Bewegungen Kinematik. Gleichförmige geradlinige Bewegung

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1 Bewegungen Kinematik Kinematik ist die Lehre von der Bewegung von Körpern in Raum und Zeit Ruhezustand: keine Bewegung eines Körpers in Bezug auf seine Umgebung mit der Zeit (bzw. auf ein die Umgebung beschreibendes Koordinatensystem) alle Bewegungen sind Relativbewegungen Grundtypen der Bewegung Translation Rotation Bewegung in eine definierte Richtung Bewegung um ein festes Drehzentrum Gleichförmige geradlinige Bewegung bei dieser Bewegung ist die Geschwindigkeit v constant: v = const s t t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 = t 3 -t 2 Weg-Zeit-Diagramm s ~ t Weg, m 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 s t Zeit, s v = s t v = ds dt [v] = m s mittlere Geschwindigkeit Momentangeschwindigkeit

2 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung hier ist die Beschleunigung a constant: a = const Zeit, s 0 0,5 2 4,5 8 12,5 18 Weg, cm 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 v, cm/s mittl. Geschwindigkeit, cm/s Weg, cm v t Zeit, s v ~ t a = v t a = dv dt [a] = m s 2 mittlere Beschleunigung Momentanwert der Beschleunigung reier all frei fallende Körper werden zum Erdmittelpunkt hin beschleunigt ein frei fallender Körper bewegt sich gleichmäßig beschleunigt (bei Vernachlässigung von Reibungskräften und Luftwiderstand) g = 9,81 m s -2 allbeschleunigung Weg Zeit Gesetz Berechnung der allzeit für einen Körper aus h = 30 m s = ½ g t 2 t = 2 h / g t = 2,47 s Geschwindigkeit Zeit Gesetz v = g t Berechnung der Geschwindigkeit, mit der der Körper aus 30 m Höhe auf den Erdboden prallt v = 24,2 m/s

3 Diagramme und Gesetze gleichförmig geradlinige Bewegung gleichmäßig beschleunigte Bewegung s Weg-Zeit-Diagramm Geschw.-Zeit-Diagramm Beschl.-Zeit-Diagramm v a t t t Weg-Zeit-Gesetze Geschw.-Zeit-Gesetze Beschl.-Zeit-Gesetze s = v 0 t a 0 s = t 2 2 v = v 0 v = a 0 t a = 0 a = a 0 Gleichförmige Kreisbewegung bei dieser Bewegung ist die Winkelgeschwindigkeit ω constant: ω = const t = t 2 -t 1 M r ϕ t 2 t 1 ϕ ~ t ϕ ω = t mittlere Winkelgeschwindigkeit Der Winkel wird in Bogenmaß gemessen! Bogenlänge b Bogenmaß = Radius r ω = dϕ dt Winkelgeschwindigkeit Gradmaß Bogenmaß 360º 2πr / r = 2π 180º π 90º π / 2 [ ω ] = s -1 bzw. rad s -1 Radiant (rad) ist eine Zählgröße für Winkel (Bogenmaß)

4 Gleichförmige Kreisbewegung Bahn- und Winkelgeschwindigkeit sind einander proportional s v 2 t 2 ω = dϕ/dt Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz M r ϕ v 1 t 1 v = ds/dt dϕ = ds/r Bahngeschwindigkeit ω = v r v = ω r Periodendauer (oder Umlaufzeit) T Zeit für das Überstreichen des Winkels 2π requenz (oder Umdrehungszahl) f T = 2 π / ω f = 1 / T f = ω / 2 π ω = 2 π f Gleichförmige Kreisbewegung jede Kreisbewegung ist eine beschleunigte Bewegung v 2 v -v 1 v 1 ω: Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz v: Bahngeschwindigkeit M v = v 2 - v 1 v ist bei t 0 zum Kreismittelpunkt gerichtet a r = dv dt Radialbeschleunigung a r = ω 2 r a r = v 2 r der Vektor der Radialbeschleunigung ist stets zum Kreismittelpunkt gerichtet

