deutlich, dass staatliche Risikoübernahme oft zu volkswirtschaftlich unerwünschten Mitnahmeeffekten führt, da die Kosten der staatlichen Grundsicherung im individuellen Nutzenkalkül nicht mit berücksichtigt werden.

81 145.6 Staatliche Risikoübernahme und Versicherungsnachfrage v v 1 = v T D B A C S 4 S 3 S S 1 staatliche Grundsicherung e e A e C 0 T v 1. Abb..58 Einfluss staatlicher Risikoübernahme bei Moral Hazard Aus. Abb..57 ist ersichtlich, dass ab einem bestimmten Niveau der staatlichen Grundsicherung die Schadenverhütungsmaßnahmen bereits zum Erliegen kommen, bevor der Versicherungsschutz dieses Moral-Hazard-Verhalten bei den Versicherten auslösen kann. Die staatliche Grundsicherung verstärkt somit das Moral-Hazard-Verhalten. Bei einer staatlichen Grundsicherung i. H. v. S 3 ist es für den Versicherten vorteilhaft, vollständig auf Versicherungsschutz und Schadenverhütungsmaßnahmen zu verzichten und sich ausschließlich auf die staatliche Grundsicherung zu verlassen. Der Nutzenverlust durch Moral Hazard (Vergleich B und D) wird durch die staatliche Grundsicherung reduziert. Ist die staatliche Grundsicherung hinreichend groß (z. B. S 4 ), so wird der individuelle Nutzenverlust durch Moral Hazard sogar überkompensiert. Auf der anderen Seite entstehen auf Seiten des Staates zusätzliche Kosten durch die Bereitstellung der Grundsicherung. Die Frage nach der»optimalen«staatlichen Grundsicherung kann daher ohne Kenntnis einer gesamtwirtschaftlichen Wohlfahrtsfunktion nicht beantwortet werden..6.4 Auswirkungen staatlicher Grundsicherung bei Adverse Selection Wie im Kap..5 erläutert, führt die Adverse Selection aufgrund der asymmetrischen Risikoverteilung zu einer sub-optimalen Lösung. Im vereinenden Gleichgewicht bieten die Versicherer einen gemischten Tarif für beide Risikogruppen an, wobei die guten Risiken eine viel zu

82 146 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v a g e g n v 1 = v g h C B E S 4 S 3 S S 1 A Staatliche Grundsicherung v a v 1. Abb..59 Vereinendes Gleichgewicht und staatliche Grundsicherung hohe Prämie zahlen, so dass sie auf den vollen Versicherungsschutz verzichten. Dagegen werden im trennenden Gleichgewicht zwei verschiedene Tarife angeboten: die schlechten Risiken können sich zum höheren Prämiensatz voll versichern, während Versicherungsschutz zum niedrigeren Tarif nur bis zu dem trennenden Deckungsgrad angeboten wird. In diesem Abschnitt werden die Auswirkungen einer staatlichen Grundsicherung auf das vereinende und das trennende Gleichgewicht untersucht. Staatliche Grundsicherung und vereinendes Gleichgewicht Wir nehmen nun an, dass der Staat bei einem vereinenden Gleichgewicht eine Grundsicherung gewährt. Der Einfluss staatlicher Risikoübernahme auf das vereinende Gleichgewicht kann anhand der. Abb..59 erläutert werden. Ist die staatliche Grundsicherung relativ gering (z. B. S 1 ), so hat dies keinerlei Auswirkungen auf die Marktlösung (Punkt E), da sich sowohl die schlechten als auch die guten Risiken im Punkt E besser stellen als im Punkt S 1. Das Nutzenniveau beider Risikotypen bleibt von der staatlichen Grundsicherung unbeeinflusst. Ist die staatliche Grundsicherung dagegen relativ hoch (z. B. S 4 ), verzichten sowohl die guten als auch die schlechten Risiken auf Versicherungsschutz. Die Versicherungsnachfrage bricht zusammen. In diesem Fall werden sowohl die guten als auch die schlechten Risiken durch die staatliche Grundsicherung besser gestellt als die Marktlösung (Punkt E). Die staatliche Grundsicherung ersetzt dann die private Versicherung.

