Lösung Arbeitsblatt Geometrie / Trigonometrie

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1 Fchhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mthemtik und Nturwissenschften Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Dozent: - Brückenkurs Mthemtik 016 Winkelbeziehugen 1. Aufgbe () Bestimmen Sie die Winkel α und β: Modul: Mthemtik Dtum: 016 Der Winkel δ ist einerseits Innenwinkel eines rechtwinkligen Dreiecks: und im weiteren gilt: α + δ δ 90 α β + δ + β 180 δ 180 β Setzt mn die Ausdrücke gleich, findet mn die Beziehung: 90 α 180 β β 90 + α Im zweiten rechtwinkligen Dreieck gilt weiter α + β 90

2 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Den Ausdruck für β einsetzen: α α 90 α α 90 Nun noch den Winkel β: α 0 β 90 + α β (b) Bestimmen Sie im gegebenen Trpez den Winkel α in Abhängigkeit der Winkel δ und ɛ: Für die eingezeichneten Winkel gilt: Seite / 7

3 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 φ + δ 180 φ 180 δ γ + δ ɛ β + γ 180 α + β + φ 180 γ ɛ δ 90 δ β 180 γ 90 γ ɛ δ ɛ δ β φ ( ɛ δ ) 4 ɛ δ + δ 4 ɛ + δ 4 ( 90 δ ). Aufgbe Bestimmen Sie in den nchfolgenden Figuren den Winkel β in Abhängigkeit des Winkels α.?? In der ersten Figur knn mit dem eingezeichneten Hilfsdreieck gerbeitet werden: Seite / 7

4 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie o 90 o 180 o β 180 α Mit dem verlängerten Rdius uf den Tngentenberührungspunkt findet mn: 90 o 90 o 45 o 90 o 45 o 45 o β 45 + α Strhlenstz und Pythgors. Aufgbe Gegeben sei ds llgemeine Dreieck ABC mit den Seiten 9cm, b 5cm und c 11cm. Weiter sei ds Dreieck A B C, welches durch Prllelverschiebung der Seite c entsteht, so dss der Umfng U 10cm beträgt. Bestimmen Sie die Seitenlängen des Dreiecks A B C und ds Verhältnis der Flächeninhlte der beiden Dreiecke. C A' B' A B Seite 4 / 7

5 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Mit Strhlenstz: c c ; b c b c Mit + b + c U folgt b U c folgt: Ergibt lineres Gleichungssystem: c c ; b c U c c c c 0 c + (b + c) c cu 18 cm.6cm 5 c cm 4.4cm 5 b U c 10cm.6cm 4.4cm cm oder: In ähnlichen Dreiecken ist ds Verhältnis entsprechender Seiten konstnt, lso b b c c k Somit findet mn für die Umfänge: U + b + c k + kb + kc k ( + b + c) ku k U Flächenverhältnis: Es gilt: Somit für ds ähnliche Dreieck: Verhältnis: U U + b + c 10cm 5cm 0.4 F ch c F c h c kckh c k ch c k F F F k (0.4) Aufgbe In der untenstehenden Skizze kennt mn ds Verhältnis der prllelen Abschnitte AB CD und die Strecken AD 0cm und BC 15cm. Bestimmen Sie die Entfernung des Schnittpunkts S von den Punkten A, B, C und D. Seite 5 / 7

6 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Mit dem Strhlenstz findet mn: AS DS 0cm y y y DS 1cm AS 8cm BS CS 15cm z z z CS 9cm BS 6cm 5. Aufgbe In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Hypotenusenbschnitt-Verhältnis p q k, teilt die Höhe ds Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke. Bestimmen Sie ds Flächen-Verhältnis der beiden neuen Dreiecke zu dem ursprünglichen Dreieck: p c h q b Es sei A die Fläche des grossen Dreiecks und A p, A q die Flächen der Dreiecke über den Hypotenusenbschnitten. Es gilt nun: A hc A p hp A q hq pq (p + q) pqp pqq Seite 6 / 7

7 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Die gesuchten Verhältnisse sind somit: A p A pqp pq(p+q) A q A pqq pq(p+q) p p + q q p k q p + q 1 p k + 1 q k k Aufgbe Bestimmen Sie in den nchfolgenden Figuren die Grösse in Abhängigkeit des Rdius R. R R Mit dem eingezeichneten Hilfsdreieck findet mn: R R R (R ) + R R + + R 4 ( ) R + + R R R 4 ( 0 + R ) 9R 4 R 4 ( R + R ) ± R 1, + R ± R R 1, ( ) R Seite 7 / 7