5 Ungleichförmige Kreisbewegung bei dieser Kreisbewegung ändert sich die Winkelgeschwindigkeit ω const α = ω t ω v α = dω dt Winkelbeschleunigung r [ α ] = s -2 die Winkelgeschwindigkeit ω ist ein axialer Vektor zwei Einstellungen von ω parallel zur Drehachse je nach Drehsinn Harmonische ungedämpfte Schwingung periodische Vergänge können auch als Schwingung beschrieben werden Schwingungsvorgänge sind häufig in lebenden und nichtlebenden Systemen Beispiele: zirkadiane Rhythmen, Muskelkontraktionen im Herz, Puls, Anzahl der Individuen einer Population Uhrpendel, Rotation der Erde um die Sonne, Bewegung eines Motorkolbens Harmonische Schwingung Sinusfunktion x 0 x T Weg-Zeit-Gesetz x = x 0 sin ωt t Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz v = ωx 0 cos ωt v 0 = ωx 0 -x 0 T - Periodendauer Beschleunigungs-Zeit-Gesetz a = - ω 2 x 0 sin ωt a 0 = ω 2 x 0 ω = 2π T ω - Kreisfrequenz

6 Kräfte - Newtonsche Axiome sie verknüpfen die Kinematik und Dynamik eines Bewegungsvorganges Trägheitsprinzip Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung solange keine Kräfte auf ihm einwirken bzw. alle wirkenden Kräfte sich gegenseitig aufheben. Aktionsprinzip Ein frei beweglicher Körper mit der Masse m erfährt durch eine Kraft eine Beschleunigung a, die der wirkenden Kraft proportional ist. = m a Reaktionsprinzip Wirken zwei Körper a und b aufeinander ein und übt a auf b die Kraft ab aus, so wirkt b auf a, so wirkt b auf a mit der entgegengesetzt gleichgroßen Kraft ba = - ab zurück. actio = reactio Schwerkraft sie wirkt auf jeden Körper auf der Erdoberfläche und ist zum Mittelpunkt der Erde gerichtet m k s = m k g Schwerkraft s m k Masse des Körpers g allbeschleunigung [] = kg m s -2 1 kg m s -2 = 1 N g = 9,81 m s -2 Isaac Newton ( ) m k = ρ k V ρ k Dichte des Körpers V Volumen s = ρ k V g

7 Auftrieb der Auftrieb wirkt der Schwerkraft entgegen und hängt von der Masse des vom Körper verdrängten Mediums ab Prinzip von Archimedes Ein in eine lüssigkeit eingetauchter Körper erfährt einen scheinbaren Gewichtsverlust, der gleich dem Gewicht der von Körper verdrängten lüssigkeitsmenge ist. Ein Körper verdrängt eine bestimmte Menge an Medium (Luft, Wasser usw.) der Masse m m A m k, V A = m m g A = ρ m V g Auftrieb ρ m Dichte des Mediums s Auftrieb die Dichten von Körper und Medium bestimmen das (Bewegungs)verhalten des Körpers Werte für die Dichte: A = ρ m V g s = ρ k V g Luft 1,027 kg m -3 Wasser 1000 kg m -3 Eis 917 kg m -3 Holz kg m -3 Eisen 7000 kg m -3 Kupfer 8933 kg m -3 allbetrachtung: 1) ρ k > ρ m s > A Körper sinkt Der Auftrieb im Medium Luft kann in der Regel vernachlässigt werden. 2) ρ k = ρ m s = A Körper schwebt 3) ρ k < ρ m s < A Körper steigt auf

8 Reibung zwischen estkörpern Haft-, Gleit- oder Rollreibung müssen überwunden werden, damit sich der Körper bewegt bzw. seine Bewegungszustand aufrecht erhalten wird Haftreibung zwischen nicht bewegten Körpern R,H = µ H N Haftreibung s N senkrecht auf die Unterlage wirkende Komponente der Schwerkraft s R,H N µ H Haftreibungskoeffizient hängt ab von Material und Oberflächenbeschaffenheit von Körper und Unterlage < R,H = R,H Körper haftet Körper beginnt zu gleiten Gleitreibung, Rollreibung zur Aufrechterhaltung des Gleitens bzw. Rollens muss auch eine Reibung überwunden werden R,G = µ G N Gleitreibung R,R = µ R N Rollreibung µ H > µ G >> µ R µ G, µ R Gleit- bzw. Rollreibungskoeffizient Reibung in lüssigkeiten in lüssigkeiten hemmt die Reibung zwischen lüssigkeitsschichten die Bewegung eines Körpers R A Körper bewegt sich relativ zum Medium - das Medium hemmt die Bewegung Reibungskraft R lüssigkeit s Die Reibungskraft ist immer der Bewegung entgegen gerichtet! Reibung erfolgt zwischen den einzelnen lüssigkeitsschichten Innere Reibung s > A Körper sinkt v Eine dünne lüssigkeitsschicht haftet am Körper und bewegt sich wie der Körper. analoge Aussagen gelten für die Reibung in Gasen