83 147.6 Staatliche Risikoübernahme und Versicherungsnachfrage Beträgt die staatliche Grundsicherung S, ist es für die guten Risiken nutzenoptimal, keinen Versicherungsschutz zu kaufen und sich auf die staatliche Grundsicherung zu verlassen, da sein Nutzenniveau dadurch erhöht wird. Das vereinende Marktgleichgewicht (Punkt E) kann durch den Wegfall der guten Risiken nicht beibehalten werden, da die Versicherungsunternehmen hier Verluste erleiden. Sie werden dann die Prämien entsprechend erhöhen. Das neue Marktgleichgewicht befindet sich im Punkt B. In diesem Fall ist es für die schlechten Risiken immer noch besser, den vollen Versicherungsschutz zu kaufen und auf die staatliche Grundsicherung zu verzichten. Der Versicherungsmarkt bricht daher nicht vollständig zusammen. Durch die staatliche Grundsicherung in Höhe von S werden die guten Risiken besser gestellt, während die schlechten Risiken im Vergleich zur Marktlösung (Punkt E) Nutzenverluste erleiden müssen. Bemerkenswert an der Grundsicherung S ist die Tatsache, dass der Versicherer an der Versicherungsnachfrage erkennen kann, wer zu den guten und wer zu den schlechten Risiken gehört. 48 Bei einer staatlichen Grundsicherung i. H. v. S 3 ist es für die guten Risiken besser, auf Versicherungsschutz zu verzichten und sich auf die staatliche Grundsicherung zu verlassen. Die schlechten Risiken haben im Punkt E zwar ein höheres Nutzenniveau als im Punkt S. Da aber das Marktgleichgewicht E durch den Wegfall der guten Risiken nicht aufrechtzuerhalten ist und sich das Markgleichgewicht im Punkt B einstellt, ist es für die schlechten Risiken auch besser, auf Versicherungsschutz zu verzichten. Die Versicherungsnachfrage bricht vollständig zusammen. Im Vergleich zur Marktlösung (Punkt E) führt die staatliche Grundsicherung in Höhe von S 3 zu einer Erhöhung des Nutzenniveau für die guten Risiken, während die schlechten Risiken durch die staatliche Risikonahme schlechter gestellt werden. Staatliche Grundsicherung und trennendes Gleichgewicht Als Nächstes stellt sich die Frage, wie das trennende Gleichgewicht verändert wird, wenn der Staat eine Grundsicherung gewährt. Auch hier hängt der Einfluss staatlicher Risikoübernahme von dem Ausmaß der staatlichen Grundsicherung ab. 49 Dies wird in der. Abb..60 verdeutlicht. Ist die staatliche Grundsicherung relativ gering (z. B. S 1 ), so hat sie keinen Einfluss auf die trennende Marktlösung (B und H). Die schlechten Risiken würden sich weiter zu höherem Prämien- 48 Vgl. Nguyen, T.: Der Einfluss einer staatlichen Grundsicherung auf die Versicherungsnachfrage bei asymmetrischer Informationsverteilung, in: Zeitschrift für die gesamte Versicherungswissenschaft, Bd. 95 (006), S Vgl. Kim, B. J./Schlesinger, H.: Adverse Selection in an Insurance Market with Government-guaranteed Subsistence Levels, in: Journal of Risk and Insurance, Bd. 7 (005), S. 66 f.

84 148 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v a g n v 1 = v g h C B H S 4 S 3 S A S 1 staatliche Grundsicherung v a v 1. Abb..60 Trennendes Gleichgewicht und staatliche Risikoübernahme satz versichern (Punkt B), während die guten Risiken bei teilweisem Versicherungsschutz einen geringeren Prämiensatz zahlen (Punkt H). Das Nutzenniveau der beiden Risikotypen bleibt von der staatlichen Risikoübernahme unberührt. Steigt die staatliche Grundsicherung auf ein höheres Niveau (z. B. S ), ist es für die guten Risiken besser, auf den privaten Versicherungsschutz zu verzichten und sich auf die staatliche Grundsicherung zu verlassen, da sein Nutzenniveau dadurch erhöht wird. Die Versicherungsnachfrage der guten Risiken bricht in der Folge zusammen. Verträge im Punkt H verschwinden vom Markt. Dies hat jedoch keine Auswirkungen auf die Versicherungsnachfrage der schlechten Risiken. Diese fragen nach wie vor den vollen Versicherungsschutz bei höherem Prämiensatz (Punkt B) nach, da es für die schlechten Risiken immer noch besser ist, den vollen Versicherungsschutz zu kaufen und auf die staatliche Grundsicherung zu verzichten. Bemerkenswert ist, dass bei dieser Höhe der staatlichen Grundsicherung sowohl das trennende als auch das vereinende Marktgleichgewicht zu dem gleichen Ergebnis führt: Die schlechten Risiken versichern sich zu höherem Prämiensatz voll, während die guten Risiken keinen Versicherungsschutz kaufen. Bei einer staatlichen Grundsicherung i. H. v. S 3 würden beide Risikotypen vollständig auf Versicherungsschutz verzichten, um ihr Nutzenniveau zu erhöhen. Bei dieser hohen staatlichen Grundsicherung bricht der Versicherungsmarkt vollständig zusammen. Die beiden Risikotypen werden durch die staatliche Grundsicherung besser gestellt als im Fall der trennenden Verträge. Zu beachten ist, dass bei S 3 die guten Risiken immer noch

