Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie. Teil 1: Organisatorisches, Inhalte der Vorlesung und Nutzentheorie

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1 Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie Teil 1: Organisatorisches, Inhalte der Vorlesung Dr. Thomas Krieger Wintertrimester 2009 Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 1 / 15

2 Organisatorisches Ort Zeit Vorlesungsfolien Übungsblätter unter unibw.de/inf4/lehre/wahlpflicht/spieltheorie Klausur oder mündliche Prüfung? Kombination aus Vorlesung Übung Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 2 / 15

3 Inhalte der Vorlesung (1) Teil 1: Binäre Relationen Präferenzordnungen, Repräsentierbarkeit durch eine Nutzenfunktion, Satz von Birkhoff Teil 2: Normalformspiele Cournot sches Oligopolspiel, Nash-Gleichgewicht, Satz von Nikaido-Isoda Satz von Nash, Axiomatische Rechtfertigung von Nash-Gleichgewichten, gemischte Strategien das Antwortkriterium, Minimax- Maximin versus Nash-Gleichgewicht, Besonderheiten von Normalformspielen (n-personenspiele (n 3), Satz von Wilson, Satz von Wu), Verfahren zur Bestimmung von Nash-Gleichgewichten Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 3 / 15

4 Inhalte der Vorlesung (2) Teil 3: Gleichgewichtsauswahltheorie Chancen, Grenzen Nutzen derselben, Beispiele Gegenbeispiele Teil 4: Nullsummenspiele Minimax Maximin, Sattelpunkte, Verfahren zur Berechnung von Sattelpunkten, Beispiel: Angriff Verteidigung Teil 5: Spiele in extensiver Form reine gemischte Strategien, Verhaltensstrategien, Satz von Kuhn, teilspielperfekte Gleichgewichte Rückwärtsinduktion, Beispiel: Schmuggler Patroullie Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 4 / 15

5 Einleitende Bemerkungen Jeder Spieler besitzt in einem Spiel eine Menge an Handlungsmöglichkeiten (Strategien). Die eigene Handlung eines Spielers führt in Abhängigkeit von den Handlungen der anderen Spieler zu Ergebnissen x, y, z,... M, die aus Sicht der einzelnen Spieler subjektiv bewertet werden. M ist Menge der Ergebnisse oder Alternativen. Ziel: (subjektive) Einschätzungen der möglichen Spielausgänge messen, d.h., mit reellen Zahlen so bewerten, dass insbesondere einer höheren ( besseren ) Einschätzung auch ein höherer Zahlenwert entspricht. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 5 / 15

6 Binäre Relationen Was brauchen wir, um Alternativen vergleichen zu können? Definition 1 Eine binäre (oder zweistellige) Relation auf M ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes M M, also R M M. Wir schreiben statt (x, y) R auch xry. Ist (x, y) R, so schreiben wir xry Grsätzlich sind vier Fälle möglich: (xry yrx), (xry yrx), ( xry yrx) ( xry yrx) Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 6 / 15

7 Repräsentierbarkeit durch Nutzenfunktion (1) Definition 2 Auf M seien eine binäre Relation R eine Funktion u : M R 1 gegeben. Die Relation R wird durch u repräsentiert, falls gilt: u heisst Nutzenfunktion zu R. xry u(x) < u(y). Wozu brauchen wir überhaupt Nutzenfunktionen? (Entscheidungsproblem wird zu numerischem Optimierungsproblem) u ist eine sogenannte order-preserving function. Welche binären Relationen sind durch eine Nutzenfunktion repräsentierbar? Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 7 / 15

8 Repräsentierbarkeit durch Nutzenfunktion (2) Lemma 3 Ist die binäre Relation R auf M durch eine Nutzenfunktion repräsentierbar, dann ist R (i) asymmetrisch, d.h., wenn xry = yrx, (ii) negativ transitiv, d.h., wenn xry, dann gilt für jedes z M entweder xrz oder zry oder beides. = Beweis siehe Tafel (nur mittels der Anordnungsaxiome von R). Bearbeiten Sie Aufgabe 1 des Arbeitsblatt zur Unter gewissen Voraussetzungen an M bzw. R gilt auch die Umkehrung des obigen Satzes (Satz von Birkhoff) Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 8 / 15