9 Reibung in lüssigkeiten die Viskosität von lüssigkeiten beeinflusst das Reibungsverhalten s = ρ k V g R A A R = ρ m V g ~ v Reibungskoeffizient nach Stokes für kugelförmige Körper mit dem Radius r k s R = 6 π ηr k v η - Viskosität (Zähigkeit, innere Reibung) Ns [η] = = Pa s m 2 Reibungskraft Werte für die Viskosität: s > A Körper sinkt Wasser, 0ºC: Wasser, 20ºC: Wasser, 80ºC: Blut: Blutplasma 1,792x10-3 Pas 1,002x10-3 Pas 0,355x10-3 Pas 3-4x10-3 Pas 1,6-2,2x10-3 Pas Rizinusöl, 20ºC: 990x10-3 Pas Sedimentation hier stellt sich nach einer kurzen Anfangsphase ein Kräftegleichgewicht ein R A s A R = ρ k V g = ρ m V g = 6 π ηr k v V = 4 π r 3 k 3 s - A - R = 0 lüssigkeit lüssigkeit Bestimmung der Viskosität von lüssigkeiten s η = 2 r k 2 9 v (ρ k - ρ m ) g s > A Körper sinkt Weitere Anwendungen Blutsenkung (Zellaggregate sedimentieren schneller als Einzelzellen) Trennung unterschiedlich großer Partikel Bestimmung von v aber auch lotation (wenn ρ k < ρ m )

10 Kräfte bei Kreisbewegungen die über die Radialbeschleunigung verknüpfte Zentripetalkraft zwingt den Körper auf eine Kreisbahn a r v a r = ω 2 r P = m ω 2 r Zentripetalkraft M P m Die Zentripetalkraft zwingt den Körper auf eine Kreisbahn. Beispiele: Gravitation (Bewegung von Himmelskörpern) Elektrostatische Anziehung (Bohr sche Atommodell) Elastische Kräfte (Körper an einem Seil) Gravitationskraft Coulombsche Kraft (anziehend) Elastische Kraft Kräfte bei Kreisbewegungen die Zentrifugalkraft ist der Zentripetalkraft entgegen gerichtet P = m ω 2 r a r v M P m Z Z = - P Zentrifugalkraft liehkraft Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft. Am Körper der Masse m greift eine Kraft Z an, die sich der aufgezwungenen Kreisbewegung widersetzt.

11 Zentrifugation mittels Zentrifugation werden zelluläre und subzelluläre Proben getrennt Winkelbecherrotoren M r Schwenkbecherrotoren Z = m k ω 2 r R A = m M ω 2 r R = 6 π ηr k v Z A r Z = A + R (für ρ k > ρ M ) v = const Zentrifugation die Sedimentationskonstante charakterisiert Makromolekülen bei Sedimentation v (für ρ k > ρ M ) Beispiele S k in S Mol.-gew. in Da Insulin 1, Berechnung von v Z v = S S = = A + R 2 r k 2 9 η v ω 2 r r ( ρ k - ρ M ) ω 2 r Z A R Sedimentationskonstante = m k ω 2 r = m M ω 2 r = 6 πηr k v m = ρ V 4 V = π r 3 k 3 Svedberg [ S ] = s 1 S = s Myoglobin 2, Hämoglobin 4, ibrinogen 7, Ribosom Tabakmosaikvirus (Protein) die Sedimentationskonstante hängt nur von Eigenschaften des Teilchens und Mediums ab sie widerspiegelt die Größe eines Biomoleküls

12 Kräftegleichgewichte Schweben bzw. Schwimmen Sedimentation A A s R A S = A + R s s = A s Bewegungen auf einer Kreisbahn Zentrifugation P = Z R P Z Z A Z = A + R Arbeit bei Kraftwirkung wird an einem Körper Arbeit verrichtet α s Spezielle ormen der Arbeit Hubarbeit W = mgh h W = s cosα Arbeit m [ W ] = Nm 1 Nm = 1 J Joule Beschleunigungsarbeit m allgemeiner W = ds W = 1 2 mv 2 v = 0 v Arbeit ist eine skalare Größe