8 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Mit dem eingezeichneten Hilfsdreieck findet mn: R R R R (R + ) R + (R ) R + R + R + R R + 4R R R 4 7. Aufgbe Bestimmen Sie in untenstehender Figur den Rdius des kleinen Kreises in Abhängigkeit des Seitenlänge des Qudrtes. Im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck gilt: + ( ) Seite 8 / 7

9 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 1, ± 4 1 ( ) 4 1 Nur die positive Lösung kommt in Frge: ± Aufgbe Bestimmen Sie y in Abhängigkeit von r. y r r Im eingezeichneten, rechtwinkligen Dreieck gilt: y b r + y r r r+ y c r c + b (r) (r + y) + (r + y) y + 6ry 4r 0 9r r + ry + y + 4r + 4ry + y y 1, 6r ± (6r) 4 ( 4r ) 6r ± 6r + r 4 6r ± r 17 4 r ± r 17 Seite 9 / 7

10 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie y 1 r r y 17 r.5616r Die zweite Lösung ist negtiv und kommt dher nicht ls Lösung in Frge. Der gesuchte Rdius ist somit: y 17 r r 9. Aufgbe Bestimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c 10cm die Längen der Seitenhlbierenden und den Rdius des Inkreises. s c s c r Seiten: c + c c 10cm 7.07cm Seitenhlbierende: s c c 10cm 5cm ( ) s + 4 c 10cm 7.91cm 4 Inkreisrdius: r + r (s c r) r + rs c s c 0 r s c rs c + r Seite 10 / 7

11 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 nur die positive r r s c ± 4s c 4 1 ( s c) 1 s c ± 8s c ( 1 ) s c s c ± s c ( 1 ± ) s c ( ) c cm.07cm 10. Aufgbe Bestimmen Sie den Rdius des kleinen Kreises () in Abhängigkeit der Seitenlänge des Qudrtes (s). s s s s s/- s/+ s/ Es gilt: ( s + ) ( s ) + ( s ) s 4 + s + s 4 s + + s 4 s s 4 s Aufgbe Bestimmen Sie in Abhängigkeit von R. Seite 11 / 7

12 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 R R/+ R R/+y R- y Die beiden rechtwinkligen Dreiecke liefern die Gleichungen: ( ) ( ) R R y (R ) + y Die zweite Gleichung nch y ufgelöst... y (R )... und in der ersten Gleichung eingesetzt: ( ) ( ) R R (R ) R 4 + R + + R 4 + R (R ) + (R ) R R (R ) + R R R R R 9 6R + R R R 9 4R 1 0 Scheinlösung! 4 9 R Es gilt somit: 4 9 R Seite 1 / 7

13 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Aufgbe Bestimmen Sie in einem gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreieck mit Kthetenlänge s, die Rdien des In- und des Umkreises. s s R U s s R I R I R I s R I Hypotenuse: h s + s s s Umkreisrdius (Umkreis ist Thleskreis!): Inkreisrdius: R I R U h s ( s ) R I RI + RI s R I R I s R I (1 + ) s ( 1 + ) s ( 1 ) s ( ) 1. Aufgbe Bestimmen Sie in Abhängigkeit von r: r Seite 1 / 7

14 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Pythgors im mrkierten rechtwinkligen Dreieck liefert die r r r r (r ) ( r ) + ( r ) r r + r r + r 1, b ± b 4c r ± 4r r 0 ( r) ± r ± r ( r) 4 (1) ( ) r (1) r ± r ( 1 ± 1 ) Von den beiden Lösungen kommt nur diejenige mit dem Minusvorzeichen infrge: ( r 1 1 ) 0.9r Trigonometrie 14. Aufgbe Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (Hypotenuse c), kennt mn die Kthete b 1m und die Seitenhlbierende s c 6.5m. Bestimmen Sie lle Seiten und Winkel dieses Dreiecks. In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Seitenhlbierende der Hypotenuse gerde dem Rdius des Thleskreis. Somit lässt sich die Hypotenuse berechnen: c s c 6.5m 1m Seite 14 / 7

