Funktionen mehrerer Variabler

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1 Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler

2 Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung 3 Fehlerrechnung Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 2

3 Beispiele Darstellung Schnitte Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen hängen häufig von mehreren Variablen ab. Z. B. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 3

4 Beispiele Darstellung Schnitte Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen hängen häufig von mehreren Variablen ab. Z. B. Temperatur hängt von der Stelle im Raum ab: T = T (x, y, z), Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 3

5 Beispiele Darstellung Schnitte Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen hängen häufig von mehreren Variablen ab. Z. B. Temperatur hängt von der Stelle im Raum ab: T = T (x, y, z), oder Temperatur hängt von der Stelle im Raum und von der Zeit ab: T = T (x, y, z, t). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 3

6 Beispiele Darstellung Schnitte Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen hängen häufig von mehreren Variablen ab. Z. B. Temperatur hängt von der Stelle im Raum ab: T = T (x, y, z), oder Temperatur hängt von der Stelle im Raum und von der Zeit ab: T = T (x, y, z, t). Darstellung durch eine Tabelle (Messwerte): x y z T 20,9 20, ,7 21,5 T = T (x, y, z). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 3

7 Beispiele Darstellung Schnitte Beispiel: Temperaturverteilung im Raum Physikalischen, technischen und wirtschaftwissenschaftlichen Funktionen hängen häufig von mehreren Variablen ab. Z. B. Temperatur hängt von der Stelle im Raum ab: T = T (x, y, z), oder Temperatur hängt von der Stelle im Raum und von der Zeit ab: T = T (x, y, z, t). Darstellung durch eine Tabelle (Messwerte): x y z T 20,9 20, ,7 21,5 T = T (x, y, z). Anhand der Tabelle kann man etwa eine Wärmequelle ermitteln. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 3

8 Beispiel: Landschaft Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(x, y). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 4

9 Beispiel: Landschaft Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(x, y). Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte für die graphische Darstellung. Es entspricht: Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 4

10 Beispiel: Landschaft Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(x, y). Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte für die graphische Darstellung. Es entspricht: (x y) einem Punkt auf der Landkarte, Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 4

11 Beispiel: Landschaft Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(x, y). Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte für die graphische Darstellung. Es entspricht: (x y) z einem Punkt auf der Landkarte, der Höhe über NN, Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 4

12 Beispiel: Landschaft Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(x, y). Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte für die graphische Darstellung. Es entspricht: (x y) z der Graph der Funktion h(x, y) einem Punkt auf der Landkarte, der Höhe über NN, der Erdoberfläche. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 4

13 Beispiel: Landschaft Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(x, y). Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte für die graphische Darstellung. Es entspricht: (x y) z der Graph der Funktion h(x, y) einem Punkt auf der Landkarte, der Höhe über NN, der Erdoberfläche. Man spricht auch von einem Funktionsgebirge. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 4

14 Beispiel: Landschaft Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Höhe z des Geländes über dem Meeresspiegel ist eine Funktion des Ortes: z = h(x, y). Dieses Beispiel gibt uns viele Anhaltspunkte für die graphische Darstellung. Es entspricht: (x y) z der Graph der Funktion h(x, y) einem Punkt auf der Landkarte, der Höhe über NN, der Erdoberfläche. Man spricht auch von einem Funktionsgebirge. Bei dieser Sprechweise ist aber zu beachten: Der Graph der Funktion ist nur die Oberfläche des Gebirges. Wir werden daher auch die Bezeichnung Gebirgsfläche gebrauchen. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 4

15 Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable zwei Variablen Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

16 Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable x f (x) oder y = f (x) zwei Variablen Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

17 Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable zwei Variablen x f (x) oder y = f (x) (x, y) f (x, y) oder z = f (x, y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

18 Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable zwei Variablen x f (x) oder y = f (x) (x, y) f (x, y) oder z = f (x, y) D(f ) IR; Darstellung auf einer Achse: x Achse. y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

19 Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable zwei Variablen x f (x) oder y = f (x) (x, y) f (x, y) oder z = f (x, y) D(f ) IR; Darstellung auf einer Achse: x Achse. D(f ) IR 2 ; Darstellung in einer Ebene: (x, y) Ebene y z x x y Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

20 Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable zwei Variablen x f (x) oder y = f (x) (x, y) f (x, y) oder z = f (x, y) D(f ) IR; Darstellung auf einer Achse: x Achse. D(f ) IR 2 ; Darstellung in einer Ebene: (x, y) Ebene y y = f (x) z f (x) x x x y Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

