Institut für Wissenschaftliches Rechnen. Prof. Hermann G. Matthies, Ph.D. der TU Braunschweig

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1 Institut für Wissenschaftliches Rechnen Prof. Hermann G. Matthies, Ph.D. der TU Braunschweig Jahresbericht 2008

2 Institut für Wissenschaftliches Rechnen der TU Braunschweig Institutsvorstand: Prof. Hermann G. Matthies, Ph.D. Telefon: 0531 / Telefax: 0531 / URL: Anschrift: Institut für Wissenschaftliches Rechnen TU Braunschweig Hans-Sommer-Str Braunschweig Geschäftszimmer: Frau M.A. Cosima Meyer Wissenschaftliche Mitarbeiterinnen, Mitarbeiter und Doktoranden: Herr M.Sc. Martin Hautefeuille Herr Dipl.-Inform. Dominik Jürgens Herr M.Sc. Christophe Kassiotis Herr Dipl.-Inform. Martin Krosche Herr Dr. rer. nat. Alexander Litvinenko Herr M.Sc. Dishi Liu Frau Ina Müller Frau M.Sc. Alicia Jürgens-Ortega Herr Dr.-Ing. Rainer Niekamp Herr Dipl.-Inform. Oliver Pajonk Herr Dr. rer. nat. Joachim Rang Frau M.Sc. Bojana Rosić Herr Dipl.-Phys. Elmar Zander 2 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

3 Helmholtz-Nachwuchsgruppe Aerodynamik: Herr Dr. rer. nat. Ralf Hartmann Herr Dipl.-Math. Joachim Held Herr Dipl.-Math. Tobias Leicht Herr Dipl.-Math. techn. Florian Prill Apl. Professor: Herr Dr.-Ing. habil. Joachim Axmann (Volkswagen AG) Lehraufträge: Herr Dr. rer. nat. Ralf Hartmann (DLR Braunschweig) Herr Dr.-rer. nat. Carsten Othmer (Volkswagen AG) Herr Dr. rer. nat. Josef Schüle (Gauß-IT Zentrum TU Braunschweig) Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 3

4 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 6 2 Forschung Stochastic and Multi-Scale Modelling of the Inelastic Behaviour of Building Materials Adaptive Discontinuous Galerkin Verfahren höherer Ordnung in der Aerodynamik Advanced Software Engineering for FSI Applications Numerical Simulation of Building Evacuation in Emergency Conditions Partitioned Strategy for Fluid-Structure Interaction A Software Design for Stochastic Simulations Management and Minimization of Uncertainties in Numerical Aerodynamics Sparse data approximation of random fields A Numerical Tackling of Shallow Water Equations with Uncertain Parameters Formalisierung der Meta-Programmierung in C Stochastic Optimisation using Hybrid Evolutionary/ Ensemble Kalman Filter Algorithms Zeitdiskretisierungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen Software Architektur und Algorithmen für gekoppelte Fluid Struktur Simulationen Lückenersatz forstmeteorologischer Daten Formulation and Computational Application of Inelastic Media with Uncertain Parameters Veröffentlichungen und Vorträge Zeitschriftenbeiträge und Proceedings Vorträge Projekttreffen Oberseminarbeiträge Seminarbeiträge Diplom-, Master- und Studienarbeiten Lehre im SS 2008 und WS 2008/ Sommersemester Wintersemester 2008/ Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

5 INHALTSVERZEICHNIS 5 Sonstiges Organisation von Minisymposia/Konferenzen Teilnahme an Workshops und Weiterbildung Kurse Einladungen/Besucher Beteiligung am Studiengang CSE Beteiligung am Graduiertenkolleg Fluid-Struktur-Wechselwirkung Beteiligung am Europäischen Graduiertenkolleg Riskomanagement bei Natur- und Zivilisationsgefahren für Bauwerke und Infrastrukturanlagen Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 5

6 1 VORWORT 1 Vorwort Dear Reader, As you may see on the following pages, there is a certain trend in our work compared to earlier years: the areas where Scientific Computing is applied - and I take that here to mean almost anything that we express through a mathematical/numerical/computational model - is moving into more and more complex domains. The coupled problems become more complex, the individual coupled domains involve more intricate behaviour, the coupling with stochastic modelling involves more refined descriptions like irreversible structural - inelastic - behaviour. And new tasks are tackled in the form of inverse problems, here there seems to be a good chance to use a stochastic description. I hope that this will give you an idea of what we have been doing in Sincerely Yours Hermann G. Matthies 6 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

7 2 Forschung 2.1 Stochastic and Multi-Scale Modelling of the Inelastic Behaviour of Building Materials Ansprechpartner: Martin Hautefeuille Telefon: 0531/ Goal of the Present Study Computing the ultimate bearing capacity of a structure made of concrete is still a current issue in civil engineering. The global collapse at the structure level may be due to lower scale phenomena, for instance at the micro structure level. This project aims at giving some hints on how to bridge these two scales of computation in order to provide a more accurate and physical description of the complex failure of a civil engineering structures. As at finner scale, the phase arrangement as well as the material properties may be not enough known, a global stochastic approach considering these parameters as random quantities may be adopted. This latter point has been studied in the first part of this project and has been left aside this year to focus on the development of an integrated multi-scale component based architecture. The goal is to unify these two approaches in a near future State of Research Besides classical homogenization techniques, numerical homogenization one can be divided as first introduced in [3] into two categories: integrated strategies and sequential ones. The first part of this project has been dedicated to the latter where the purpose is to build up a macroscopic model from an identification process on lower scale computations. Some ideas have been pushed forward in [6] to identify a macroscopic model able retrieve the size effect encountered in quasi-brittle materials [2] as stated in [1]. Since this identification process needs both some more investigations on some theoretical aspects and some reference results to be compared with, an integrated strategy has been developed in parallele for that purpose. The key idea of this strategy is to carry out the lower scale computations during a macro scale computations following [7]. A dedicated framework developed in the context of the component technology has been implemented. This Multi-Scale Strong Coupling Algorithm Component Architecture MuSCAd is using the simulator component CoFeap [8], jointly developed with Christophe Kassiotis. This component architecture has shown some promising results (see [5] and [4]) but is still too computationally demanding to allows one to tackle real size structure with it. This latter remark is even truer when this framework is coupled with stochastic integration techniques Perspective A good strategy to carry out the computation of real size structure would be to melt both integrated and sequential strategies respectively in low and high stress zone. This will be tried in the next month along with the end of the PhD thesis redaction. Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 7

8 2.1.4 Literatur [1] Jean-Baptiste Colliat, Martin Hautefeuille, and Adnan Ibrahimbegović. Meso to macro scale probability aspects for size effects and heterogeneous materials failure. In O. Cazacu, editor, Multiscale Modeling of heterogeneous materials. Wiley (ISTE), London, UK, [2] Jean-Baptiste Colliat, Martin Hautefeuille, Adnan Ibrahimbegović, and Hermann G. Matthies. Stochastic approach to size effect in quasi-brittle materials. Comptes rendus Mécanique, 335: , [3] Frédéric Feyel and Jean-Louis Chaboche. FE 2 multiscale approach for modelling the elastoviscoplastic behaviour of long fibre SiC/Ti composite materials. Computer methods in applied mechanics and engineering, 183: , [4] Martin Hautefeuille, Jean-Baptiste Colliat, Adnan Ibrahimbegović, and Hermann G. Matthies. Multiscale zoom capabilities for damage assessment in strucutures. In Proceedings of the NATO Advanced Research Workshop on damage assessment and reconstruction after natural disasters and previous military activities, Sarajevo, Bosnia & Herzegovinia, [5] Martin Hautefeuille, Jean-Baptiste Colliat, Adnan Ibrahimbegović, and Hermann G. Matthies. On a multiscale framework to model heterogeneous material with strongly coupled scales. In Proceedings of the Eighth World Congress on Computational Mechanics (WCCM VIII), Venice, Italy, [6] Martin Hautefeuille, Sergiy Melnyk, Jean-Baptiste Colliat, and Adnan Ibrahimbegović. meshes and related probabilistic aspects. Engineering Computations, 29(1/2):to appear, [7] Adnan Ibrahimbegović and Damijan Marković. Strong coupling methods in multiphase and multi-scale modeling of inelastic behavior of heterogeneous structures. Computer methods in applied mechanics and engineering, 192: , [8] Christophe Kassiotis and Martin Hautefeuille. Cofeap s manual. Technical report, ENS Cachan TU Braunschweig, Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

9 2.2 Adaptive Discontinuous Galerkin Verfahren höherer Ordnung in der Aerodynamik Ansprechpartner: Helmholtz-Nachwuchsgruppe Aerodynamik Telefon: 0531/ Einleitung Am Institut für Aerodynamik und Strömungstechnik des DLR und am Institut für wissenschaftliches Rechnen, TU Braunschweig, wurde zum 1. April 2006 eine Helmholtz- Hochschul-Nachwuchsgruppe zum Thema New flow solver technology based on adaptive higher order Discontinuous Galerkin methods aufgebaut. Ziel der Forschungen dieser Gruppe ist die Entwicklung eines neuen Strömungslösers für kompressible Strömungen basierend auf Discontinuous Galerkin Verfahren. Dies beinhaltet sowohl die Entwicklung effizienter Algorithmen (Mehrgitter) für die Lösung von Diskretisierungen höherer Ordnung, inklusive Fehlerschätzung, ziel-orientierter isotroper, anisotroper und hp-verfeinerung, als auch die Nutzung der entwickelten Verfahren auf 3D turbulente Strömungen aus der aerodynamischen Anwendung Durchgeführte Arbeiten Randapproximation höherer Ordnung, Nutzung von gekrümmten Zellen Die Arbeiten aus dem vorhergehenden Jahr an der CAD-basierten Geometriebeschreibung und -nutzung wurden in diesem Jahr fortgeführt. Insbesondere wurde diese Technik auf komplexe 2D Fälle erweitert. Im Laufe der Arbeiten stellte sich jedoch heraus, dass diesem Ansatz im Falle komplexer dreidimensionaler Fälle Grenzen gesetzt sind. Bei der Nutzung von gekrümmten Zellen zur Randapproximation höherer Ordnung von gekrümmten Rändern können irreguläre Zellen auftreten. Insbesondere an stark gekrümmten Rändern oder bei Netzen, die eine für turbulente Rechnungen typische Anisotropie in der Randschicht aufweisen, kann es zu Überschneidungen von Randlinien mit inneren Netzlinien kommen. Dies wird nun verhindert, indem auch im Inneren des Gebietes gekrümmte Zellen genutzt werden. Um die Krümmung des Randes in das Innere des Gebietes zu transportieren, wurde ein Netztransformationstool entwickelt, welches das Netz anhand der Lösung einer linearen Elastizitätsgleichung transformiert. Hierbei werden sowohl Randpunkte der CAD-Geometrie als auch die Position von Symmetrieebenen berücksichtigt. Desweiteren wurden Möglichkeiten geschaffen, um die Krümmung von Zellen am Rand oder im Inneren auch unter Netzverfeinerung erhalten zu können. Turbulente Strömungen Die Arbeiten an der Diskretisierung der k-ω Turbulenzgleichungen wurden fortgeführt. Durch die Nutzung der gekrümmten Zellen am Rand und im Inneren des Gebiet und einer weiteren Stabilisierung des impliziten Backward-Euler- Verfahrens konnten nun auch erste konvergierte Lösungen zur Discontinuous Galerkin Diskretisierung der k-ω Turbulenzgleichungen erzeugt werden. Insbesondere wurden eine subsonische turbulente Strömung sowohl um das RAE2822 Profil als auch um die L1T2 Hochauftriebskonfiguration berechnet. Hierzu zeigt Abb. 1 das Gitter mit gekrümmten Zellen und die darauf berechnete Lösung vierter Ordnung um das L1T2 Profil. Ausserdem wurden in diesem Jahr sämtliche Implementierungen für turbulente Rechnungen von 2D auf 3D Fälle erweitert. Desweiteren wurde die Implementierung der punkt- Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 9

