Lösen von quadratischen linearen Gleichungssystemen mit EXCEL
|
|
- Maya Biermann
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Lösen von qudrtischen lineren Gleichungssystemen mit EXCEL Am Beispiel eines qudrtischen Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Vriblen soll Ihnen demonstriert werden, wie Sie unter Nutzung der in EXCEL integrierten Mtrixfunktionen ls uch des Solvers die Lösungen solcher Gleichungssysteme ermitteln können. Inhltsverzeichnis Vorbetrchtungen Erstellen des Gleichungssystems Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe der Substitutionsmethode... 3 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe des Solvers.... Erstellen eines Tbellenblttes Lösen des Gleichungssystems mit dem Solver Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe der Crmerschen Regel Theoretische Grundlgen Mthemtische Lösung Lösen des Gleichungssystems mit der integrierten Funktion MET Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe inverser Mtrix und Multipliktion von Mtrizen Theoretische Grundlgen Mthemtische Lösung der Beispielufgbe Lösen des Gleichungssystems mit den integrierten Funktionen MINV und MMULT Lösen des Gleichungssystems mit den integrierten Funktionen MINV, MMULT und MTRANS Prktische Anwendungsbeispiele Bestimmen der Bestndteile einer Messingpltte Entscheidung zum Kuf von Produkten Mischen von Teesorten us Restbeständen Fieting, Olf von , 6:6
2 Vorbetrchtungen In der täglichen Berufsprxis kommt es häufig vor, dss Probleme uftuchen, die nur mit Hilfe von qudrtischen Gleichungssystemen gelöst werden können. Eine typische Aufgbe us dem kufmännischen Bereich ist die Berechnung von Mischungspreisen. Es soll ngenommen werden, dss us einer Kffeesorte X zu 8,00 EUR je kg und einer nderen Sorte Y zu 2,00 EUR je kg eine Gesmtmischung von 25 kg zu einem Preis von 0,50 EUR ds kg hergestellt werden soll. Eine Möglichkeit zur Lösung dieser Aufgbe besteht in der Anwendung des Mischungskreuzes. der Schwerpunkt dieses Beitrges ber in der Lösung von qudrtischen Gleichungssystemen liegt, soll uf die oben erwähnte Lösungsmöglichkeit nicht eingegngen werden. Ein qudrtisches Gleichungssystem liegt vor, wenn die Anzhl der Gleichungen gleich der Anzhl der Vriblen ist. Zur Lösung eines solchen Gleichungssystems können verschieden Methoden ngewndt werden. Zu diesen gehört der Gußsche Algorithmus. ds Gleichsetzungsverfhren, ds Substitutionsverfhren, ds Additionsverfhren, die Anwendung der Crmerschen Regel ls uch die Nutzung von inversen Mtrizen und deren Multipliktion. In diesem Beitrg soll nicht uf lle Vrinten eingegngen werden, sondern nur uf die Lösung mit dem Solver, mit der Crmerschen Regel und uf die Anwendung von inversen Mtrizen und deren Multipliktion. 2 Erstellen des Gleichungssystems Bevor die o.g. Aufgbe gelöst werden knn, muss ein Gleichungssystem erstellt werden. Für ds ngeführte Beispiel knn folgendes vorusgesetzt werden: ie Gesmtmenge der Kffeesorten knn mit der Gleichung x y 25 definiert werden. er Gesmtpreis der Mischung zu 0,50 EUR stellt sich dnn wie folgt dr: 8 x 2 y 0, x 2 y 32,50 mit ergibt sich für ds Gleichungssystem folgende Ansicht: x y 25 8 x 2 y 32,50 Fieting, Olf 2 von , 6:6
3 3 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe der Substitutionsmethode ie mthemtische Lösung soll hier mit Hilfe des Einsetzungsverfhrens demonstriert werden. x y 25 8 x 2 y 32,50 Bei Anwendung dieses Verfhrens wird die erste Gleichung nch der Vriblen x umgestellt. x 25 y Anschließend wird der erhltene Ausdruck in die zweite Gleichung eingesetzt und nch der Vriblen y ufgelöst. 8(25 y) 2 y 32, y 2 y 32,50 y 32,50 32,50 y y 78,25 urch Einsetzen des erhltenen Wertes für y in die nch x umgestellte erste Gleichung knn der Wert für x ermittelt werden. x 25 78,25 x 6,875 Es werden lso 6,875 kg der Sorte x und 78,25 kg der Sorte y benötigt, dmit die gewünschte Menge zu einem Mischungspreis von 0,50 EUR hergestellt werden knn. Fieting, Olf 3 von , 6:6
4 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe des Solvers er Solver ist in EXCEL ein Werkzeug zur Lösung von Optimierungsufgben. Es können mit ihm ber uch Gleichungssysteme mit mehreren Unbeknnten gelöst werden. er Solver ist jedoch bei der Stndrdinstlltion nicht sofort verfügbr. Er muss in llen EXCEL-Versionen erst ktiviert werden. Aktivierung bis EXCEL 2003 () Extrs Add-Ins (2) Im ilogfeld Add-Ins die Option Solver uswählen (siehe unten) (3) Bestätigen mit OK Im Anschluss steht der Solver unter Extrs zur Verfügung. Aktivierung in EXCEL 2007 () Schltfläche Office (2) Schltfläche EXCEL-Optionen (3) Ktegorie Add-Ins () Verwlten: Excel-Add-Ins Gehe zu (5) Im ilogfeld Add-Ins die Option Solver uswählen (siehe unten) (6) Bestätigen mit OK Im Anschluss steht der Solver unter ten - Anlyse zur Verfügung. Aktivierung in EXCEL 200 () Menü tei (2) Optionen (3) Ktegorie Add-Ins () Verwlten: Excel-Add-Ins Gehe zu (5) Im ilogfeld Add-Ins die Option Solver uswählen (siehe unten) (6) Bestätigen mit OK Im Anschluss steht der Solver unter ten - Anlyse zur Verfügung. Fieting, Olf von , 6:6
