4 Die rationalen Zahlen

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1 4 Die rtionlen Zhlen Der Ring der gnzen Zhlen ht den Mngel, dß nicht jede Gleichung = X, 0 innerhl Z lösr ist. (Z.B. ist 1 = 2 X unlösr in Z). Zu seiner Beseitigung erweitert mn den Zhlereich zum Körper der rtionlen Zhlen (Brüche). A. Die rtionlen Zhlen. Definition. Die Menge der rtionlen Zhlen esteht (1) us den gnzen Zhlen, und (2) us den Pren (, ) mit, Z, 2, ggt (, ) = 1 Q = Z {(, ), Z, 2, ggt (, ) = 1} 4.1 Einführung der Bruchschreiweise. Seien, Z, 0: ) 1 := Z ) Ist ggt (, ) = 1 und 2, so setzen wir := (, ). c) Nch Kp. I, 2.8 git es durch (, ) eindeutig estimmte Zhlen d = ±ggt (, ), ã und mit = dã, = d, 1, ggt (ã, ) = 1, d 0. ( { Setze ã flls := = ) = 1 ã (ã, ) flls. Dmit ist 2 Q = {, Z, 0}. Für, Z mit 0, nennt mn den Ausdruck einen Bruch, seinen Zähler und seinen Nenner. Nch oiger Definition schreit sich jedes r Q in eindeutiger Weise ls r = ã mit 1 und ggt (ã, ) = 1. Dieser Ausdruck heißt gekürzte Bruchdrstellung von r Q. Sind lso ã und c d gekürzte Brüche, so gilt ( ) ã = c d ã = c und = d 1

2 4.2 Gleichheit von Brüchen. Seien, Z, 0. ) = 1 und 0 = 0 ) Für lle t Z\{0} gilt die Kürzungsregel c) Sind c, d Z, d 0, so gilt = c d t t = Beweis. ) und ) sind Spezilfälle von c). d = c Zu c) Seien ã = und c d = c die zugehörigen reduzierten Bruchdrstellungen. Dnn gilt d = tã, = t, c = t c, d = t d, ggt (ã, ) = ggt ( c, d) = 1, > 0, d > 0 und tt 0. = c = ã = c d ( ) = ã = c, = d = d = tt ã d = tt c d = c. d = c = tt ã d = tt c = tt (ã d c) = 0, tt 0 = ã d c nch 2.6, d.h. ã d = c. Ferner gilt ggt (ã, ) = ggt ( d, c) = 1, d > 0, > 0. Es folgt ã = c und = d, d mn in Z eine eindeutige Primfktorzerlegung ht. Also ist = ã = c d = c d B. Addition und Multipliktion von Brüchen. Seien, c d Q. Wir definieren + c := d+c d d (Addition) und c c := d d (Multipliktion) 4.3 Bemerkung. Addition und Multipliktion von rtionlen Zhlen sind unhängig von der Drstellung definiert, d.h. Aus = und c d = c d (i) c d = c d ; folgt (ii) d+c = d + c d d 2

3 Beweis. Nch 4.2 c) gilt (iii) = und cd = c d, und somit c d d+c d 4.2) = c d = cd d d d d = c d d d 4.2) = c d 4.2) = (d+c) d = dd +cd = dd +c d = d( d +c ) d d d d d d d( d ) Q. Dnn gilt 4.4 Regel. Sei 4.2) = d +c d ) + und setzen die Addition und Multipliktion von Z uf Q fort. ) c) = 1, flls, Z\{0}. Insesondere ist 1 löst die Gleichung X =. d) 1 = und + 0 =. e) + c = +c; insesondere ist + = 0 = 0 Beweis. ) + = 1+ 1 = + = = = = ) = = 1 1 = 1 nch 4.2 c) = 1 = 1 = 1 d) 1 = 1 = 1 = = + 0 = 1+0 = 1 1 e) + c = +c = (+c) 4.5 Stz. (Q, +, ) ist ein Körper. = nch 4.2 = +c nch 4.2 = 1 für lle N\{0}. Beweis. Nch 4.4 sind nur noch ds Distriutiv-, Assozitiv- und Kommuttivgesetz zu zeigen. Zeige exemplrisch: ( c + e ) = cf+de = cf+de und d f df df c + e = cf+de = (cf+de) d f df (df) lso gilt ds Distriutivgesetz. = cf+de df, 3