10 Abbildung 1: Hochauftriebskonfiguration: L1T2 Dreielementeprofil: (links) Gitter mit gekrümmten Elementen; (rechts) DG Strömungslösung 4. Ordnung für M = 0.197, α = 20.18, Re = : (rechts oben) Machzahl und Stromlinien; (rechts unten) turbulente kinetische Energie k. Abbildung 2: Laminare Strömung (M = 0.3, α = 12.5, Re = 4000) um einen Deltaflügel: Gitter und Machzahlverteilung nach 4 residuen-basierten Verfeinerungen. weisen Limitierung der ω-variablen auf Grundlage einer Schwarzschen Ungleichung für die Geschwindigkeitsfluktuationen vervollständigt und auf dreidimensionale Fälle erweitert. Fehlerschätzung, adaptive Gitterverfeinerung und hp-verfeinerung Nach der Erweiterung des Strömungslösers PADGE [2] von 2D auf 3D laminare Strömungen im vorherigen Jahr wurden dieses Jahr auch die adjungierten Gleichungen von 2D laminaren Strömungen, siehe [3, 1, 4], auf 3D laminare Strömungen erweitert. Desweiteren wurde die Berechnung der residuen-basierten und der adjungiert-basierten Verfeinerungsindikatoren zur Nutzung für 3D Fälle erweitert. Die residuen-basierten Indikatoren sind dazu geeignet, alle Strömungsphänomene aufzulösen, wie z.b. das Wirbelsystem einer laminaren Strömung um einen Deltaflügel, siehe Abb. 2. Dagegen zielen die adjungiert-basierten Verfeinerungsindikatoren auf die genaue und effiziente Berechnung von aerodynamischen Beiwerten. Desweiteren wurde die adjungiert-basierte Fehlerschätzung des Diskretisierungsfehlers von berechneten Beiwerten von zwei- auf dreidimensionale Strömungen erweitert und auf einfachere 3D Fälle (einen stromlinienförmigen Körper und den Deltaflügel) angewendet. Die im vorherigen Jahr entwickelten anisotropen Verfeinerungsindikatoren [5] wurden auf dreidimensionale Fälle erweitert und sowohl mit residuen-basierten als auch mit adjungiert-basierten Indikatoren kombiniert. 10 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

11 Desweiteren wurde die lokale Gitterverfeinerung (h-verfeinerung) mit einer lokalen Variation des Ansatzgrades (p-verfeinerung) kombiniert. Die hp-fähigen Datenstrukturen können nun wahlweise zur reinen h- oder p-adaption als auch zur kombinierten hp- Adaption genutzt werden. Desweiteren wurden gleichungsunabhängige Indikatoren für die Entscheidung zwischen h- und p-adaption hergeleitet und implementiert. Eine Kombination der hp-verfeinerung mit anisotroper h-verfeinerung wurde ermöglicht. Mehrgitterverfahren für DG Diskretisierungen Die Arbeiten im Löserbereich konzentrierten sich in diesem Jahr auf die Entwicklung eines h-mehrgitterverfahrens sowohl für lineare als auch für linearisierte Probleme wie sie etwa bei impliziten Lösungsverfahren einer Discontinuous Galerkin Diskretisierung niedriger Ordnung der kompressiblen Navier- Stokes Gleichungen auftreten. Hierbei basiert das h-mehrgitter auf geometrisch oder auf algebraisch erzeugten Gitterhierarchien. Es wurden verschiedene Anpassungen für die robustelösung linearer und nichtlinearer Konvektions-Diffusionsprobleme durchgeführt. Insbesondere werden für die hyperbolischen/elliptischen Anteile der Gleichungen unterschiedliche Prolongations- und Restriktionsoperatoren sowie eine linien-implizite Glättungsiteration verwendet, siehe [6]. Das h-mehrgitterverfahren wurde auch zur Nutzung auf einem Clustersystem parallelisiert. Das im vorherigen Jahr entwickelte nichtlineare p-multilevel Verfahren (p-mehrgitter) wurde mit dem nun neu entwickelten h-mehrgitterverfahren für lineare Probleme kombiniert. Während mit Hilfe des p-multilevel Verfahrens die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen diskretisiert mit höherer Ordnung auf die Lösung einer niedrigerer Ordnung Diskretisierung zurückgeführt wird, können letztere Probleme nun speziell mit dem h-mehrgitterverfahrens für linearisierte Diskretisierungen niedriger Ordnung gelöst werden, siehe [7] Literatur [1] Ralf Hartmann. Error estimation and adjoint based refinement for an adjoint consistent DG discretization of the compressible Euler equations. Int. J. Computing Science and Mathematics, 1(2 4): , [2] Ralf Hartmann, Joachim Held, Tobias Leicht, and Florian Prill. PADGE, Parallel Adaptive Discontinuous Galerkin Environment, Technical reference. DLR, Braunschweig, In preparation. [3] Ralf Hartmann and Paul Houston. Symmetric interior penalty DG methods for the compressible Navier Stokes equations II: Goal oriented a posteriori error estimation. Int. J. Num. Anal. Model., 3(2): , [4] Ralf Hartmann and Paul Houston. An optimal order interior penalty discontinuous Galerkin discretization of the compressible Navier Stokes equations. J. Comput. Phys., 227(22): , [5] Tobias Leicht and Ralf Hartmann. Anisotropic mesh refinement for discontinuous Galerkin methods in two-dimensional aerodynamic flow simulations. Int. J. Numer. Meth. Fluids, 56(11): , April [6] Florian Prill, Maria Lukáčová-Medvid ová, and Ralf Hartmann. Smoothed aggregation multigrid for the discontinuous Galerkin method. SIAM J. Sci. Comput., In review. Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 11

12 [7] Florian Prill, Maria Lukáčová-Medvid ová, and Ralf Hartmann. A multilevel discontinuous Galerkin method for the compressible Navier-Stokes equations. In Proceedings of ALGORITMY 2009, Submitted. 12 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

13 2.3 Advanced Software Engineering for FSI Applications Ansprechpartner: Dominik Jürgens Telefon: 0531/ Relationship Between Partitioned Analysis and Functional Decomposition Partitioned analysis and the so-called partitioned approach to coupled simulation considers available simulators as black-boxes and introduces a coupling procedure between them. In simulation of time-dependent problems implicit time-integration schemes can be used to achieve a physically strong coupling between the partitions (see for example [9]). The term black-box generally describes a system which can only be accessed through an interface that hides details of the system implementation. In Fluid-Structure- Interaction (FSI) the term black-box is used as a synonym for software which provides finite approximations of the physical behaviour of the respective partitions; its black-box interface is often not considered and does not appear explicitly in simulator or coupling code. This abstract view with a virtual interface often results in entanglement of codes and cannot obscure the fact that many little details are to be considered and a lot of technical problems are to be solved to transform CFD or CSD code into a real black-box. The cost of making a solver a black-box depends on the realisation of the respective solver and on the flexibility it provides. For example [7] encapsulate the FEM code FEAP into a software component called CoFEAP; the solution allows to use FEAP through a black-box interface and the use of component instances over a computer network. CoFEAP provides an interface which is flexible enough to be used in different contexts, it is not specialised for FSI applications. Software component technology allows to create software-black-boxes with context independent interfaces. Therefore given source-code is connected with an explicitly defined interface. Software components have been successfully applied in the development of customised solvers for partitioned analysis (see [8]). In this way, modern paradigms from computer-science are already applied in the development of coupled simulations. For projects in this context, advances in knowledge on abstract component based software systems can help to understand and solve intrinsic problems in the domain of FSI simulation. Limits of Current Approaches The Mesh-based parallel Code Coupling Interface (MpCCI) provided by [5] is an elaborated tool for coupling simulation codes. The methodology to couple codes with MpCCI can be compared with the one provided by the message passing interface (MPI). MPI provides a single program multiple data view (SPMD) on parallel software. The control flow of MPI-programs is distributed over the parallel instances which makes parallel MPI-programs hard to understand, debug and maintain as, for example, [4] discusses. MpCCI extends the functionality of MPI through interpolation support; it provides mesh-based data exchange with interpolation. MpCCI and equally MPI require explicit send and receive calls in the communicating codes, in order to realise interaction between the distributed subprograms. This paradigm enforces therefore a deep knowledge of the code, which needs to be modified to become a parallel or coupled program, respectively. In [6] the architecture of MpCCI is described. The interface to simulator code is realised by Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 13