5 . Erstellen eines Tbellenblttes Zum Lösen dieser Aufgbe mit Hilfe des Solvers muss ein Tbellenbltt erstellt werden, ds folgendes Aussehen besitzen knn: In die Zellen A8, A0, E8 und E0 werden die jeweiligen Koeffizienten für die Vriblen x und y eingetrgen. In die Zellen C8, C0, G8 und G0 wird jeweils eine 0 oder ein nderer beliebiger Wert eingetrgen. ie Zellen I8 und I0 enthlten folgende Formeleinträge: =A8*C8+E8*G8 bzw. =A0*C0+E0*G0.2 Lösen des Gleichungssystems mit dem Solver Bei der Lösung des Gleichungssystems, bezogen uf ds o.g. Beispiel ist in folgender Reihenfolge vorzugehen: () Aufruf des Solvers unter Extrs Solver (bis 2003) bzw. ten Anlyse Solver (b Version 2007); (2) Eintrgen der Zielzelle (I8) (3) Einstellen des Zielwertes (Wert und 25) () Eintrgen der veränderbren Zellen (C8 und G8) (5) Festlegen der Nebenbedingungen (I0=32,5), die über die Schltfläche Hinzufügen eingetrgen werden können. ilogfeld bis Version 2007 Fieting, Olf 5 von , 6:6
6 ilogfeld b Version 200 (6) Nch dem Festlegen ller Prmeter (siehe unten stehende Abbildung) wird mit Anklicken der Schltfläche Lösen die Berechnung usgelöst. ilogfeld bis Version 2007 ilogfeld b Version 200 Fieting, Olf 6 von , 6:6
7 Sollte durch den Server eine Lösung gefunden werden, meldet er sich mit folgendem ilogfeld. Wenn die Lösung ngenommen werden soll, muss die Option Lösung verwenden mit OK bestätigt werden. ilogfeld bis Version 2007 ilogfeld b Version 200 ie Lösungen werden dnn in die veränderbren Zellen eingetrgen. Auch hier werden für x und y die gleichen Ergebnisse ermittelt, die uch mit Hilfe der Substitutionsmethode bestimmt wurden. Fieting, Olf 7 von , 6:6
8 5 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe der Crmerschen Regel Gbriel Crmer entwickelte für ds Lösen qudrtischer linerer Gleichungssysteme die nch ihm bennnte Regel. Vorussetzung dfür ist jedoch, dss ds Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt. 5. Theoretische Grundlgen Anhnd folgenden Gleichungssystems mit zwei Vriblen soll demonstriert werden, wie Crmer zu seinen Erkenntnissen km. x 2y b 2x y b2 Zuerst wird die erste Gleichung nch der Vriblen y ufgelöst. 2y b x b y 2 x er erhltene Ausdruck für y wird nschließend in die zweite Gleichung für y eingesetzt. nch wird diese nch der Vriblen x ufgelöst. b x 2 b x b x) ( b 2 x b x 2b2 x x 2b2 b ( x b b 2 2 ) x 2b b urch Multipliktion mit wird dnn der endgültige Ausdruck erhlten. x b 2 2 b 2 2 Auf ähnliche Weise knn dnn der folgende Ausdruck für die Vrible y ermittelt werden. b y b 2 Fieting, Olf 8 von , 6:6
9 Wenn nun die einzelnen Bestndteile der Lösungen betrchtet werden, kommt mn zur Schlussfolgerung, dss der Nenner beider Ergebnisse und die jeweiligen Zähler mit Hilfe von eterminnten, die us den entsprechenden Koeffizienten des Gleichungssystems bestehen, bestimmt werden können. bei wird die eterminnte für den Nenner us den Koeffizienten der Vriblen (Konstntenmtrix) gebildet Für die jeweiligen Zähler werden die Koeffizienten der Vriblen durch die entsprechenden Absolutglieder (Konstntenmtrix) ersetzt. x b b 2 2 b 2 b 2 und y 2 b b 2 b 2 b 2 mit ergibt sich für die Lösung des Gleichungssystems: x x und für y y ieses Herngehen knn uch für ndere Gleichungssysteme höheren Grdes genutzt werden. er Rechenufwnd wird jedoch bedeutend höher usfllen. 5.2 Mthemtische Lösung Bestimmen der eterminnten Für die eterminnte des Zählers gilt: Für die beiden nderen eterminnten gilt dnn: x 25, 0 32, , 5 87, 5 y 8 25, 0 32, 5 32, , 5 Ermitteln des x-wertes 87,5 x 6,875 Fieting, Olf 9 von , 6:6
10 Ermitteln des y-wertes 32,5 y 78,25 Es zeigt sich, dss uch mit dieser Methode die gleichen Lösungen ermittelt wurden, die uch mit Hilfe der Substitutionsmethode bestimmt wurden. 5.3 Lösen des Gleichungssystems mit der integrierten Funktion MET er oben ufgezeigte Weg knn in EXCEL unter Einstz der Funktion "MET" relisiert werden. ie Funktion MET liefert die eterminnte einer Mtrix. ie Syntx ist wie folgt festgelegt: = MET(Mtrix) bei ist Mtrix eine us Werten bestehende qudrtische Mtrix, die lso die gleiche Anzhl von Zeilen ls uch Splten besitzt. Für die Lösung des einführenden Beispiels könnte folgendes Tbellenbltt genutzt werden In die Zellen A8, A0, E8, E0, I8 und I0 werden die Koeffizienten des Gleichungssystems eingetrgen. die Funktion MET nicht getrennt liegende Bereiche nsprechen knn und die mögliche Vrinte der Koeffizientenmtrix keine Zellngben verrbeiten knn, müssen ußerhlb des Gleichungssystems Hilfsmtrizen (M7:N8, M0:N, M3:N) ufgebut werden. ie dort eingetrgenen Werte werden us den entsprechenden Feldern des Gleichungssystems übernommen. In den Zellen P8, P0 und P3 werden dnn die eterminnten für, x und y mit folgenden Funktionen ermittelt: Zelle P8: Zelle P0: Zelle P3: =MET(M7:N8) =MET(M0:N) =MET(M3:N) Fieting, Olf 0 von , 6:6