21 Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable zwei Variablen x f (x) oder y = f (x) (x, y) f (x, y) oder z = f (x, y) D(f ) IR; Darstellung auf einer Achse: x Achse. D(f ) IR 2 ; Darstellung in einer Ebene: (x, y) Ebene y y = f (x) z z = f (x, y) f (x) x x f (x, y) y x (x, y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

22 Beispiele Darstellung Schnitte Veranschaulichung von Funktionen eine Variable zwei Variablen x f (x) oder y = f (x) (x, y) f (x, y) oder z = f (x, y) D(f ) IR; Darstellung auf einer Achse: x Achse. D(f ) IR 2 ; Darstellung in einer Ebene: (x, y) Ebene y y = f (x) z z = f (x, y) Graph: mehrere Punkte, i. Allg. eine Kurve x f (x) x f (x, y) y x (x, y) Graph: Punkte über der (x, y) Ebene, i. Allg. eine Fläche im Raum Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 5

23 z Kegel Kegel im Schrägbild: Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 6 z=f(x,y) y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 6

24 z Kegel Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Kegel im Schrägbild: Darstellung über Schnittkurven Von besonderer Bedeutung sind die Schnitte von Ebenen parallel zur (x, y)- Ebene mit dem Funktionsgebirge z=f(x,y) y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 6

25 z Kegel Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Kegel im Schrägbild: Darstellung über Schnittkurven Von besonderer Bedeutung sind die Schnitte von Ebenen parallel zur (x, y)- Ebene mit dem Funktionsgebirge. Man erhält die sogenannten Höhenlinien y z=f(x,y) x z Höhenlinie x,y Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 6

26 z Kegel Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Kegel im Schrägbild: Darstellung über Schnittkurven Von besonderer Bedeutung sind die Schnitte von Ebenen parallel zur (x, y)- Ebene mit dem Funktionsgebirge. Man erhält die sogenannten Höhenlinien. Deren Projektion auf die (x, y)-ebene nennt man Isoquanten. y z Isoquanten 2 0 y z=f(x,y) x Höhenlinie x x,y Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 6

27 z Kegel Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte Kegel im Schrägbild: Darstellung über Schnittkurven Von besonderer Bedeutung sind die Schnitte von Ebenen parallel zur (x, y)- Ebene mit dem Funktionsgebirge. Man erhält die sogenannten Höhenlinien. Deren Projektion auf die (x, y)-ebene nennt man Isoquanten. y z Isoquanten 2 0 y z=f(x,y) x Höhenlinie x x,y Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 6

28 Partielle Ableitung I Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung z z = f (x, y) y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 7

29 Partielle Ableitung I Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung z = f (x, y) z y = y 0 Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Veränderlichen. y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 7

30 Partielle Ableitung I Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung z = f (x, y) z y = y 0 Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Veränderlichen. Diese Funktion einer Variablen wird mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht. y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 7

31 Partielle Ableitung I Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung z = f (x, y) z y = y 0 Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Veränderlichen. Diese Funktion einer Variablen wird mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht. y x f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim = f x (x 0, y 0 ) h 0 h Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 7

32 Partielle Ableitung I Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung y z = f (x, y) z y = y 0 x Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Veränderlichen. Diese Funktion einer Variablen wird mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht. Wenn dieser Grenzwert existiert, spricht man von der partiellen Ableitung f x (x 0, y 0 ). f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim = f x (x 0, y 0 ) h 0 h Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 7

33 Partielle Ableitung I Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung y z = f (x, y) z y = y 0 x Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Veränderlichen. Diese Funktion einer Variablen wird mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht. Wenn dieser Grenzwert existiert, spricht man von der partiellen Ableitung f x (x 0, y 0 ). f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim = f x (x 0, y 0 ) h 0 h Graphisch: Steigung des Graphen von z = f (x, y 0 ) im Punkt (x 0, f (x 0, y 0 )). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 7

34 Partielle Ableitung I Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung y z = f (x, y) z y = y 0 x Durch Festhalten einer Variablen entsteht eine Funktion von einer Veränderlichen. Diese Funktion einer Variablen wird mit den Mitteln der Differentialrechnung untersucht. Wenn dieser Grenzwert existiert, spricht man von der partiellen Ableitung f x (x 0, y 0 ). f auch: x = f x(x 0, y 0 ) (x0,y 0 ) f (x 0 + h, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim = f x (x 0, y 0 ) h 0 h Graphisch: Steigung des Graphen von z = f (x, y 0 ) im Punkt (x 0, f (x 0, y 0 )). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 7