15 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Seite mit Pythgors: c b (1m) (1m) 5m Winkel: α ( ) ( ) 5m rcsin rcsin.6 c 1m β 90 α γ Aufgbe Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC, kennt mn die Kthete 5cm und die Höhe h c cm. Bestimmen Sie lle Seiten und Winkel dieses Dreiecks. Hypotenusenbschnitt p mit Pythgors: p h c (5cm) (cm) 4cm Seite c mit Strhlenstz: Seite b mit Pythgors: c p b c c p (5cm) 4cm 6.5cm (6.5cm) (5cm).75cm Winkel: α ( ) ( ) 5cm rcsin rcsin 5.1 c 6.5cm β 90 α γ Aufgbe Einem Kreis mit Rdius R 10cm ist ein Trpez ABCD einbeschrieben. Vom Trpez kennt mn die prllelen Trpezseiten AB 16cm und c CD 1cm. Bestimmen Sie den Flächeninhlt und die Längen der Digonlen. Gemäss untenstehender Skizze gibt es zwei Lösungen: Seite 15 / 7

16 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 c e h R h 1 R Mit Pythgors können die Hilfsgrössen h 1 und h berechnet werden: ( ) ( ) R h 1 + h1 R 6cm ( c ) ( c ) R h + h R 8cm Die Trpezhöhe ist nun einerseits die Summe der Hilfshöhen oder deren Differenz: Die gesuchten Flächen: H 1 h 1 + h 14cm H h h 1 cm F 1 + c H 1 196cm F + c H 8cm D die Trpeze symmetrisch sind, sind die beiden Digonlen gleich lng (e f). e H + ( c ) e 1 f 1 e f H1 + ( ) +c 19.80cm H + ( ) +c 14.14cm 17. Aufgbe Berechnen Sie in einem llgemeinen Dreieck ABC us den gegebenen Grössen die fehlenden Seitenlängen und Winkel. C b s c h c A c B Seite 16 / 7

17 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 () 5m, c 7m und α 40. SSW-Problem mit zwei Lösungen: sin (γ) c sin (γ) c γ γ α + β + γ 180 β 180 α γ β β 4.15 b sin (β) sin (β) b b m b.18m (b) 7km, b 4km und F 10km. Mit der Flächenformel den Zwischenwinkel bestimmen (es gibt zwei Lösungen): F 1 F b sin (γ) sin (γ) b γ γ 14.4 Nun liegt ein SWS-Problem vor: c + b b cos (γ) c km c 10.1km cos (α) b + c bc α α 9. α + β + γ 180 β 180 α γ β 1 4. β 16.5 (c) s c 6cm, h c 5cm und β 70. Im rechtwinkligen Dreieck (mit h c ) bestimmen: sin (β) h c h c sin (β) 5.cm Im Dreieck mit der Seitenhlbierenden c bestimmen (SSW nur eine Lösung!): sin (δ) sin (β) s c sin (δ) sin (β) s c δ β + δ + ε 180 ε 180 β δ 5.56 ( c ) + s c s c cos (ε) c + s c s c cos (ε) 10.7cm Im grossen Dreieck die restlichen Grössen bestimmen (SWS): b + c c cos (β) b 9.8cm cos (α) b + c α 0.60 bc α + β + γ 180 γ 180 α β Seite 17 / 7

18 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 (d) 6cm, c 10cm und α 5. Achtung: Ergibt zwei Lösungen! Sinusstz: sin (γ) c sin (γ) c γ 1 sin (0.7044) γ Winkelsumme: β α γ β 180 α γ 9.78 Kosinusstz: b 1 + c c cos (β 1 ) 1.54m b + c c cos (β ) 4.1m (e) 4m, β 40 und s c 6cm (Seitenhlbierende von c). Sinusstz (es gibt nur eine Lösung!): sin (δ) sin (β) s c sin (δ) sin (β) s c δ sin (0.485) 5.7 Winkelsumme: 180 β + δ + γ γ 180 β δ Kosinusstz: ( c ) +s c s c cos (γ ) c + s c s c cos (γ ) 14.14cm Kosinusstz: b + c c cos (β) b + c c cos (β) 17.07cm Kosinusstz: cos (α) b + c bc α cos (0.9846) Winkelsumme: 180 α + β + γ γ 180 α β Seite 18 / 7