14 so-called adaptors, which integrate a certain solver into the MpCCI framework. Thereby any MpCCI-adaptor provides the same predefined interface, which makes the simulators exchangeable. These interfaces are not context independent, but specifically designed to match exactly the requirements of coupled simulation. In contrast to a general black-box interface, the MpCCI interface does not make the solver context independent; it provides an interface for the specific context of coupling. Our focus with the approach presented in this article is to develop a hierarchy of context independent simulator interfaces, which can be ubiquitously used for a larger set of applications. In MpCCI a separation of concerns in this general sense is not supported. Instead, simulation providers have to change their code to provide a MpCCI interface, and they have to change it again for any other application. Simulator reuse is not only suggestive in FSI applications, also optimisation, uncertainty quantification and domain decomposition are fields of application. A generic approach for simulator coupling would help to create a common basis of knowledge and technology in all of the mentioned fields. Furthermore, MpCCI is a tool for the specific task of transferring grid-based data between two solvers; it does not provide higher functionality like implicit time integration schemes nor the support for customised interpolation or contact algorithms. MpCCI is a precast solution, not focusing on the support of the development of new coupling algorithms, which in contrast to this is a major goal of the architecture we aim for. The Idea of Algorithmic Skeletons Classical programming languages provide general purpose abstractions like loops or procedures. In contrast, skeletons can be used to model and provide special purpose abstractions. A skeleton is a blueprint of an algorithm providing slots, where userdefined code can be plugged in to specialise the abstract specification, so that it matches specific requirements. The skeleton approach to algorithm design is based on the assumption that similar applications require similar algorithms or at least similar algorithmic structure. An implication of skeleton based design is a decomposition of the overall system into functional subsystems. These functional subsystems are not unique to a specific skeleton, but can be used anywhere, where their function is required. Thereby skeletons assist codereuse, they enable customisation, testing of individual subsystems and provide intrinsic support for parallelisation (see [3]). control interface White-box Simulator Wrapper skeleton Time-integration Skeleton TIP-Interface Time-Integration Policy A interpolation interface Interpolation Skeleton IP-Interface Interpolation Policy control interface White-box Simulator Wrapper skeleton Coupling Skeleton B interpolation interface Distribution Skeleton DP-Interface Distribution Policy Communication Skeletons Component Framework Toolkit Interface Exchangeable Toolkit General Purpose Skeletons Figure 3: The figure shows possible structure of a skeleton based architecture for coupling simulators. The skeletons represent abstract algorithms providing slots to plug-in specific behavioural modules. These modules as well as the skeletons provide explicit interfaces which make them exchangeable. Instead of reimplementing algorithms in different projects, abstract algorithms may be provided and reused. We can think of a skeleton as a template function with functional parameters. In classical programming languages functional parameters are technically provided by functionpointers. But function-pointers have certain restrictions with respect to performance and flexibility. Furthermore a systematic behavioural parametrisation of a program cannot be efficiently modelled with the help of function pointers. Classical languages do not provide functions or types with behavioural parameters which can be used to modify their precast 14 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

15 implementation. Algorithmic skeletons provide such mapping in a high-performance and flexible way because code-generation supports in-lining and compiler optimisation. Algorithmic Skeletons in FSI Applications In FSI applications a number of specific skeletons have to be provided for different parts of the overall system, one of them is a skeleton for a data-transfer component similar to MpCCI ([5]). Instances of the skeletons we aim for where its provided slots are occupied by specific implementations, may provide the same functionality as MpCCI. Nonetheless it is only a special case. Figure 3 shows a layout sketch of a skeleton based architecture for coupled simulation, where modules for functional slots are termed as policies. Skeletons in this architecture are used to provide code generators for recurrent programing tasks in simulator coupling: Writing wrapper code for a specific simulator to provide a coupling-interface Implementing a time-integration scheme Implementing an interpolation scheme Managing distributed instances and connect solvers with common boundaries By providing an architecture instead of a precast solution, customisations become implicitly supported; in this way the coupling algorithm is modelled as white-box and only common structure is fixed. General Architecture for Coupled Simulation on Distributed Memory Machines An important feature of MpCCI is an optimal communication strategy in distributed coupled simulations, where communication only occurs between processors of coupled domains (see [6]). In a skeleton based component architecture, this goal can also be achieved and furthermore, general domain-decomposition algorithms or a coupling of different models i.e. potential flow in the far field, incompressible flow near the boundary layer, may be formulated in a natural way. Domain-decomposition can be considered as special case of coupled simulation, where domains are homogeneous i.e. the meshes and models match. Therefore, the context independent component interfaces we focus on can be used to implement a general parallel coupling environment. Assuming that a meaningful partitioning of the domain is given, each sub-domain can be simulated in a separate simulator component. The general idea is demonstrated in figure 4. The Vision: Plug-and-Play Algorithms At this point we want to present further advantages of the proposed skeleton based coupling architecture. If new algorithms like higher order time-integration schemes can be provided as skeletons, research groups would be able to exchange coupling algorithms in their software simply, by using a different skeleton or policy. A broader scientific exchange would be possible and individual research projects may be able to focus on specific tasks, which results in a better separation of concerns. It becomes possible for a group to publish achievements in a reusable way, so that other groups can take the provided solution and plug it into their project code. Reimplementations of algorithms necessary in classical programming can be avoided in this way. The need for reimplementing code in classical programming has a number of disadvantages for algorithm development; time is consumed in reimplementing the code, testing Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 15

16 it, and finally in integrating the new algorithm into the existing project code. Skeletons instead can be verified and requirements they put to their context can be statically asserted by introducing black-box interfaces between respective subsystems. The explicit interfaces allow the respective black-box sub-system to be tested for assert certain predefined semantics, so that quality enhancements and better maintainability of the software can be achieved. Finally, scientific results become better reproducible in that way Outlook and Future Work Skeleton based software is not a new technology (see [2]); today it is technically implemented by technologies like C++templates (see policy-based design in [1]). The problem with these technologies is that they are complex and therefore hard to understand and handle. The goals of the envisioned skeleton based architecture can only be achieved if the methodology is simple and does not enforce users to become specialists in this field. It is the same as with general purpose programming languages: users do not want (and need) to understand how the compiler builds assembler code to implement a forloop. For that reason, the mightiness of complex technologies like C++-templates has to be reduced to a level of abstraction which is specific enough to model FSIalgorithms. For achieving this goal, a programming language providing exactly the mentioned special purpose abstractions is to be developed. For providing a user-interface to the code generation process, a domain specific language (DSL) (see [10]) is to be defined. The technical realisation of the skeletons can be done with the help of C++-templates, which provide abstractions for programming general purpose code-generators. The envisioned DSL will help to hide the complexity of the templatebased implementation from the user of the algorithmic skeletons. Fluid-Domain Structure-Domain Processors Domain Decomposition C1 F1 F2 F3 F4 F5 S1 F1 S3 S2 Component Mapping C5 F3 C6 C7 F2 F4 F5 S1 C14 C2 C3 C4 C8 C9 C10 C11 C12 C13 S3 S2 C15 C1 F1 F3 C5 C6 C7 F2 F4 F5 S1 C14 C2 C3 C4 C8 C9 C10 C11 C12 C13 S3 Processor Mapping Figure 4: The Figure shows a possible decomposition of a coupled simulation with a fluid and a structure domain. In a domain decomposition step the domains are partitioned for optimising load balancing. Each partition is then modelled by a separate simulator component (F1..5 are the fluid subdomains and S1..3 are the structure subdomains, respectively). The simulator components are independent and can even implement different models. Instances of the coupling components C1..14 which are implemented with the help of the presented skeleton are created to couple respective fields. These coupling components do not need to be homogeneous, they may implement different algorithms. The mapping of the components to the processors in the last step can be done arbitrarily, which is a property of the software component approach. Dynamic allocation of the resources for optimised load balancing can be realised by using component migration to dynamically move a running component to another processor. This is an interesting feature on machines with nonuniform memory architecture. The Anticipated Paradigm-Shift The paradigm-shift we anticipate is an introduction of a new concern into coupled simulation. The concerns which are already established in the scientific community are mathematics, physics and engineering. Computer science, as another important contributor, is by now involved by providing general purpose programming constructs like standard 16 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen S2 C15

17 programming languages or by providing precast black-box solutions like MpCCI. The goal of providing specialised abstractions by developing new languages is not yet followed. With our future work, we want to open this door to provide special purpose abstractions and a specialised programming language, which provide a higher degree of flexibility in supporting algorithm development. We think building a common basis of algorithmic knowledge is very important in an area of active research. A positive effect of skeletons compared to programming technologies as C++-templates is their formal definition; skeleton contributions of research groups can be described in the common language of mathematics, without having to describe things in natural or pseudo-languages References [1] Andrei Alexandrescu. Modern C++ design: generic programming and design patterns applied. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boston, MA, USA, [2] M. Cole. Algorithmic Skeletons: Structured Management of Parallel Computation. Research Monographs in Parallel and Distributed Computing. Pitman, [3] J. Darlington, A. J. Field, P. G. Harrison, P. H. J. Kelly, D. W. N. Sharp, Q. Wu, and R. L. While. Parallel programming using skeleton functions. In A. Bode, M. Reeve, and G. Wolf, editors, PARLE 93: Parallel Architectures and Languages Europe, pages Springer-Verlag, Berlin, DE, [4] Thomas Eidson, Jack Dongarra, and Victor Eijkhout. Applying aspect-orient programming concepts to a component-based programming model. In IPDPS 03: Proceedings of the 17th International Symposium on Parallel and Distributed Processing, page 205.2, Washington, DC, USA, IEEE Computer Society. [5] Fraunhofer. MpCCI Multidisciplinary Simulation through Code Coupling, http: //www.mpcci.de/, [6] Fraunhofer. MpCCI Documentation, [7] Christophe Kassiotis and Martin Hautefeuille. cofeaps Manual, [8] Hermann G. Matthies, Rainer Niekamp, and Tarin Srisupattarawanit. Scientific computing with software-components. IACM Expressions, 19:27 31, [9] Hermann G. Matthies, Rainer Niekamp, and Jan Steindorf. Algorithms for strong coupling procedures. Comp. Meth. Appl. Mech. Engrng., 195: , [10] T. Sloane, M. Mernik, and J. Heering. When and how to develop domain-specific languages, Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 17