85 .7 Staatliche Eingriffe in die Versicherungsmärkte 149 Staatliche Eingriffe in die Risikovorsorge Versicherungsaufsicht Versicherungspflicht Pflichtversicherung Staat als Versicherer Steuergesetzgebung Sozialsicherungssysteme. Abb..61 Staatliche Eingriffe in die Risikovorsorge schlechter gestellt werden als im Fall der Versicherungslösung ohne asymmetrische Informationsverteilung (Punkt C). Erreicht die staatliche Grundsicherung das Niveau von S 4, so verschwinden auch die Nutzenverluste der guten Risiken, die durch die asymmetrische Informationsverteilung verursacht werden..7 Staatliche Eingriffe in die Versicherungsmärkte.7.1 Staatliche Eingriffe in die Risikovorsorge Der Staat übt einen nachhaltigen Einfluss auf die Versicherungsmärkte aus.. Abb..61 zeigt die möglichen Eingriffe des Staates in die private Risikovorsorge und damit in die Versicherungsmärkte. Privatversicherungsanbieter unterliegen einer staatlichen Versicherungsaufsicht, die sowohl die Zulassung zum Geschäftsbetrieb als auch die laufende Kontrolle der Geschäftstätigkeit umfasst. Regelungen zur Versicherungspflicht (etwa in der Kfz-Haftpflichtversicherung) und zur Pflichtversicherung (beispielsweise in der gesetzlichen Krankenversicherung) sind staatlich vorgegeben. Der Staat betreibt selbst öffentlich-rechtliche Versicherungsgesellschaften, die mit anderen kommerziellen Versicherungsanbietern direkt konkurrieren. Individuelle Risikovorsorge wird durch die Steuergesetzgebung gefördert (»Riester-Rente«). Die sozialen Sicherungssysteme (Rentenversicherung, Arbeitslosenversicherung, Pflegeversicherung) üben einen großen Einfluss auf die individuelle Risikovorsorge aus. Der Einfluss des Staates auf die individuelle Risikovorsorge ist vielfältig. Es stellt sich deshalb die Frage, was den Staat aus ökonomi-

86 150 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Argumente für staatliche Eingriffe Finanzierungsargumente Allokationsargumente Distributionsargumente Effizienzargumente. Abb..6 Gründe für den staatlichen Eingriff scher Sicht legitimiert, derartige Eingriffe vorzunehmen, denn durch die staatlichen Eingriffe wird die Funktionsweise der Marktwirtschaft ganz oder teilweise außer Kraft gesetzt..7. Argumente für die staatlichen Eingriffe Abbildung.6 zeigt eine systematische Aufstellung der wesentlichen Argumente für einen Staatseingriff in die private Risikovorsorge. Nichtrivalität/ Nichtausschließbarkeit Finanzierungsargumente Der Staat stellt eine Reihe von öffentlichen Gütern zur Verfügung (soziale Grundsicherung, innere und äußere Sicherheit, öffentliche Infrastrukturen usw.). Die dafür benötigten Finanzmittel müssen durch entsprechende Steuern, Gebühren oder Beiträge aufgebracht werden. Die öffentlichen Güter zeichnen sich gemäß der Finanzwissenschaft durch Nichtrivalität und/oder Nichtausschließbarkeit aus. 50 Da die Individuen in der Regel nicht freiwillig Steuern, Gebühren und Beiträge entrichten, muss der Staat Zwang ausüben, um Staatseinnahmen zu erzielen und damit die staatliche Bereitstellung von öffentlichen Gütern zu finanzieren. Zum Beispiel hält das öffentliche Gesundheitswesen große Infrastrukturen wie Krankenhäuser, Notfallstationen und sonstige Notdienste vor. In Notfällen und bei Katastrophen kann in einer sozialen Marktwirtschaft niemand von den Leistungen ausgeschlossen, auch wenn der Betroffene unversichert ist und nichts zahlen kann. Ähnlich verhält es sich mit der Renten- und Arbeitslosenversicherung. In der industrialisierten Gesellschaft sind die Familienverbände so klein geworden, dass sie das Risiko von Alter und Erwerbslosigkeit einzelner Mitglieder vielfach nicht mehr tragen können. Wenn Armut weit verbreitet ist, können soziale Unru- 50 Vgl. hierzu die ausführlichere Darstellung über Güterarten in Abschn..1...

87 .7 Staatliche Eingriffe in die Versicherungsmärkte 151 hen, Kriminalität und gesellschaftliche Umstürze hervorgerufen werden. Die Einführung einer Sozialversicherungspflicht soll die Sicherung eines Basiseinkommens gewährleisten und damit einen Beitrag zu einer stabileren Gesellschaft leisten. Viele der vom Staat übernommenen Aufgaben sind jedoch mit der Theorie öffentlicher Güter nicht vollständig zu begründen. Zur Sicherung eines Basiseinkommens und damit zur Vermeidung von Altersarmut und gesellschaftlichen Unruhen reicht beispielsweise eine Grundsicherung in Höhe des Existenzminimums aus. Somit ist nicht einzusehen, warum der Staat weiterhin am Ziel einer Einkommensverstetigung im Rentenalter festhält. Staatlich wahrgenommene Aufgaben, die nicht durch das Modell der öffentlichen Güter begründet werden, sind meist Ausdruck der politischen Wertvorstellungen und des Menschenbildes, das der Staat von seinen Bürgern hat. Geht der Staat von dem Bild mündiger Bürger aus, d. h. jeder Bürger wäre allein in der Lage, für sich selbst zu sorgen. In diesem Fall ist lediglich eine Grundsicherung für unerwartete Fälle erforderlich. Geht der Staat dagegen von dem Menschenbild vor, dass seine Bürger wie»kleine Kinder«zu behandeln sind. So möchte der»vaterstaat«stärker in die Handlungsmöglichkeiten seiner»kinder«eingreifen, um ihnen zu ihrem»glück«zu verhelfen. Ein weiterer Grund für den»expandierenden«staat liegt in dem staatlichen Bürokratieapparat selbst. Politiker, Bürokraten und Staatsbeamte haben einen ausgeprägten Hang zur Machtausübung und Machtvermehrung. Beamte haben deshalb in der Regel nicht die Absicht, den staatlichen Einfluss in die privaten Entscheidungen seiner Bürger (dazu gehört die private Risikovorsorge) zurechtzustutzen, da sie damit ihre Macht einschränken würden. 51 Die Geschichte hat immer wieder gezeigt, dass der Staat und mit ihm die Politiker vielfach die Theorie öffentlicher Güter missbrauchen, um den eigenen Machtbereich zu vergrößern. Allokationsargumente Neben den oben besprochenen Finanzierungsargumenten können Allokationsargumente für den staatlichen Eingriff in die individuelle Risikovorsorge angeführt werden (. Abb..63). 5 Externe Effekte liegen vor, wenn das Handeln eines Individuums einen positiven oder negativen Effekt auf das Nutzenniveau anderer Individuen ausübt. Wenn jemand beispielsweise keine Externe Effekte 51 Es gibt gehässige Zungen, die behaupten, dass Politiker die Ökonomen benutzen, wie Betrunkene die Laterne; sie brauchen nicht Licht, sondern Halt. 5 Vgl. Schulenburg, J.-M.: Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 005, S. 34.