19 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 (f) 4m, b 10m und h c m. Es gibt zwei Lösungen! sin (β) h c ( ) ( ) hc m β 1 rcsin rcsin m β 180 β sin (β) b ( ) ( ) sin (β1 ) 4m sin ( ) α 1 rcsin rcsin b 10m ( ) sin (β ) α rcsin α 1 b α + β + γ 180 γ α 1 β γ 180 α β 1.18 c 1 + b b cos (γ 1 ) m c + b b cos (γ ) 6.896m (g) α 0, b 5cm und s c cm. Es gibt zwei Lösungen! sin (δ) b s c ( ) b δ 1 rcsin s c δ 180 δ α + δ + ε 180 ( c ε α δ ε 180 α δ ) b + s c bs c cos (ε) c cm c 5.46cm Seite 19 / 7

20 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 b + c bc cos (α) cm.6976cm sin (β) b ( ) b β 1 rcsin ( 1 ) b β rcsin 67.9 α + β + γ 180 γ α β γ 180 α β Aufgbe Eine Lst F 5kN ist n der nchfolgenden Aufhängung ngebrcht (AC m, BC 1m). Bestimmen Sie die Kräfte in den beiden Stäben (die Krft wirkt in Stbrichtung). A α C F B Dmit die Konstruktion hält, muss sich ds System im sttischen Gleichgewicht befinden, d.h. die Summe ller Kräfte muss Null ergeben. Die beiden gesuchten Kräfte wirken in Richtung der Stäbe und somit ergibt sich: F1 α F A F α C B Seite 0 / 7

21 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 F F 1 F 1 F tn (α) F F F F tn (α) Nun brucht mn noch den Winkel α: tn (α) BC ( ) ( ) BC 1m AC α rctn rctn 6.57 AC m Und somit für die gesuchten Kräfte: F 1 F F F tn (α) 5000N sin (6.57 ) 11180N 5000N tn (6.57 ) 10000N 19. Aufgbe Bestimmen Sie die fehlenden Seiten und Winkel des Dreiecks ABC mit 11m, h b m und α 70. C D h b A α B Seite c mit Trigo im Dreieck ABD: h b c c h b Winkel γ mit Sinusstz im Dreieck ABC: m sin (70 ).19m sin (γ) c ( ) c γ rcsin ( ).19m sin (70 ) rcsin 11m 15.8 Seite 1 / 7

22 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Winkel β im Dreieck ABC mit Winkelsumme: β 180 α γ Seite b mit Sinusstz im Dreieck ABC: b sin (β) sin (β) b 11m sin (94.19 ) sin (70 ) 11.67m 0. Aufgbe Zwei Schiffe A und B liegen vor der Küste vor Anker. Wie weit sind die beiden Schiffe voneinnder entfernt? A C α β γ δ D B Dten: 50m α 41.5 β 16. γ 75. δ 7.9 Seite BC mit Sinusstz im Dreieck BCD: BC sin (γ + δ) sin (180 β γ δ) sin (γ + δ) BC sin (180 β γ δ) 50m sin (10.1 ) sin (60.6 ) 55.90m Seite / 7

23 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Seite AC mit Sinusstz im Dreieck ACD: AC sin (γ) sin (180 α β γ) sin (γ) AC sin (180 α β γ) 50m sin (75. ) sin (47 ) 66.10m Seite AB mit Cosinusstz im Dreieck ABC: AB AC + BC AC BC cos (α) AB AC + BC AC BC cos (α) (66.1m) + (55.9m) (66.1m) (55.9m) cos (41.5 ) 44.6m 1. Aufgbe Berechnen Sie von den beiden nchfolgenden Figuren die fehlenden Grössen: c b q c h p d e h f b () Rechtwinkliges Dreieck: Gegeben h 1cm und q 15cm. Seite b mit Pythgors: b h + q (1cm) + (15cm) 41cm 19.1cm Seite c mit dem Stz des Euklids: b cq c b q Hypotenusenbschnitt p: Seite mit Pythgors: ( ) 41cm 15cm 1 cm 4.60cm 5 p c q 4.60cm 15cm 9.60cm p + h (9.60cm) + (1cm) 15.7cm Seite / 7

