8 Tangenten an Quadriken

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1 8 Tangenten an Quadriken A Geraden auf Quadriken: Sei A 0 eine symmetrische n n Matri und Q : t A + b t + c = 0 eine nicht leere Quadrik im R n, b R n, c R. g = p + R v R n ist die Gerade durch p mit Richtung v 0. Frage: Wann ist g Q? Sei = p + ein beliebiger Punkt von g. Q t A + b t + c = 0 (nachrechnen!) ( ) v t Av + (p t Av + v t Ap + b t v) + (p t Ap + b t p + c) = 0 Also gilt: g Q ( ) gilt für alle R. Da aber ein von Null verschiedenes Polynom vom Grad höchstens zwei Nullstellen hat, folgt: (8.) Satz: Genau dann ist g Q, wenn v t Av = 0, (Ap + b) t v = 0 und p t Ap + b t p + c = 0. Beispiel: Betrachte die Sattelfläche Q 0 : y = z im R in Normalform. Q 0 ist der Graph Γ f der Funktion z = f(, y) := y. Wie erkennt man die Gestalt von Q 0? ) Schneide Q 0 mit horizontalen Ebenen z = c. Erhalte Höhenlinien: Hyperbeln y = c für c 0 und das Asymptotenpaar { = y} { = y} für c = 0. Karte mit Höhenlinien für das Gebirge Γ f:

2 ) Schneide nun Q 0 mit senkrechten Ebenen. y = c : P c : z = c nach oben geöffnete Parabel. = c : P c : z = y + c nach unten geöffnete Parabel. (8.) Satz: Durch jeden Punkt p Q 0 gehen zwei Geraden, welche ganz in Q 0 verlaufen. Beweis: Es genügt, dies für die Sattelfläche ( ) ( + y + z y z Q : z = (y + z) = zu zeigen. Denn Q und Q 0 sind affin äquivalent: +y+z f : R R y y z ist eine Affinität mit f(q) = Q 0. z z )

3 0 Für t R sei h t := { y y = t t, z = t} = t + R z 0 Behauptung: Q = h t t R Beweis: Für p = y h t ist y = t t und z = t, also y = t t = z z z, d.h. z = (y + z) und p Q. Damit ist h t Q für alle t R. Sei umgekehrt p = y Q beliebig, also z = (y + z) z 0 = 0: z = 0 und p = y h y. 0 0: Setze t := z. Es folgt y = z z = t t und z = t, also p h t. Somit ist Q = h t. t R Durch jeden Punkt p von Q geht also eine der Geraden h t. Bestimme für jeden Punkt p Q eine zweite Gerade g durch p mit g Q: Q = h t = t t R t R t R = t t R, t R t t = t t t R R = 0 g mit g = 0 + R, R. t R 0 Es folgt: Für t, R gilt h t Q und g Q. Sei p Q = t t, t R beliebig. t Dann eistieren, t R mit p = t t, folglich p h t und p g. Nun t 0 ist T(g ) = R R t = T(h t ), also auch g h t. t t t.

4 Also gehen durch jeden Punkt p Q zwei verschiedene Geraden, welche ganz in Q liegen. Beispiel : Betrachte das einschalige Hyperboloid Q : + y z = 0 Zeige: Durch jeden Punkt p Q gehen zwei Geraden, welche ganz in Q liegen. p habe die z Koordinate z 0. Der Schnitt von Q mit der Ebene z = z 0 ist der Kreis + y = + 0 mit Mittelpunkt auf der z Achse. Also geht Q bei jeder Drehung um die z Achse in sich über. Wir können also annehmen, 0 dass p = 0. Es folgt ( 0 z 0 )( 0 + z 0 ) = 0 z0 = ; insbesondere ist z 0 0 z 0 0 und 0 + z 0 0. Schreibe Q in der Form () Q : ( z)( + z) = ( y)( + y) Für festes 0 betrachten wir die Ebenen E : z = ( y) und E : + z = ( + y) 4

5 ( ) mit Normalenvektoren und. Wegen ( ) 0 und 0 sind E und E nicht parallel. Also ist g := E E eine Gerade. Für y g gilt z z = ( y) und + z = ( + y) und daher ( z)( + z) = ( y) ( + y) = ( y)( + y), also g Q nach (). 0 Setze := 0 z 0. Wegen p = 0 Q gilt 0 z0 =, also 0 und z 0 ( 0 + z 0 ) = 0 z 0 = = + y 0 (y 0 = 0) und ( 0 z 0 ) = = ( y 0 ), also p E E = g. Analog definiert man eine zweite Gerade durch p, die in Q liegt: Für µ 0 setze F : + z = µ( y), F : z = ( y). µ Wie oben zeigt man: h µ = F F ist eine Gerade, h µ Q. Setzt man 0 µ := 0 + z 0, so ist p = 0 h µ (nachprüfen.) Wegen g aber z 0 B Tangenten an Quadriken: Sei h µ ist g h µ (nachprüfen.) Q : t A + b t + c = 0 eine Quadrik im R n. Wir setzen voraus: Q ist in keiner Hyperebene des R n enthalten. Definition: Eine Gerade g R n heißt Tangente an Q, wenn entweder I g Q, oder II g Q = und es eistiert eine Gerade h g mit h Q =. 5