11 In den Zellen C8 und G8 werden dnn die Werte für x und y bestimmt: Zelle C8: Zelle G8: =P0/P8 =P3/P8 Anschließend werden diese Werte in die Zellen C0 bzw. G0 übernommen. Aus diesem Lösungsnstz ist zu ersehen, dss schon bei einem Gleichungssystem mit zwei Vriblen ein hoher Aufwnd betrieben werden muss. Bei Gleichungssystemen höheren Grdes steigt der Aufwnd enorm. eshlb knn der Lösungsnstz über die Nutzung der Funktion MET ls unzweckmäßig betrchtet werden. 6 Lösen des Gleichungssystems mit Hilfe inverser Mtrix und Multipliktion von Mtrizen Wie im vorhergehenden Punkt beschrieben, lässt sich die Lösung mittels der Funktion MET nicht komfortbel lösen. Ihnen EXCEL ber die Funktionen MINV und MMULT nbietet, soll Ihnen im Folgenden ds Herleiten der Lösungen für x und y mittels der inversen Mtrix und der Multipliktion der inversen Mtrix mit der Konstntenmtrix demonstriert werden. 6. Theoretische Grundlgen Bestimmen der eterminnte der Koeffizientenmtrix Sollte die eterminnte den Wert 0 ergeben, knn keine inverse Mtrix gebildet werden. Bilden der inversen Mtrix A 2 2 A 2 2 A 2 2 Fieting, Olf von , 6:6
12 Multipliktion der inversen Mtrix mit der Konstntenmtrix 2 2 b b2 ie Lösung für beide Vriblen lutet dnn: b b2 2 x b b2 2 y 6.2 Mthemtische Lösung der Beispielufgbe Bestimmen der eterminnte der Koeffizientenmtrix Bestimmen der inversen Mtrix A 8 2 A 2 8 A Multipliktion der inversen Mtrix mit der Konstntenmtrix , 5 2 Fieting, Olf 2 von , 6:6
13 Ermitteln de x-wertes x ,50 6,875 Ermitteln des y-wertes y ,50 78,25 Auch hier ist zu sehen, dss dieser Lösungsweg die gleichen Ergebnisse wie die vorngegngenen Wege liefert. 6.2 Lösen des Gleichungssystems mit den integrierten Funktionen MINV und MMULT er oben ufgezeigte Lösungsweg knn mit Hilfe der integrierten EXCEL-Funktionen MINV und MMULT umgesetzt werden. ie Funktion MINV liefert die Inverse einer Mtrix (die zur Mtrix gehörende Kehrmtrix). ie Syntx der Funktion ist wie folgt festgelegt: =MINV(Mtrix) bei ist Mtrix eine qudrtische Mtrix (die Anzhl der Zeilen und Splten sind gleich). bei ist zu bechten, dss Formeln, die Mtrizen zurückgeben, ls Mtrixformeln eingegeben werden müssen. Erstellen einer Mtrixformel () Eingeben der Formel in die Zelle, wie es uch für normle Formeln und Funktionen notwendig ist. Achtung! iese Formel drf nicht mit der Eingbetste bestätigt werden. (b) Abschluss der Eingbe und Umwndeln der Formel in eine Mtrixformel mit Hilfe der Tstenkombintion STRG + UMSCHALTTASTE + ENTER. Sollte eine Mtrixformel einen Zellbereich umfssen, wie im unten drgestellten Beispiel, so ist dieser Zellbereich zu mrkieren. In die Ausgngszelle der Mrkierung ist die entsprechende Formel einzutrgen und nschließend in eine Mtrixformel umzuwndeln. ie Berechnung wird dnn für den gesmten mrkierten Bereich usgeführt. Wenn vorusgesetzt wird, dss eine Mtrix folgendes Aussehen besitzt A c b d Fieting, Olf 3 von , 6:6
14 bestimmt die Funktion MINV die inverse Mtrix nch folgendem Schem: A d /( d b c) c /( b c d) b /( b c d) /( d b c) Aug o. g. Beispiel ngewndt A 8 2 Ergibt sich für die inverse Mtrix A 2 /( 2 8) 8/( 82) /( 82) /( 2 8) A Wie us dem Ergebnis zu ersehen ist, entspricht es dem Ergebnis us dem Kpitel 6.2. s Ergebnis der Behndlung der Mtrix mit der Funktion MINV muss nschließend mit Hilfe der Funktion MMULT mit der Konstntenmtrix multipliziert werden. ie Funktion MMULT liefert ds Produkt zweier Mtrizen. s Ergebnis ist wieder eine Mtrix. iese ht die gleiche Anzhl Zeilen wie die Mtrix und die gleiche Anzhl Splten wie die Mtrix 2. ie Syntx ist wie folgt festgelegt: = MMULT(Mtrix;Mtrix2) Für die Lösung des ngeführten Beispiels könnte folgendes Tbellenbltt genutzt werden. Fieting, Olf von , 6:6
15 ie Angben in der Koeffizientenmtrix und in der Konstntenmtrix werden us der linksstehenden Aufgbe übernommen. ie Ergebnisse der Berechnungen mit den Funktionen MMULT und MINV (siehe Abbildung) werden dnn n die Zellen C8, C, G8 und G zur Vervollständigung der Tbelle übergeben. 6.3 Lösen des Gleichungssystems mit den integrierten Funktionen MINV, MMULT und MTRANS Eine weitere Möglichkeit der Lösung des Problems besteht drin, dss uf schmückendes Beiwerk verzichtet wird. s bedeutet, dss nur die Koeffizienten- und Konstntenmtrix erstellt wird. Wenn nur die im vorhergehenden Kpitel genutzte Formel mit MINV und MMULT ngewndt wird, erhält mn untereinnderliegende Ergebnisse (G6:G7). Zur komplexeren Lösung und dmit uch zur einfcheren Lesbrkeit knn mit Hilfe der Funktion MTRANS die senkrechte Lösung in eine horizontle rstellung umgewndelt werden. ie Funktion MTRANS trnsponiert eine wgerechte rstellung in eine senkrechte oder umgekehrt um. eshlb knn uf eine Ausgbe in den Zellen G6:G7 verzichtet werden. s heißt, die Ergebnisse können direkt unter der Koeffizientenmtrix usgegeben werden. Fieting, Olf 5 von , 6:6
