2. Die Satzgruppe des Pythagoras

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2 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite von Rechnen mit reellen Zahlen a) Multiplizieren und Dividieren von reellen Zahlen + Es gilt: a b = a b mit ab R, 0 Beispiele: 18 = 36 = = = a a b = b mit a R + 0, b R + Man kann das 1. Rechengesetz auch von rechts nach links anwenden (teilweises Radizieren): Beispiel: 1 = 3 4 = 3 4 = 3 = 3 Merke: Unter dem Vereinfachen einer Wurzel versteht man folgendes: 1) Nenner rational machen und ) Radikand natürlich machen b) Addieren und Subtrahieren von reellen Zahlen Beispiel: 9+ 4 = = 3+ = 5 Allgemein: a + b a+ b a b a b mit ab R, W nbt/t17 1 Tf l Tm(000e>]TETQBT/T19 1 Tf

3 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 3 von 17. Die Satzgruppe des Pythagoras.1 Der Satz von Pythagoras In jedem rechtwinkligen Dreieck hat das Quadrat über der Hypotenuse den gleichen Flächeninhalt wie die Quadrate über den beiden Katheten zusammen: Es gilt: a + b = c

4 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 4 von Quadratische Funktionen und Gleichungen 3.1 Die binomischen Formeln a+ b = a + ab+ b Plusformel: ( ) a b = a ab+ b Minusformel: ( ) a+ b ( a b) = a b Plus-Minus-Formel: ( ) a+ b = ( a b) und Beachte: ( ) ( a b) ( b a) = und ( a b) n a n b n + + (n N

5 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 5 von Die Normalparabel Der Graph der Funktion Es gilt: D f = R; f ( x) + W f = R 0 x = heißt Normalparabel.

6 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 6 von 17. Schritt: geeignetes Ergänzen 3. Schritt: Vereinfachen y = ( x 3x + 15, 15, + 45, ) y = + y = ( x 15, ) +, 5 y = ( x 15, ) 4, 5 ( x 15, ), 5 4, 5 4. Schritt: Scheitel ablesen S(, 15/ 45, ) Merke: Ist eine quadratische Funktion in der faktorisierten Darstellung f ( x) = a( x x1)( x x) mit ax, 1, x R, a 0 angegeben, so kann man direkt die Nullstellen

7 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 7 von 17 Rechnerisches Lösen einer quadratischen Gleichung: a) mit dem Satz von Vieta Sind x 1 und x (mit x1, x R) Lösungen der quadratischen Gleichung gilt: x + x = b 1 x x = c 1 x bx c + + = 0 (d.h. a = 1 ), so Beispiel: x 4x+ 3= 0 Es gilt:

8 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 8 von Lineare Gleichungssysteme mit 3 Unbekannten Beispiel: I. 6x+ y 3z = 9 II. x+ y z = 3 III. 5x 4y 4z = 0 Analog zu den linearen Gleichungssystemen mit Unbekannten gibt es auch hier die drei bekannten Lösungsverfahren: 1. Einsetzungsverfahren. Gleichsetzungsverfahren und 3. Additionsverfahren [vgl. Grundwissen Mathematik 8. Klasse] 3.6 Gemeinsame Punkte von Funktionsgraphen Gemeinsame Punkte zweier Funktionsgraphen G f und Diese bestimmt man wie folgt: Gleichsetzen der Funktionsterme Lösen der dadurch entstandenen Gleichung G sind alle Punkte P(x/y) mit f ( x) = g( x). g Beispiel: f( x) = + und 1 x 1 4 gx ( ) = x 4 Gleichsetzen der Funktionsterme: Lösen der entstandenen Gleichung: + = 1 x 1 x 4 4 = 1 x x x 5 4 = x = + 4 => x 1 = ± /

9 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 9 von 17 4 Erweiterung des Potenzbegriffs 4.1 Die allgemeine Wurzel Unter n a (lies: n-te Wurzel aus a) versteht man für a 0 und n N \{ 1} diejenige nicht-negative reelle Zahl, deren n-te Potenz den Wert a hat. d.h. ( ) n n a = a Bezeichnungen: n heißt Wurzelexponent, a heißt Radikand Lösung von Gleichungen mit der n-ten Wurzel Die Gleichung n x = a (mit n N, a R) hat entweder zwei, eine oder keine Lösung: n gerade a) a > 0 es gibt zwei Lösungen: x1/ b) a < 0 es gibt keine Lösung c) a = 0 es gibt eine Lösung: x 1 = 0 n ungerade a) a 0 =± n a