88 15 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie externe Effekte sinkende Durchschnittskosten Altersvorsorge betreibt und im Alter staatliche Unterstützung in Anspruch nimmt, geht dies zu Lasten anderer Individuen. Ein externer Effekt liegt auch vor, wenn jemand ein riskantes Gerät (beispielsweise ein Auto) betreibt, von dem eine Gefahr für die Allgemeinheit ausgeht. Das Individuum berücksichtigt aber diese externen Effekte in seinem nutzenmaximierenden Kalkül nicht, so dass seine Entscheidung zwar aus individueller Sicht optimal, aus gesamtwirtschaftlicher Sicht jedoch nicht optimal ist. Dies hat eine aus gesamtwirtschaftlicher Sicht nicht effiziente Ressourcenverwendung zur Folge. In den Fällen externer Effekte kann es aus allokativer Sicht sinnvoll sein, durch eine Pflichtversicherung bzw. eine Versicherungspflicht diese Effekte zu internalisieren. Die Produktion von Versicherungsschutz erfolgt nicht zuletzt aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen häufig zu sinkenden Durchschnittskosten (Economies of Scale). Wenn die Verwaltung, das Vertriebsnetz und die Abwicklung entsprechend aufgebaut sind, entstehen durch einen zusätzlichen Versicherungsvertrag kaum zusätzliche Kosten. Sinkende Grenzkosten führen zu sinkenden Durchschnittskosten. Dadurch entstehen für die Versicherungswirtschaft ein Konzentrationsdruck sowie eine natürliche Monopolbildung. Die Gefahr der Monopolbildung wird in der Volkswirtschaftspolitik häufig als Begründung für staatliche Eingriffe angeführt, da Monopole aus allokativen und ordnungspolitischen Gründen unerwünscht (Wohlfahrtsverluste, Machtkonzentration, Produktverschlechterungen usw.) sind. Wie bereits im Kap. 1 diskutiert, ist die gesamtwirtschaftliche Wohlfahrt aus Konsumentenund Produzentenrente am kleinsten, wenn eine Monopolstellung am Markt herrscht. Für die Versicherungswirtschaft ist die Gefahr der Monopolbildung systemimmanent, denn je größer der Versicherungsbestand ist, desto besser funktioniert der Risikoausgleich im Kollektiv (das Gesetz der großen Zahlen), desto eher ist das Unternehmen in Lage, niedrigere Prämien anzubieten, da es weniger Risikozuschlag benötigt. Das Ergebnis ist, dass kleinere Versicherungsunternehmen nach und nach aus dem Markt ver- Allokationsargumente Informationsdefizite. Abb..63 Allokationsargumente Sinkende Durchschnittskosten Economies of Scale)