18 2.4 Numerical Simulation of Building Evacuation in Emergency Conditions Ansprechpartner: Alicia G. Jürgens-Ortega Telefon: 0531/ Introduction The successful evacuation of a building depends on several things. Where two important aspects are: the characteristics of the persons who are present in the building to evacuate (i.e. age, gender, previous experience in the building), and the behaviour that those individuals may present at the moment of the evacuation. In evacuation dynamics big amounts of grouped individuals, or crowds, are typically involved. Thereby crowds are considered as a dynamical social system [1], where several interactions among its participants take place. Behaviour of crowds tends to change in time and according to the situation (i.e. normal or during an emergency) [7]. For simulating real scenarios during an evacuation, the use of only a mathematical model for describing the behaviour of a crowd is not sufficient and further refinements have to be introduced New Suggested Approach In the present work, behaviour of a crowd is assumed to be influenced by its surrounding environment, and psychological and physiological elements have to be considered. The previously tested model computes the path taken by pedestrians on its way to the exit, calculating step by step the walking direction with the uses of a second order ODE [5]. Such model is useful but its implementation for complex buildings causes problems [2, 3]. Therefore, it was decided to extend this model to a new one which involves the psychological factors of human perception as suggested by Gibson [6] and other ecological psychologists [8, 9]. The introductory ideas of the new suggested approach, in special the Evacuation Thinking Process (ETP), have been published in [4] Development of a New Model The ETP can be summarised as a coupling of several sub-processes [4], where perceiving, thinking and acting happens in parallel but not independently. In the perception process an identification of the surrounding environment takes place together with a classification of the observed objects with respect to their relevance. In the thinking process the previously classified information is used to derive decisions. These decisions are modelled through targets which are to be achieved and obstacles which are to be avoided. The global target to succeed the evacuation can be thereby implied strongly dependent sub-goals. Another part of the human ETP model is the elaboration of possible routes. For this, a new model is developed with which two main variables, the desired walking direction (θ Pd ) and the desired walking speed (v Pd ), are controlled. The control is based on information obtained from the surrounding environment (i.e. position of other pedestrians, available exits, and further objects). In general the desired walking direction of a pedestrian will be described as: θ Pd = θ D fluctuation (1) 18 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

19 by: In a similar way the description of the desired walking speed of a pedestrian is given v Pd = v D fluctuation (2) In both cases the desired walking direction (θ D ) and walking speed (v D ) of a pedestrian with respect to the destination are influenced by environmental fluctuation (i.e. the presence of other pedestrians). Where a high presence of other pedestrians on the path of the considered one will be translated into a high influence to the desired walking direction and speed. Such fluctuation will be a function of a directional attractivity change (A D ) and a walkability-factor (p) to the direction of the intended destination (D). The directional attractivity change valuate the degree of attractivity for a change of walking direction. A D = (r θ D r θp ) r θd + r θp (3) Where r θd and r θp represent the individual resistance present on the path to the destination and on the path taken by the pedestrian, respectively. The individual terms of resistance are evaluated as r θ = D P,D (D o ) min ϱ P (4) where D P,D is the distance between the considered pedestrian and its destination, (D o ) min is the minimal distance existing among the obstacles present on the path of the pedestrian, and ϱ P describes the density of obstacles that are present on the path of the considered pedestrian to its destination. The walkability factor (p) then controls the change of the walking direction of the observed pedestrians by means of the directional attractivity change (A D ) Cutting of negative values we get p = A D e (θ P θ D ) ˆp = { p p > 0 0 p < 0. (5) (6) Finally the desired walking direction of the observed pedestrian can be expressed as: θ Pd = θ D ˆp (θ P, θ D ) (θ P θ D ) + ˆp (θ rand, θ D ) (θ rand θ D ) (7) where (θ rand ) gives additional random fluctuation State of Research A complete thinking model comprises the mathematical expressions of pedestrian walking direction and walking speed. Until now the development of the first part of the model has been achieved. At the moment, the computational implementation of the thinking model is still in progress. Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 19

20 2.4.5 Perspective The major goal of this work is the improvement of the suggested evacuation thinking process model (ETP) with respect to psychological aspects rather than algorithmically. Validation is a basic problem in the development of numerical models for our purpose. In the simulation of building evacuations, validation is needed but difficult to achieve due to a lack of available measurements. A further goal in this work is the validation of the model under psychological view. A comparison of results with descriptions of crowd phenomena provided by psychologists is therefore important References [1] A.G. Ortega Camarena. Numerical simulation of building evacuation in emergency conditions. In PAMM, volume 7, pages , December [2] A.G.Ortega Camarena. Numerical simulation of building evacuation in emergency conditions. Technical report, IGC-802, Institute of Scientific Computing. TU- Braunschweig, December [3] A.G.Ortega Camarena. Numerical simulation of building evacuation in emergency conditions. Technical report, IGC-802, Institute of Scientific Computing. TU- Braunschweig, June [4] A.G.Ortega Camarena and D. Jürgens. Introducing a coupled model for simulating crowd behaviour. In 4th Conference on Pedestrian and Evacuation Dynamics (PED2008). To be published, February [5] B.R. Fajen, W.H. Warren, S. Temizer, and L.P.Kaelbling. A dynamical model of visually-guided steering, obstacle avoidance, and route selection. International Journal of Computer Vision, 54(1/2/3):13 34, [6] J.J. Gibson. Perception of the Visual World. Houghton-Mifflin, Boston, [7] D. Helbing, I.J. Farkas, P. Molnár, and T. Vicsek. Simulation of pedestrian crowds in normal and evacuation situations. In Pedestrian and Evacuation Dynamics, M. Schreckenberg and S.D. Sharma (Eds.). Springer-Verlag Berlin, [8] H.M. Proshansky, W. Ittelson, and L.G. Rivlin. Environmental Psychology: Man and His Physical Settings. Holt, Rinehart and Winston, New York, [9] D. Stokols and I. Altman. Handbook of Environmental Psychology, volume I and II. Wiley New York, Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

21 2.5 Partitioned Strategy for Fluid-Structure Interaction Ansprechpartner: Christophe Kassiotis Telefon: Goal of the Present Study The present work arises from a joint work between the Institut für Wissenschaftliches Rechnen (TU Braunschweig) and the Laboratoire de Technologie Mécanique (ENS de Cachan). This project aims to model the behavior of (civil-engineering) structures under natural fluid loading such as extreme winds or tsunamis. To that end, a partitioned strategy based on code coupling was chosen. This is ensured in the component technology framework by the CTL middleware. My work is focused on two main points: Strongly coupling algorithm: understanding of the mathematical framework, stability analysis of algorithms and their numerical implementations. Development of components for fluid structure interaction Partitioned Strong Coupling Algorithm Our partitioned strong coupling strategy aims to solve non-linear multi-physic problems conserving a maximum software independence. In the world of traditional engineering, the loading on a structure is given, but the influence of the structure deformation on its environment is often neglected. A natural way is to loop until convergence of one quantity of interest. This kind of algorithm has shown to be influenced by the density ratio between the fluid and the structure coupled [1, 7], and sometime fails. To overcome this difficulty, relaxation or (quasi-)newton [2] algorithms that give a better direction of research are known to give good results. For the sake of simplicity, we choose here to implement relaxation Development of Components In the year 2008, the following components were developed: cofeap [5]: a mechanical component based on the FEM code FEAP. Joined work between M. Hautefeuille and myself. ofoam-2: a fluid component based on the VOF code OpenFOAM [4]. This component aims to avoid files writing/reading procedures as it was done in ofoam (developed by M. Krosche who wanted to avoid some license problem) [6]. conuwata: a free surface flow component base on the BEM code nwtank developed partly at the CMLA (ENS Cachan, France) [3]. These components are coupled using the followings tools: Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 21

22 cops: this Coupling by a Partitioned Strategy component was implemented allowing explicit and implicit coupling with Gauß-Seidel iterative scheme. Some Aitken-like relaxation strategy was also implemented. translator: a trivial implementation of translator for matching meshes required by cops. The translator component is also in charge of temporal prediction and correction Future Work The main future work is to validate the coupling code on academic examples and then to study results from big computations. On the theoretical point of view, a better understanding of the effects from the different time scale and time step used for each component has to be explored. The development of some error indicators for fluid-structure interaction problem has also to be tackled, as well as their implementation References [1] M. Arnold and M. Gunther. Preconditioned dynamic iteration for coupled differentialalgebraic systems. BIT Numer. Math., 41:1 25, [2] W. G. Dettmer and D. Perić. A fully implicit computational strategy for strongly coupled fluid-solid interaction. Archives of Computational Methods in Engineering, 14: , [3] C. Fochesato, S. Grilli, and F. Dias. Numerical modeling of extreme rogue waves generated by directional energy focusing. Wave Motion, 44: , [4] H. Jasak. Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Method with Applications to Fluid Flows. Phd Thesis, Department of Mechanical Engineering, Imperial College of Science, Technology and Medicine, [5] C. Kassiotis and M. Hautefeuille. cofeap s Manual. École Normale Supérieure de Cachan, Laboratoire de Mécanique et Technologies, Secteur Génie Civil, http: //www.lmt.ens-cachan.fr/cofeap. [6] Martin. Krosche. Ofoam s manual. Informatikbericht, Institute for Scientific Computing, (In Preparation). [7] H. G. Matthies, R. Niekamp, and J. Steindorf. Algorithms for strong coupling procedures. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 195: , Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

23 2.6 A Software Design for Stochastic Simulations Ansprechpartner: Martin Krosche Telefon: 0531/ In many physical phenomena (e.g. fluid dynamics) it can be observed that corresponding quantities exhibit uncertain behaviour. Measuring these uncertainties by experiments may lead to an approximating mathematical representation given in form of random variables or random fields. The physical phenomena may be described by a PDE. Introducing stochastic representations of corresponding physical parameters leads to a stochastic PDE (SPDE), in which as a consequence also the unknown quantities become stochastic. Due to the additional stochastic dimensions, handling the problem in a numerical way is hindered. Known and applied numerical methods for approximating statistics on the stochastic unknowns are Monte Carlo (MC) methods, Stochastic Collocation methods and the Stochastic Galerkin method. Both the MC and Stochastic Collocation methods are based on samples in the stochastic space, but the Stochastic Collocation methods do not sample randomly. They try to choose the sample-points in a sophisticated way, so that their convergences are much better than MC. As a Stochastic Collocation method leads to a truncated expansion of the unknowns, desired statistics can be extracted from this expansion. The Stochastic Galerkin method performs a Galerkin Ansatz in the Stochastic space. It promises to converge faster than the other mentioned methods, but in its classical approach it underlies the curse of dimensions, which means that the complexity increases exponentially when dimension and order of the stochastic Ansatzfunctions are increased. Covariance function framework component reused using 3rd party code Covariance KLE EV solver PCE Linear solver MC Simulator Stochastic Galerkin Evaluator Marginal PDF transformation Multi index generator Distribution Delta Figure 5: Software component system The algorithmic descriptions of the enumerated numerical methods exhibit overlappings. Some parts of the algorithms pander to parallel or distributed execution. From a software engineering point of view common design patterns can be utilised. Abstractions of datastructures and their separation from algorithms lead to lightweighted code. Clear and lightweighted code benefits maintainability that means maintaining the current software system, extensibility that means extending and adding features to the current software system and reusability that means reusing parts of the software system to realise Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 23