35 Partielle Ableitung II Analog: Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) lim = f y (x 0, y 0 ) = f h 0 h y (x0,y 0 ) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 8

36 Partielle Ableitung II Analog: Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) lim = f y (x 0, y 0 ) = f h 0 h y Graphisch: Steigung des Graphen von z = f (x 0, y) im Punkt (y 0, f (x 0, y 0 )). (x0,y 0 ) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 8

37 Partielle Ableitung II Analog: Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) lim = f y (x 0, y 0 ) = f h 0 h y Graphisch: Steigung des Graphen von z = f (x 0, y) im Punkt (y 0, f (x 0, y 0 )). (x0,y 0 ) Die Ausdrücke f x (x, y), f y (x, y) heißen partielle Ableitungen oder auch Ableitungsfunktionen (vgl. Ableitung an der Stelle x 0 : f (x 0 ) und Ableitungsfunktion f (x)). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 8

38 Partielle Ableitung II Analog: Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) lim = f y (x 0, y 0 ) = f h 0 h y Graphisch: Steigung des Graphen von z = f (x 0, y) im Punkt (y 0, f (x 0, y 0 )). (x0,y 0 ) Die Ausdrücke f x (x, y), f y (x, y) heißen partielle Ableitungen oder auch Ableitungsfunktionen (vgl. Ableitung an der Stelle x 0 : f (x 0 ) und Ableitungsfunktion f (x)). Die Schreibweise x f soll andeuten, dass f nicht nur von der Variablen x abhängt, sondern noch von mehr Variablen. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 8

39 Partielle Ableitung II Analog: Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x 0, y 0 + h) f (x 0, y 0 ) lim = f y (x 0, y 0 ) = f h 0 h y Graphisch: Steigung des Graphen von z = f (x 0, y) im Punkt (y 0, f (x 0, y 0 )). (x0,y 0 ) Die Ausdrücke f x (x, y), f y (x, y) heißen partielle Ableitungen oder auch Ableitungsfunktionen (vgl. Ableitung an der Stelle x 0 : f (x 0 ) und Ableitungsfunktion f (x)). Die Schreibweise x f soll andeuten, dass f nicht nur von der Variablen x abhängt, sondern noch von mehr Variablen. Beim Berechnen der partiellen Ableitungen sind die üblichen Ableitungsregeln (Produkt-, Quotienten-, Kettenregel usw.) zu beachten! Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 8

40 Partielle Ableitung (Beispiel) Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung (f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) Ableitungsregeln in IR 1 : ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) g 2 (x) (f (g(x))) = f (g(x)) g (x) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 9

41 Partielle Ableitung (Beispiel) Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung (f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) Ableitungsregeln in IR 1 : ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) g 2 (x) (f (g(x))) = f (g(x)) g (x) f (x, y) = ey 2 sin(x y) 1 + x 2 + y 2 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 9

42 Partielle Ableitung (Beispiel) Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung (f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) Ableitungsregeln in IR 1 : ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) g 2 (x) (f (g(x))) = f (g(x)) g (x) f (x, y) = ey 2 sin(x y) 1 + x 2 + y 2 f x (x, y) = ey 2 cos(x y) y (1 + x 2 + y 2 ) 2x e y 2 sin(x y) (1 + x 2 + y 2 ) 2 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 9

43 Partielle Ableitung (Beispiel) Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung (f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x) Ableitungsregeln in IR 1 : ( ) f (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g(x) g 2 (x) (f (g(x))) = f (g(x)) g (x) f (x, y) = ey 2 sin(x y) 1 + x 2 + y 2 2 f x (x, y) = ey cos(x y) y (1 + x 2 + y 2 ) 2x e y 2 sin(x y) (1 + x 2 + y 2 ) 2 [ ] e y 2 2y sin(x y) + e y 2 cos(x y) x (1 + x 2 + y 2 ) f y (x, y) = (1 + x 2 + y 2 ) y e y 2 sin(x y) (1 + x 2 + y 2 ) 2 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 9

44 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

45 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

46 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Analog erhält man f xy, f yy, f xxx,... Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

47 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Analog erhält man f xy, f yy, f xxx,... Problem: Ergibt sich bei f xy und f yx dasselbe? Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

48 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Analog erhält man f xy, f yy, f xxx,... Problem: Ergibt sich bei f xy und f yx dasselbe? Man kann zeigen, dass dies bei den in der Praxis auftretenden Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

49 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Analog erhält man f xy, f yy, f xxx,... Problem: Ergibt sich bei f xy und f yx dasselbe? Man kann zeigen, dass dies bei den in der Praxis auftretenden Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz). f (x, y) = x sin(x y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