16 7 Prktische Anwendungsbeispiele 7. Bestimmen der Bestndteile einer Messingpltte Eine Pltte us Messingblech ht die Msse von 9,05 kg und die Abmessungen 500 x 500 x, (in mm). Wie viel Kupfer und Zink sind in der Legierung enthlten, wenn Kupfer eine ichte von 8,90 kg/dm³ und Zink eine ichte von 7, kg/dm³ besitzt? Zur Lösung dieses Beispiels ist wie folgt vorzugehen: Ermitteln des Gesmtgewichtes x y 9,05 Ermitteln der einzelnen Volumen V V cu Zn m cu cu m Zn Zn x 8, 9 dm Ermitteln des Gesmtvolumens 3 x dm 7, V ges 55 0, 0, dm 3 3 Aufstellen des Gleichungssystems x x 8, 9 y 9,05 y, 7, Lösung mit dem Solver (Abbildung bis EXCEL 2007) Fieting, Olf 6 von , 6:6
17 Lösung mit MET Lösung mit MMULT und MINV Lösung mit MMULT, MINV und MTRANS Fieting, Olf 7 von , 6:6
18 7.2 Entscheidung zum Kuf von Produkten Eine Hndelsfirm kuft Produkte zum Listenpreis ein. ie Produkte kosten 9,00 EUR,,00 EUR bzw. 7,00 EUR. Insgesmt sollen 500 Produkte eingekuft werden, wobei der Gesmtpreis 8.00,00 EUR betrgen soll. ie Produkte sollen mit 5 %, 20 % bzw. 25 % Aufschlg verkuft werden, wobei ein Gesmtumstz von 2.830,00 EUR erreicht werden soll. Wie viele Produkte der entsprechenden Sorte müssen eingekuft werden? Hier hndelt es sich um ein qudrtisches Gleichungssystem mit drei Vriblen. An diesem Beispiel soll, uch wenn in der Einleitung nur von qudrtischen Gleichungssystemen gesprochen wird, gezeigt werden, wie mittels der ufgezeigten Methoden uch höhere Gleichungssysteme gelöst werden können. x y z 9x y 7z 0,35x 3,2 y 2,25z Lösung mit dem Solver (Abbildung in EXCEL 200) Fieting, Olf 8 von , 6:6
19 Lösung mit MET Lösung mit MMULT und MINV Lösung mit MMULT, MINV und MTRANS Fieting, Olf 9 von , 6:6
20 7.3 Mischen von Teesorten us Restbeständen Ein Restposten von 8 kg Tee, je kg zu 6,50 EUR, soll mit einer zweiten Sorte, je kg zu 20,00 EUR, zu einer Mischung verrbeitet werden, die pro kg 9,00 EUR kostet und ls Friesentee ngeboten werden soll. Wie viel kg der zweiten Sorte sind hinzuzugeben und wie groß ist die Gesmtmenge? 8 86,50 20y 9z y z z y 9z 20y 8 32 Lösung mit dem Solver (Abbildung in EXCEL 200) Fieting, Olf 20 von , 6:6
21 Lösung mit MET Lösung mit MMULT und MINV Lösung mit MMULT, MINV und MTRANS Fieting, Olf 2 von , 6:6
BRÜCKENKURS MATHEMATIK
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig
Mehr(3) a x a x a x... a x b n n 1. (2) a x a x a x... a x b n n n n (m) a x a x a x...
LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME () x x x... x b n n () x x x... x b n n () x x x... x b n n.............. (m) x x x... x b m m m mn n m Inhltsverzeichnis Kpitel Inhlt Seite Bestimmung von Funktionstermen Ds
Mehrb) Dasselbe System, die Unbekannten sind diesmal durchnummeriert:
1 Linere Gleichungssysteme 1. Begriffe Bspl.: ) 2 x - 3 y + z = 1 3 x - 2 z = 0 Dies ist ein Gleichungssystem mit 3 Unbeknnten ( Vriblen ) und 2 Gleichungen. Die Zhlen vor den Unbeknnten heißen Koeffizienten.
MehrMathematik Name: Vorbereitung KA2 K1 Punkte:
Pflichtteil (etw 40 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet werden dürfen.) Aufgbe : [4P] Leiten Sie
Mehr6. Quadratische Gleichungen
6. Qudrtische Gleichungen 6. Vorbemerkungen Potenzieren und Wurzelziehen, somit uch Qudrieren und Ziehen der Qudrtwurzel, sind entgegengesetzte Opertionen. Sie heben sich gegenseitig uf. qudrieren Qudrtwurzel
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmnn W Wu Herbstsemester 206 Linere Algebr und Numerische Mthemtik für D-BAUG Beispiellösung für Serie 5 ETH Zürich D-MATH Aufgbe 5 5) Seien u und v Lösungen des LGS Ax = b mit n Unbeknnten
MehrGrundkurs Mathematik II
Prof Dr H Brenner Osnbrück SS 2017 Grundkurs Mthemtik II Vorlesung 33 Die Zhlenräume Die Addition von zwei Pfeilen und b, ein typisches Beispiel für Vektoren Es sei K ein Körper und n N Dnn ist die Produktmenge
MehrKapitel 1 : Mathematische Grundlagen und Stöchiometrie
pitel : Mthemtische Grundlgen und Stöchiometrie Elementre Rechenumformungen. Dreistzrechnung : Immer dnn, wenn zwei Meßgrößen zueinnder proportionl bzw. indirekt proportionl (d.h. die eine proportionl
MehrUngleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung
Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................