24 extensions or reusing them in other software systems. The software system is declared to be flexible, if parts can be connected without the need to adapt interfaces or implementations, to re-compile or re-link codes. To gain these system properties I follow generic programming and utilise the idea of software components. A software component is considered to be a software whose functionality is specified and accessed through an interface. In this context a component may be local or remote and connected to other components to solve more complex tasks. Connecting remote access to components leads to the usage of a so called middleware. A middleware allows to program multi-threaded applications, whose processes (when executed) can communicate over a connecting network in a very transparent way, hiding most of the corresponding complexity. The current version of the implemented software system offers a classical MC method, the Smolyak algorithm for high dimensional quadrature, a Stochastic Collocation method based on a regression and the Stochastic Galerkin method. Presently the main focus lies on a decomposition into components. This is shown in figure 5 for the MC and the Stochastic Galerkin methods. Technically spoken, the software design winnows the stochastic rates from the deterministic ones. The deterministic rates are captured by the simulator component solving deterministic physical models or providing deterministic model specific informations. The simulator is probably the most replaced component, as it allows to integrate deterministic third-party simulators without changing, re-compiling or re-linking the remaining parts of the presented software system. In the figure, the term reused is meant as reusage by both frameworks, the MC and the Stochastic Galerkin framework. 24 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

25 2.7 Management and Minimization of Uncertainties in Numerical Aerodynamics Ansprechpartner: Alexander Litvinenko Telefon: 0531/ Since January 2007 the Institute for Scientific Computing (WIRE) participates in MUNA (Management and Minimization of Uncertainties in Numerical Aerodynamics) project. The mathematical model consists of Navier-Stokes system plus turbulence equations. The domain under consideration is either the whole airplane or a profile with some area around. It is clear that there are some uncertainties in a) geometry, b) in the discretisation, c) in parameters and d) in turbulence modelling. Our group researches the uncertainties from items (a), (c) and (d). Uncertainties in geometry. After some years of exploitation under influence of external random forces the initial geometry of, for example, wing profiles is changing. These changes in geometry may influence important aerodynamic characteristics, such as, e.g. lift and drag, remarkably. Uncertainties in parameters. Usually, there are more than 300 different parameters and coefficients in a deterministic aerodynamical simulator (such as, e.g., the TAU code). Some of them are of stochastic nature, others can be set up by experts only approximately, the third are randomly changing during experiment and so on. Deterministic modelling of such coefficients and parameters is often insufficient. It is why the stochastic modelling is offered. Examples of the stochastic variables are the Mach number, attack angle, viscosity, Reynolds number etc. Uncertainties in turbulence modelling. WIRE cooperates with the Aerodynamisches Institut (RWTH Aachen) and with the Institut für Strömungsmechanik und Technische Akustik (Berlin). Our contribution is to determinate important stochastic parameters in the presented turbulence models and then develop fast numerical methods for computing the stochastic output (mean values, variance, admissible intervals, higher order moments etc of, e.g., lift and drug). In 2008 WIRE developed new and extended old numerical techniques such as Monte Carlo methods, Collocation methods, Sparse Grids methods and Stochastic Galerkin methods to handle the uncertainties appearing in parameters and in the computational geometry Random variables To model the turbulence in the atmosphere we use (2D case) two random vectors v i, i = 1, 2: v i = σθ i 2 = Iu θ i 2, where θ 1 and θ 2 are two Gaussian random variables with zero mean and unit variance, I (by default =0.001) the turbulent intensity (used in k-w-model and Reynolds- Spannungsmodell) and u the far field velocity. Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 25

26 Fig. 1. An air-profile and two random vectors v 1 and v 2 modelling turbulence in the atmosphere. α and u are the new attack angle and the new far field velocity. Thus, in the stochastic framework, we assume that besides the old far field velocity u we have the new velocity u + v. Here v = v 21 + v 22 = Iu θ 2 2, where θ 2 := θ θ 2 2. After some easy computations, we obtain the new attack angle α and the new Mach number Ma (for the case θ 1 > 0 and θ 2 > 0): sin α + z sin β α(θ 1, θ 2 ) = arctg cos α z cos β, Ma(θ 1, θ 2 ) = Ma 1 + I2 θ 2 2 2Iθ cos(β + α), where z := Iθ 2, and β = arctg θ 2 θ 1. Then we start the deterministic solver (TAU) with the new α(θ 1, θ 2 ) and Ma(θ 1, θ 2 ). In Figure 2 below one can see 25 computed drags Cd for α(θ i, θ j ) and Ma(θ i, θ j ), i, j = 1..5 and an interpolated surface. Fig. 2. Dependence of the drug Cd on the attack angle α and the Mach number Ma, Cd = Cd(α, Ma) = Cd(α(θ 1, θ 2 ), Ma(θ 1, θ 2 )). 26 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

27 2.8 Sparse data approximation of random fields Sparse approximation of the covariance function To solve a given SPDE numerically one has to discretise the deterministic operator as well as the stochastic fields. The total dimension of the SPDE is the product of the dimensions of the deterministic part and the stochastic part. To approximate random fields with as few random variables as possible, but still retaining the essential information, the Karhunen-Loève expansion (KLE) becomes important. The KLE of a random field requires the solution of the following eigenvalue problem MCMφ i = λ i Mφ i, (8) where M is a mass matrix and C R n n symmetric and positive definite. The matrix M can be sparse, but the matrix C is dense. Usually this equation is solved by a Krylov subspace method with a sparse matrix approximation. We successfully researched and applied two sparse data techniques: the hierarchical matrices [3] and the sparse tensor data format [7, 6, 5, 4] Numerics Now we illustrate how we applied hierarchical matrices to approximate C. Let x = (x 1,..., x d ) and y = (y 1,..., y d ) be two points in the computational domain G R d, ρ = d i=1 x i y i 2 /li 2, l i are correlation length scales and d = 2, 3. Typical examples of the covariance functions are a) cov(ρ) = e ρ2 (Gaussian) and cov(ρ) = e ρ (exponential). As an example of the computational domain we take an 3D L-shape domain with nonregular triangulation. All the following numerical experiments are done on a computer with a 2GHz processor and with 3GB of memory. Table 1 shows the computing time and storage requirement for the H-matrix approximation C of C. One can see that C needs much less memory and computing time than C. This table demonstrates also a log-linear computational cost O(kn log n) of the H-matrices. n rank k size, MB t, sec. ε := (C C)z 2 C 2 z 2 max i λ i λ i for C C C C C Table 1: The accuracy of the H-matrix approximation of the exponential covariance function. Covariance length are l 1 = l 3 = 0.1, l 2 = 0.5. Table 2 shows the computing times which required the eigenvalue solver TRLAN [8] with an H-matrix approximation of C to compute m eigenpairs. As an alternative to H-matrices we consider the low Kronecker rank format [5]. For instance, the Gaussian kernel has the Kronecker rank r = 1, since exp( x y 2 ) = exp( (x 1 y 1 ) 2... exp( (x d y d ) 2 ). (9) Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 27

28 matrix info (MB, sec.) m n k size of C time to set up C Table 2: Time required for computing m eigenpairs of the exponential covariance function with l 1 = l 3 = 0.1, l 3 = 0.5. r C C r C C 2 C r 2 C Table 3: Low Kronecker rank tensor approximation C r of C. The exponential kernel exp( x y ) can be also approximated by a tensor with a low Kronecker rank r (see Table 3). To solve (8) we approximate M and C such that M d ν=1 M (1) ν M (2) ν, C q ν=1 C (1) ν C (2) ν, φ r ν=1 φ (1) ν φ (2) ν, where M (j) ν, C (j) ν R n n and φ (j) ν R n, j = 1, 2 p, q, r are Kronecker ranks. Computation of components M (j) ν, C (j) ν and φ (j) ν is not evident task. For this purpose we use either the SVD algorithm (exact) or the ACA [1, 2] method (approximate). The storage of C in the low Kronecker data format is O(2qn 2 ), besides O(N 2 ) = O(n 4 ) for the dense format. Further one can approximate factors C (j) ν in the H-matrix data format (HKT format [5]) References [1] M. Bebendorf and S. Rjasanow. Adaptive low-rank approximation of collocation matrices. Computing, 70(1):1 24, [2] Mario Bebendorf. Approximation of boundary element matrices. Numer. Math., 86(4): , [3] W. Hackbusch. A sparse matrix arithmetic based on H-matrices. I. Introduction to H-matrices. Computing, 62(2):89 108, [4] W. Hackbusch and B. N. Khoromskij. Low-rank Kronecker-product approximation to multi-dimensional nonlocal operators. I. Separable approximation of multi-variate functions. Computing, 76(3-4): , [5] W. Hackbusch, B. N. Khoromskij, and E. E. Tyrtyshnikov. Hierarchical Kronecker tensor-product approximations. J. Numer. Math., 13(2): , [6] B. N. Khoromskij and A. Litvinenko. Data sparse computation of the Karhunen-Loève expansion. Numerical Analysis and Applied Mathematics: International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, AIP Conf. Proc., 1048(1): , Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

29 [7] B. N. Khoromskij, A. Litvinenko, and H. G. Matthies. Application of hierarchical matrices for computing the Karhunen-Loève expansion. Computing, 84(1-2):49 67, [8] K. Wu and H. Simon. Thick-restart Lanczos method for large symmetric eigenvalue problems. SIAM J. Matrix Anal. Appl., 22(2): , Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 29