50 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Analog erhält man f xy, f yy, f xxx,... Problem: Ergibt sich bei f xy und f yx dasselbe? Man kann zeigen, dass dies bei den in der Praxis auftretenden Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz). f (x, y) = x sin(x y) f x (x, y) = sin(x y) + y x cos(x y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

51 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Analog erhält man f xy, f yy, f xxx,... Problem: Ergibt sich bei f xy und f yx dasselbe? Man kann zeigen, dass dies bei den in der Praxis auftretenden Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz). f (x, y) = x sin(x y) f x (x, y) = sin(x y) + y x cos(x y) f y (x, y) = x 2 cos(x y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

52 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Analog erhält man f xy, f yy, f xxx,... Problem: Ergibt sich bei f xy und f yx dasselbe? Man kann zeigen, dass dies bei den in der Praxis auftretenden Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz). f (x, y) = x sin(x y) f x (x, y) = sin(x y) + y x cos(x y) f y (x, y) = x 2 cos(x y) f yx (x, y) = 2x cos(x y) x 2 y sin(x y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

53 Partielle Ableitungen höherer Ordnung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Die Funktionen f x (x, y), f y (x, y) lassen sich wieder als Funktionen von zwei Variablen interpretieren. Sie können dann nochmals nach x bzw. y partiell differenziert werden. f xx = 2 f x 2 ist die partielle Ableitung der Funktion f x nach x. Analog erhält man f xy, f yy, f xxx,... Problem: Ergibt sich bei f xy und f yx dasselbe? Man kann zeigen, dass dies bei den in der Praxis auftretenden Funktionen der Fall ist (Satz von Schwarz). f (x, y) = x sin(x y) f x (x, y) = sin(x y) + y x cos(x y) f y (x, y) = x 2 cos(x y) f yx (x, y) = 2x cos(x y) x 2 y sin(x y) = f xy (x, y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 10

54 Tangente; Linearisierung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Eigenschaften: f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) }{{} Tangentengleichung y f (x 0 ) y = f (x) t x x 0 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 11

55 Tangente; Linearisierung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Eigenschaften: f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) }{{} Tangentengleichung 1 Der Punkt (x 0 f (x 0 )) liegt auf der Geraden. f (x 0 ) y y = f (x) t x x 0 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 11

56 Tangente; Linearisierung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x) f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) }{{} Tangentengleichung Eigenschaften: 1 Der Punkt (x 0 f (x 0 )) liegt auf der Geraden. y 2 Die Steigung der Geraden stimmt mit der Ableitung der Funktion im Punkt x 0 überein. y f (x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) f (x 0 ) y = f (x) x 0 t x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 11

57 Tangentialebene; Linearisierung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) = z }{{} Tangentialebene z Bedingungen: z = f (x, y) E t y (x 0 y 0 ) x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 12

58 Tangentialebene; Linearisierung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) = z }{{} Tangentialebene z Bedingungen: 1 Der Punkt (x 0 y 0 f (x 0, y 0 )) liegt auf der Ebene. z = f (x, y) E t y (x 0 y 0 ) x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 12

59 Tangentialebene; Linearisierung Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) = z }{{} Tangentialebene z Bedingungen: 1 Der Punkt (x 0 y 0 f (x 0, y 0 )) liegt auf der Ebene. 2 Die beiden partiellen Ableitungen von Fläche und Ebene stimmen im Punkt (x 0 y 0 ) überein. y z = f (x, y) E t (x 0 y 0 ) x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 12

60 Totales Differenzial Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f = f (x 0 +dx, y 0 +dy) f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} df z z = f (x, y) y 0 + dy y y 0 x 0 x 0 + dx x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 13

61 Totales Differenzial Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f = f (x 0 +dx, y 0 +dy) f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} df Der Funktionszuwachs f z z = f (x, y) f y 0 + dy y y 0 x 0 x 0 + dx x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 13

62 Totales Differenzial Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f = f (x 0 +dx, y 0 +dy) f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} df Der Funktionszuwachs f wird z durch die Veränderung des Wertes auf der Tangentialebene z = f (x, y) approximiert (Linearisierung). f E t y 0 + dy y y 0 x 0 x 0 + dx x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 13

63 Totales Differenzial Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f = f (x 0 +dx, y 0 +dy) f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) dx + }{{ f y (x 0, y 0 ) dy } df Der Funktionszuwachs f wird z durch die Veränderung des Wertes auf der Tangentialebene z = f (x, y) approximiert (Linearisierung). f Dieser Zuwachs ergibt sich durch E t Multiplikation der Veränderung dx bzw. dy mit den partiellen Ableitungen f x (x 0, y 0 ) bzw. y 0 + dy y f y (x 0, y 0 ). y 0 x 0 x 0 + dx x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 13

