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1 I Lineare Gleichungssysteme Knackt die Box In Klasse 7 hast du bereits Boxen geknackt. Jetzt wird die Ausgangssituation etwas komplizierter: Es gibt verschiedenfarbige Boxen (rot blau) außerdem sind immer zwei Gleichungen gleichzeitig zu erfüllen. Forschungsauftrag 1: Boxen knacken Es gelten folgende Regeln: 1. Links rechts vom Gleichheitszeichen liegen insgesamt gleich viele Hölzchen. 2. In den blauen bzw. roten Boxen liegen jeweils gleich viele Hölzchen. 3. Beide Gleichungen müssen erfüllt sein. Finde heraus, wie viele Hölzchen sich jeweils in den roten den blauen Boxen b efinden. Erkläre ausführlich, wie du auf die Lösung gekommen bist. Füllt Boxen, legt je zwei Boxen gleichungen lasst euren Nachbarn die Boxen knacken. Lerneinheit 3 Seite 14 Lerneinheit 4 Seite 18 a) Zum Boxenfüllen könnt ihr Streichholzschachteln verwenden. Markiert sie mit unterschiedlichen Symbolen. b) c) Forschungsauftrag 2: Boxengleichungen zusammenwerfen Maximilian hat einen Trick gefen, wie man die Boxengleichungen auch lösen kann. Führe die verbleibenden Schritte aus, um die Boxen zu knacken. Erkläre ausführlich, was bei den einzel nen Schritten passiert ist. Jede Boxengleichung lässt sich in eine Gleichung mit zwei Variablen übersetzen. Dabei beschreibt x die Zahl der Hölz chen in einer roten Box y die Zahl der Hölzchen in einer blauen Box. Maximilians Boxengleichungen würden dann also lauten: 2 x + 2 = 3 y 3 y + 2 = 4 x. Übersetze alle Boxengleichungen auf dieser Seite in Variablengleichungen. Boxengleichung 1. Schritt 2. Schritt 3. Schritt Erkungen DO01_ _K01_004_031.indd :07:57

2 4 Additionsverfahren Zwei Euro für ne Cola das ist teuer! Hoffentlich ist dann wenigstens die Pizza günstig Beim Gleichsetzungsverfahren beim Einsetzungsverfahren wird aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen eine einzelne Gleichung erzeugt, in der eine der beiden Variablen nicht mehr vorkommt. Dies kann man auch mit einem weiteren rechnerischen Lösungsverfahren erreichen; hier werden die Terme auf den rechten Seiten beider Gleichungen die Terme auf den linken Seiten beider Gleichungen jeweils addiert. Man kann dieses Verfahren mithilfe von Waagen verdeutlichen. Legt man die Gegenstände der linken Waagschale die Gegenstände der rechten Waagschale jeweils zusammen, so erhält man wieder einen Gleichgewichtszustand. Auf diese Weise lassen sich auch lineare Gleichungssysteme lösen. Additionsverfahren Löse I: 2 x + 3 y = 7 II: x 3 y = 5 Die Summe der Terme auf den linken Seiten der beiden Gleichungen ist genauso groß wie die Summe der Terme auf den rechten Seiten. Addiert man jeweils die Terme auf beiden Seiten der Gleichungen, so erhält man eine Gleichung, in der die Variable y nicht mehr vorkommt. I: 2 x + 3 y = å II: x 3 y = 5 I + II: 2 x + 3 y + x 3 y = x + 0 y = Å2 : 3 x = 4 Setzt man in Gleichung I für x den Wert 4 ein, so erhält man y = y = y = 1 : 3 y = 1 _ 3. ( 4 _ 1 3 ) ist die Lösung des linearen Gleichungssystems. 18