13 Energie und Leistung Energie und Leistung sind skalare Größen Energie - ähigkeit eines Körpers Arbeit zu verrichten Potenzielle Energie Energie der Lage in zeitlich konstanten Kraftfeldern Beispiel: angehobener Körper Kinetische Energie Energie der Bewegung Leistung W P = t [ P ] = W verrichtete Arbeit Watt 1 W = 1 J s -1 = 1 Nms -1 Energieerhaltungssatz der Mechanik das ist ein Sonderfall des allgemeinen Energieerhaltungssatzes In einem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie, das heißt die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie, konstant. E pot + E kin = const Spezialfall des allgemeinen Energieerhaltungssatz In jedem abgeschlossenen System bleibt die Gesamtenergie konstant. Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden; sie kann nur von einer orm in eine andere umgewandelt werden. Andere Energieformen: Wärmeenergie, elektrische Energie, chemische Energieformen, Bindungsenergie, Strahlungsenergie usw.

14 p = m v Impuls auch der Impuls ist eine Erhaltungsgröße Impuls Impulserhaltungssatz In einem abgeschlossenen System (es wirken keine äußeren Kräfte) bleibt der Impuls erhalten. [ p ] = kg m s -1 Aktionsprinzip = m a a = = = (m v) t p t v t Beispiel 1: Rückstoß vor dem Start m v = 0 p = 0 v R v G unmittelbar nach dem Start m R m G Beispiel 2: Entarretierung einer eder zuvor danach p = 0 p = m R v R + m G v G t - Kraftstoß m 1 m 2 v 1 = 0 v 2 = 0 p = 0 v 1 v 2 m 1 m 2 p = 0 p = m 1 v 1 + m 2 v 2 Elastischer und inelastischer Stoß in beiden ällen gelten Impuls- und Energieerhaltungssatz gleichzeitig Elastischer Stoß Teilchen werden nicht bleibend verformt Energieerhaltungssatz der Mechanik gilt Beispiel: Zentraler Stoß zweier Billardkugeln zuvor danach ( ) v 1 v 2 Inelastischer Stoß Plastische Verformungen an den stoßenden Körpern Es gilt der allgemeine Energieerhaltungssatz, aber nicht der Energiesatz der Mechanik Beispiel: rontalzusammenstoß zweier Kraftfahrzeuge zuvor v 1 v 2 danach v m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 m 2 m 1 + m 2 m 1 v 1 = m 1 v 1 + m 2 v m 2 1v 1 = 1 2 m 1v m 2v 2 2 v 1 = 0 v 2 = v 1 (m 1 = m 2 ) m 1 v 1 m 2 v 2 = (m 1 + m 2 )v

15 Drehmoment ist eine der Kraft analoge Größe bei Rotationsbewegungen Drehachse (senkrecht zur Tafelebene) α M = r sinα Drehmoment r α α [ M ] = Nm M = r mit = sinα und sinα = sinα r M = r mit r = r sinα und sinα = sinα Gleichgewicht M = r x Σ i = 0 i und Σ M i = 0 i das Drehmoment ist ein axialer Vektor durch ein Drehmoment ändert der Körper seine Winkelgeschwindigkeit ω, er erfährt somit eine Winkelbeschleunigung α d. h. es tritt keine Translations- und Rotationsbeschleunigung auf Kräftegleichgewichte Drehmomentengleichgewichte Trägheitsmoment, Rotationsbewegungen durch ein Drehmoment wird die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers geändert Drehachse (senkrecht zur Tafelebene) Aktionsprinzip für Rotationsbewegungen r m M = θ α M = r = m a = m v t = m r ω t v = ω r Kinetische Energie für Rotationsbewegungen E kin = 1 2 θω 2 M = m r 2 α θ = m r 2 Trägheitsmoment [ θ ] = kg m 2

16 Drehimpuls für den Drehimpuls gilt ebenfalls ein Erhaltungssatz Drehimpulserhaltungssatz L = θω [ L ] = kg m 2 s -1 Drehimpuls Wirken auf ein System keine äußeren Drehmomente, so bleibt der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant Beispiel: Pirouette L ω v r Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit sind axiale Vektoren θ 1 ω 1 = θ 2 ω 2 θ 1 > θ 2 ω 1 < ω 2 Zusammenfassung Translation Rotation Weg Geschwindigkeit s v Winkel Winkelgeschwindigkeit ϕ ω Beschleunigung a Winkelbeschleunigung α Radialbeschleunigung a r Masse m Trägheitsmoment θ Kraft Drehmoment M = m a M = θ α 1 1 Kin. Energie Kin. Energie 2 mv2 2 θω2 Impuls p Drehimpuls L