64 Totales Differenzial Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f = f (x 0 +dx, y 0 +dy) f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) dx + }{{ f y (x 0, y 0 ) dy } df Der Funktionszuwachs f wird z durch die Veränderung des Wertes auf der Tangentialebene z = f (x, y) approximiert (Linearisierung). Dieser Zuwachs ergibt sich durch Multiplikation der Veränderung f y dy E t f df dx bzw. dy mit den partiellen f x dx Ableitungen f x (x 0, y 0 ) bzw. y 0 + dy y f y (x 0, y 0 ). df = f x dx + f y dy y 0 x 0 x 0 + dx x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 13

65 Totales Differenzial Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f = f (x 0 +dx, y 0 +dy) f (x 0, y 0 ) f x (x 0, y 0 ) dx + }{{ f y (x 0, y 0 ) dy } df Der Funktionszuwachs f wird z durch die Veränderung des Wertes auf der Tangentialebene z = f (x, y) approximiert (Linearisierung). Dieser Zuwachs ergibt sich durch Multiplikation der Veränderung f y dy E t f df dx bzw. dy mit den partiellen f x dx Ableitungen f x (x 0, y 0 ) bzw. y 0 + dy y f y (x 0, y 0 ). df = f x dx + f y dy df bzw. dz heißt totales Differenzial der Funktion f (x, y). y 0 x 0 x 0 + dx Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 13 x

66 Richtungsableitung Funktionsbegriff Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene z dz f y a 2 f x a 1 y y 0 + a 2 a 2 y0 a 1 x 0 x 0 + a 1 x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 14

67 Richtungsableitung Funktionsbegriff dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung = ( fx f y z ) ( a1 a 2 ) f y a 2 dz f x a 1 y y 0 + a 2 a 2 y0 a 1 x 0 x 0 + a 1 x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 14

68 Richtungsableitung Funktionsbegriff dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene = ( fx f y ) ( a1 a 2 ) cos ϕ Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 = ( fx f y z ) ( a1 a 2 dz ) f x a 1 y y 0 + a 2 a 2 y0 a 1 x 0 x 0 + a 1 x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 14

69 Richtungsableitung Funktionsbegriff dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene = ( fx f y ) ( a1 a 2 ) cos ϕ Gilt a = 1, so stellt dz die Steigung auf der Tangentialebene in Richtung a dar. Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 = ( fx f y z ) ( a1 a 2 dz ) f x a 1 y y 0 + a 2 a 2 y0 a x a 1 x 0 + a 1 x 0 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 14

70 Richtungsableitung Funktionsbegriff dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene = ( fx f y ) ( a1 a 2 ) cos ϕ Gilt a = 1, so stellt dz die Steigung auf der Tangentialebene in Richtung a dar. Diese ( ) fällt( maximal ) aus, wenn fx a1 f y a 2 y Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 y 0 + a 2 = ( fx a 2 y0 f y z ) ( a1 a 2 a dz a 1 ) f x a 1 x 0 x 0 + a 1 x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 14

71 Richtungsableitung Funktionsbegriff dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene = ( fx f y ) ( a1 a 2 ) cos ϕ Gilt a = 1, so stellt dz die Steigung auf der Tangentialebene in Richtung a dar. Diese ( ) fällt( maximal ) aus, wenn fx a1 f y a 2 Richtung des stärksten Anstiegs! y Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 y 0 + a 2 = ( fx a 2 y0 f y z ) ( a1 a 2 a dz a 1 ) f x a 1 x 0 x 0 + a 1 x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 14

72 Richtungsableitung, Gradientenvektor dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung = ( fx f y z ) ( a1 a 2 ) f y a 2 dz f x a 1 y y 0 + a 2 a 2 y0 a 1 x 0 x 0 + a 1 x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 15

73 Richtungsableitung, Gradientenvektor dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene Man nennt den Vektor der partiellen Ableitungen auch Gradientenvektor: ( ) fx grad f = f = f y Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 = ( fx f y z ) ( a1 a 2 dz ) f x a 1 y y 0 + a 2 a 2 y0 a 1 x 0 x 0 + a 1 x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 15

