Spektralmethoden mit Anwendungen in Chemie und Physik

Transkript

1 Spektrlmethoden mit Anwendungen in Chemie und Physik Eine Einführung zum Seminr und dem Them Steffen Weißer Universität des Srlndes 19. April 2016

2 Gliederung 1 Zum Seminr 2 Mthemtische Einführung und Überblick 3 Wie geht s weiter?

3 Abluf 1 Erhlt der Themen 2 Einrbeitung in ds Them 3 Präsenttion mit L A TEX erstellen 4 (Beispiele mit MATLAB rechnen) Wochen vor Vortrg Besprechung 6 Vortrg 7 Folien online stellen

4 L A TEX für Präsenttion und Ausrbeitung verpflichtend Beispiele uf unserer Internetseite ( Instlltionsnleitung für Windows uf YouTube Litertur: K. Brune, J. Lmmrsch, M. Lmmrsch LTeX Bsissystem, Lyout, Formelstz, X.systems.press, Springer, 2006

5 MATLAB nicht verpflichtend ( ber empfohlen) schnelle Implementierung numerischer Verfhren kostenlose Studentenversion über die Universität

6 Vorbesprechung und Vortrg Die Vorbesprechung findet 1-2 Wochen vor dem Vortrg sttt: vorherige Abgbe der Folien im pdf-formt per E-Mil einrbeiten von Verbesserungsvorschlägen Vortrg im Rhmen des Seminrs Präsenttion vor der Gruppe Frgen zum Them bentworten Folien werden online gestellt.

7 Aufgben der Zuhörer Es soll sich keiner lngweilen, deswegen gibt es eine Aufgbenverteilung: Modertor (Vorstellung und Modertion) Experte (Stellt mind. eine Frge) Außenstehende (Lob & Kritik m Vortrg) Vortrgender Zuhörer Christin Alexey Dominik Aron Lucs Torsten Dniel Christin Alexey Dominik Aron Lucs Torsten Dniel Modertor: Vorstellung und Modertion Experte: Stellt mind. 1 Frgen Außenstehender: Lob & Kritik

8 Ausrbeitung Abgbe bis spätestens Ende des Semesters! Besser etws früher Vorlge und Regeln uf der Internetseite Auszug us den Regeln: 1 Regeln Vorlge für schriftliche Ausrbeitungen Inhltsverzeichnis Steffen Weißer 22. Jnur Regeln Seitenformt Litertur 2 Die Ausrbeitung soll c. 8 Seiten (4.5 ECTS) bzw zwischen 15 und 20 Seiten (Huptseminr 8 ECTS) lng sein. Diese Angbe gilt exklusive des Inhlts- sowie des Literturverzeichnisses und exklusive von Bildern und Tbellen. Quellen müssen zitiert und im Literturverzeichnis ufgeführt werden. Ein solches Zitt geschieht mit dem Befehl cite{} und dem Tool bibtex, wie z.b. bei [4] oder [1, 2, 3]. Sätze, Lemmt u.s.w. können mit den entsprechenden Umgebungen erstellt werden, z.b. Stz 1 (Mittelwertstz). Es sei f : [, b] R eine Funktion, die uf dem bgeschlossenen Intervll [, b] (mit < b) definiert und stetig ist. Außerdem sei die Funktion f im offenen Intervll (, b) differenzierbr. Unter diesen Vorussetzungen gibt es mindestens ein ξ (, b), so dss f f (b) f () (ξ) = b Beweis. Siehe ein beliebiges Anlysis Buch. Bilder werden mit der figure Umgebung eingebunden, wie dies z.b. in Abbildung 1 geschehen ist. Die Ausrbeitung soll c. 8 Seiten (4.5 ECTS) bzw. zwischen 15 und 20 Seiten (Huptseminr 8 ECTS) lng sein. Diese Angbe Abbildung 1: Die Uni-Eule in Aktion. gilt exklusive des Inhlts- sowie des Literturverzeichnisses und 1.1 Seitenformt Zur Formtierung gelten die folgenden Regeln: exklusive von Bildern und Tbellen. Quellen müssen zitiert... Der Rnd drf nicht mehr ls 2.5 cm betrgen. gilt. Srlnd University, Deprtment of Mthemtics, Srbrücken, Germny 1

9 Lernziele Wir vertiefen und festigten euer Wissen zu orthogonlen Polynomen und lernen Spektrlmethoden kennen.

10 Lernziele Wir vertiefen und festigten euer Wissen zu orthogonlen Polynomen und lernen Spektrlmethoden kennen. Ihr... seid in der Lge euch selbstständig in ein Them einzurbeiten beherrscht den Umgng mit L A TEX könnt Vorträge kritisch beurteilen und selbst welche hlten seid in der Lge fchliche Frgen zu stellen (hbt MATLAB kennen gelernt)

11 Ds Buch 1 Introduction to Spectrl/Pseudospectrl Methods 2 Polynomil Bsis Functions nd Qudrtures 3 Numericl Evlution of Integrls nd Derivtives 4 Representtion of Functions in Bsis Sets 5 Integrl Equtions in the Kinetic Theory of Gses 6 Spectrl nd Pseudospectrl Methods of Solution of...