17 Elastische Eigenschaften, Deformation fester Körper Körper können unter Kraftwirkung auch deformiert werden Wirkungen von Kräften Beschleunigung von Körpern, Ortsveränderung Veränderung der Körperform, Deformation Elastische Deformation Der Körper nimmt nach Wegfall der wirkenden Kraft seine ursprüngliche orm wieder an in der Regel bei kleinen Kräften Plastische Deformation ormveränderung bleibt dauerhaft bestehen Kräfte überschreiten bestimmte Schwellenwerte Materialbruch bei stärkeren Belastungen eder als elastisches Element mit einer elastischen eder können Kräfte gemessen werden Elastische Kraft auch ederkraft genannt Rückstellkraft einer eder bei Dehnung (actio = reactio) el = D s gilt für kleine Kräfte el elastische Kraft, ederkraft D - ederkonstante [ D ] = N / m s el Beispiele: ederwaage, Gummiseil Spannarbeit m s W = 1 2 Ds2 el s

18 Dehnung Körper werden durch Zugkräfte gedehnt A l Kraft greift senkrecht an der Stirnfläche des Stabes an Zugkraft l l Der Stab wird durch die Kraft um die Strecke l gedehnt ε = l l σ = A σ ε ε - Dehnung σ - Zugspannung Hookesches Gesetz Hookesches Gesetz es gilt nur bei Proportionalität von Zugspannung und Dehnung σ =Eε σ Spannungs-Dehnungs-Diagramm E - Elastizitätsmodul [ E ] = N / m 2 = Pa Pascal der Elastizitätsmodul ist eine materialspezifische Größe und beschreibt eine elastische Eigenschaft von Materialien Beispiele für E Kupfer 1, Pa Knochen Pa Kautschuk 10 6 Pa ε

19 Querkontraktion Zugkräfte verändern auch die Querabmessung von Körpern l l a/2 l l Verringerung der Querabmessung (Durchmesser, Kantenlänge) ε Q a ε Q = a - Querkontraktion ε Q = - µε µ - Poissonsche Zahl µ: ,5 Knochen: 0 Kupfer: 0,35 Kautschuk: 0,5 materialspezifische Größe Dehnung und Stauchung Stauchung ist das Gegenstück zur Dehnung Dehnung a/2 l l Verlängerung Querkontraktion Volumenzunahme Stauchung l a/2 Verkürzung Querdilatation Volumenabnahme l

20 Allseitige Kompression hier wird der Körper allseitig gleichmäßig belastet σ = A Druckspannung Volumenverminderung eines Körpers bei erhöhtem Druck orm bleibt dabei erhalten σ = K V V V V = 3 (1-2 µ) ε K = E 3(1-2µ) K - Kompressionsmodul [ K ] = Pa relative Volumenänderung entspricht Stauchung in allen drei Raumrichtungen materialspezifische Größe Scherung bei dieser elastischen Verformung wird der Körper seitlich versetzt A Kraft greift tangential zur Auflagefläche an Schubkraft Scherwinkel β τ = A Schubspannung τ = G β G Schermodul [ G ] = Pa materialspezifische Größe Scherung und Dehnung treten meist gleichzeitig auf G = E 2(1 + µ)

21 Arten der elastischen Verformung Dehnung Biegung Verdrillung (Torsion) Stauchung Scherung Allseitige Kompression Materialspezifische Größen Elastizitätsmodul E Poissonsche Zahl µ Kompressionsmodul K Schermodul G Plastisches Verhalten hier wird der Körper irreversibel deformiert σ Spannungs-Dehnungs-Diagramm ließgrenze Elastizitätsgrenze Bruchgrenze Proportionalitätsgrenze Kurvenverlauf nach Überdehnung bei Überschreiten der Elastizitätsgrenze wird der Körper irreversibel deformiert plastische Deformation bei Überschreiten der ließgrenze beginnt das Material bei starker Verkleinerung des Querschnitts zu fließen Materialbruch an der Bruchgrenze ε pl bei vollständiger Entlastung bleibt dauernde Dehnung zurück bei erneuter Belastung σ(ε) auf der gestrichelten Kurve ε plastische Materialien weisen einen breiten Bereich der plastischen Deformation auf (sie sind verformbar, z. B. Metalle) spröde Materialien haben einen sehr engen Bereich der plastischen Deformation (z. B. Glas, Porzellan)