MehrQuadratische Funktionen und p-q-formel
Arbeitsblätter zum Ausdrucken von softutor.com Qudrtische Funktionen und -q-formel Gib den Vorfktor und die Anzhl der Schnittstellen mit der -Achse n. x 3 Beschreibe die Reihenfolge beim Umformen einer
Mehrtäglich einmal Scilab (wenigstens)
Dr. -ng. Wilfried Dnkmeier Elektro- und nformtionstechnik SS 2012 Mthemtik Mthemtik 1 - Übungsbltt 8 täglich einml Scilb (wenigstens) Aufgbe 1 (Drehung von Koordintensystemen) Gegeben ist der Vektor =[x
MehrElektro- und Informationstechnik SS Mathematik 1 - Übungsblatt 8 Lösungsvorschläge
Mthemtik 1 - Übungsbltt 8 Lösungsvorschläge Aufgbe 1 (Drehung von Koordintensystemen) Gegeben ist der Vektor =[x y ] T (Spltenvektor) im x-y-koordintensystem. Seine Komponenten sollen in dem um den Ursprung
MehrQuadratische Funktionen
Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung
MehrLösungen Quadratische Gleichungen. x = x x = Also probieren wir es 3 4 = 12. x + + = Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf:
Aufgbe : ) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nch uf: = kein Problem einfch die Wurel iehen und ds ± nicht vergessen.. = = ±, b) + 5 = 0 Hier hben wir bei jedem Ausdruck ein, lso können wir usklmmern:
MehrLineare Schaltungen (Widerstände), gleichförmige Erregungen, Knotenpotenzial-Verfahren
Linere Schltungen (Widerstände), gleichförmige Erregungen, Knotenpotenzil-Verfhren 2 2.1 Einführung In diesem Kpitel wird ds Knotenpotenzil-Verfhren vorgestellt. Mit Hilfe dieses Verfhrens können uch umfngreiche
MehrMatrizen und Determinanten
Mtrizen und eterminnten efinition einer Mtri: Ein us m Zeilen und n Splten bestehendes rechteckiges Zhlenschem heißt Mtri vom Typ (m; n) oder (m n)-mtri. m m m n n n mn izeileninde; jsplteninde Schreibweise:
MehrDarstellung von Ebenen
Drstellung von Ebenen. Ebenengleichung in Prmeterform: Sei E eine Ebene. Dnn lässt sich die Ebene drstellen durch eine Gleichung der Form p u x = p + r v u + s v (r, s R). p u v Der Vektor p heißt Stützvektor
MehrMichael Buhlmann Mathematik > Lineare Gleichungssysteme
Michel Buhlmnn Mthemtik > Linere Gleichungssysteme Crl Friedrich Guß Der Mthemtiker und Gelehrte Crl Friedrich Guß (*1777-1855) studierte nch Schulusbildung und Abitur m Collegium Crolinum Brunschweig
MehrMathematik-Aufgabenpool > Normalparabeln, spezielle allgemeine Parabeln I
Michel Buhlmnn Mthemtik-Aufgbenool > Normlrbeln, sezielle llgemeine Prbeln I Einleitung: Normlrbeln sind qudrtische Funktionen von der Form: y = + + q (Normlform), y = ( d) + c (Scheitelform), y = (- )(-
MehrDer Gauß - Algorithmus
R Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 7..9 Der Guß - Algorithmus Der Algorithmus von Guss ist ds universelle Verfhren zur Lösung beliebiger linerer Gleichungssysteme. Einführungsbeispiel: 7x+ x 5x = Drei
Mehr- 1 - VB Inhaltsverzeichnis
- - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit
MehrMathematik K1, 2017 Lösungen Vorbereitung KA 1
Mthemtik K, 07 Lösungen Vorbereitung KA Pflichtteil (etw 0..0 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung (Dieser Teil muss mit den Lösungen bgegeben sein, ehe der GTR und die Formlsmmlung verwendet
Mehrvon f im Punkt P ( 2 4) x x x Hilfsmittelfreier Teil. Beispielaufgabe 1 zur Analysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung
Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. () Berechnen ie lle Nullstellen der Funktion f. ()
Mehr6.1. Matrizenrechnung
6 Mtrizenrechnung 6 Mtrizen und Vektoren Definition Eine Tbelle in der Drstellung A (m,n) n n m m mn heißt m,n-mtrix ( n ) ( ) mit den Zeilenvektoren ( m m mn ) und den Sltenvektoren m, m,, n n mn Mtrizen
MehrMathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM
Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Bisher hben wir die Lge von Punkten und Gerden lediglich in der Ebene betrchtet. Nun wollen wir die Lge dieser
Mehr4. Lineare Gleichungen mit einer Variablen
4. Linere Gleichungen mit einer Vrilen 4. Einleitung Werden zwei Terme einnder gleichgesetzt, sprechen wir von einer Gleichung. Enthlten eide Terme nur Zhlen, so entsteht eine Aussge, die whr oder flsch
MehrShareProjects im Einsatz Recording Projects and Times Mobile
ShreProjects im Einstz Recording Projects nd Times Mobile Agend Übersicht Home Projekte verwlten Projekte nlegen Strukturierungsvorschlg Projektufgben nlegen Projektrum nlegen Filterfunktion Projektrum
MehrDreireihige Determinanten
LINEARE ALGEBRA Teil 3 3 Gleichungen mit 3 Uneknnten Gleichungen und Gleichungssysteme Dreireihige Determinnten Dtei Nr. 6 03 Stnd 6. Oktoer 04 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 603 Linere Alger 3
MehrVersuchsplanung. Grundlagen. Extrapolieren unzulässig! Beobachtungsbereich!
Versuchsplnung 22 CRGRAPH www.crgrph.de Grundlgen Die Aufgbe ist es Versuche so zu kombinieren, dss die Zusmmenhänge einer Funktion oder eines Prozesses bestmöglich durch eine spätere Auswertung wiedergegeben
Mehra = c d b Matheunterricht: Gesucht ist x. Physikunterricht Gesucht ist t: s = vt + s0 -s0 s - s0 = vt :v = t 3 = 4x = 4x :4 0,5 = x
Bltt 1: Hilfe zur Umformung von Gleichungen mit vielen Vriblen Im Mthemtikunterricht hben Sie gelernt, wie mn Gleichungen mit einer Vriblen umformt, um diese Vrible uszurechnen. Meistens hieß sie. In Physik
MehrIntegrieren. Regeln. Einige Integrale die man auswendig kennen sollte. Partielle Integration
Integrieren Regeln (f() + g())d = f()d + g()d c f()d = c f()d b f()d = f()d b Einige Integrle die mn uswendig kennen sollte s d = s + s+ + C (für s ) d = ln + C cos d = sin + C sin d = cos + C sinh d =
MehrQuadratische Gleichungen und Funktionen
Qudrtische Gleichungen und Funktionen Bei einer udrtischen Gleichung kommt die Unbeknnte Vrible mindestens einml in der.potenz vor, ber in keiner höheren Potenz. b c udrtischer Anteil linerer Anteil konstnter
Mehra Z1 a 1 a 1,2 Diese Matrix hat genau dann Rang 2, ist also genau dann invertierbar, wenn a 2,2 a 1,2a 2,1
18 Determinnten 207 18 Determinnten Nchdem wir nun schon recht usführlich Mtrizen und linere Gleichungssysteme studiert hben, wollen wir jetzt die sogennnten Determinnten einführen, die beim Rechnen mit
MehrBitte denken Sie daran, erklärenden Text zu schreiben.