4 C. Anordnung der rtionlen Zhlen. Definition. Eine rtionle Zhl heißt positiv, wenn sie eine Drstellung r = ht mit > Bemerkung. Ist r positiv und r = c, so ist uch cd > 0. d Beweis. Sei r = mit > 0. Es folgt d = c, lso ()(cd) = 2 c 2 = (c) 2 > 0; wegen > 0 folgt uch cd > 0. Setze P = { Q positiv } = Menge der positiven rtionlen Zhlen. 4.7 Stz. P ist geschlossen zgl. der Addition und Multipliktion und es gilt: Q = P {0} ( P ). Beweis. N >0 ist geschlossen ezüglich + und. Also ist nch Definition der Positivität rtionler Zhlen uch P geschlossen ezüglich + und : Seien r =, s = c c us P = rs =, r + s = d+c = cd = ()(cd) > 0 d d d und (d + c)d = ()d 2 + (cd) 2 > 0. Sei P {0} = < 0 = () = > 0 = P = = P. Sei r = P, d.h. > 0 und r = mit ( ) = < 0. Nch 4.6 ist dher r P {0}. Definition. r s := s r P 0 := P {0}. P 0 ist nch 4.7 geschlossen zgl. + und. 4.8 Stz. ist eine linere Ordnung uf Q, welche die Ordnung uf Z fortsetzt. Sie ist monoton, d.h. r s = r + t s + t r s und t 0 = rt st Beweis. in Z N = P Def Def. Dmit setze die Ordnung uf Z fort. 1 1 in Q. Zeige eispielsweise noch die Trnsitivität von : 4.7 r s und s t s r P 0 und t s P 0 = t r = (s r) + (t s) P 0 = t r 4

5 und die Monotomie zgl. + : r s = s r P 0 = (s + t) (r + t) = s r P 0 = r + t s + t 4.7 und zgl. : r s, t 0, = s r, t P 0 = st rt = (s r)t P 0 = rt st. 4.9 Ds Prinzip des Archimedes. Für lle r, s P git es eine ntürliche Zhl n mit n r > s. Beweis. Schreie r = p, s = q mit dem gleichen Nenner h > 0 und p, q > 0. h h (Dies erreicht mn durch Erweitern.) Es gilt dnn nch 4.8: nr > s (nr)h > sh np > q, denn rh = p, sh = q. Es genügt lso, zu zeigen: Zu gegeenen ntürlichen Zhlen p 0 und q 0 git es eine ntürliche Zhl n mit np > q. Beweis: Wegen p 1 ist (q + 1)p (q + 1) 1 = q + 1 > q Stz. Die Elemente von Q liegen dicht gedrängt : Für r, s Q mit r < s liegt immer noch ein t Q dzwischen, d.h. r < t < s. Beweis. Setze t := 1(r + s) : s t = s 1r 1s = = 1s 1r = 1 (s r) > 0, d s > r. Also ist s > t t r = 1(r + s) r = 1s 1r = 1 (s r) > 0, d s > r und somit s r > Also ist uch t > r. Im nächsten Aschnitt werden wir sehen, dß trotz der Aussge 4.10 die Menge der rtionlen Zhlen in gewissem Sinne lückenhft sind. Um diese Lücken zu stopfen, hen die Mthemtiker die reellen Zhlen erfunden. Wir werden im nächsten Prgrphen den Weg nchzeichnen, den der große Mthemtiker Richrd Dedekind gegngen ist, um die reellen Zhlen zu egründen. 5

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