12 Drstellung in Orthonormlbsen Sei H ein Hilbertrum mit Sklrprodukt (, ) und induzierter Norm, d.h. (, ) : H H R, f = (f, f ) f H. Weiter sei {P n } eine Orthonormlbsis, d.h. (P n, P m ) = δ nm und es gilt eine Mximleigenschft. D. Werner: Funktionlnlysis. Springer, 2011

13 Drstellung in Orthonormlbsen Sei H ein Hilbertrum mit Sklrprodukt (, ) und induzierter Norm, d.h. (, ) : H H R, f = (f, f ) f H. Weiter sei {P n } eine Orthonormlbsis, d.h. So gilt (P n, P m ) = δ nm und es gilt eine Mximleigenschft. f = (f, P n )P n f H, und die Prsevlsche Gleichung f 2 = (f, P n ) 2 f H. D. Werner: Funktionlnlysis. Springer, 2011

14 Im Buch gilt (f, g) = w(x)f (x)g(x) dx, f 2 = für < b und w > 0. w(x) f (x) 2 dx, P n = P n (x), x (, b), n N 0 sind (oft) orthogonle Polynome.

15 Im Buch gilt (f, g) = w(x)f (x)g(x) dx, f 2 = für < b und w > 0. w(x) f (x) 2 dx, P n = P n (x), x (, b), n N 0 sind (oft) orthogonle Polynome. H = L 2 w ((, b)) ist lso ein gewichteter L 2 -Rum. (Wie bekomme ich die P n, Kpitel 2)

16 Approximtion/Drstellung im Spektrlrum Wir pproximieren f (x) für x [, b] durch f (N) (x) = n P n (x) mit n = w(x)p n (x)f (x) dx.

17 Approximtion/Drstellung im Spektrlrum Wir pproximieren f (x) für x [, b] durch f (N) (x) = n P n (x) mit n = w(x)p n (x)f (x) dx. Alterntive 1: Wähle p n (x) = w(x)p n (x), dnn gilt f (N) (x) = b n p n (x) mit b n = p n (x)f (x) dx.

18 Approximtion/Drstellung im Spektrlrum Wir pproximieren f (x) für x [, b] durch f (N) (x) = n P n (x) mit n = w(x)p n (x)f (x) dx. Alterntive 1: Wähle p n (x) = w(x)p n (x), dnn gilt f (N) (x) = Alterntive 2: b n p n (x) mit b n = f (N) (x) = w(x) c n P n (x) mit c n = (Kpitel 4) p n (x)f (x) dx. P n (x)f (x) dx.

19 Betrchte den Fehler in der gewichteten L 2 -Norm: [ E (N) 2 2 = w(x) f (x) f (x)] (N) dx.

20 Betrchte den Fehler in der gewichteten L 2 -Norm: Es gilt [ E (N) 2 2 = w(x) f (x) f (x)] (N) dx. E (N) 2 = f 2 2 n + m=0 w(x)p n (x)f (x) dx n m w(x)p n (x)p m (x) dx

21 Betrchte den Fehler in der gewichteten L 2 -Norm: Es gilt und somit [ E (N) 2 2 = w(x) f (x) f (x)] (N) dx. E (N) 2 = f 2 2 n + m=0 w(x)p n (x)f (x) dx n m w(x)p n (x)p m (x) dx E (N) 2 = f 2 2 n sowie 2 n f 2.

