Lineare Gleichungssysteme. Rätsel

Transkript

1 Kantonsschule Solothurn RYS SS13 Rätsel Tiere sind es, grosse, kleine, Dreissig Köpfe, siebzig Beine. Teils sind s Kröten, teils auch Enten, wenn wir doch die Anzahl kennten! Wieder Tiere, grosse, kleine, diesmal Gänse und auch Schweine. Siebzig Füsse zählen wir, Schweine hat es mehr, just vier! Käfer und ein Dutzend Spinnen Sind in einem Kasten drinnen. Käferbein hat s achtzehn mehr, rechne aus, es ist nicht schwer! Katzen frech am Ufer fauchen, Enten rasch ins Wasser tauchen. Vierzig Beine, achtzehn Tier, lös das Rätsel zum Pläsir. Zwanzig gleiche Tiere zart, welche sich am Wasser laben. Gleichviel schlanke Beine haben, wie die zehn der andern Art. Doch der Unterschied ist vier, zählst du je an einem Tier. Und jetzt sage mir geschwind, wie viel Bein es wirklich sind! 1

2 Bis jetzt haben wir nur Gleichungen mit einer Unbekannten angetroffen. Es ist aber auch möglich, dass eine Gleichung mehrere Unbekannte hat, z.b. oder 3 oder noch mehr. In allen derartigen Fällen spricht man von Gleichungen mit mehreren Unbekannten. Eine Lösung einer Gleichung mit mehreren Unbekannten kann natürlich nicht aus einer einzigen Zahl bestehen. Man muss vielmehr jede der auftretenden Unbekannten so durch eine Zahl ersetzen, dass die Gleichung erfüllt ist. Lösungen einer Gleichung mit zwei Unbekannten sind also Zahlenpaare, solche einer Gleichung mit drei Unbekannten Zahlentripel, usw. Übung Nr. 1: 1. Welche der folgenden Zahlenpaare sind Lösungen der Gleichung x - 3y + 1 = 0? (0 0), ( - 5), (4 3), (3 4), (0 1/3), (- 0,5 0), (0,5 0).. Wie lauten sämtliche aus nicht-negativen ganzen Zahlen bestehende Lösungen der Gleichung x + y + z = 1? Die Lösung einer Gleichung mit einer Unbekannten ist eindeutig. Haben wir eine Gleichung mit zwei Unbekannten, brauchen wir noch eine zweite Gleichung, um die Unbekannten eindeutig bestimmen zu können. Das heisst: Pro Unbekannte, brauchen wir eine Gleichung, damit die Lösung eindeutig sein könnte. Zwei oder mehr Gleichungen bilden ein System (Gleichungssystem). Um die Unbekannten eindeutig festzulegen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Natürlich ist es möglich, dass ein Gleichungssystem keine Lösung, oder aber mehrere Lösungen hat, nämlich unendlich viele. Übung Nr. : 1. Welche der Paare (6-4), (3 3), (3 1) sind Lösungen des Gleichungssystems: 5x + 3y = 18 6x 5y = 13. Fülle die leeren Stellen in den Tripeln ( ), ( 1.5), ( 1.3.4) so aus, dass die Tripel Lösungen der Gleichung 5x + 3y z 6 = 0 sind.

3 Kantonsschule Solothurn RYS SS13 Graphische Lösung eines Gleichungssystems: 4x + 4 = 4y 5y 10x = 5 1. Betrachte die beiden Gleichungen. Löse sie nach y auf. Um welche Art von Gleichungen (Funktionen) handelt es sich?. Stelle die beiden Funktionen graphisch dar. Überlege Dir, welches die Lösung beider Gleichungen/Funktionen ist. Übung Nr. : 1. Bestimme graphisch die Lösungen der folgenden Gleichungssysteme und mache durch Einsetzen die Probe: a) x y = 1 x + y = 3 x + y = x 3 4x = y + 5 c) 6 x 3 y 39 = 0. 3x + 4y 3 = 0. Wie müssen zwei Geraden zueinander stehen, um a) keinen Schnittpunkt, unendlich viele Schnittpunkte zu haben? 3

4 Algebraische Lösungsverfahren: I. Gleichsetzungsverfahren Man löst beide Gleichungen nach einer der beiden Unbekannten auf, danach kann man die Gleichungen einander gegenüberstellen: 15x + y = 16 3x 4y = 1 15x + y = 16 y = 16-15x 3x - 4y = 1 y = 1.5x - 6 Gleichsetzen: 16-15x = 1.5x - 6 x = 8 x in eine der beiden Gleichungen einsetzen: y = y = 3 L = {(8 3)} II. Einsetzungsverfahren Man löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und ersetzt in der anderen Gleichung diese Unbekannte durch den erhaltenen Term. 15x + y = 16 3x 4y = 1 15x + y = 16 y = 16-15x y in der zweiten Gleichung ersetzen: 3x - (16-15x) = 1 x = 8 x in die erste Gleichungen einsetzen: y = = 6 y = 3 L = {(8 3)} III. Additionsverfahren Man multipliziert die beiden Gleichungen mit Faktoren, die so gewählt werden, dass in den neuen Gleichungen die Koeffizienten bei einer der beiden Unbekannten sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden. Bei der nachfolgenden Addition der Gleichungen verschwindet diese Unbekannte (Reduktion einer Unbekannten). 15x + y = 16 3x 4y = 1 Erste Gleichung mit multiplizieren: 30x + 4y = 5 +(3x - 4y = 1) 33x = 64 x = 8 x in eine der beiden Gleichungen einsetzen: 3 8-4y = 1 y = 3 L = {(8 3)} 4