24 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 (b) Trpez: Gegeben 0cm, c 4cm, b 1cm und h 6cm. Länge Projektion von b uf : b b h (1cm) (6cm) 6 cm 10.9cm Länge Projektion von d uf : Seite d: Digonle e: e Digonle f: f d c b 0cm 4cm 10.9cm 5.61cm d d + h (d + c) + h (b + c) + h. Aufgbe Bestimmen Sie den eingezeichneten Winkel: (5.61cm) + (6cm) 8.1cm (5.61cm + 4cm) + (6cm) 11.cm (10.9cm + 4cm) + (6cm) 15.59cm 5 1 Grünes Dreieck: Seite 4 / 7

25 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Rotes Dreieck: tn (ϕ) 1 ϕ rctn ( 1 ) ( ) 1 rctn Aufgbe Wieviele Kilometer beträgt die Länge des Breitenkreises, uf dem Berlin liegt (ϕ 5 0, r E 670km). Bestimmen Sie zudem die Geschwindigkeit mit welcher sich Berlin um die Erdchse dreht. M ϕ B r E Abstnd Berlin zur Drehchse: cos (ϕ) r B r E r B r E cos (ϕ) 670km cos (5 0 ) 789km Umfng (Länge) des Breitenkreises: Geschwindigkeit: U B r B π 789km π 810km v B s t 810km 4h km h 75.55m s 4. Aufgbe Von einem Trpez kennt mn 69.m, c 1.4m, h 41.9m und β Berechnen Sie die restlichen Seiten und Winkel, die Digonlen und den Flächeninhlt. δ c γ d e f b α h β Seite 5 / 7

26 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Seite b: cos (β) h b b Projektion von b uf : u b h Projektion von d uf : h cos (β) 41.9m cos (48.5 ) 6.4m (6.4m) (41.9m) 47.59m v c u 69.m 1.4m 47.59m 8.541m Winkel γ: Seite d: Winkel α: Winkel δ: γ 180 β d v + h h d 41.9m 4.76m (8.541m) + (41.9m) 4.76m 0.98 α δ 180 α Fläche: Digonle e : Digonle f: A + c h 69.m + 1.4m 41.9m 17m e + b b cos (β) m f + d d cos (α) 7.806m Seite 6 / 7

27 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 Trigonometrische Funktionen 5. Aufgbe Skizzieren Sie die Grphen der folgenden Funktionen: () ( f 1 () y sin 4 π ) 4 (b) (c) (d) (e) (f) Sinusfunktion mit der Amplitude ŷ, der Kreisfrequenz ω 4 (Frequenz f ω π π, Periodenduer T 1 f π ) und der Phsenverschiebung ϕ 0 π 4. f () y 1 cos () Kosinusfunktion mit der Amplitude ŷ 1, der Kreisfrequenz ω (Frequenz f ω 1, Periodenduer T 1 π) und der Phsenverschiebung ϕ π π f 0 0. ( 1 f () y 4 sin + π Sinusfunktion mit der Amplitude ŷ 4, der Kreisfrequenz ω 1 (Frequenz f ω 1, Periodenduer T 1 4π) und der Phsenverschiebung π 4π f ϕ 0 π. ) f 4 () y sin () + cos () Sinusfunktion mit der Amplitude ŷ 1 + 5, der Kreisfrequenz ω (Frequenz f ω, Periodenduer T 1 π ) und der Phsenverschiebung ϕ 0 rctn ( π π f 1) (Überlgerung gleichfrequenter Schwingungen: y sin () + cos () 5 sin ( )). f 5 () y 1 (1 cos ()) Kosinusfunktion mit der Amplitude ŷ 1, der Kreisfrequenz ω (Frequenz f ω 1, Periodenduer T 1 π), der Phsenverschiebung ϕ π π f 0 π (wegen negtivem Vorzeichen!) und einem Offset y Offset 1. Umformen: ( f 6 () y sin (5) + sin 5 + π ) ( + sin 5 + π y sin (5)+sin (5) cos ( π ) ( π ) +cos (5) sin +sin (5) cos ) ( ) π +cos (5) sin ( ) π Seite 7 / 7