30 2.9 A Numerical Tackling of Shallow Water Equations with Uncertain Parameters Ansprechpartner: Dishi Liu Telefon: 0531/ The motivation of this work is to efficiently quantify uncertainties in flood modelling with shallow water equations. The work includes implementing and comparing Monte Carlo (MC) method, Quasi-Monte Carlo (QMC) method and Gauss-Hermite quadrature (GHQ) method on the numerical integration of shallow water equations with uncertain parameters Problem Settings The shallow water equations h t + (hu) = 0 (hu) + (hu u) + gh h + gh z b τ b = 0 t was set to have three uncertain parameters, bed elevation z b, bed friction τ b and inflow boundary conditions, which are all of normal or log-normal distributions [1, 2]. The random field of these uncertain parameters are discretised into uncorrelated random variables ω N(0, 1) by Karhunen-Loève expansion. The water level at a gauge point is h(ω) which can be obtained by solving the shallow water equations, and the numerical estimation of a statistics Ψ(h) is an integration E(Ψ(h(ω))) = Ψ(h(ω))g(ω)dω with Ω = (, ) m, m the dimensionality, g(ω)the Gaussian probability measure. Ω Numerical Integration Methods Monte Carlo method has an error convergence rate O(N 1 2 ), which is independent of dimensionality m. The tensor product Gauss-Hermite quadrature converges at rate O(N (2k 1) ) for Ψ C k. The Quasi-Monte Carlo method samples on a deterministic low-discrepancy points set, and its error converges at rate O(N 1 (log(n)) m ) if Ψ has a bounded variation in the sense of Hardy and Krause. Niederreitor sequence was used to generate the low-discrepancy points set. These three methods were applied on the numerical integration of Ψ(h) on 3D, 6D and 9D problems, and their performance were compared in term of number of evaluations achieving a certain degree of accuracy Results Firstly the tensor product Gauss-Hermite quadrature method perform worse than both Monte carlo and Quasi-Monte Carlo method on problems of 3, 6 and 9 dimensions. This indicates the regularity of Ψ(h) is low. 30 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

31 Secondly the Quasi-Monte Carlo method beat Monte carlo method on problems of 3, 6 and 9 dimensions. This shows at least up to 9 dimensional problems, the Quasi-Monte Carlo method is the best choice among the three on the integration of stochastic shallow water equations References [1] Peggy A. Johnson. Uncertainty of hydraulic parameters. Journal of Hydraulic Engineering, 122(2): , [2] W. Kornus, R. Alamús, A. Ruiz, and J. Talaya. Assessment of dem accuracy derived from spot-5 high resolution stereoscopic imagery. In Geo-Imagery Bridging Continents, volume XXXV, pages 445, Istanbul, Turkey, July XXth ISPRS Congress. Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 31

32 2.10 Formalisierung der Meta-Programmierung in C ++ Ansprechpartner: Rainer Niekamp Telefon: 0531/ Die Compiler-Sprache C ++ wurde als Objekt-orientierte Erweiterung von C entwickelt. Die Erweiterung des Sprachumfanges beinhaltete jedoch auch die Mechanismen, die in -nicht beabsichtigter Weise- die sogenannte Meta-Programmierung (oder Meta-C ++ ) ermöglichen. Das Ergebnis eines Meta-Programms ist dabei nicht das Resultat einer Berechnung wie bei einem Laufzeitprogramm, sondern das kompilierte Programm selbst. Hier wird im Wesentlichen der Mechanismus der Template-Instanzierung genutzt, um den C ++ -Compiler zum abarbeiten von Algorithmen zu veranlassen. Die Möglichkeiten, die in der Meta-Programmierung liegen, wurden erst in diesem Jahrzehnt -zwanzig Jahre nach der Entwicklung von C ++ -, erkannt siehe [1]. In dem Boost-Projekt [2] findet sich eine große Zahl interessanter und nützlicher Anwendungen von Meta-C ++ ). Ein wesentlicher Nachteil in der Meta-Programmierung ist, dass wegen der aufwendigen, länglichen Syntax und der Vielzahl möglicher Template-Mechanismen, es auch für Experten schwierig werden kann, Meta-Programme zu lesen und zu verstehen. So muss bspw. typedef a::t<a::x>::b innerhalb eines templates -und nur dort- durch typename a::template T<typename a::x>::b ersetzt werden Objekt-Orientierung versus Template/Meta-C ++ Um in der Implementierung eines Algorithmus Objekte unterschiedlichen Typs behandeln zu können, gibt es die Möglichkeiten diesen Algorithmus in einem Basistyp zu formulieren (Polymorphie) oder aber ihn als Funktions-Template aufzuschreiben. Im ersten Fall wird vom Compiler nur einen Version der Funktion erzeugt und die Objekte über virtuelle Funktionsaufrufe angesprochen. Die behandelten Objekte müssen der Ist-Basistyp Relation genügen. Im zweiten Fall werden für alle Template-Parameter eigene Versionen der Funktion generiert, mit der Möglichkeit zum inlinen aller Methodenaufrufe. Voraussetzung an die Objekte ist, dass deren Typ für den Algorithmus geeignete Eigenschaften hat. Diese Eigenschaften können vom Compiler -durch ein Meta-Programm- abgefragt werden, so dass nicht lauffähige Instanzierungen nicht akzeptiert werden. Das Erzeugen einer Vielzahl von Instanzieren der Implementierung erhöht oft spürbar die Kompilierzeiten. Dafür sind durch die Ermöglichung des Inline-Mechanismus Templatebasierte Implementierungen in der Regel Laufzeit-performanter als Polymorpie-basierte. Außerdem weisen sie eine größere Wiederverwendbarkeit auf, da weniger Voraussetzungen an Objekte auf denen die Funktion arbeitet, gemacht werden. Ein weiteres Argument für die Verwendung von Template-basierten Implementierungen -insbesondere im Bereich des wissenschaftlichen Rechnens- gründet auf deren höherem Abstraktionsgrad, der der mathematischen Abstraktion sehr nahe kommt. Wie in einem mathematischen Beweis besteht die Voraussetzung nicht aus Ist-Relationen sondern auf abstraktere Eigenschaften, die die Eingabe-Typen haben müssen, damit der Satz/Algorithmus anwendbar ist 32 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

33 Die Objekt-Klassen und Sprachelemente in Meta-C ++ Die C ++ -Meta-Programmierung operiert lediglich auf folgenden vier Metaobjekt-Typen. (Klassen-Attribute oder Funktinsdefinitionen spielen in Meta-C ++ keine Rolle.) Namen Id:={identifier} Typen X:={types} Templates T:={templates} Zahlen Z:={integer} (bool:={false=0,true=1} Z) Funktionen F:={functions} Ein Funktionstemplate ist eine Abbildung der Form; template: X k Z m F n ->F. Ein Klassentemplate ist von der Form; template:x k Z m F n ->X. Metaobjekt-Typen A:=X Z T F Definitions D:=Id A Wobei ein Typ type eine beliebige Anzahl von Definitionen enthalten kann: type Id D n Die Definitionen innerhalb einer Templates-Klasse sind nur über deren Instanzen referenzierbar, so dass tatsächlich nur Typen Definitionen zur Verfügung stellen. Die folgende Tabelle stellt exemplarisch Sprachelemente von C ++ und Meta-C ++ gegenüber. C-Code; Meta C ++ Initialisierung int x= y; enum {x=y }; int x=b%y; enum {x= b % y}; const M obj(x,y); typedef M<X,Y> Obj; Funktionen function template int f(double x, int y); template<class X,class Y> struct F Rekursion recursive function call recursive instantiation Attribute: struct mytype { int x; }; struct Obj { typedef int X; }; Attr.referenzierug obj.x; Obj::X; Verzweigung if(); else; template specialisation Zuweisung assignment - Schleifen - (needs assignment) Da Typen und Konstanten nicht redefiniert werden können, sind Zuweisungen in Meta- C ++ nicht möglich. Somit sind auch Programm-Schleifen nicht direkt abbildbar, sondern müssen durch Rekursionen ersetzt werden. Dies erzwingt einen funktionalen Programmierstil. Darum sollte nach meinung des Autors Meta-C ++ nicht als Teil des Sprachumfangs von C ++ sondern mit einer eigenen funktionalen Programmiersprache gehandhabt werden. Reduktion der Objekt-Klassen Durch folgende Abbildungen lassen sich alle Metaobjekt-Typen in Meta-C ++ über Typen referenzieren. Integer-Konstanten: Z X int template<int n> class Num; Funktionen: F X Y fnc(x) template<class Y, class X, Y(fnc)(X)> class CFunc; Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 33

34 Tempates: T X template<class X> class A class Tmpl{template<class X> class A; }; Werden alle Meta-C ++ Objekte so dargestellt, gibt es nur noch einen Meta-C ++ Metaobjekt-Typen. Somit ist diese Sprache nun Typen-frei, so dass sich hier einfache Funktionale Sprachen abbilden lassen Scheme und MetaCLisp ++ Zur Demostration der potentiellen Mächtigkeit von Meta-C ++ im Rahmen der Lehreveranstaltung Advanced Programming Techniques in C++ wurde vom Autor in Form einer Template-Bibliothek ein LISP-Prozessor entwickelt (Als implementierte Sprache wurde nur deshalb LISP (genauer der LISP-Dialekt Scheme) gewählt, weil es keinen Grund gab eine neue Sprache zu erfinden und weil der Autor diese Sprache kennt.) Die funktionale Programmiersprache LISP (LISten Processor) entstand bereits 1958 am Massachusetts Institute of Technology. Die verbreitetsten Dialekte sind Common Lisp und Scheme, wobei die Syntax von Scheme dem klassischen LISP näher kommt als Common Lisp. Die Implementierung von MetaCLisp ++ basiert auf Typelisten dargestellt durch pair s und dem Terminierungstyp nil. struct nil {}; template<class L, class R=nil> struct pair { typedef L car; typedef R cdr; }; Sowohl der Evaluierungsoperator eval als auch der Rest der Buildin-Funktion von LISP lassen kanonisch in Meta-C ++ abbilden. 34 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

