Die Mathematik der Tonleiter

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1 Die Mathematik der Tonleiter Jürgen Zumdick Wir betrachten eine Saite von 0 cm Länge. Wird sie in Schwingungen versetzt, so erzeugt sie einen Ton. Dessen Frequenz sei 60 Hertz. Verkürzt man die Saite um die Hälfte, so kann man mit der verkürzten Saite einen Ton erzeugen, der eine Oktav höher liegt und eine doppelt so hohe Frequenz hat. Es ergibt sich also folgender Zusammenhang: zur Grundlänge (0) Prime 0:0 : 0 60 Oktave 60:0 : 60 0 Dazwischenliegende Töne werden (in der diatonischen Stimmung) über die folgenden Verhältnisse definiert: Ganzton zur Grundlänge (0) Prime : 0 60 Sekunde 8:9 (große) Terz :5 Quarte : Quinte : (große) Sexte :5 (große) Septime 8:5 Oktave : 60 0 Fülle die obige Ganzton-Tabelle aus. Ergebnis: zur Grundlänge (0) Prime : 0 60 Sekunde 8: (große) Terz : Quarte : Quinte : (große) Sexte :5 600 (große) Septime 8: Oktave : 60 0 Wählt man zunächst die Quinte und dann im schwingenden Teil die Quarte, so erhält man: von 0 80; von Saite:

2 Damit ist man eine Oktave höher. Analoge Rechnung (mit den Verhältnissen): (Quarte von der Quinte ergibt eine Oktave analog: Quinte vo9n der Quarte). Hierzu gibt es Umkehraufgaben: : Die erste Aufgabe sei näher untersucht: und : Man wählt zunächst die Oktave: von 0 60; Da : der um, also: Saite: bedeutet dies eine Verlängerung 90 ; somit hat man die Quarte erhalten Folgende Verhältnisse (Halbtöne) kommen nun noch hinzu: :5; 5:6; 8:5; 5:8; 5:9. Ordne diese Verhältnisse in die obige Tabelle ein. Ergebnis: Verhältnis Verhältnis dezimal Prime : c übermäßige Prime :5 0,96 cis Sekunde 8:9 0,8889 d kleine Terz 5:6 0,8 es große Terz :5 0,8 e Quarte : 0,5 f Tritonus 8:5 0, fis Quinte : 0,666 g kleine Sexte 5:8 0,65 as große Sexte :5 0,6 a kleine Septime 5:9 0,5556 b große Septime 8:5 0,5 h Oktave : 0,5 c Tonleiter bei Ausgangston c Wie erklärt sich die Unterteilung in Tonintervalle? Eine gewisse Anzahl von Quintensprüngen (n) sollte einer gewissen Anzahl von Oktavsprüngen (m) entsprechen. Zur Untersuchung müssen folgende Tabellen aufgestellt werden: Quintensprünge Verhältnis Oktavsprünge Verhältnis 0, 0,96 0,5 0,95 0, , 5 0,0 6 0, ,056 0,0585 0, , , ,0 0,5

3 0,06 0,00 Eine gute Näherung ergibt sich für n und m. Der dabei auftretende Fehler wird auch das pythagoräische Komma genannt. Die Zahl ist nun für die Einteilung in Intervalle verantwortlich. Der genaue Zusammenhang wird jedoch erst deutlich, wenn man zu einer temperierten Tonleiter übergeht, in welcher der obige Fehler nicht auftritt und alle Verhältnisse durch Multiplikation mit dem gleichen Faktor auseinander hervorgehen.. Ansatz Gesucht sind m und n, mit: Als Näherung ergibt sich n m n+ m n + m m 00 Eine Kettenbruchentwicklung liefert: m n + m n lg lg Die einzelnen Stufen der Entwicklung liefern:

4 In der 5. Näherungsstufe gilt: 00 9 Es folgt n und m. Die. Näherungsstufe böte nur 5 Unterteilungen in der Oktave, die 6. Näherungsstufe hätte unhandlich viele () Unterteilungen. Für den Oktavsprung o soll unverändert gelten o. Der Quintensprung q muss nun angepasst werden: q o und somit 0, 66 q. (Vgl. 0, 6666 ) Damit ergibt sich für die temperierte Tonleiter: zur Grundlänge (0) Prime : 0 60 übermäßige Prime, 8, Sekunde kleine Terz ( 0,5) : 0, 99 ( 0,5) : 0, 8909 ( 0,5) : 0, ,9 0, 00,9 8, (große) Terz 0,9 95, 5,6 Quarte 0,9 89,9 80,5 Tritonus 0,0 8,9 509, Quinte 0,66 80, 59, kleine Sexte 0,600 5,6 5, (große) Sexte 0,596, 605, kleine Septime 0,56 6, 6,5 (große) Septime 0,59, 60, Oktave 0,5 60 0

5 . Ansatz Damit das pythagoräische Komma nicht auftritt, muss bei Beibehaltung des Oktavensprungs gelten: q. Es folgt gesuchten Faktor q k.. Da die Quinte an. Stelle innerhalb einer Oktave steht, gilt für den. Ansatz Für den gesuchten Faktor k muss gelten: Prime k Oktave, d.h. k 0,5. Es folgt dieser Stelle könnte auch die Exponentialfunktion eingeführt werden). k (an