89 153.7 Staatliche Eingriffe in die Versicherungsmärkte drängt werden. Um eine solche»natürliche«monopolstellung zu verhindern, muss der Staat bzw. seine ihm nachgelagerte Wettbewerbsbehörde Rahmenbedingungen schaffen, damit auf den Versicherungsmärkten ein Mindestmaß an Wettbewerb vorhanden ist. Anders als in der mikroökonomischen Modellwelt mit vollkommenen Informationen (d. h.: die Individuen verfügen über alle entscheidungsrelevanten Informationen) sind in der Realität vielfach Informationsdefizite bezüglich einer Vielzahl von Fakten zu beobachten. Fehlende bzw. falsche Informationen führen zwangsläufig dazu, dass die Entscheidungen der Individuen falsch bzw. nicht optimal getroffen werden. Informationsdefizite spielen v. a. in der Altersvorsorge eine besondere Rolle, da die Unsicherheit über die Zukunft hinzukommt. Niemand weiß, wie lange er noch leben wird. Außerdem kann hier eine falsch getroffene Entscheidung (z. B. zu wenig Ersparnisbildung während der Erwerbsphase) nachträglich kaum noch korrigiert werden. Die Individuen haben in der Regel eine ausgeprägte Gegenwartsvorliebe, d. h.: sie schätzen einen Geldbetrag von heute höher als den gleichen Geldbetrag, den sie erst in Zukunft bekommen. Dies gilt nicht nur, weil der Geldbetrag verzinslich angelegt werden kann, sondern auch aufgrund der mit der Zukunft verbundenen Unsicherheit. Wenn Menschen aus irgendwelchen Gründen glauben, frühzeitig zu sterben, werden sie entsprechend keine oder wenige Altersvorsorge betreiben. Dies ist ein Grund, warum die Menschen zu wenig Risikovorsorge betreiben. Aus der Fürsorgepflicht muss der Staat die Bürger mit Hilfe einer entsprechend ausgestalteten Versicherungspflicht bzw. Pflichtversicherung zu einer ausreichenden Risikovorsorge zwingen. Distributionsargumente Die Geschichte in allen Kulturen hat gezeigt, dass eine extreme Ungleichheit der Einkommensverteilung zwischen den Bevölkerungsschichten eine Gefahr für den sozialen Frieden birgt und mögliche Unruhen und gesellschaftliche Umstürze auslösen kann. Die staatliche Sozial- oder Umverteilungspolitik resultiert aus dem Streben nach einer von der Gesellschaft als erwünscht erachteten»gerechtigkeit«. Die Frage danach, was gerecht ist, steht im Mittelpunkt der Diskussion staatlicher Sozialpolitik. Dies ist eine Frage aus der normativen Theorie, wobei die Gerechtigkeit hier die zentrale»norm«darstellt. 53 Wir betrachten nun ein einfaches Modell (vgl.. Abb..64), in dem die in der Literatur gebräuchlichen Gerechtigkeitskriterien dar- Pro-Kopf-Einkommen A Varianz. Abb..64 Wohlstandsverteilung Informationsdefizite Nichtrivalität/Nichtausschließbarkeit 53 Wie bereits im Abschn bereits diskutiert, bestimmen die Bürger in einer Demokratie selbst darüber, welche»normen«zu verfolgen sind. Diese Normenfindung erfolgt in der Regel durch den politischen Meinungsbildungsprozess und vornehmlich durch Wahlen, bei denen über verschiedene Konzepte der Gerechtigkeit entschieden wird.

90 154 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Pro-Kopf-Einkommen G E D F A Varianz. Abb..65 Verteilung des Wohlstandszuwachses gestellt werden. Die Betrachtung beschränkt sich dabei auf die beiden Größen»durchschnittlicher Wohlstand«(Pro-Kopf-Einkommen) und»ungleichverteilung des Wohlstands«(Varianz). 54 Bei einer Gleichverteilung des Wohlstands ist der gesamtwirtschaftliche Wohlstand sehr niedrig, da der Leistungsanreiz für jeden Einzelnen vollständig fehlt. Mit zunehmender Ungleichverteilung des Vermögens steigt der Anreiz für die Individuen, mehr Leistung zu erbringen und sich vom Durchschnitt abzusetzen. Dies führt zu einem Zuwachs des gesamtwirtschaftlichen Wohlstands. Überschreitet die Ungleichverteilung des Wohlstands jedoch eine kritische Grenze, so führt eine weitere Ungleichverteilung zu einem Wohlstandsverlust für die Gesellschaft, da hier die zu starke Ungleichheit den sozialen Frieden gefährdet. In einer wachsenden Volkswirtschaft stellt sich vor allem die Frage, wie der Zuwachs des Wohlstands (Volkseinkommens) verteilt werden soll. Der Wohlstandszuwachs wird in. Abb..65 durch die Streckung der Pro-Kopf-Einkommens-Kurve dargestellt. Punkt D charakterisiert den Zustand, bei dem das Verhältnis aus durchschnittlichem Wohlstand und Ungleichverteilung konstant bleibt. Demgegenüber wird in Punkt G der durchschnittliche Wohlstand konstant gehalten, dafür aber die Gleichheit erhöht, d. h.: 54 Vgl. Schulenburg, J.-M.: Versicherungsökonomik: Ein Leitfaden für Studium und Praxis, Verlag Versicherungswirtschaft, Karlsruhe 005, S. 356 ff.

91 1.7 Staatliche Eingriffe in die Versicherungsmärkte Verteilungskriterien Pareto- Kriterium Rawls- Kriterium Streuungsminimierungskriterium Nozick- Kriterium. Abb..66 Verteilungskriterien der Einkommenszuwachs soll gänzlich dazu verwendet werden, um die Ungleichheit zu beseitigen. Zwischen G und D (z. B. im Punkt E) werden beide Ziele verfolgt (mehr durchschnittlicher Wohlstand und weniger Ungleichheit). In Punkt F wird der Wohlstandszuwachs so verteilt, dass lediglich mehr Ungleichheit entsteht. Alle Verteilungen rechts von dem Maximum des Pro-Kopf-Einkommens sind insoweit ineffizient, dass ein Rückgang der Ungleichheit das Pro-Kopf-Einkommen erhöhen würde. Um die Frage zu beantworten, welche Verteilung anzustreben wäre, gibt es in der Literatur eine Vielzahl von Ansätzen (. Abb..66): Das Pareto-Kriterium verlangt, dass keiner schlechter gestellt wird als in der Ausgangssituation. Eine Verteilung ist nur dann pareto-superior, wenn mindestens ein Gesellschaftsmitglied sich besser stellt, ohne dass sich ein anderes Individuum schlechter stellt. Das Rawls-Kriterium 56 verlangt, dass eine Wohlstandssteigerung alle Beteiligten begünstigt, jedoch die Schwächsten am meisten. Das Streuungsminimierungskriterium zielt auf die größtmögliche Minimierung der Ungleichverteilung, d. h.: der gesamte Wohlfahrtszuwachs soll dazu verwendet werden, die Ungleichheit zu beseitigen. Das Nozick-Kriterium 57 verlangt eine konstante Verteilungsrelation zwischen durchschnittlichem Wohlstand und Ungleichverteilung. Pareto-Kriterium Rawls-Kriterium Streuungsminimi erungskriterium Nozick-Kriterium Effizienzargumente Im Abschn..5.3 über Adverse Selektion haben wir festgestellt, dass die Marktlösung mit trennenden Verträgen beim Vorliegen asymme- Benannt nach dem italienischen Ingenieur, Ökonomen und Soziologen Vilfredo Federico Pareto (geboren 1848 in Paris; gestorben 193 in Céligny). 56 Benannt nach dem US-amerikanischen Philosophen John Rawls (geboren 191 in Baltimore; gestorben 00 in Lexington). 57 Benannt nach dem US-amerikanischen Philosophen Robert Nozick (geboren 1938; verstorben 00).