35 Die Syntax von C ++ erlaubt es nicht, dass der Quelltext exakt der von LISP entspricht. Beispielsweise sieht die Definition eines quicksort-algorithmus in MetaCLisp ++ wie folgt aus. struct quicksort: $defun<$2, $f, q, u, i, c, k, s, o, r, t > { template<class cmp, class List> struct fun { typedef $< $if, $< $null, $$<List> >, $nil, $< $lets, $< $< $$r, $< $cdr, $$<List> > >, $< $$x, $< $car, $$<List> > >, $< $$f, $< $lambda, $< $$a >, $< $$<cmp>, $$a, $$x > > > >, $< $append, $< quicksort, $$<cmp>, $< $removeifnot, $$f, $$r > >, $< $list, $$x >, $< quicksort, $$<cmp>, $< $removeif, $$f, $$r > > > > > final; }; }; Die entsprechende Definition in Original-LISP ist gegeben durch: (defun quicksort (cmp List) (if (null List) () (let* ((r (cdr List)) (x (car List)) (f (lambda (a) ( cmp a x)))) (append (quicksort cmp (remove-if-not f r)) (list x) (quicksort cmp (remove-if f r)))))) Während LISP auf Listen von Zahlen und Strings operiert, agiert MetaCLisp ++ auf Listen beliebiger Typen. In Form von LISP-Funktionen lassen sich hier alle Aufgaben der Meta-C ++ mit einem klaren Programmierstil erledigen. Die MetaCLisp ++ ist als LGPL-OpenSource-Version verfügbar unter Literatur [1] Andrei Alexandrescu. Modern C++ design: generic programming and design patterns applied. Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boston, MA, USA, [2] Joel de Guzman. Boost.spirit home. Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 35

36 2.11 Stochastic Optimisation using Hybrid Evolutionary/ Ensemble Kalman Filter Algorithms Ansprechpartner: Oliver Pajonk Telefon: 0531/ Stochastic methods like the Ensemble Kalman Filter (EnKF) and Evolution Strategies (ES) are gaining attention in both industry and science. The Institute of Scientific Computing is actively developing these methods in cooperation with its project partner SPT Group, Hamburg, for application in a specialised industry grade optimisation software The Ensemble Kalman Filter The Ensemble Kalman Filter is a sequential data assimilation technique developed to allow the computation of a Kalman updating step for high dimensional dynamic systems. This can be achieved by representing the extremely large covariance matrix for such systems by a small ensemble (typically ensemble members) of state and parameter vectors. This ensemble approximately represents the full covariance matrix. In the limit N (with N being the number of ensemble members) the full statistics are represented. The EnKF is a sequential (sometimes called recursive) algorithm that works hand in hand with the progress of the time integration of a numerical model. For each time point at which measurements of the real process under consideration are available the numerical model integration stops and the filter incorporates the new measurements into the ensemble. Then time integration continues until the next measurements are available. This sequential structure is quite different to standard optimisation methods, which always consider the mismatch of all available data in each iteration and thus require multiple full model integrations for each iteration Evolution Strategies Evolution Strategies are stochastic optimisation methods which use analogies to biological concepts like selection, mutation and recombination to iteratively improve a population of solutions and solve an optimisation problem. The population consists of individuals, each representing a possible solution to the optimisation problem. The first step of an ES is to create the initial population, often by randomly modifying an initial guess. After grading the quality of each solution (this is called fitness in the context of ES) using the objective function of the problem, above mentioned operations take place: individuals are selected according to their fitness and then reproduce using the recombination operator. These new individuals may additionally be modified using random mutations and then again their fitness is evaluated. This loop iterates until the stopping criterion of the optimisation algorithm is met Hybridisation Concept Both the EnKF and ES employ sets of solutions (called ensemble or population in their respective case), and their updating procedure is based on somehow recombining the current solutions to a new set of solutions. But a difference lies in the time structure: 36 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

37 EnKF a Forecast EnKF t EnKF EnKF a t+1 using Model f t+1 Update ES t ES Update ES t+1 Figure 6: The EnKF/ES Schema standard ES are classical optimisation methods and are thus not formulated in a recursive way like EnKF is (as described in section ). Fortunately, the reformulation is quite straightforward [1], and afterwards the comparable structure allows to combine both strategies to a recursive, hybrid method that we call EnKF/ES. The schema for one time step of this algorithm can be seen in figure 6. The vector entries of an individual are split up into two parts: EnKFt a and ES t. So for each vector entry in the individual we have to choose if it is modified by EnKF or by ES. The same splitting is applied to all individuals. Then the models are integrated forward in time until data becomes available. From this so-called forecast step the standard EnKF update and also the ES update are computed and applied to their respective part of the population/ensemble. This hybrid method incorporates both algorithms and their advantages into a single one: while the EnKF is suited to update model state and parameters at the same time and is able to work in high dimensional spaces, but lacks support for strongly non-linear forecasts, the ES is better suited to optimise small sets of parameters with complicated distributions Ongoing Work and Outlook Currently we are investigating the theoretical and practical properties of his type of hybrid algorithm and we are going to apply it to a real case of an industry grade optimisation problem called history matching References [1] O. Pajonk, M. Krosche, R. Schulze-Riegert, R. Niekamp, and H. G. Matthies. Stochastic optimization using ea and enkf - a comparison. In Proceedings of the 11th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery,, CD-ROM, [2] R. Schulze-Riegert, M. Krosche, O. Pajonk, and T. Myrland. Impact of real-time measurements for data assimilation in reservoir simulation. In DGMK Tagungsbericht Deutsche Wissenschaftliche Gesellschaft für Erdöl, Erdgas und Kohle e.v., Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 37

38 2.12 Zeitdiskretisierungsverfahren für die Navier-Stokes- Gleichungen Ansprechpartner: Joachim Rang Telefon: 0531/ Problemstellung und Zielsetzung Die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen werden in der Zeit i.a. mit einfachen Verfahren wie z.b. dem impliziten Euler, dem Crank-Nicolson-oder dem Zwischenschritt-θ- Verfahren diskretisiert. Das implizite Euler-Verfahren ist lediglich von erster Ordnung, während die anderen beiden Verfahren von zweiter Ordnung sind. Löst man mit ihnen die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen mit einer festen Zeitschrittweite, so stellt man fest, dass das Zwischenschritt-θ-Verfahren eine Ordnungsreduktion von 2 auf 1 für die Druckkomponente hat [9]. Werden variable Zeitschritte verwendet, so hat auch das Verfahren von Crank und Nicolson eine Ordnungsreduktion von 2 auf 1 für die Druckkomponente [2]. Ziel der Arbeiten ist das Entwickeln neuer effizienter Zeitdiskretisierungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen, wobei die neuen Verfahren eine effiziente Schrittweitensteuerung erlauben sollen. In älteren Arbeiten wurden linear-implizite Runge- Kutta-Verfahren, sogenannte Rosenbrock-Verfahren entwickelt und getestet [5, 7, 8, 4]. Linear-implizite Verfahren haben den Vorteil, dass in jedem Zeitschritt nur lineare Gleichungssysteme und nicht wie bei impliziten Verfahren nicht-lineare Gleichungssysteme zu lösen sind [1]. Für Runge-Kutta-Verfahren wird die automatische Schrittweitensteuerung mit einem zweiten, sogenannten eingebetteten Verfahren, realisiert. Mit Hilfe dieser beiden numerischen Resultate kann ein Fehler abgeschätzt und damit schließlich eine neue Zeitschrittweite bestimmt werden. Ein weiterer wichtiger Punkt beim Entwickeln der Verfahren ist die Stabilität. Das Crank-Nicolson-Verfahren ist lediglich A-stabil, während das Zwischenschritt-θ-Verfahren stark A-stabil ist. Die neuen Verfahren sollen mindestens stark A-stabil sein und steif-akurat (stiffly accurate) sein. Bei steif-akuraten Verfahren ist die Lösung des letzten internen Schritt gleichzeitig die Lösung des Gesamtzeitschrittes Formulierung als Runge-Kutta Verfahren In einem ersten Schritt wurden das Crank-Nicolson- und das Zwischenschritt-θ-Verfahren als diagonal implizite Runge-Kutta-Verfahren formuliert (siehe auch [9]). Bei beiden Verfahren ist der erste interne Schritt ein expliziter Schritt, d.h. die Verfahrensmatrix A des Runge-Kutta-Verfahrens hat in der ersten Zeile eine Nullzeile. Dies ist eine notwendige Bedingung für diagonal-implizite Runge-Kutta-Verfahren, um die Stufenordnung 2 zu erreichen. Diese Stufenordnung ist gleichzeitig die Konvergenzordnung für die Druckkomponente bei den inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen. Folglich hat das Crank- Nicolson-Verfahren Stufenordnung 2 und das Zwischenschritt-θ-Verfahren Stufenordnung 1. Diese Resultate findet man bereits in den Arbeiten von Jay [2]. Durch geschicktes Umformulieren der Verfahrensvorschrift für Runge-Kutta-Verfahren angewendet auf ODEs können auch DAEs vom Index 2 gelöst werden. Voraussetzung hierzu ist allerdings, dass die Verfahren steif-akurat sind. 38 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

39 Eine eingebettete Methode für das Zwischenschritt-θ-Verfahren Ein erstes Ziel war das Herleiten einer eingebetteten Formel für das Zwischenschrittθ-Verfahren. Diese eingebetttete Methode hat die Ordnung 1 für Geschwindigkeit und Druck. Ein kleiner Nachteil dieser Methode ist, dass in jedem Zeitschritt 3 zusätzliche Matrix-Vektor-Multiplikationen durchgeführt werden müssen, da die Methode als diagonal-implizites Runge-Kutta-Verfahren implementiert werden muss. Bisher konnte die neue rechte Seite wesentlich effektiver berechnet werden [10, 3]. Außerdem ist die eingebette Methode nicht steif-akurat. Die Ergebnisse findet man in [6] Neue diagonal-implizite-verfahren Das Zwischenschritt-θ-Verfahren hat 4 interne Schritte und ist lediglich von zweiter Ordnung. Eine dritte Ordnung kann für Zwischenschritt-Verfahren leider nicht erreicht werden. Deshalb werden neue diagonal-implizite Runge-Kutta Verfahren entwickelt, wobei zwei Strategien verfolgt wurden. Zum einen wurden zwei Verfahren mit 3 internen Schritten entwickelt. Diese Verfahren haben einen internen Schritt weniger als das Zwischenschrittθ-Verfahren und sind ebenfalls stark A-stabil bzw. sogar L-stabil, d.h. im Unendlichen konvergiert der Betrag der Stabilitätsfunktion gegen 0. Allerdings ist die eingebettete Methode nicht stiffly-accurate. Bei der zweiten Gruppe handelt es sich um L-stabile Verfahren mit 4 internen Schritten, wobei die eingebette Methode ebenfalls wieder steif-akurat ist Literatur [1] E. Hairer and G. Wanner. Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, volume 14 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2nd edition, [2] Laurent Jay. Convergence of a class of Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 2. BIT, 33(1): , [3] V. John. Large Eddy Simulation of Turbulent Incompressible Flows. Analytical and Numerical Results for a Class of LES Models, volume 34 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer-Verlag Berlin, Heidelberg, New York, [4] V. John, G. Matthies, and J. Rang. A comparison of time-discretization/linearization approaches for the incompressible Navier Stokes equations. Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 195: , [5] J. Rang. Stability estimates and numerical methods for degenerate parabolic differential equations. Dissertation, Institut für Mathematik, TU Clausthal, appeared also as book from Papierflieger Verlag Clausthal-Zellerfeld. [6] J. Rang. Automatic step size selection for the fractional-step-θ-scheme. Preprint 06-45, Fakultät für Mathematik, Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, [7] J. Rang and L. Angermann. New Rosenbrock methods for partial differential algebraic equations of index 1. BIT, 45(4): , Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 39