Mthemtik Nme: Lösungen Vorbereitung Nr. Kursstufe K Punkte: / Note: Schnitt:.0. Bitte denken Sie drn, erklärenden Tet zu schreiben. Pflichtteil (etw 0..40 min) Ohne Tschenrechner und ohne Formelsmmlung
Mehr12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrBrückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren
Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem
MehrFacharbeit. Darstellung und Vergleich: Gaußsches Eliminationsverfahren Cramersche Regel. unter besonderer Beachtung der Benutzbarkeit und Grenzen
Gustv-Heinemnn-Gesmtschule, Alsdorf Fchrbeit Drstellung und Vergleich: Gußsches Elimintionsverfhren Crmersche Regel unter besonderer Bechtung der Benutzbrkeit und Grenzen des GTR Von: Crsten Filz Leistungskurs
MehrBINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER
BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c
MehrDatenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 16
Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérle de Zurich Politecnico federle di Zurigo Federl Institute of Technology t Zurich Institut für Theoretische Informtik 9. März 2016
MehrMathematik schriftlich
WS KV Chur Abschlussprüfungen 00 für die Berufsmtur kufmännische Richtung Mthemtik schriftlich LÖSUNGEN Kndidtennummer Nme Vornme Dtum der Prüfung Bewertung mögliche erteilte Punkte Punkte. Aufgbe 0. Aufgbe
MehrPräsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,
Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i
Mehr1.5. Abbildung. DEFINITION injektiv, surjektiv, bijektiv Eine Abbildung f ist injektiv, falls es zu jedem y Y höchstens ein x X gibt mit
CHAPTER. MENGEN UND R ELATIONEN.5. ABBILDUNG.5. Abbildung Eine Abbildung (oder Funktion ist eine Reltion f über X Y mit der Eigenschft: für jedes x us X gibt es genu ein y Y mit (x,y f. Die übliche Schreibweise
MehrIch kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.
Klsse 9c Mthemtik Vorbereitung zur Klssenrbeit Nr. m.1.017 Themen: Reelle Zhlen, Qudrtwurzeln LGS mit drei Unbeknnten Checkliste Ws ich lles können soll Ich knn LGS mit drei Gleichungen und drei Unbeknnten
MehrGrundlagen der Algebra
PH Bern, Vorbereitungskurs MATHEMATIK Vorkenntnisse 0 Grundlgen der Algebr Einleitung Auf den nchfolgenden Seiten werden grundlegende Begriffe und Ttschen der Algebr erläutert: Zhlenmengen, Rechenopertionen,
Mehr8.4 Integrationsmethoden
8.4 Integrtionsmethoden 33 8.4 Integrtionsmethoden Die Integrtion von Funktionen erweist sich in prktischen Fällen oftmls schwieriger ls die Differenzition. Während sich ds Differenzieren durch Anwendung
MehrDie Hyperbeläste kommen den Koordinaten-achsen beliebig nahe. Sie sind Asymptoten der Hyperbel.
.8. Die indirekte (umgekehrte) Proportionlität Die Funktion f : y \ heisst umgekehrte (indirekte) Proportionlität. Spezilfll : f: Bilde den Kehrwert der gegebenen Zhl. An der Stelle ist die Funktion nicht
MehrÜbungen zur Linearen Algebra 1
Übungen zur Lineren Algebr Lösungen Wintersemester 9/ Universität Heidelberg Mthemtisches Institut Lösungen Bltt Dr. D. Vogel Michel Mier Aufgbe 44. b 4 b b 4 ( )b Fll : = ( )b 4 b ( ) b ( ) ( )(b ) b
MehrZu Aufgabe 1: Bringen Sie die nachstehenden Gleichungssysteme in die Form A x
Mthemtik I Lösungen zu Übung ( Lösung von GS, Lösbrkeitsbedingungen, Gußscher lg.,cr Prof.Dr.B.Grbowski u ufgbe : Bringen Sie die nchstehenden Gleichungssysteme in die Form c und untersuchen Sie ihr Lösungsverhlten
MehrIntegralrechnung. Andreas Rottmann. 15. Oktober 2003
Integrlrechnung Andres Rottmnn 15. Oktober 2003 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 1.1 Integrtion ls Umkehrung des Differenzierens........... 2 1.2 Integrtionsregeln...........................
MehrAufgabe 1 mit Lösung. Stelle x x + 2a x 2a VZW EPArt Wert
Aufgbe mit Lösung 4 ( 8 ) ( 4 8 ) f x = x x x + x= f x Achsensymmetrie + =. 4 lim x x + : Fll = c+ d 0! < 0 + x ±... Extrempunkte = = =. NB: f ( x) ( 4x 6 x) x( x ) x( x ) x MESt ( f ) { ;0;}. HB: 0 =
MehrAnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.
Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete
MehrErzeugen benutzerdefinierter Buchstabenlisten in EXCEL
Erzeugen benutzerdefinierter Buchstabenlisten in EXCEL In der Praxis werden öfter Tabellen mit Spaltenüberschriften, die Buchstabenfolgen haben, versehen. Dabei ist es müßig, diese Überschriften immer
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie
Verfhren Mthemtik für Studierende der Biologie und des Lehrmtes Chemie Dominik Shillo Universität des Srlndes 6. Vorlesung, 4..7 (Stnd: 4..7, 4:5 Uhr) Shreibe,,n.......... n, n,n Führe den Guÿlgorithmus
MehrTeil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe. Allgemeine Termumformungen
Teil 1: Rechenregeln us der Mittelstufe Allgemeine Termumformungen Kommuttivgesetz: Bei reinen Produkten oder Summen ist die Reihenfolge egl x y z = z y x = x z y =.. x+y+z = z+y+x = x+z+y =.. Ausklmmern:
Mehr( ) Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f, g und h durch
Hilfsmittelfreie Aufgben us dem Mthemtik-Pool zum Abitur 015 T. Wrncke m301 Abi015_M_Pool1_A1 Anlysis Gegeben sind die in IR definierten Funktionen f, g und h durch ( ) f = + 1, ( ) 3 g = + 1 und ( ) 4
Mehr2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = 3 Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
Mehr11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG
91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
Mehr2. Grundgleichungen der linearen FEM
. Grundgleichungen der lineren FEM Fchbereich Prof. Dr.-Ing. Mschinenbu Abteilung Mschinenbu. Ekurs Mtrizenrechnung Zum weiteren Verständnis der FEM sind einige Grundkenntnisse in der Mtrizenlgebr erforderlich!