92 156 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v a g e g n v 1 = v g h C B H A v a v 1. Abb..67 Pareto-Verschlechterung durch Unkenntnis der Risikotypen trischer Informationsverteilung eine Pareto-Verschlechterung gegenüber dem Fall perfekter Informationen darstellt. Die asymmetrische Informationsverteilung bzgl. der Risikoklasse des Versicherten zwingt das Versicherungsunternehmen dazu, trennende Verträge in Punkten B und H anzubieten (vgl.. Abb..67). Diese Lösung ist aber nicht pareto-optimal, da sich die guten Risiken im Punkt C besser stellen könnten. Dieses Pareto-Optimum wäre jedoch nur möglich, wenn das VU die Risikoklasse der Versicherten kennt. Eine staatlich verordnete Pflichtversicherung kann die Effizienz der Marktlösungen steigern, wie die folgende. Abb..68 zeigt. Man stelle sich eine Pflichtversicherung vor, welche ihren Beitrag auf der Grundlage der Anteile guter und schlechter Risiken kalkuliert (Mischvertrag). Alle Risiken (schlechte und gute) sind gesetzlich verpflichtet, sich im Umfang von AA durch den Mischtarif zu versichern. Der neue Ausgangspunkt ist nun A. Das Versicherungsunternehmen kann nun versuchen, für seine Zusatzdeckung ein trennendes Gleichgewicht zu etablieren. Das entsprechende Vertragspaar liegt dann bei B und H. Damit geht aber eine Pareto-Verbesserung dank einer staatlichen Sozialversicherung einher: Die schlechten Risiken stellen sich besser, denn sie erhalten bei B wieder den vollen Versicherungsschutz, jedoch zu günstigeren Prämien (höhere Indifferenzkurve). Sie ziehen einen Vorteil daraus, dass sie den durch Sozialversicherung bereitgestellten Deckungsanteil zu dem für sie günstigeren Mischtarif bekommen.

93 157.7 Staatliche Eingriffe in die Versicherungsmärkte v g e g n v 1 = v v a g h C B H B A H A v a v 1. Abb..68 Wohlfahrtswirkung durch Pflichtversicherung (1. Fall) Die guten Risiken stellen sich aber auch besser, da sie nun bei H auf einer höheren Indifferenzkurve liegen. Der Umstand, dass Sozialversicherung und private Zusatzversicherung die Beschränkung des Versicherungsumfangs für die guten Risiken lockern, ist genügend vorteilhaft, um den Nachteil des für sie ungünstigeren Mischtarifs in der Sozialversicherung zu überkompensieren. zz Folgerung» Beim Vorliegen von adverser Selektion kann die teilweise Deckung durch die Sozialversicherung zu einer Effizienzsteigerung und damit Pareto-Verbesserung für gute und schlechte Risiken führen. «Wichtig für die obige Folgerung ist, dass die Deckung durch die Sozialversicherung nur teilweise erfolgt. Je höher der Deckungsgrad durch die Pflichtversicherung ist, desto höher wiegt der Nachteil, den die guten Risiken dadurch erleiden, dass sie in der Sozialversicherung den für sie ungünstigeren Mischtarif zahlen müssen. Ein zu hoher Deckungsgrad durch die Sozialversicherung kann jedoch dazu führen, dass sich die guten Risiken schlechter stellen als im Fall ohne die Sozialversicherung. In diesem Fall stellt die Sozialversicherung keine Pareto-Verbesserung dar (vgl.. Abb..69). Somit rechtfertigt das Effizienzargument lediglich eine Grundsicherung.