22 Zeitverhalten bei Deformationen Materialien zeigen bei Belastung ein unterschiedliches Zeitverhalten Elastisches Verhalten Visköses Verhalten Viskoelastisches Verhalten l t l t l t t t t ormänderung folgt unmittelbar der Kraftänderung Beispiel: Schraubenfeder allmähliche ormänderung veränderte orm bleibt erhalten Kolben in zäher lüssigkeit zeitverzögerte Antwort auf Kraftwirkung Parallelität von eder und Kolben Bedeutung des viskoelastischen Verhaltens wichtige Elemente des Bewegungsapparates reagieren zeitverzögert l Kraftstoß zeitverzögerte Einstellung neuer Zustände Relaxationserscheinungen t Abpufferung von Kraftstößen bei heftigen Bewegungen (Sprünge, Würfe u.a.) Umorientierung und Ausrichtung polymerer Makromoleküle Wassereinlagerung Viskoelastische Elemente Gelenkknorpel Sehnen Bänder

23 Druck der Druck ist eine wichtige Eigenschaft in lüssigkeiten und Gasen In Gasen und lüssigkeiten sind die einzelnen Teilchen in ständiger Bewegung Druck offenbart sich an Gefäßwänden oder Hindernissen Trommelfeuer v v = m, v = m dv dt v - v p = A p - Druck A - Querschnittsfläche v = bleibt [ p ] = N / m 2 = Pa (Pascal) Luftdruck die umgebende Luft übt einen definierten Druck aus p 0 = 101,3 kpa = 1 atm = 1,013 bar = 760 Torr = 760 mmhg der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab p p 0 p = p 0 e -(ρ 0 / p 0 ) gh p 0 /2 Barometrische Höhenformel p 0 - Druck bei h = 0 ρ 0 - Dichte bei h = 0 g - 9,81 m / s 2 e - 2,718 0 h 1/2 h Meeresspiegel ~ 5500 m

24 Schweredruck er tritt in lüssigkeiten auf und hängt von der Höhe der lüssigkeitssäule ab h Druck in lüssigkeit hängt von Höhe der darüber liegenden lüssigkeitssäule ab p = ρ g h Schweredruck Der Schweredruck hängt nicht von der Gefäßform ab ρ - Dichte g - allbeschleunigung h - Höhe der lüssigkeitssäule Der Schweredruck ist eine Druckkomponente, die zusätzlich zum äußeren Druck wirkt A Stempeldruck er tritt in lüssigkeiten und Gasen auf, die sich in einem geschlossenen Gefäß befinden lüssigkeit strömt aus p = A Stempeldruck Druckkomponente, die zusätzlich zum äußeren Druck wirkt (analog Schweredruck) Schweredruck und Stempeldruck können gleichzeitig auftreten Beispiele: Kolben, Spritzen, Pumpen, Herz

25 Blutkreislauf das Herz erzeugt einen Stempeldruck und pumpt Blut in den Körper- und Lungenkreislauf Herzminutenvolumen 4 5 l/min Volumen an Blut pro Herzschlag rund 70 ml Anzahl der Herzschläge pro Zeit min -1 linke Herzkammer Oberarm Systole 120 mmhg (16 kpa) 120 mmhg (16 kpa) Diastole ~ 0 mmhg 80 mmhg (10.7 kpa) Strömende lüssigkeiten, Grundbegriffe Druckdifferenz und Stromstärke sind wichtige Kenngrößen in der Hämodynamik l Ursache für eine Strömung: Druckdifferenz längst einer Strecke p 1 V p 2 p Druckgradient p 1 > p 2 p = p 1 -p 2 l I = V t [ I ] = m 3 s hydrodynamische Stromstärke Maß für die Menge, die strömt I ~ p I = R H 1 R H p - Strömungswiderstand Grundgesetz der Hämodynamik (in Analogie zum Ohmschen Gesetz in der Elektrik)