74 Richtungsableitung, Gradientenvektor dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene Man nennt den Vektor der partiellen Ableitungen auch Gradientenvektor: ( ) fx grad f = f = f y Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 = ( fx f y z ) ( a1 a 2 dz ) f x a 1 Richtungsableitung: ( ) a f = fx a f y a y y 0 + a 2 a 2 a 1 x y0 x 0 x 0 + a 1 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 15

75 Richtungsableitung, Gradientenvektor dz = f x (x 0, y 0 ) dx + f y (x 0, y 0 ) dy }{{} Zuwachs auf Tangentialebene Man nennt den Vektor der partiellen Ableitungen auch Gradientenvektor: ( ) fx grad f = f = f y Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung f y a 2 = ( fx f y z ) ( a1 a 2 dz ) f x a 1 Richtungsableitung: ( ) a f = fx a f y a y y 0 + a 2 a 2 a a 1 x Anstieg in Richtung a auf E t y0 x 0 x 0 + a 1 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 15

76 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 (1 1) z E t y (x 0 y 0 ) x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16

77 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 f x (x, y) = f y (x, y) = x 6 x 2 +2y 2 2y 6 x 2 +2y 2 (1 1) z E t y (x 0 y 0 ) x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16

78 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel (1 1) f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 7 x f x (x, y) = 1 6 x 2 +2y 2 f y (x, y) = 7 2y 6 x 2 +2y z E t y (x 0 y 0 ) x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16

79 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel (1 1) f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 7 x f x (x, y) = 1 6 x 2 +2y 2 f y (x, y) = 7 2y 6 x 2 +2y z E t y Tangentialebene (x 0 y 0 ) z 7 = 1 7 (x 1) (y 1) x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16

80 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel (1 1) f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 7 x f x (x, y) = 1 6 x 2 +2y 2 f y (x, y) = f = ( fx f y ) 7 2y 6 x 2 +2y = ( ) z Tangentialebene (x 0 y 0 ) E t f z 7 = 1 7 (x 1) (y 1) y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16

81 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel (1 1) f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 7 x f x (x, y) = 1 6 x 2 +2y 2 f y (x, y) = f = ( fx f y ) 7 2y 6 x 2 +2y = ( ) Richtungsableitung parallel zur 1. Winkelhalbierenden: z Tangentialebene (x 0 y 0 ) E t f z 7 = 1 7 (x 1) (y 1) y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16

82 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel (1 1) f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 7 x f x (x, y) = 1 6 x 2 +2y 2 f y (x, y) = f = ( fx f y ) 7 2y 6 x 2 +2y = ( ) Richtungsableitung parallel ( zur ) 1. Winkelhalbierenden: a = z Tangentialebene (x 0 y 0 ) E t a f z 7 = 1 7 (x 1) (y 1) y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16

83 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel (1 1) f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 7 x f x (x, y) = 1 6 x 2 +2y 2 f y (x, y) = f = ( fx f y ) 7 2y 6 x 2 +2y = ( ) Richtungsableitung parallel ( zur ) 1. Winkelhalbierenden: a = f a = f a z Tangentialebene (x 0 y 0 ) E t a f z 7 = 1 7 (x 1) (y 1) y x Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16

84 Partielle Ableitungen Tangentialebene Totales Differenzial, Richtungsableitung Tangentialebene, Richtungsableitung; Beispiel (1 1) f (x, y) = 6 x 2 + 2y 2 7 x f x (x, y) = 1 6 x 2 +2y 2 f y (x, y) = f = ( fx f y ) 7 2y 6 x 2 +2y = ( ) Richtungsableitung parallel ( zur ) 1. Winkelhalbierenden: a = f a = f a = ( ) ( ) 1 1 = 1 14 z Tangentialebene (x 0 y 0 ) E t a f z 7 = 1 7 (x 1) (y 1) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 16 y x

85 Fehlerrechnung; absolut Fehlerrechnung Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h : V = f (r, h) = π r 2 h Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 17

86 Fehlerrechnung; absolut Fehlerrechnung Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h : V = f (r, h) = π r 2 h Der Radius r = 10 cm werde um dr = 0.2 cm und die Höhe h = 12 cm werde um dh = 0.5 cm verändert. Zur Berechnung des Differenzials bestimmen wir die Ableitungen im Punkt (10, 12). Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 17

87 Fehlerrechnung; absolut Fehlerrechnung Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h : V = f (r, h) = π r 2 h Der Radius r = 10 cm werde um dr = 0.2 cm und die Höhe h = 12 cm werde um dh = 0.5 cm verändert. Zur Berechnung des Differenzials bestimmen wir die Ableitungen im Punkt (10, 12). f r (r, h) = 2πrh f r (10, 12) = 240π Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 17