94 158 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie v v a g e g n v 1 = v g h C B B H A H A v a v 1. Abb..69 Wohlfahrtswirkung durch Pflichtversicherung (. Fall).8 Übungsaufgaben zu Kapitel 1. Zeichnen Sie für die vorgegebenen Nutzenfunktionen eine Indifferenzkurvenschar! U = x 1 1/ x 1/ U = x 1 1/3 x /3 U = x 1 + x. Student PAFFSAUF hat ein monatliches verfügbares Einkommen in Höhe von 500. Dieses verfügbare Einkommen gibt PAFFSAUF vollständig entweder für Bier (x 1 ) oder Zigaretten (x ) aus. Bezüglich der beiden Konsumgüter hat der Haushalt die folgende Präferenzordnung U(x 1, x ) = x 1 1/4 x 3/4 Die Marktpreise für x 1 und x betragen 1 bzw. 3 pro Flasche Bier bzw. Schachtel Zigaretten. a. Bestimmen Sie bei den gegebenen Daten den optimalen monatlichen Konsumplan für PAFFSAUF! (Hinweis: Leiten Sie zunächst mit Hilfe des Lagrange-Ansatzes die Bedingungen für das Nutzenoptimum ab, anschließend ermitteln Sie mit den gegebenen Werten die konkreten Konsummengen für Zigaretten und Bier!)

95 159.8 Übungsaufgaben zu Kapitel b. Wie verändert sich der optimale monatliche Konsumplan, wenn durch eine Bafög-Anpassung das verfügbare Einkommen von PAFFSAUF auf 600 steigt! c. Erläutern Sie die Begriffe»normale«und»inferiore«Güter! Sind die Güter x 1 und x in unserem Beispiel normal oder inferior? 3. Gegeben ist die folgende individuelle Nutzenfunktion U = U(x 1, x ) = x 1 1/3 x /3 sowie p 1 = Euro, p = Euro und E =? Ermitteln Sie algebraisch die die Engelkurven und verdeutlichen Sie graphisch die Kurvenverläufe. 4. Ein Individuum konsumiert zwei Güter x 1 (Zigaretten) und x (Brot). Bezüglich der beiden Konsumgüter hat das Individuum die folgende Präferenzordnung U(x 1, x ) = 4 x 1 x a. Ermitteln Sie die Güternachfragefunktionen (Preis-Konsum- Kurven) x 1 (p 1 ) und x (p 1 ) in Abhängigkeit von p 1! Gehen Sie dabei davon aus, dass p = 3 bzw. E = 10 gilt. b. Stellen Sie die in a) ermittelten Güternachfragefunktionen graphisch dar! Handelt es sich bei den beiden Gütern x 1 und x um substitutive oder komplementäre Güter? c. Angenommen, der Preis p 1 steige aufgrund einer Tabaksteuererhöhung von 3 auf 4. Ermitteln Sie den Effekt einer Preiserhöhung von p 1 auf den optimalen Konsumplan! 5. Was versteht man unter Preiselastizität der Nachfrage? Wie wird die Preiselastizität definiert? 6. Stellen Sie die beiden Spezialfälle, nämlich eine völlig elastische und eine völlig unelastischen Nachfragekurve graphisch dar! Erläutern Sie die ökonomische Bedeutung dieser Spezialfälle! 7. Erläutern Sie den Satz von Smith anhand einer Graphik 8. Was besagt der Satz von Pauly? 9. Was bedeutet Moral Hazard? 10. Warum werden beim Moral-Hazard-Verhalten der Individuen zu wenig Schadenverhütungsmaßnahmen betrieben und zu viel Versicherungsschutz nachgefragt? 11. Wann liegt Marktversagen vor? Warum kann Moral Hazard Marktversagen verursachen? 1. Welche fiskalpolitischen Maßnahmen sind möglich, um das Moral-Hazard-Verhalten zu begrenzen? 13. Anhand der folgenden Tabelle sollen die Gerechtigkeitskriterien angewandt werden. Es wird angenommen, dass es drei in der Kopfzahl gleich starke Bevölkerungsgruppen (arm, mittel, reich) gibt, die ein Vermögen in der angegebenen Höhe haben.

96 160 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie Bevölkerungsgruppe Verteilung arm mittel reich Pro-Kopf- Varianz Einkommen A D E F G Abb..70 Verteilungstabelle Aufgabe 13 Der Ausgangspunkt liegt in der Verteilung A. Durch den Wohlstandszuwachs können die Verteilungen D, E, F und G erreicht werden. Entscheiden Sie, welche Verteilungen nach welchen Kriterien zu befürworten sind! (. Abb..70) 14. Diskutieren Sie die Maßnahmen, wie der Staat in die private Risikovorsorge eingreifen kann! 15. Durch welche Argumente könnten die Staatseingriffe in die private Risikovorsorge gerechtfertigt werden? 16. Diskutieren Sie die Verteilungskriterien, nach denen der Staat bei der Distributionspolitik vorgehen kann! 17. Inwiefern kann die Sozialversicherung beim Vorliegen von adverser Selektion zu einer Pareto-Verbesserung führen? 18. Ein Individuum besitzt ein Haus im Wert von , das durch Feuer völlig zerstört werden kann. Die Wahrscheinlichkeit dafür beträgt %. Weiterhin besitzt das Individuum die Nutzenfunktion u(v) = v. a. Wie hoch ist der optimale Deckungsgrad und der zugehörigen Erwartungsnutzen für den Fall, dass der Versicherer einen Prämiensatz von % verlangt? b. Der Versicherer verlangt nun einen Prämiesatz von,5 %, um seine Verwaltungskosten zu decken. Berechnen Sie den optimalen Deckungsgrad sowie das zugehörige erwartete Nutzenniveau! c. Wie hoch ist der optimale Deckungsgrad, wenn der Versicherer einen fixen Zuschlag pro Vertrag i. H. v. 500 verlangt? Wie hoch darf der fixe Zuschlag pro Vertrag sein, damit ein Versicherungsvertrag noch zustande kommt. d. Stellen Sie in einer Skizze Ihre bisherigen Ergebnisse graphisch dar!