26 Kontinuitätsgleichung diese Gleichung resultiert aus der Inkompressibilität von lüssigkeiten A l v 1 v 2 x p 1 V p 2 A 1 A 2 I = V t x I = A t v lüssigkeiten sind inkompressibel I 1 = I 2 I = A v A 1 v 1 = A 2 v 2 Kontinuitätgleichung v - mittlere Strömungsgeschwindigkeit Strömungsarten eine laminare Strömung ist energetisch günstiger Strömung in Schichten Stromlinien verlaufen parallel, sie überschneiden sich nicht v = 0 am Rand v max in der Mitte parabolische Verteilung der Geschwindigkeit infolge der inneren Reibung laminare Strömung Bildung von Wirbeln Stromlinien nicht parallel, sie überschneiden sich Bei Zunahme der Strömungsgeschwindigkeit schlägt ein laminarer luss in eine turbulente Strömung um. Blutgefäße: in der Regel laminare Strömung energetisch ungünstiger turbulente Strömung bei Turbulenzen: hohe v an Gefäßwänden Gefahr einer Endothelschädigung

27 Strömungswiderstand bei laminarem luss der Gefäßradius bestimmt wesentlich die Stromstärke l p 1 p 2 I ~ p I = p R H Regulation der Durchblutung I ~ r 4 kleine Änderungen des Gefäßtonus führen zu großen Änderungen der Stromstärke I = π r4 8 η l p Hagen-Poiseuillesches Gesetz Newton sche lüssigkeit η = const I R H = 8 η l π r 4 Strömungswiderstand p Parallel- und Reihenschaltung von Gefäßen analoge Betrachtungen gelten für elektrische Ströme Verzweigung von Gefäßen I = I 1 + I 2 I I 1 p 1 R H1 in jedem Verzweigungspunkt ist die Summe der einlaufenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme I 2 l p 2 p 1 = p 2 R H2 in parallelen Strömungszweigen herrscht dasselbe Druckgefälle Hintereinanderschalten von Gefäßen 1 R H, ges = 1 R H1 + 1 R H2 I 1 R H1 I 2 RH2 I = I 1 = I 2 R H, ges = R H1 + R H2 p 1 p 2 p 1 = I R H1 p 2 = I R H2

28 Statischer Druck der statische Druck vermindert sich in bewegten Medien Ruhendes Medium Druck als Trommelfeuer Komponentenzerlegung des Geschwindigkeit v p = / A Der senkrecht auf eine läche wirkende Druck heißt statischer Druck Bewegtes Medium v flacherer Aufprall der Teilchen auf Wand in bewegten Medien die wirkende Kraft und somit der statische Druck p werden kleiner je größer v, desto kleiner p Gleichung von Bernoulli diese Gleichung folgt aus dem Energieerhaltungssatz V v 1 v 1 < v 2 V Annahmen: v 2 kein Druckabfall zwischen 1 und 2 reibungsfreie Strömung (µ = 0) starres Gefäß A 2 ideale lüssigkeit A 1 ideale Strömung v 1 < v 2 p 1 > p 2 W pot + W kin m p 1 V + v 2 1 = 2 m p 2 V + v / :V an der engeren Stelle wird der kleinere Druck gemessen ρ p 1 + v 2 ρ 1 = p 2 + v ρ p + v 2 = const 2 ρ v 2 2 p - hydrostatische Druck (wirkt senkrecht auf die Gefäßwand) - Staudruck, dynamische Druck

29 Phänomene an Mediengrenzen zahlreiche Interaktionen zwischen Molekülen finden in biologischen Systemen an Mediengrenzen statt Mediengrenzen: fest / fest fest / flüssig fest / gasförmig flüssig / gasförmig flüssig / flüssig (nicht mischbare lüssigkeiten) estkörper: lüssigkeit: Gas: definiertes Volumen, definierte orm definiertes Volumen, orm passt sich an füllt einen zur Verfügung stehenden Raum aus Mediengrenzen sind gleichzeitig Kontaktflächen orm von Mediengrenzen (und damit die Ausbildung von Strukturen) wird durch Wechselwirkungen der beteiligten Moleküle bestimmt Energieminimum Wechselwirkungskräfte benachbarte Moleküle interagieren miteinander Medium 1 Kohäsionskräfte Kräfte zwischen Molekülen eines Mediums Medium 2 Adhäsionskräfte Kräfte zwischen Molekülen unterschiedlicher Medien allbetrachtung koh > adh kleine Kontaktfläche, Tropfenbildung nicht benetzende lüssigkeiten koh < adh große Kontaktfläche, benetzende lüssigkeiten