28 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 sin (5)+ 1 sin (5)+ cos (5) 1 sin (5)+ cos (5) sin (5)+ cos (5) 1 + ( ( )) ( sin 5 + rctn sin 5 + π ) 1 Sinusfunktion mit der Amplitude ŷ, der Kreisfrequenz ω 5 (Frequenz f ω π 5 π, Periodenduer T 1 f π 5 ) und der Phsenverschiebung ϕ 0 π. 6. Aufgbe Benutzen Sie die Formel cos(α α 1 ) cos(α 1 ) cos(α ) + sin(α 1 ) sin(α ) um einen nlytischen Ausdruck für cos(15 ) zu finden. cos (15 ) cos(45 0 ) cos(45 ) cos(0 ) + sin(45 ) sin(0 ) Aufgbe Benutzen Sie die Formel cos(α + β) cos(α) cos(β) sin(α) sin(β) um die Doppelwinkelformel für den Cosinus herzuleiten: cos(γ)? cos (γ) cos (γ + γ) cos (γ) cos (γ) sin (γ) sin (γ) cos (γ) sin (γ) 8. Aufgbe Benutzen Sie die folgenden beiden Formeln cos (α) cos (α) sin (α) sin (α) + sin (α) 1 Seite 8 / 7

29 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 um die Doppelwinkelformel für den Sinus herzuleiten: sin(γ)? sin (γ) 1 cos (γ) 1 ( cos (γ) sin (γ) ) 1 cos 4 (γ) + cos (γ) sin (γ) sin 4 (γ) sin (γ) + cos (γ) cos 4 (γ) + cos (γ) sin (γ) sin 4 (γ) sin (γ) ( 1 sin (γ) ) + cos (γ) (1 cos (γ)) + cos (γ) sin (γ) 4 cos (γ) sin (γ) sin (γ) cos (γ) 9. Aufgbe Bestimmen Sie die Überlgerung der folgenden hrmonischen Schwingungen: () sin () + 4 cos ()? C A + B 5, ϕ rctn ( ) ( ) B 4 rctn 0.97 A sin () + 4 cos () 5 sin ( ) (b) C A + B 1, ϕ rctn 5 sin () 1 cos ()? ( ) ( B rctn 1 ) A 5 5 sin () 1 cos () 1 sin ( ) (c) ( ) ( ) sin + cos? 4 4 C A + B ( ) B 8, ϕ rctn rctn (1) π A 4 ( ) ( ) sin + cos ( 8 sin π ) 4 0. Aufgbe Vereinfchen Sie: Seite 9 / 7

30 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 () tn (α)? tn (α) sin(α) cos(α) cos (α) cos (α) (b) 1 tn (α)? cos (α) 1 cos (α) tn (α) 1 cos (α) cos (α) 1 cos (α) cos (α) cos (α) cos (α) (c) 1 cos (α) 1? 1 cos (α) 1 1 cos (α) cos (α) cos (α) 1 cos (α) cos (α) cos (α) tn (α) (d) tn (α)? tn (α) 1 + cos (α) sin (α) sin (α)+cos (α) sin (α) 1 sin (α) sin (α) (e) 1 + cos (α) + cos (α) + 1? 1 + cos (α) + cos (α) + 1 (1 cos (α)) 1 cos (α) 1 cos (α) + + (1 cos (α)) 1 + cos (α) + (1 + cos (α)) (1 cos (α)) 1 + cos (α) 1 + cos (α) (1 cos (α)) sin (α) 1 cos (α) cos (α) cos (α) Seite 0 / 7

31 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 (f) 1 cos (α) 1 sin (α)? 1 cos (α) 1 sin (α) sin (α) cos (α) tn (α) tn (α) (g) sin () sin ( y) cos () cos ( y)? sin () sin ( y) cos () cos ( y) sin () sin y cos () cos y }{{}}{{} u u cos () cos (u) sin () sin (u) cos ( + y) cos ( y) }{{} cos(+u) (h) cos () sin (y) cos ( + y) cos ( y)?... cos () sin (y) (cos () cos (y) sin () sin (y)) (cos () cos (y) + sin () sin (y)) (i) cos () sin (y) cos () cos (y) sin () sin (y) cos () sin (y) cos () cos (y) + cos () sin (y) cos () sin (y) sin () sin (y) cos () sin (y) cos () ( cos (y) + sin (y) ) sin (y) ( cos () + sin () ) cos () sin (y) cos () sin (y) 1 1 tn () tn () sin ()? 1 tn () tn () sin () 1 sin () cos () sin () sin () cos () Seite 1 / 7