5 Kantonsschule Solothurn RYS SS13 Übung Nr. 3: 1. Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: a) x y = 9 x = 3y + 5 y = 3x 11 y = 13 5x. Löse mit dem Einsetzungsverfahren: a) 6x 7y = 88 x = 4 3x + 4y = 16 y = x 3. Löse mit dem Additionsverfahren: a) x + y = 6 x y = 8 8x 7y = 38 3x 7y = 3 4. Vermischte Aufgaben: a) x + y 4y + = 10 3 x + y 5 y = (x + 5)(y ) = (x + )(y 1) (x 4)(y + 7) = (x 3)(y + 4) 5. Wähle selbst ein Verfahren: a) ax by = ab cx by = bc x y + = 1 a + b a b x y a + b = a + b a b a b 6. Löse die (nicht-linearen) Gleichungssysteme: a) 5x 7x + y + 3y = 77 = 111 6x 9x + 7y 5y = 59 = Knacknüsse: = 17 x y a) 1 1 = 1 x y 3xy 7y = 5 5xy + 3y = 1 c) x y = x + y = 6 8. Stelle anhand des Textes zwei Gleichungen auf und löse sie mit dem geeignetsten Verfahren: a) Die Summe zweier Zahlen ist zehnmal so gross wie ihre Differenz und die Summe ihrer reziproken Werte zehnmal so gross wie das Produkt ihrer reziproken Werte. Ein Kapital wird zu 4% verzinst, ein anderes zu 5%. Die Summe der beiden Jahreszinsen beträgt Fr Wird nach einem Jahr jeder Zins zu seinem Kapital geschlagen, werden die beiden Kapitalien gleich gross. Wie gross waren sie am Anfang? 5

6 c) Ein Autofahrer legt eine 6 km lange Strecke in einer Stunde zurück. Auf dem Autobahnteilstück kann er eine mittlere Geschwindigkeit von 90 km/h einhalten, auf dem Rest der Strecke eine solche von 50 km/h. Wie lang ist das Autobahnteilstück? d) Eine Leiter ist an eine vertikale Wand gestellt. Schiebt man ihren Fuss auf dem horizontalen Boden um 1m gegen die Wand, so rutscht das andere Ende der Leiter um 4 dm nach oben. Zieht man statt dessen den Fuss um 1m von der Wand weg, so rutscht das andere Ende um 6 dm nach unten. Wie weit ist anfänglich der Leiterfuss von der Wand entfernt und das obere Ende vom Boden? Berechne ferner die Länge der Leiter. 9. Gib zu der Gleichung x 5y = 3 eine zweite an, so dass das entstehende Gleichungssystem a) keine Lösung, genau eine Lösung, c) unendlich viele Lösungen hat. Überprüfe deine Antworten graphisch! 10. Bestimme die Lösungsmenge L folgender Gleichungssysteme: x + y + z = 1 x 1 = 5z 4y a) x y z = 4z + x + 3y = 1 x + y z = 3 x 8z 6y = Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: x y + 4z = 1. x + y 3z = 1 Löse dieses System mit der zusätzlichen Bedingung: a) x = y y : z = 3 : 1. Zwei Ziffern bilden eine natürliche Zahl, die viermal so gross ist wie ihre Quersumme und um 9 kleiner als ihre Spiegelzahl. Bestimme die beiden Ziffern. 13.Die Mutter ist Jahre älter als die Tochter. Der Vater 7 Jahre älter als sein Sohn. Mutter und Tochter sind zusammen gleich alt wie der Vater. Der Vater, die Mutter und die Tochter zählen zusammen achtmal so viele Jahre wie der Sohn. Wie alt ist jeder? 14.Bestimme alle Lösungen (p,q), in denen sowohl p als auch q eine Primzahl ist: a) p + q = 99 p q = 67 c) p 5q = Die Fahrzeuge A, B und C legen dieselbe Strecke zurück. B ist um 6 km/h schneller und braucht 11 Minuten weniger als A. C ist um 4 km/h langsamer und braucht 9 Minuten mehr als A. Berechne t und v von A. 16.An einer Tombola kostet ein blaues Los Fr. 3.-, ein rotes, mit der vierfachen Gewinnchance, Fr Am Nachmittag werden für diese Lose Fr eingenommen. Am Abend werden 51 blaue Lose weniger verkauft, dafür aber 49 mehr von den roten. Damit ergaben sich an diesem Tag aus der Tombola Einnahmen von Fr Wie viele rote und blaue Lose wurden am Nachmittag verkauft? 6