3 I Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem kann mit dem Additionsverfahren gelöst werden. Durch Addition der Gleichungen wird aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten eine einzelne Gleichung erzeugt, in der eine der beiden Variablen nicht mehr vorkommt. Damit man beim Additionsverfahren eine Gleichung erhält, in der eine der beiden Variablen nicht mehr vorkommt, müssen die Koeffizienten dieser Variablen in beiden Gleichungen den gleichen Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen besitzen. Ist dies nicht der Fall, so muss man zuerst eine oder beide Gleichungen durch beidseitiges Multiplizieren mit einer geeigneten Zahl umformen. Beispiel Additionsverfahren anwenden Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren. a) I: 4 x 5 y = 13 II: 4 x + 5 y = 3 b) I: 2 x + 3 y = 4 II: 3 x + 4 y = 5 Lösung a) Die Koeffizienten von y sind 5 5; addiert man 5 y 5 y, so erhält man null. I: 4 x 5 y = 13 II: 4 x + 5 y = 3 Addiere die Gleichungen I II. I + II: 8 x = 16 : 8 x = 2 Ersetze x in I (oder II) durch y = y = 5 : ( 5) y = 1 Das Gleichungssystem hat die Lösung (2 1). b) Multipliziert man Gleichung I mit 3 Gleichung II mit 2, dann ergeben 6 x 6 x bei der anschließenden Addition null die Variable x kommt in der neuen Gleichung nicht mehr vor. I: 2 x + 3 y = 4 3 II: 3 x + 4 y = 5 ( 2) Man erhält I: 6 x + 9 y = 12 II: 6 x 8 y = 10 Addiere die Gleichungen I II. I + II: y = 2 Ersetze y in I (oder II) durch 2. 2 x = x = 2 : 2 x = 1 Das Gleichungssystem hat die Lösung ( 1 2). 1 Aufgaben Löse mit dem Additionsverfahren. a) 5 x + 3 y = 14 4 x 3 y = 16 b) 3 x 7 y = 17 3 x + 7 y = 17 e) 2 x + y = 1 f) a b = 1 y = x 1 a + b = 1 i) 7 s + 2 t = 3 j) 6 u 3 v = 11 3 s + 5 t = 7 4 u 2 v = 7 c) 2 x + 5 y = 14 2 x + 3 y = 4 g) 1 = 7 x + 4 y 14 x 8 y = 2 k) 4 p + 3 q = 2 5 p + 2 q = 8 d) 6 x 8 y = 3 6 x + 8 y = 3 h) 4 e = 1 7 f 14 f = e l) 13 x + 13 y = 14 6,5 x 6,5 y = 7,5 2 Löse das Gleichungssystem mit einem geeigneten Verfahren. a) y + x = 5 2 y = 3 x b) 3 x + 7 y = 26 5 x 6 y = 8 c) 2 x = y y = 2 x 3 d) 12 x 25 y = 1 18 x 35 y = 1 4 Additionsverfahren 19

4 3 4 Lara Katharina haben beide ein Handy mit dem Clever-Kid-Tarif. Lara hat 65 Minuten telefoniert 75 SMS gesendet muss 8,95 zahlen. Katharina zahlt 11,90 hat 55 Minuten telefoniert sowie 150 SMS verschickt. Wie viel kostet eine Minute wie viel eine SMS? Hilf Benjamin beim Zusammenstellen von vier linearen Gleichungssystemen, die sich geschickt mit dem Additionsverfahren lösen lassen. Löse die zusammengestellten Gleichungssysteme. x + y = 7 2 x + 5 y = 3 x 5 y = 9 6 x + 7 y = 11 6 x + 2 y = 7 y + 2 x = 5 y 2 x = 1 x y = 3 Clever Kid-Tarif keine Grgebühr ct pro SMS ct pro Minute* *Gespräche ins deutsche Festnetz oder zu Mobil 5 Gib drei lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen an, bei deren Lösung sich das Additionsverfahren anbietet. 6 7 Die Tüten in Fig. 1 enthalten verschieden viele Bonbons. Nimmt man zwei Tüten der Sorte Himbeer drei Tüten der Sorte Erdbeer, dann hat man insgesamt 90 Bonbons. Nimmt man zwei Tüten der Sorte Himbeer fünf Tüten der Sorte Erdbeer, dann hat man insgesamt 130 Bonbons. Wie viele Bonbons sind in jeder Tüte? Löse mit dem Additionsverfahren. a) 6 x + 7 y = 23 b) 2 x 3 y = 23 5 x + 7 y = 18 2 x + y = 13 c) 3 x + 3 y = 3 7 x 2 y = 5 d) 7 x + 5 y = 3 7 x + 5 y = 5 Fig. 1 Bist du schon sicher? 8 9 Gesucht sind zwei Zahlen. Zieht man vom Doppelten der ersten Zahl fünf ab, so erhält man die zweite Zahl. Addiert man zum Doppelten der ersten Zahl vier, so erhält man das Doppelte der zweiten Zahl. Hannah hat zwei lineare Gleichungssysteme mit dem Additionsverfahren gelöst. Leider sind ihr dabei Fehler passiert. Suche die Fehler berichtige sie. Wie hätte Hannah ihre Fehler bemerken können? a) I: 2 x + 3 y = 16 3 II: 3 x + 7 y = 5 ( 2) I a: 6 x + 9 y = 48 II a: 6 x + 14 y = y = 38 y = _ y = _ einsetzen in I: 2 x _ = 16 x = _ Lösung: _ ( _ ) b) I: 3 x + 4 y = 9 II: 3 x 6 y = 8 Ich ziehe Gleichung II von I ab. I: 3 x + 4 y = 9 II: 3 x 6 y = 8 2 y = 1 y = _ 2 1 y = _ 2 1 einsetzen in II: 3 x 6 _ 2 1 = 8 3 x = 14,5 x = _ 29 6 Lösung: ( 29 _ 6 1 _ 2 ) Lösung Seite