10 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 10 von 17 5 Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck 5.1 Steigung und Gefälle der Tangens

11 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 11 von 17 Beachte: Schließt eine Gerade mit der x- Achse einen negativen Winkel ein, so ist sie fallend. Negativer Winkel bedeutet dabei, dass der Winkel im Uhrzeigersinn verläuft, also gegen den positiven Drehsinn! Mithilfe des Tangens kann man dann auch den Schnittwinkel zweier Geraden berechnen. Dieser ist definiert als der nichtstumpfe Winkel (d.h. 0 ϕ 90 ), den die Geraden miteinander einschließen. 5. Sinus und Kosinus 5.3 Sinus, Kosinus und Tangens am Einheitskreis Es gilt: ϕ tanϕ = sin cosϕ (sin ϕ)² + (cos ϕ)² = 1 sinϕ = cos( 90 ϕ) cosϕ = sin( 90 ϕ) ( 0 ϕ 90 )

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13 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 13 von 17 Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten gelten die Pfadregeln: 1. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm multipliziert.. Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man, in dem man die Wahrscheinlichkeiten der Pfade, die zu dem Ereignis gehören, addiert. Beispiele: a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint keinmal Zahl? P( keinmal Zahl ) = P(KKK) = = 1 8 b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheint genau zweimal Kopf? P( zweimal Kopf ) = P(KKZ) + P(KZK) + P(ZKK) = + + = Simulation von Zufallsexperimenten Viele Zufallsexperimente lassen sich durch so genannte Urnenmodelle nachahmen. Dabei verwendet man verschiedenfarbige, aber sonst nicht unterscheidbare Kugeln. Das Experiment besteht dann darin, dass man einige Male nacheinander zieht und die Farbe der Kugel notiert. Man unterscheidet zwei Möglichkeiten: Ziehen mit Zurücklegen Dabei ändert sich der Urneninhalt nicht Ziehen ohne Zurücklegen Dabei ändert sich der Urneninhalt bei jedem Zug. 7 Fortführung der Raumgeometrie 7.1 Das gerade Prisma Verschiebt man ein Vieleck im Raum, so entsteht ein Prisma. gerades fünfseitiges Prisma schiefes fünfseitiges Prisma

14 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 14 von 17 Beachte: Alle Seitenflächen des geraden Prismas sind Rechtecke. Der Abstand der Deckfläche von der Grundfläche heißt Höhe h des Prismas. Jedes Prisma hat genauso viele Seitenflächen wie die Grundseite Ecken hat. Alle Seitenflächen zusammen bilden die Mantelfläche eines Prismas. Die Oberfläche eines Prismas setzt sich aus der Mantelfläche, sowie der Grund- und der Deckfläche zusammen. Für Berechnungen am geraden Prisma gelten folgende Formeln: Oberflächeninhalt: Volumen: OPrisma = G + M = G + U h (U: Umfangslänge der Grundfläche) VPrisma = G h 7. Der gerade Kreiszylinder Wird als Grundfläche kein Vieleck, sondern ein Kreis verwendet, so entsteht ein gerader Kreiszylinder. Ist r der Grundkreisradius, h die Höhe und G der Grundflächeninhalt eines gerad h G r 7.3 Die Pyramide Verbindet man alle Ecken eines Vielecks mit einem beliebigen Punkt außerhalb des Vielecks, so entsteht eine Pyramide. Zur Bestimmung des Rauminhalts einer Pyramide benötigt man das Prinzip von Cavalieri: Körper, die auf jeder Höhe h flächengleiche Querschnitte besitzen, haben dasselbe Volumen.

15 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 15 von 17 Damit ergibt sich folgende Formel für die Berechnung des Volumens einer Pyramide: VPyramide 1 = G h Der gerade Kreiskegel Wird als Grundfläche kein Vieleck, sondern ein Kreis verwendet, so entsteht ein Kreiskegel. Bildet die Verbindungsstrecke zwischen der Spitze S und dem Mittelpunkt des Grundkreises ein Lot auf die Grundfläche, so nennt man den Kegel gerade. Spitze S Schneidet man bei einem geraden Kreiskegel den Mantel längs einer Mantellinie auf, so lässt er sich zu einem Kreissektor abrollen. Es gilt: h Mantellinie (Länge s) Volumen: r G

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17 Grundwissen Mathematik 9. Klasse Seite 17 von 17