22 Drstellung im physiklischen Rum Numerische Integrtion: Seien w i Integrtionsgewichte und x i Stützstellen, so dss w(x)f (x) dx N w i F (x i ) i=0 und = gilt, wenn F ein Polynom vom Grd kleiner gleich 2N 1. (Kpitel 2 und 3)

23 Drstellung im physiklischen Rum Numerische Integrtion: Seien w i Integrtionsgewichte und x i Stützstellen, so dss w(x)f (x) dx N w i F (x i ) i=0 und = gilt, wenn F ein Polynom vom Grd kleiner gleich 2N 1. Die Approximtion der Zerlegungskoeffizienten im Spektrlrum ist n = N w i P n (x i )f (x i ) i=1 (Kpitel 2 und 3)

24 Drstellung im physiklischen Rum Numerische Integrtion: Seien w i Integrtionsgewichte und x i Stützstellen, so dss w(x)f (x) dx N w i F (x i ) i=0 und = gilt, wenn F ein Polynom vom Grd kleiner gleich 2N 1. Die Approximtion der Zerlegungskoeffizienten im Spektrlrum ist n = N w i P n (x i )f (x i ) und mit f i = i=1 n P n (x i ) bezeichnen wir die Drstellung im physiklischen Rum. (Kpitel 2 und 3)

25 Drstellung im physiklischen Rum Numerische Integrtion: Seien w i Integrtionsgewichte und x i Stützstellen, so dss w(x)f (x) dx N w i F (x i ) i=0 und = gilt, wenn F ein Polynom vom Grd kleiner gleich 2N 1. Die Approximtion der Zerlegungskoeffizienten im Spektrlrum ist n = N w i P n (x i )f (x i ) und mit f i = i=1 n P n (x i ) bezeichnen wir die Drstellung im physiklischen Rum. Setze ˆf i = w i f i. (Kpitel 2 und 3)

26 Drstellung im physiklischen Rum Numerische Integrtion: Seien w i Integrtionsgewichte und x i Stützstellen, so dss w(x)f (x) dx N w i F (x i ) i=0 und = gilt, wenn F ein Polynom vom Grd kleiner gleich 2N 1. Die Approximtion der Zerlegungskoeffizienten im Spektrlrum ist n = N w i P n (x i )f (x i ) und mit f i = i=1 n P n (x i ) bezeichnen wir N die Drstellung im physiklischen Rum. Setze ˆf i n = wi P w i f i. n (x i ) ˆf }{{} i und mit ˆf i = n wi P n (x i ) }{{} i=1 (Kpitel 2 und 3) T ni T in

27 Die Mtrix T = (T in ) ist orthogonl, d.h. T T = I, ws gleichbedeutend ist mit wi w j P n (x j )P n (x i ) = δ ij, i, j = 1,..., N.

28 Die Mtrix T = (T in ) ist orthogonl, d.h. T T = I, ws gleichbedeutend ist mit wi w j P n (x j )P n (x i ) = δ ij, i, j = 1,..., N. Somit erhlten wir die klssische Interpoltion wobei f (N) (x i ) = n P n (x i ) = f (x i )I i (x) I i (x) = w i P n (x)p n (x i ) mit I i (x j ) = δ ij.

29 Dirc br ket Nottion Motivtion: Betrchte v R 3, es gilt v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, wobei e i, i = 1, 2, 3 die Einheitsvektoren mit e i e j = δ ij.

30 Dirc br ket Nottion Motivtion: Betrchte v R 3, es gilt v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, wobei e i, i = 1, 2, 3 die Einheitsvektoren mit e i e j = δ ij. Sei H ein Hilbertrum mit Orthonormlbsis {p n (x)}. Assoziiere p n (x) mit dem symbolischen Vektor n. In Anlehnung n e i e j = δ ij schreiben wir für ds Sklrprodukt m n = δ mn und es gilt f = c n n mit c n = n f = p n (x)f (x) dx.

31 Dirc br ket Nottion Motivtion: Betrchte v R 3, es gilt v = v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3, wobei e i, i = 1, 2, 3 die Einheitsvektoren mit e i e j = δ ij. Sei H ein Hilbertrum mit Orthonormlbsis {p n (x)}. Assoziiere p n (x) mit dem symbolischen Vektor n. In Anlehnung n e i e j = δ ij schreiben wir für ds Sklrprodukt m n = δ mn und es gilt f = c n n mit c n = n f = Bei lineren Abbildungen: Af A f. p n (x)f (x) dx.

32 Eigenwertprobleme für selbstdjungierte linere Opertoren Betrchte Lψ n (x) = λ n ψ n (x), x (, b), wobei L liner und selbstdjungiert mit Rndbedingungen A 1 ψ n () + B 1 ψ n() = 0, A 2 ψ n (b) + B 2 ψ n(b) = 0. Es gilt Eigenwerte sind reell, Eigenfunktionen (von verschiedenen EW) sind orthogonl.