Mehr2. Funktionen in der Ökonomie
FHW, ZSEBY, ANALYSIS - - Funktionen in der Ökonomie Beispiele: qudrtische Funktionen, Eponentilfunktion Qudrtische Funktionen Einfchste qudrtische Funktion: y = Allgemeine qudrtische Funktion: y = + b
MehrMathe Warm-Up, Teil 1 1 2
Mthe Wrm-Up, Teil 1 1 2 HEUTE: 1. Elementre Rechenopertionen: Brüche, Potenzen, Logrithmus, Wurzeln 2. Summen- und Produktzeichen 3. Gleichungen/Ungleichungen 1 orientiert sich n den Kpiteln 3,4,6,8 des
Mehr56. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 8 Lösungen
56. Mthemtik-Olympide. Stufe (Regionlrunde) Olympideklsse 8 Lösungen c 016 Aufgbenusschuss des Mthemtik-Olympiden e.v. www.mthemtik-olympiden.de. Alle Rechte vorbehlten. 56081 Lösung 10 Punkte Nehmen wir
MehrLineare Algebra I 5. Tutorium mit Lösungshinweisen
Fchbereich Mthemtik Prof Dr JH Bruinier Mrtin Fuchssteiner Ky Schwieger TECHNISCHE UNIVERSITÄT DARMSTADT AWS 07/08 0607 (T ) Linere Algebr I 5 Tutorium mit Lösungshinweisen Welche Gruppen kennen Sie? Welche
Mehrhat genau eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinante der Koeffizientenmatrix gilt:
1 Determinnten Die Determinnte einer qudrtischen Mtrix ist eine reelle Zhl. Sie ermöglicht insbesondere eine Aussge über die Existenz der inversen Mtrix bzw. über die Lösbrkeit von lineren leichungssystemen.
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof Dr H Brenner Osnbrück WS 2015/2016 Linere Algebr und nlytische Geometrie I Vorlesung 4 In der lineren Algebr wird stets ein Körper K zugrunde gelegt, wobei mn dbei grundsätzlich n die reellen Zhlen
Mehr12. STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL
98 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und
MehrGröße einer Wiese. Themenbereich Einstieg in die Integralrechnung
Inhlte Riemnn sche Summen Definition des bestimmten Integrls Bemerkungen: Größe einer Wiese Themenbereich Einstieg in die Integrlrechnung Ziele Approximtion einer Fläche mit Hilfe von Rechtecken Selbsttätiges
MehrRepetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion
Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen
MehrKapitel 4. Minimierung. Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann. Hochschule Karlsruhe w University of Applied Sciences w Fakultät für Informatik
Kpitel 4 Minimierung Prof. Dr. Dirk W. Hoffmnn Hochschule Krlsruhe w University of Applied Sciences w Fkultät für Informtik Minimierung Motivtion Jede Boolesche Funktion lässt sich uf verschiedene Weise
MehrSkript EXCEL Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme
Skript EXCEL 2010 Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme 1. Einleitung Eine Matrixformel kann mehrere Berechnungen durchführen und dann entweder ein einzelnes Ergebnis oder mehrere Ergebnisse liefern.
MehrÜbungsaufgaben 2. Komplexe Zahlen. sin 2 ; 2 sin cos D 2 cos 2 1; 2 sin cos D 1 2 sin 2 ; 2 sin cos. 3 k. kd0.cos ; 0/ k.
Übungsufgben Komlexe Zhlen Aufgbe. Mn zeige (mit Hilfe der binomischen und der Moivre-Formel), dß..cos ; sin / D cos ; sin cos D sin ; sin cos,..cos ; sin / D 4 cos cos ; sin 4 sin, für lle Œ0; Œ gilt!
MehrAbitur 2018 Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.biturloesung.de/ Seite Abitur 8 Mthemtik Geometrie VI Die Punkte A( ), B( ) und C( ) liegen in der Ebene E. Teilufgbe Teil A (4 BE) Die Abbildung zeigt modellhft wesentliche Elemente einer
Mehr4.5 Integralrechnung II. Inhaltsverzeichnis
4.5 Integrlrechnung II Inhltsverzeichnis 1 Integrlrechnung 22.02.2010 Theorie und Übungen 2 Wir hben im ersten Skript beobchtet, dss ein Zusmmenhng besteht zwischen der Formel für die Fläche A 0b und der
Mehr2.6 Reduktion endlicher Automaten
Endliche Automten Jörg Roth 153 2.6 Reduktion endlicher Automten Motivtion: Wir sind n Automten interessiert, die mit möglichst wenigen Zuständen uskommen. Automten, die eine Sprche mit einem Minimum n
MehrNumerische Integration
Numerische Integrtion Bei vielen Problemen des nturwissenschftlichen Rechnens treten Integrle uf, die nicht in expliziter Form drgestellt werden können, sei es, dß kein geschlossener Ausdruck für eine
MehrLerninhalte Fakten-Regeln-Beispiele Quelle. -fache
Friedrich-Alender-Gymnsium Grundwissen Mthemtik. Jhrgngsstufe Lerninhlte Fkten-Regeln-Beispiele Quelle Proportionlität Gehört bei einer Zuordnung zum r-fchen der einen Größe ds r-fche der nderen Größe,
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure , Uhr
Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber
MehrÜbungsaufgaben zu Mathematik 2
Ü F-Studiengng Angewndte lektronik SS 8 Üungsufgen zu Mthemtik Vektor- und Mtrizenrechnung 9 Die ckpunkte des Dreiecks ABC seien durch ihre Ortsvektoren OA ( ) OB (7) und OC (8) gegeen Berechnen Sie die
MehrMatrizen und Determinanten
Mtrizen und Determinnten Im bschnitt Vektorlgebr Rechenregeln für Vektoren Multipliktion - Sklrprodukt, Vektorprodukt, Mehrfchprodukte wurde in einem Vorgriff bereits eine interessnte mthemtische Konstruktion
MehrVektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren
Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der
Mehr1 Kurvendiskussion /40
009 Herbst, (Mthemtik) Aufgbenvorschlg B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung: f ( ) 0 6 = ; mit.. Untersuchen Sie ds Verhlten der Funktionswerte von f im Unendlichen.