9 Präferenzordnung die Indifferenzrelation Die Aussagen von Lemma 3 legen folgende Definition nahe: Definition 4 Eine asymmetrisch negativ transitive binäre Relation auf M heisst Präferenzordnung (prä-ferre = vorziehen) wird mit bezeichnet. Aus den vier möglichen Fällen der letzte Fall liefert: Definition 5 Sei eine Präferenzordnung auf M. Dann wird die Indifferenzrelation auf M definiert durch: x y : (x y) (y x). Ist u eine Nutzenfunktion auf M, die repräsentiert, so gilt: x y u(x) = u(y). Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 9 / 15

10 Wichtige Eigenschaften von Präferenzordnungen Lemma 6 Es sei eine Präferenzordnung auf M. Dann gilt: Für alle x, y M gilt genau eine der folgenden Beziehungen x y, y x oder x y. ist transitiv. = Beweis siehe Tafel. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 10 / 15

11 Wichtige Eigenschaften der Indifferenzrelation Lemma 7 Es sei eine Präferenzordnung auf M. Dann gilt: ist reflexiv, symmetrisch transitiv, also eine Äquivalenzrelation. Mit M\ wird die Menge der Äquivalenzklassen bezeichnet. Für a, b M\ gilt: x a y b : x y x a y b : x y Auf M\ wird durch a b x a y b : x y eine strikte, d.h., eine schwach vollständige (a b = a b b a) Präferenzordnung definiert. = Beweis siehe Tafel. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 11 / 15

12 Repräsentierbarkeit durch Nutzenfunktion (3) Bearbeiten Sie Aufgabe 2 des Arbeitsblatt zur Weiter zum Ziel: Klasse der durch Nutzenfunktionen repräsentierbaren Präferenzordnungen auf M bestimmen. Lemma 8 Die lexikographische Präferenzordnung auf R 2 ist nicht durch eine Nutzenfunktion repräsentierbar. = Beweis siehe Tafel. Bearbeiten Sie Aufgabe 3 des Arbeitsblatt zur Lexikographische Ordnungen sind also i.a. zu kompliziert, um durch eine (eindimenionale) Nutzenfunktion repräsentiert werden zu können. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 12 / 15

13 Repräsentierbarkeit durch Nutzenfunktion (4) Theorem 9 [Birkhoff, 1973] Es sei eine Präferenzordnung auf M M\ sei endlich oder abzählbar unendlich, dann existiert eine Nutzenfunktion u : M R 1 mit x y u(x) < u(y) für alle x, y M. = Beweis siehe Tafel. Wichtige Folgerung: Ist M endlich oder abzählbar unendlich, dann sind die Voraussetzungen des obigen Satzes erfüllt. Auch wenn M\ nicht abzählbar ist, kann eine Nutzenfunktion existieren (Stichwort: ordnungsdicht), Beispiel: M = R, Präferenzordnung < u(x) := x. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 13 / 15

14 Abschliessende Bemerkungen Einordnung der lexikographischen Ordnung auf R 2 : vergleiche Lemma 8 Aufgabe 3. u : M R 1 repräsentiere f : R R sei eine streng monoton wachsende Funktion. Dann repräsentiert f (u(x)) ebenfalls. (Bemerkung: wieviel größer vs. ob überhaupt größer) Verallgemeinerungen des Theorems sind möglich (Birkhoff/Debreu) Bisher: Nutzenfunktion(en) unter Sicherheit, später auch Unsicherheit Vorschau auf nächste Vorlesung:... Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 14 / 15

15 Literatur für diesen Abschnitt: P. C. Fisburn: Utility Theory for Decision Making. John Wiley & Sons, Inc., New York u.a., 1970 D. M. Kreps: Mikroökonomische Theorie. Verlag Moderne Industrie, Landsberg/Lech, B. Rauhut, N. Schmitz, E.-W. Zachow: Spieltheorie: Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele. Teubner-Verlag, Stuttgart, G. Birkhoff: Lattice Theory. 3. Auflage, American Mathematical Society, Providence Rhode-Island, G. Debreu: Representation of a Preference Ordering by a Numerical Function. In: R. Thrall, C. Coombs and R. Davis (Hrsg.), Decision Process, John Wiley & Sons, Inc., New York u.a., M. Pasche: Spieltheorie. Vorlesungsunterlagen, Friedrich-Schiller Universität, Jena, ohne Jahr. Dr. Thomas Krieger Vorlesung: Nicht-kooperative Spieltheorie 15 / 15

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