33 Eigenwertprobleme für selbstdjungierte linere Opertoren Betrchte Lψ n (x) = λ n ψ n (x), x (, b), wobei L liner und selbstdjungiert mit Rndbedingungen A 1 ψ n () + B 1 ψ n() = 0, A 2 ψ n (b) + B 2 ψ n(b) = 0. Es gilt Eigenwerte sind reell, Eigenfunktionen (von verschiedenen EW) sind orthogonl. Sturm-Liouville problem Lψ n (x) = d [ p(x) dψ ] n(x) + q(x)ψ n (x) = λ n w(x)ψ n (x). dx dx (Kpitel 5 und 6)

34 Approxmtion von Eigenwertproblemen In der Dirc Nottion L ψ = λ ψ und wir setzen ψ = k=0 mit N orthogonlen Polynomen k, d.h. l k = δ lk. k k,

35 Approxmtion von Eigenwertproblemen In der Dirc Nottion L ψ = λ ψ und wir setzen ψ = k=0 mit N orthogonlen Polynomen k, d.h. l k = δ lk. Wende l von links n: k=0 k l L k = λ k=0 k l k k k,

36 Approxmtion von Eigenwertproblemen In der Dirc Nottion L ψ = λ ψ und wir setzen ψ = k=0 mit N orthogonlen Polynomen k, d.h. l k = δ lk. Wende l von links n: k=0 k l L k = λ k=0 k l k k k, Sei = ( 0,..., ), wir erhlten ds Eigenwertproblem L = λ mit L = (L kl ) = ( l L k ).

37 Spektrlmethoden (Glerkin Verfhren) Beispiel: Betrchte f (x, t) t = Lf (x, t), x (, b) mit f (x, 0) = g(x) und f (, t) = f (b, t) = 0. Wir wählen f (N) (x, t) = b n (t)p n (x) und sei g(x) = b n (0)p n (x).

38 Spektrlmethoden (Glerkin Verfhren) Beispiel: Betrchte f (x, t) t = Lf (x, t), x (, b) mit f (x, 0) = g(x) und f (, t) = f (b, t) = 0. Wir wählen f (N) (x, t) = b n (t)p n (x) und sei g(x) = b n (0)p n (x). Die Koeffizienten seien so, dss ds Residuum minimert wird R N (x, t) = f (N) (x, t) Lf (N) (x, t) t = p n (x) b n(t) b n (t)lp n (x) t

39 ... und zwr so dss ϑ(x)r N (x, t) dx = 0.

40 ... und zwr so dss ϑ(x)r N (x, t) dx = 0. Wählt mn ϑ(x) = p n (x), n = 0,..., N 1 erhält mn ein System von gewöhnlichen Differentilgleichungen: db m (t) dt = L mn b n (t), für m = 0,..., N 1 mit L mn = p m (x)lp n (x) dx. (Kpitel 3 bzw. 5 und 6)

41 Pseudospektrlmethoden Beispiel: Betrchte ds Eigenwertproblem Lψ = λψ, nämlich k(x, y)ψ(y) dy = λψ(x).

42 Pseudospektrlmethoden Beispiel: Betrchte ds Eigenwertproblem Lψ = λψ, nämlich w(x) k(x, y)ψ(y) dy = λψ(x). w(x) Seien (x i, w i ) Stützstellen und Integrtionsgewichte, wir pproximieren die Gleichung durch N i=1 w i w(x i ) k(x, x i)ψ(x i ) = λψ(x),

43 Pseudospektrlmethoden Beispiel: Betrchte ds Eigenwertproblem Lψ = λψ, nämlich w(x) k(x, y)ψ(y) dy = λψ(x). w(x) Seien (x i, w i ) Stützstellen und Integrtionsgewichte, wir pproximieren die Gleichung durch N i=1 w i w(x i ) k(x, x i)ψ(x i ) = λψ(x), und erhlten durch die Whl x = x j, j = 1,..., N ein LGS N i=1 w i w(x i ) k(x j, x i )ψ(x i ) = λψ(x j ), j = 1,..., N zur Bestimmung von ψ(x i ), i = 1,..., N.

44 Dieses Verfhren ist uch bei Differentilopertoren nwendbr. Idee: Ersetze Unbeknnte durch Drstellung im Spektrlrum. Berechne Ableitungen bzw. nutze Differentitionsmtrizen (Kpitel 3) Fordere Gleichheit in Stützstellen. (Kpitel 5 und 6)

45 Wie geht s weiter? Mthemtische Übersicht ist geklärt orthogonle Funktionen numerische Qudrtur Spektrlmethoden Pseudospektrlmethoden

46 Wie geht s weiter? Mthemtische Übersicht ist geklärt orthogonle Funktionen numerische Qudrtur Spektrlmethoden Pseudospektrlmethoden Ihr bereitet Eure Vorträge vor Erster Vortrg und Info zu Feedbck geben und nehmen 10. Mi 2016, Christin Otto