MehrDas Rechnen mit Logarithmen
Ds Rechnen mit Logrithmen Etw in der 0. Klssenstufe kommt mn in Kontkt mit Logrithmen. Für die, die noch nicht so weit sind oder die, die schon zu weit dvon entfernt sind, hier noch einml ein kleiner Einblick:
Mehr3 Wiederholung des Bruchrechnens
3 Wiederholung des Bruchrechnens Ein Bruch entsteht, wenn ein Gnzes in mehrere gleiche Teile zerlegt wird. Jeder Bruch besteht us dem Zähler, der Zhl über dem Bruchstrich, und dem Nenner, der Zhl unter
MehrMünchner Volkshochschule. Planung. Tag 06
Plnung Tg 6 Prof.Dr. Nils Mhnke Mthemtischer Vorkurs Folie: 9 Themen Logik und Mengenlehre Zhlensysteme und Arithmetik Gleichungen und Ungleichungen Lin. Gleichungssysteme und spez. Anwendungen Geometrie
Mehr5 Gleichungen (1. Grades)
Mthemtik PM Gleichungen (. Grdes) Gleichungen (. Grdes). Einführung Betrchtet mn und (, Q) und vergleicht sie miteinnder, so git es Möglichkeiten:. > ist grösser ls. = ist gleich gross wie. < ist kleiner
Mehr+ 2 2 = 0 = 1 ± Die drei Nullstellen. x x x 2,3
Hilfsmittelfreier Teil. Beispielufgbe 1 zur Anlysis Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = x 3 + x x. Die zeigt den Grphen der Funktion f. (1) Berechnen Sie lle Nullstellen der Funktion
MehrASW Übung 9 Mathematik Prof.Dr.B.Grabowski Tel.:
ASW Üung 9 Mthemtik Prof.Dr.B.Growski e-mil: growski@htw-srlnd.de Tel.: 58- Aufge : Geen Sie den Rng der folgenden Mtrizen A E durch Drufschuen n! ( ) 5 8 E D C B A Aufge. Bestimmen Sie den Rng der folgenden
Mehr2. Das Rechnen mit ganzen Zahlen (Rechnen in )
. Ds Rechnen mit gnzen Zhlen (Rechnen in ).1 Addition und Subtrktion 5 + = 7 Summnd Summnd Summe 5 - = Minuend Subtrhend Differenz In Aussgen mit Vriblen lssen sich nur gleiche Vriblen ddieren bzw. subtrhieren.
Mehr7-1 Elementare Zahlentheorie. 1 a ist quadratischer Rest modulo p, 1 falls gilt a ist quadratischer Nichtrest modulo p, 0 p a. mod p, so ist.
7-1 Elementre Zhlentheorie 7 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz 70 Erinnerung Sei eine ungerde Primzhl, sei Z In 114 wurde ds Legendre-Symbol eingeführt: 1 ist udrtischer Rest modulo, 1 flls gilt ist udrtischer
Mehr4. Das quadratische Reziprozitätsgesetz.
4-1 Elementre Zhlentheorie 4 Ds udrtische Rezirozitätsgesetz Sei eine ungerde Primzhl, sei Z mit, 1 Frge: Wnn gibt es x Z mit x mod? Gibt es ein derrtiges x, so nennt mn einen udrtischen Rest modulo Legendre
Mehr3. Mathematik-Schularbeit für die 5. Klasse Autor: Gottfried Gurtner
3. Mthemtik-Schulrbeit für die 5. Klsse Autor: Gottfried Gurtner Arbeitszeit: 75 Minuten Lernstoff: Mthemtische Grundkompetenzen: AG.1 Einfche Terme und Formeln ufstellen, umformen und im Kontext deuten
MehrKapitel 7. Integralrechnung für Funktionen einer Variablen
Kpitel 7. Integrlrechnung für Funktionen einer Vriblen In diesem Kpitel sei stets D R, und I R ein Intervll. 7. Ds unbestimmte Integrl (Stmmfunktion) Es sei f : I R eine Funktion. Eine differenzierbre
MehrAnforderungsniveau Prüfungsteil Sachgebiet digitales Hilfsmittel erhöht B Analysis CAS
Gemeinsme Abiturufgbenpools der Länder Aufgbensmmlung Aufgbe für ds Fch Mthemtik Kurzbeschreibung Anforderungsniveu Prüfungsteil Schgebiet digitles Hilfsmittel erhöht B Anlysis CAS 1 Aufgbe 1 Gegeben ist
MehrBericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2011
Bericht zur Mthemtischen Zulssungsprüfung im Mi Heinz-Willi Goelden, Wolfgng Luf, Mrtin Pohl Am 4. Mi fnd die Mthemtische Zulssungsprüfung sttt. Die Prüfung bestnd us einer 9-minütigen Klusur, in der 5
MehrExponentialgleichungen 70 Exponentialgleichungen mit Ergebnissen und ausführlichen Lösungsweg
Übungen zum Kurs Eponentilgleichungen Eponentilgleichungen 70 Eponentilgleichungen mit Ergebnissen und usführlichen Lösungsweg 7.technisch verbesserte Auflge vom.09.007 (Sonderzeichen wurden teilweise
MehrGrundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele
Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für
MehrZum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2
Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes
MehrTeil 1: Rechenregeln aus der Mittelstufe in Physik (1.6.18)
Teil 1: Rechenregeln us der Mittelstufe in Physik (1.6.18) Es gibt einige Dinge, die beim Rechnen in Physik immer wieder ml gebrucht werden. Mnches dvon geht oft schief, weil die Rechenregeln flsch ngewendet
Mehr