5 I Lineare Gleichungssysteme 10 Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden ma che die Probe. a) b) c) d) 11 In Fig. 1 ist das Gleichungssystem I: 2 x + 3 y = 9 II: 4 x + 3 y = 15 geometrisch veranschaulicht. Alissa, Ben Charlotte lösen das Gleichungssystem auf unterschiedliche Arten stellen ihre Lösungen ebenfalls geometrisch dar. Alissa: Ich multipliziere Gleichung I mit 2 addiere anschließend I II. Anschließend zeichne ich die Geraden zu Gleichung I zu I + II. Ben: Ich multipliziere Gleichung II mit 1 addiere anschließend I II. Anschließend zeichne ich die Geraden zu Gleichung II zu I + II. Charlotte: Ich gehe wie Alissa vor, setze allerdings mein Ergebnis nach der Addition von I II in Gleichung I ein, bevor ich die Geraden zeichne. a) Ordne die Bilder in Fig. 2, 3 4 den vorgestellten Lösungswegen zu. b) Vergleicht man die in Fig. 2, 3 4 abgebildeten Geraden mit den Geraden in Fig. 1, so stellt man fest, dass der Schnittpunkt der beiden Geraden gleich bleibt, auch wenn sich der Verlauf einer (oder beider) Geraden verändert. Erkläre, warum dies der Fall ist. Fig Löse die Gleichung. a) 4 + 0,4 x = 3 (0,2 x + 1) Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Kannst du das noch? b) (6 x 2) 2 (9 x 1) (4 x 2) = 0 13 Ein Großvater sagt zu seinem Enkelsohn: Ich bin jetzt 69 dein Vater ist 40 Jahre alt. Bei deiner Geburt war ich doppelt so alt wie dein Vater. Wie alt ist der Enkelsohn heute? vgl. Seite 206 Lösung Seite Additionsverfahren DO01_ _K01_004_031.indd :08:02

6 5 Problemlösen mit linearen Gleichungssystemen Jan: 12 a = b Nora: 12 a + b = 910 Fiona: a + b = 910 Carla Timo gehen in die Klasse 9 a. Sie haben sich für Pia, die die Klasse 9 b besucht, ein Rätsel ausgedacht. Sie soll anhand der Aussagen von Carla Timo herausfinden, wie viele Mädchen wie viele Jungen die Klasse 9 a besuchen (Fig. 1). 1 Verstehen der Aufgabe Was ist gegeben? Carla hat 1,7-mal so viele Mitschülerinnen wie Mitschüler, bei Timo sind es doppelt so viele. Was ist gesucht? Gesucht ist die Anzahl der Schülerinnen Schüler der Klasse 9 a. 2 Zerlegen in Teilprobleme Rechenplan erstellen 1. Führe für die Anzahl der Schülerinnen Schüler je eine Variable ein. 2. Stelle zu den Aussagen von Carla Timo je eine Gleichung auf. 3. Löse das Gleichungssystem. Carla: Ich habe 1,7-mal so viele Mitschülerinnen wie Mitschüler. 3 4 Durchführen des Plans 1. Einführen der Variablen Anzahl der Mädchen: m Anzahl der Jungen: j 2. Aufstellen der Gleichungen: Carlas Aussage: I: m 1 = 1,7 j Timos Aussage: II: m = 2 (j 1) Rückschau Antwort Kann das Ergebnis richtig sein? Die Lösung ist sinnvoll, da die Ergebnisse ganzzahlig sind die Klassenstärke bei etwa 30 Schülerinnen Schülern liegt. 3. Lösen des Gleichungssystems II in I: 2 (j 1) 1 = 1,7 j 2 j 2 1 = 1,7 j 0,3 j = 3 j = 10 in II: m = 18 Antwortsatz: Die Klasse 9 a wird von 18 Mädchen 10 Jungen besucht. Timo: Ich habe doppelt so viele Mitschülerinnen wie Mitschüler. Schrittweise Lösung von Problemen: 1. Verstehen der Aufgabe Was ist gegeben? Was ist gesucht? Zerlegen in Teilprobleme Rechenplan Rechenreihenfolge erstellen. Pia Fig Rückschau Antwort Ergebnis überprüfen Antwort formulieren Rechenplan durchführen Variable benennen, Terme Gleichungen aufstellen, Gleichungssystem lösen. 22

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