40 [8] J. Rang and L. Angermann. New Rosenbrock methods of order 3 for PDAEs of Index 2. Advances in Differential Equations and Control Processes, 1(2): , [9] Joachim Rang. Pressure corrected implicit θ-schemes for the incompressible Navier- Stokes equations. Applied Mathematics and Computation, 201(1-2): , [10] S. Turek. Efficient Solvers for Incompressible Flow Problems: An Algorithmic and Computational Approach, volume 6 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering. Springer-Verlag, Berlin, Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

41 2.13 Software Architektur und Algorithmen für gekoppelte Fluid Struktur Simulationen Ansprechpartner: Joachim Rang Telefon: 0531/ Problemstellung und Zielsetzung Eine der großen Herausforderungen auf dem Gebiet des Wissenschaftlichen Rechnen ist die numerische Simulation komplexer gekoppelter Prozesse. Ein typischer Vertreter dieser Problemklasse ist die Wechselwirkung von Fluid und Struktur, wie sie zum Beispiel bei aeroelastischen Problemen oder biomechanischen Vergängen vorkommen. Probleme der sogenannten Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) bestehen aus zwei separaten Problemen, wobei die Bewegung des Fluids i. a. mit Hilfe der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen modelliert wird. Die Strukturgleichungen werden mit Hilfsmitteln aus der Elastizitätstheorie beschrieben. Die Berechnung erfordert die simultane Lösung der stark gekoppelten Bewegungsgleichungen der Strömung und der Struktur. Mit Hilfe einer Kopplungsbedingung auf einem gemeinsamen Rand, dem sogenannten Interface, stehen die beiden Probleme in Beziehung zueinander. Häufig weisen diese Probleme eine starke Wechselwirkung zwischen Fluid und Struktur auf. Oft werden diese nichtlinearen Fluid-Struktur-Interaktionsprobleme mit Hilfe partionierter Verfahren gelöst, d.h. die beiden Teilaufgaben werden mit verschiedenen Programmen bearbeitet, da jedes Teilproblem mit einem effizienten Diskretisierungschema in Raum und Zeit gelöst werden kann. Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, dass bestehende Software weiter verwendet werden kann. Durch die Trennung des Fluid- und Strukturproblems werden nun in jedem Zeitschritt die Kopplungsgrößen auf dem Interface ausgetauscht und evtl. modifiziert. Grund für die Modifikation der Kopplungsgrößen ist die unterschiedliche Semidiskretisierung im Raum, wobei öfters auch die Genauigkeit der Gesamtrechnung leidet. Die beiden Löser arbeiten in der Regel auch mit unterschiedlichen Zeitschrittweiten, so dass die resultierenden Gleichungssysteme gesplittet werden und jeweils zur Hälfte von dem einem bzw. anderen Code gelöst werden. Normalerweise werden zum Lösen dieser Systeme Block-Jacobi, Block-Gauß-Seidel oder verwandte Relaxationsverfahren verwendet. Für unsere Arbeit wählten wir als Simulatorprogramme OpenFOAM und PARAFEP. OpenFOAM [3] ist eine weitverbreitete CFD (Computational Fluid Dynamics) Software, veröffentlicht durch die OpenCFD unter der GNU Public Licence (GPL). Das Programm besteht aus mehreren Lösern für unterschiedliche Strömungsprobleme und unterstützt Netzbewegungen und Topologieänderungen. PARAFEP (Parallel Adaptive Finite Element Program) ist ein Strukturlöser unter der Lesser GNU Public Licence (LGPL), der seit mehreren Jahren am Institut verwendet wird Design und Implementierung Die Schwierigkeit bei der Kopplung der numerischen Modelle ergibt sich aus den im Allgemeinen unterschiedlichen räumlichen Diskretisierungen. Somit wird eine Übersetzung zwischen den beiden Netzen benötigt. Mit Blick auf die Implementierung ist es sinnvoll die Übersetzungsfunktionalitäten in einer zentralen Komponente zu kapseln und eine Middleware zur Vereinfachung der Kommunikationumsetzungen zu nutzen. Hierfür wird die Midd- Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 41

42 leware Component Template Library (CTL) verwendet. Die CTL wurde unter der LGPL veröffentlicht und ist optimiert für die Anforderungen des Wissenschafltichen Rechnens bezüglich Performance und Transfer großer Datenmengen. Die Spezifikation der Schnittstelle einer CTL Komponente wird im sogenannten Component Interface (CI ) festgelegt. Komponenten, die dasselbe CI implementieren, können gegenseitig leicht ausgetauscht werden. Zudem wurde PARAFEP zu einem früheren Zeitpunkt als CTL Komponente umgesetzt. Die zentrale Komponente wird durch Joachim Rang und Rainer Niekamp entwickelt. Im ersten Schritt wurden passende Netze verwendet. In einem zukünftigen Schritt sollen unterschiedliche Netzdiskretisierungen unterstützt werden. Eingangs- und Ausgangsdaten beider Simulatoren sind nach den Koordinaten der zugehörigen Knoten sortiert. Diese globale Datenrepresentation vereinfacht entscheidend die Handhabungen zur Netzübersetzung. In diesem Zusammenhang habe ich das CI für den Strömungssimulator festgelegt und OpenFOAM als CTL Komponente für inkompressible Strömungen im FSI Kontext umgesetzt. Ein C++ Template Wrapper implementiert das CI. Dieser Programmcode ruft OpenFOAM über Dateikommunikationen auf, um für eine spätere Veröffentlichung nicht durch die GPL eingeschränkt zu sein und zudem Lizenzkonflikte zu vermeiden. Die meisten Funktionalitäten wurden im Wrapper umgesetzt. Auf OpenFOAM Seite musste nur der Löser icofoamautomotion (OpenFOAM Version 1.2) leicht angepasst werden, um die benötigten Ausgangsdaten zu erhalten. Die CTL Komponente wurde für zweidimensionale Probleme getestet. Als FSI Anwendung wurde eine elastische Struktur simuliert, die durch die Wirbelbildung der umgebenden Strömung angeregt wird Numerische Beispiele Die Implementation wurde am Beispiel einer elastischen Struktur getestet [4], die aufgrund von Wirbeln in einer Strömung belastet wird und dadurch eine Wechselwirkung mit dem Fluid induziert. Die elastische Struktur ist an einem quadratischen Starrkörper befestigt, von dem bei bestimmten Strömungsgeschwindigkeiten und Reynoldszahlen Wirbel abreißen (vgl. Abbildung 7). Durch diese Wirbel wird die Struktur zu Schwingungen angeregt. Ein Nachteil dieses Problems ist, dass es schlecht dokumentiert ist. In zahlreichen Veröffentlichungen wurde auf Massangaben und Randbedingungen grundsätzlich verzichtet. Als Parameter für die Simulation werden für die Struktur das Elastizitätsmodul E = 2, N/m 2, die Poissonzahl ν s = 0.35 und die Dichte ρ s = 0.1 kg/m 3 und für das Fluid die Dichte ρ f = kg/m 3, die Viskosität ν f = Ns/m 2 und die Einströmgeschwindigkeit v x = 51.3 m/s, v y = 0 m/s gewählt. Die Ausgangsgeometrie ist in Abbildung 7 dargestellt. Die Breite der elastischen Struktur beträgt d = 0.06 m. Für unsere numerischen Berechnungen haben wir das Gitter von Abbildung 8 dreimal verfeinert. Dies führt zu Freiheitsgraden für die Geschwindigkeit und den Druck. In Abbildung 9 sind die numerischen Resultate nach 14,8 und nach 15 Sekunden zu sehen. Die elastische Platte zeigte große Verformungen, und die Amplitude der Bewegung beträgt ca. 0,9cm. Unser Projekpartner von der HSVA hat zahlreiche Testrechnungen mit dem System durchgeführt. Es wurden folgende Beispiele gerechnet: Ein zwei-dimensionaler Auslegerbalken, der senkrecht zu einer Strömung montiert ist [2, 1]. Das Beispiel ist sehr gut dokumentiert und es gibt Experimente, mit denen die Simulationsergebnisse verglichen werden können. 42 Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

43 Abbildung 7: Wirbelerregte elastische Platte (alle Angaben in cm) Abbildung 8: Wirbelerregte elastische Platte: Grobgitter Ein rechteckiger, frei stehender Pfeiler, der von der Seite angeströmt ist, war unser erstes 3D Beispiel. Es sollte hierbei lediglich getestet werden, ob die Software auch 3D Rechnungen durchführen kann. Eine elastische Stabilisatorflosse auf einem Schiff Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen 43

44 2 FORSCHUNG Abbildung 9: Numerische Resultate für die wirbelerregte elastische Platte nach 14.8 und 15.0s (links: Geschwindigkeit, rechts: Druck Literatur [1] Silas Alben and Michael Shelley. How flexibility induces streamlining in a twodimensional flow. Physics of Fluids, 16(5): , May [2] Silas Alben, Michael Shelley, and Jun Zhang. Drag reduction through self-similar bending of a flexible body. Nature, 420: , December [3] OpenCFD. OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox. [4] Wolfgang Wall and Ekkehard Ramm. Fluid-structure interaction based upon a stabilized (ale) finite element method. Bericht 98/16, SFB 404, Universität Stuttgart, Jahresbericht 2008 des Instituts für Wissenschaftliches Rechnen

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