88 Fehlerrechnung; absolut Fehlerrechnung Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h : V = f (r, h) = π r 2 h Der Radius r = 10 cm werde um dr = 0.2 cm und die Höhe h = 12 cm werde um dh = 0.5 cm verändert. Zur Berechnung des Differenzials bestimmen wir die Ableitungen im Punkt (10, 12). f r (r, h) = 2πrh f r (10, 12) = 240π f h (r, h) = πr 2 f h (10, 12) = 100π Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 17

89 Fehlerrechnung; absolut Fehlerrechnung Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h : V = f (r, h) = π r 2 h Der Radius r = 10 cm werde um dr = 0.2 cm und die Höhe h = 12 cm werde um dh = 0.5 cm verändert. Zur Berechnung des Differenzials bestimmen wir die Ableitungen im Punkt (10, 12). f r (r, h) = 2πrh f r (10, 12) = 240π f h (r, h) = πr 2 f h (10, 12) = 100π Damit erhält man für das totale Differenzial: V dv = f r (10, 12) dr+f h (10, 12) dh = 240π π 0.5 = 98π Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 17

90 Fehlerrechnung; absolut Fehlerrechnung Volumen eines Kreiszylinders mit Radius r und Höhe h : V = f (r, h) = π r 2 h Der Radius r = 10 cm werde um dr = 0.2 cm und die Höhe h = 12 cm werde um dh = 0.5 cm verändert. Zur Berechnung des Differenzials bestimmen wir die Ableitungen im Punkt (10, 12). f r (r, h) = 2πrh f r (10, 12) = 240π f h (r, h) = πr 2 f h (10, 12) = 100π Damit erhält man für das totale Differenzial: V dv = f r (10, 12) dr+f h (10, 12) dh = 240π π 0.5 = 98π Für den exakten Zuwachs V errechnen wir: V = f (10.2, 12.5) f (10, 12) = π 1200π = 100.5π Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 17

91 Fehlerrechnung; relativ Fehlerrechnung Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. df f (x, y) = f x(x, y) dx + f y (x, y) dy f (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) dx x + y f y (x, y) dy f (x, y) y Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 18

92 Fehlerrechnung; relativ Fehlerrechnung Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. (partielle) df f (x, y) Elastizitäten: = f x(x, y) dx + f y (x, y) dy f (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) ε f,x (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) dx x + y f y (x, y) dy f (x, y) y ; ε f,y (x, y) = y f y (x, y) f (x, y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 18

93 Fehlerrechnung; relativ Fehlerrechnung Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. (partielle) df f (x, y) Elastizitäten: = f x(x, y) dx + f y (x, y) dy f (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) ε f,x (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) dx x + y f y (x, y) dy f (x, y) y Beispiel: z = f (x, y) = c x α y β mit c IR; α, β > 0. ; ε f,y (x, y) = y f y (x, y) f (x, y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 18

94 Fehlerrechnung; relativ Fehlerrechnung Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. (partielle) df f (x, y) Elastizitäten: = f x(x, y) dx + f y (x, y) dy f (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) ε f,x (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) dx x + y f y (x, y) dy f (x, y) y Beispiel: z = f (x, y) = c x α y β mit c IR; α, β > 0. Differenzial: dz = c (αx α 1 y β dx + βx α y β 1 dy ). ; ε f,y (x, y) = y f y (x, y) f (x, y) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 18

95 Fehlerrechnung; relativ Fehlerrechnung Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. (partielle) df f (x, y) Elastizitäten: = f x(x, y) dx + f y (x, y) dy f (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) ε f,x (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) dx x + y f y (x, y) dy f (x, y) y Beispiel: z = f (x, y) = c x α y β mit c IR; α, β > 0. Differenzial: dz = c (αx α 1 y β dx + βx α y β 1 dy ). ε f,x = x fx (x, y) f (x, y) ; ε f,y (x, y) = y f y (x, y) f (x, y) = cαxα 1 y β x y fy (x, y) cx α y β = α ; ε f,y = = cβxα y β 1 y f (x, y) cx α y β = β Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 18

96 Fehlerrechnung; relativ Fehlerrechnung Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. (partielle) df f (x, y) Elastizitäten: = f x(x, y) dx + f y (x, y) dy f (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) ε f,x (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) dx x + y f y (x, y) dy f (x, y) y Beispiel: z = f (x, y) = c x α y β mit c IR; α, β > 0. Differenzial: dz = c (αx α 1 y β dx + βx α y β 1 dy ). ε f,x = x fx (x, y) f (x, y) ; ε f,y (x, y) = y f y (x, y) f (x, y) = cαxα 1 y β x y fy (x, y) cx α y β = α ; ε f,y = = cβxα y β 1 y f (x, y) cx α y β dz z = α dx x + β dy y = β Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 18