97 161.8 Übungsaufgaben zu Kapitel e. Erläutern Sie, warum die Versicherer in der Praxis in der Regel eine Kombination aus fixen und variablen Kostenzuschlägen verwenden! 19. Ein Unternehmer besitzt ein Betriebsgebäude im Wert von Dieses Gebäude kann durch Feuer beschädigt werden. Der dabei entstehende Schaden beträgt Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Brand innerhalb eines Jahres eintritt, hängt davon ab, ob und in welchem Umfang der Unternehmer entsprechende Feuerschutzmaßnahmen durchführt, und beträgt: e (in EUR) p(e) 0,5 0,4 0,3 0, wobei e die durch Feuerschutzmaßnahmen verursachten Kosten darstellt. Weiterhin besitzt der Unternehmer die folgende Nutzenfunktion u(v) = v, wobei v das Endvermögen darstellt. a. Berechnen Sie den erwarteten Nutzenwert, falls der Unternehmer keine Schadenverhütungsmaßnahmen durchführt und keine Feuerersicherung existiert! b. Berechnen Sie die optimale Höhe der Feuerschutzmaßnahmen sowie den zugehörigen erwarteten Nutzenwert, falls keine Versicherung existiert! c. Es existiert nun ein Versicherungsmarkt. Ein Versicherungsunternehmen bietet eine Feuerschutzversicherung zu fairer Prämie an. Der Versicherer geht davon aus, dass Feuerschutzmaßnahmen in Höhe von durchgeführt werden. Berechnen Sie die faire Jahresprämie! Soll der Unternehmer den Versicherungsvertrag abschließen? d. Um seine Verwaltungskosten zu decken, erhebt der Versicherer einen fixen Kostenzuschlag pro Vertrag. Wie hoch darf in diesem Fall der fixe Kostenzuschlag sein, damit der Versicherungsvertrag noch zustande kommt? e. Wir nehmen nun an, dass der Versicherer nicht beobachten kann, ob Schadenverhütungsmaßnahmen durchgeführt werden. Der versicherte Unternehmer reduziert daraufhin seine Feuerschutzmaßnahmen auf Null mit der Folge, dass die Schadenwahrscheinlichkeit ansteigt. Nach anfänglichen Verlusten realisiert der Versicherer die neue Schadenwahrscheinlichkeit und passt seine faire Prämie entsprechend an. Soll der Unternehmer den modifizierten Versicherungsvertrag abschließen? f. Diskutieren Sie anhand der bisherigen Ergebnisse, warum das Moral-Hazard-Verhalten zum Zusammenbruch der Ver-

98 16 Kapitel Versicherungsnachfragetheorie sicherungsmärkte und damit zur Unversicherbarkeit von Risiken führen kann! 0. Der Arbeiter (A) und der Buchhalter (B) besitzen jeweils ein monatliches verfügbares Einkommen von.000. Beide wollen sich durch eine Krankenversicherung gegen das Krankheitsrisiko absichern. Wir nehmen an, dass monatlich Behandlungskosten entweder in Höhe von 0 (Versicherter bleibt gesund) oder in Höhe von anfallen. Die Wahrscheinlichkeit, dass A im Monat krank wird, liegt bei 50 %, während die Krankheitswahrscheinlichkeit für den gesundheitsbewussten B 10 % beträgt. Beide Individuen haben die Nutzenfunktion u(v) = 50 ln(0, 01v) wobei v das Endvermögen darstellt. a. Berechnen Sie den erwarteten Nutzenwert für beide Individuen, falls keine Versicherung existiert! b. Berechnen Sie den optimalen Versicherungsschutz sowie den zugehörigen erwarteten Nutzenwert, falls der Versicherer die Risikoklasse der Versicherten kennt und eine faire Prämie verlangt! c. Wir nehmen nun an, dass der Versicherer zwar weiß, dass es die beiden Schadenwahrscheinlichkeiten 50 % bzw. 10 % gibt, die Risikoklasse der Versicherten jedoch nicht beobachten kann. Ist es für beide optimal, den vollen Versicherungsschutz nachzufragen, wenn der Versicherer wegen Unkenntnis der Risikoklasse einen durchschnittlichen Prämiensatz von 30 % verlangt! Begründen Sie Ihre Antwort verbal und graphisch! d. Um die asymmetrische Informationsverteilung zu reduzieren, kann der Versicherer bei vollem Versicherungsschutz (schlechte Risiken) einen Prämiensatz von 50 % und bei teilweiser Versicherungsdeckung (gute Risiken) den Prämiensatz von 10 % verlangen. Erläutern Sie verbal und graphisch das trennende Gleichgewicht! e. Berechnen Sie im vorliegenden Fall den sog.»trennenden Deckungsgrad«! f. These:»Beim Vorliegen von Adverse Selektion kann die teilweise Deckung durch eine Pflichtversicherung zu einer Effizienzsteigerung und damit Pareto-Verbesserung für gute und schlechte Risiken führen.«erläutern Sie diese These anhand einer geeigneten Graphik!

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