30 Oberflächenspannung diese Größe verknüpft Änderungen der Energie und Oberfläche miteinander σ ist eine spezifische Größe Oberfläche A nimmt ab bei gleichbleibendem Volumen Energie wird frei W =σ A Beispiele: Luft / Medium Wasser 72, N/m Blutplasma N/m Quecksilber N/m Olivenöl N/m W - A - σ freigesetzte bzw. benötigte Energie Änderung der Oberfläche - Oberflächenspannung Oberflächenspannung eines der Medien ist Luft Grenzflächenspannung zwei beliebige Medien [ σ ] = J / m 2 = N / m Abreißen einer lüssigkeitslamelle, Drahtbügel l l x x x W = x W = σ 2 l x = 2 σ l Mit der Drahtbügelmethode kann die Oberflächenspannung von lüssigkeiten bestimmt werden

31 Abreißen einer lüssigkeitslamelle, Metallring σ = W A W = max h Metallring Kraft im Moment des Abreißens lüssigkeitsfilm d A = 2 π d h h σ = max 2 π d Auch mit einem Metallring kann die Oberflächenspannung von lüssigkeiten bestimmt werden Druck an gekrümmten Oberflächen im Inneren von Tropfen und Vesikeln herrscht ein höherer Druck als in der Umgebung r Wassertropfen oder Luftblase in Wasser p 0 p0 + p p = 2 σ r p - Kohäsionsdruck Beispiel: σ = N/m r = 10-3 m p = 144 Pa r = 10-6 m p = 144 kpa r i r a r i ~ r a r p = 4 σ r Lamelle, Seifenblase Membranvesikel

32 Oberflächenspannung und Tropfengröße auch die Größe von Tropfen hängt von der Oberflächenspannung ab Bestimmung von σ über die Tropfengröße Tropfenzähler r i r a W = s x A = 2π r a x W = σ A s = 2π r a σ s σ Tropfengewicht und Oberflächenspannung sind proportional x Vergleich mit Eichflüssigkeit (Wasser) σ 1 = σ 0 ρ 1 n 0 ρ 0 n 1 ρ - Dichten n - Tropfenzahl für ein gegebenes V s s Stalagmometer Normaltropfenzähler Effekte an Kapillaren lüssigkeiten in enge Kapillaren zeigen ausgeprägte Oberflächeneffekte Benetzende lüssigkeit Aszension möglichst große gemeinsame Oberfläche zwischen lüssigkeit und Kapillare je enger die Kapillare, desto ausgeprägter der Effekt Beispiele feuchtes Mauerwerk schlechte Isolation Aufstieg von Wasser in Pflanzen Depression Nichtbenetzende lüssigkeit möglichst kleine gemeinsame Oberfläche zwischen lüssigkeit und Kapillare

33 Effekte an Kapillaren die kapillare Steighöhe ist eine unktion der Oberflächenspannung σ 2r r k Aszension s h ϕ Randwinkel kapillare Steighöhe s = ρ l πr 2 h g p s = ρ l h g p= 2σ r k = 2σ r cos ϕ bei vollständig benetzender lüssigkeit (cos ϕ = 1) p s = p σ h = 2σ cos ϕ r ρ l g h = 2σ r ρ l g Oberflächenaktive Stoffe solche Stoffe akkumulieren an der Grenzfläche Wasser/Luft vermindern z.t. drastisch σ (Wasser/Luft) lagern sich bevorzugt an der Grenzfläche an amphiphile Moleküle hydrophil hydrophob Luft Wasser ettsäuren Seifen Tenside Phospholipide Cholesterol Beispiel: Palmitinsäure - O C O die Strukturbildung in biologischen Systemen wird durch amphiphile Stoffe gewährleistet

34 Ausgewählte Wirkungen oberflächenaktiver Stoffe Verminderung der Oberflächenspannung in den Lungenalveolen durch Surfaktantien Bronchiole Grenzfläche Wasser / Luft σ = 72,9 x 10-3 N/m Luft Alveole Surfaktantien (spezielle Phospholipide) bedecken die Innenseite der Alveolen Gewebe (Wasser) σ etwa 1/10 von σ Wasser beim Atmen ändert sich die Oberfläche der Alveolen ständig elastische Verformung des Lungengewebe Wechselspiel zwischen Oberflächenenergie und elastischer Energie Surfaktantien minimieren den Energieaufwand bei der Atmung