97 Fehlerrechnung; relativ Fehlerrechnung Häufig interessiert nur die relative Veränderung des Funktionswerts bei einer relativen Veränderung der Eingangsgrößen. (partielle) df f (x, y) Elastizitäten: = f x(x, y) dx + f y (x, y) dy f (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) ε f,x (x, y) = x f x(x, y) f (x, y) dx x + y f y (x, y) dy f (x, y) y Beispiel: z = f (x, y) = c x α y β mit c IR; α, β > 0. Differenzial: dz = c (αx α 1 y β dx + βx α y β 1 dy ). ε f,x = x fx (x, y) f (x, y) ; ε f,y (x, y) = y f y (x, y) f (x, y) = cαxα 1 y β x y fy (x, y) cx α y β = α ; ε f,y = = cβxα y β 1 y f (x, y) cx α y β dz z = α dx x + β dy y Nimmt x um a % und y um b % zu, so wächst die Produktionsmenge z um ungefähr (α a + β b) %. = β Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 18

98 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: 1 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

99 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 1 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

100 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. 1 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

101 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

102 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

103 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

104 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

105 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0 lokales Extremum 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

106 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0 lokales Extremum Ist dabei 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

107 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0 lokales Extremum Ist dabei f xx (x 0, y 0 ) > 0 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

108 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0 lokales Extremum Ist dabei f xx (x 0, y 0 ) > 0 lokales Minimum 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

109 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0 lokales Extremum Ist dabei f xx (x 0, y 0 ) > 0 lokales Minimum f xx (x 0, y 0 ) < 0 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

110 Fehlerrechnung Lokale Extrema als Berggipfel und Talsenken einer Gebirgsfläche: notwendige Bedingung: f x (x, y) = 0, f y (x, y) = 0 Dies ergibt zwei Gleichungen, aus denen die Kandidaten, die für ein lokales Extremum in Frage kommen, ermittelt werden. Sei (x 0, y 0 ) ein Kandidat. Ob dann ein lokales Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt, ergibt sich aus 1 : f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 < 0 dann Sattelpunkt f xx (x 0, y 0 ) f yy (x 0, y 0 ) (f xy (x 0, y 0 )) 2 > 0 lokales Extremum Ist dabei f xx (x 0, y 0 ) > 0 lokales Minimum f xx (x 0, y 0 ) < 0 lokales Maximum 1 Bei Funktionen einer Variablen war f (x 0) 0 eine hinreichende Bedingung für einen lokalen Extremwert. Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 19

111 Fehlerrechnung ; Beispiel f (x, y) = ln(x + 1) 1 10 (x y)2 1 5 y Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 20

112 Fehlerrechnung ; Beispiel f (x, y) = ln(x + 1) 1 10 (x y)2 1 5 y f x (x, y) = 1 x (x y) f y (x, y) = 1 5 (x y) 1 5 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 20

113 Fehlerrechnung ; Beispiel f (x, y) = ln(x + 1) 1 10 (x y)2 1 5 y f x (x, y) = 1 x (x y) f y (x, y) = 1 5 (x y) x (x y) = 0 (1) 1 5 (x y) 1 5 = 0 (2) Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 20

114 Fehlerrechnung ; Beispiel f (x, y) = ln(x + 1) 1 10 (x y)2 1 5 y f x (x, y) = 1 x (x y) f y (x, y) = 1 5 (x y) x (x y) = 0 (1) 1 5 (x y) 1 5 = 0 (2) (1) und (2) : 1 x = 0 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 20

115 Fehlerrechnung ; Beispiel f (x, y) = ln(x + 1) 1 10 (x y)2 1 5 y f x (x, y) = 1 x (x y) f y (x, y) = 1 5 (x y) x (x y) = 0 (1) 1 5 (x y) 1 5 = 0 (2) (1) und (2) : 1 x = 0 x = 4 ; Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 20

116 Fehlerrechnung ; Beispiel f (x, y) = ln(x + 1) 1 10 (x y)2 1 5 y f x (x, y) = 1 x (x y) f y (x, y) = 1 5 (x y) x (x y) = 0 (1) 1 5 (x y) 1 5 = 0 (2) (1) und (2) : 1 x = 0 x = 4 ; in (2) : y = 3 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Folie: 20