6 Im Fall n = stimmt dies gut mit der Anschauung überein. Definition: Für p Q heißt die Vereinigung aller Tangenten an Q im Punkt p der Tangentialraum von Q im Punkt p. Schreibe dafür T p (Q). Berechnung von T p (Q): Seien zunächst p, v R n, v 0 beliebig (p Q zugelassen), g := p + Rv. In Teil A haben wir gesehen: p + v Q () r + s + t = 0 mit den reellen Zahlen r = r(g) = v t Av; s = s(g) = (Ap + b) t v, t = t(g) = p t Ap + b t p + c. I. r = 0: Dann ist die Gleichung () linear in, s + t = 0. a) s = t = 0: Dann ist g Q (siehe A). b) s = 0 und t 0: Dann ist g Q = φ. c) s 0: g Q = {p t v} und g Q =. s Somit gilt im Fall I: g Tangente an Q g Q. II. r 0: () ist eine quadratische Gleichung in mit Diskriminante = s 4rt. Somit gilt: a) = 0: () hat genau eine Lösung, also g Q =. b) > 0: () hat zwei Lösungen, also g Q =. c) < 0: () hat keine Lösung, also g Q = φ. (8.) Bemerkung: Ist r 0, so gibt es eine Gerade h g mit h Q =. Somit gilt im II. Fall: g ist Tangente an Q s = 4rt Beweis von (8.): r = v t Av 0 Av 0. Also ist H : t Av + b t v = 0 eine Hyperebene im R n. Nach Voraussetzung ist daher Q H. Wähle q Q\H, setze h := q + Rv. Dann ist r(h) = r 0, s(h) = (q t A + b t )v 0, da q H; t(h) = q t Aq + b t q + c = 0, da q Q. Es folgt (h) = s(h) 4r(h)t(h) = s(h) > 0 und h Q = (s.o.). Fazit: g = p + Rv ist Tangente an Q, wenn entweder 6

7 I. r = s = t = 0 (und g Q), oder II. r 0 und = s 4rt = 0. Wir bestimmen nun eine Gleichung für T p (Q). Setze R(, y) := t Ay + bt + bt y + c für, y R n. Speziell ist R(, ) = t A + b t + c = 0, falls Q. Seien nun p aus R n, v := p, g = p = p + Rv. Man rechnet nach (r, s, t, wie oben): r = R(, ) R(, p) + R(p, p) s = R(, p) R(p, p) t = R(p, p)(= 0 falls p Q) = s 4rt(= s = 4R(, p), falls p Q). Von nun an sei p Q. (8.4) Satz: T p (Q) = { R n R(, p) = 0}. Somit stimmt unsere Definition des Tangentialraums mit der aus der Analysis überein. Beweis: Wegen R(p, p) = 0 ist { R(, p)} φ und als Lösungsmenge der linearen Gleichung R(, p) = 0 entweder eine Hyperebene oder der ganze R n. Für p ist zu zeigen: ( ) R(, p) = 0 g = p ist eine Tangente an Q. Beweis: Unterscheide die Fälle r = 0 und r 0. r = 0 : R(, p) = 0 s = R(, p) = 0 r = s = t = 0 g Tangente an Q. r 0 : R(, p) = 0 = s = 4R(, p) = 0 g Tangente an Q. Somit ist insbesondere T p (Q) = R n oder T p (Q) ist einer Hyperebene. Beispiel: Q : + + = Kugel, p Q. A = E, b = 0, c =, R(, p) = p + p + p und T p = T p (Q) : p + p + p = ist die Ebene durch p mit Normalenvektor p. 7

8 p Q heißt Singularität von Q, falls T p (Q) = R n. Die Kugel hat also keine Singularitäten. Der nächste Satz zeigt, dass Singularitäten selten sind (vgl (7.4)). (8.5) Satz: Genau ist p Q eine Singularität von Q, wenn p ein Mittelpunkt von Q ist. Gemäß (7.) haben also nur Quadriken vom Typ () Singularitäten. Beweis: T p (Q) = R n R(, p) = t (Ap+ b)+ bt p+c ist das Nullpolynom Ap + b = 0 (7.) p ist Mittelpunkt von Q. Beispiele: a) Der Kegel Q : + = 0 im R hat nur eine Singularität, nämlich die Spitze p = 0. b) Q : a ± b = Ellipse (Hyperbel), p Q. 8

9 R (( ), ( p p )) = p ± p, somit a b T p (Q) : p a ± p b = c) Betrachte im R das einschalige Hyperboloid Q : + = 4 Nach A: Durch jeden Punkt p Q gehen zwei Geraden, welche ganz in Q liegen. Wir bestimmen diese m.h. von (8.4). Die Geraden g, die durch p gehen und ganz in Q liegen, sind Tangenten an Q in p, also g T p (Q), g Q. Wie man nachrechnet gilt nach (8.4): (i) T p (Q) : p + p p = 4 (ii) Q : + = 4 Die Geraden g mit p g Q erhält man also durch Lösung des Gleichungssystems (i) (ii). Rechenbeispiel: p = 4 Q, da = 4. Man erhält das Gleichungssystem (i) + 4 = 4, also = (ii) + = 4 (i) in (ii) ergibt + ( + 4 4) 4 = 0, also 8( + 9) + ( 4) = 0 (quadratische Ergänzung), d.h. + 9 = ± 8 ( 4) Die gesuchten Geraden g Q mit p g sind also g : + 9 = 8 ( 4); = g : + 9 = 8 ( 4); =