32 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie Aufgbe cos () sin () cos () sin ()+cos () cos () + sin () cos () sin () cos () 1 cos () + sin () cos () sin () cos () + sin () cos cos () 1 () sin () + sin () cos () cos () () Bestimmen Sie lle Winkel α [0, 60 ], die die folgende Gleichung erfüllen: cos(α) + sin(α) 0 cos(α) + sin(α) 0 1 sin (α) + sin(α) 0 }{{}}{{} u u u u 1 (u + 1) (u 1) 0 u 1 1 α { 10 + k k60 u 1 α 90 + k60 L {90, 10, 0 } (b) Bestimmen Sie lle [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen: ( cos π ) + cos () 0 ( cos π ) + cos () 0 ( π ) ( π ) cos () cos + sin () sin + cos () 0 cos () + sin () 0 ( sin + π ) 0 ( sin + π ) 0 kπ π { π L, 5π } Seite / 7

33 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 (c) Bestimmen Sie lle [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen: ( sin () + cos + π ) 0 ( sin () + cos + π ) 0 sin () cos () sin () 0 sin () ( cos () 1) 0 sin () 0 1 kπ cos () 1 0 cos () 1 { π + kπ 5π + kπ L {0, π, π, 5π }, π (d) Bestimmen Sie lle [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen: cos () 1 cos () 1 { π + kπ 4π + kπ { π + kπ π + kπ { π L, π } (e) Bestimmen Sie lle [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen: sin () + sin () 0 sin () + sin () 0 sin () (1 + sin ()) 0 sin () 0 1 kπ 1 + sin () 0 sin () 1 π + kπ L {0, π, π }, π Seite / 7

34 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 (f) Bestimmen Sie lle [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen: cos () + cos () 0 cos () + cos () 0 cos () + cos () 1 0 }{{}}{{} u u u + u 1 (u 1) (u + 1) 0 u 1 1 { π cos () 1 + kπ 5π + kπ u 1 cos () π + kπ { π L, π, 5π } (g) Bestimme Sie lle [0, π], die die folgende Gleichung erfüllen: sin () cos () 0 sin () cos () 0 sin () (1 sin ()) 0 sin () + sin () 1 0 }{{}}{{} u u u + u 1 (u 1) (u + 1) 0 u 1 1 { π sin () 1 + kπ 6 5π + kπ 6 u 1 sin () π + kπ { π L 6, 5π 6, π } (h) Bestimme Sie lle reellen Zhlen, die die folgende Gleichung erfüllen: cos () 1 cos () 1 { π + kπ 5π + kπ { π + kπ 6 5π + kπ 6 { π L 6 + kπ, 5π } 6 + kπ Seite 4 / 7

35 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 (i) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, 60 ] n): { α + k k60 L { , } (j) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, 60 ] n): sin (α) cos (α) 1 sin (α) cos (α) 1 cos (α) 1 sin (α) cos (α) cos (α) 0 cos (α) 0 cos (α) α 90 + k180 L {90, 70 } (k) Lösen Sie die folgende Gleichung (geben Sie lle Lösungen im Intervll [0, π] n): sin () + cos () 0 sin () + cos () 0 sin () +1 sin () 0 }{{}}{{} u u u + u + 1 (u + 1) (u 1) 0 u u 1 sin () 1 { 7π 1 + kπ 6 11π + kπ 6 u 1 0 u sin () 1 π + kπ { π L, 7π 6, 11π } 6 Seite 5 / 7

36 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 (l) Welche Zhlen [0, π] erfüllen die Gleichung: sin () + tn () 0 sin () + tn () 0 sin () + sin () cos () 0 sin () cos () + sin () cos () sin () (cos () + 1) cos () 0 0 sin () 0 1 kπ cos () cos () 1 π + kπ L {0, π, π} (m) Bestimme Sie lle reellen Zhlen, die die folgende Gleichung erfüllen: sin () cos () sin () cos () 1 sin ( 0.988) sin ( 0.988) { kπ kπ { kπ kπ L { kπ, kπ} (n) Bestimme Sie lle reellen Zhlen, die die folgende Gleichung erfüllen: 4 sin () + cos () 5 4 sin () + cos () 5 5 sin ( ) 5 sin ( ) 1 Seite 6 / 7

37 Mthemtik Lösung Arbeitsbltt Geometrie / Trigonometrie 016 { π kπ { kπ 5π + kπ kπ 6 { kπ kπ { kπ kπ { L kπ } kπ, Seite 7 / 7