F u n k t i o n e n Gleichungssysteme

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1 F u n k t i o n e n Gleichungssysteme Diese Skizze ist aus Leonardo da Vincis Tagebuch aus dem Jahre 149 und zeigt wie sehr sich Leonardo für Proportionen am Menschen interessierte. Ob er den Text von Vitrivius (römischer Architekt, 1. Jhd. BC) kannte ist nicht bekannt. Ferner ist natürlicherweise der Mittelpunkt des Körpers der Nabel. Liegt nämlich ein Mensch mit gespreizten Armen und Beinen auf dem Rücken, und setzt man die Zirkelspitze an der Stelle des Nabels ein und schlägt einen Kreis, dann werden von dem Kreis die Fingerspitzen beider Hände und die Zehenspitzen berührt. Ebenso, wie sich am Körper ein Kreis ergibt, wird sich auch die Figur eines Quadrats an ihm finden. Wenn man nämlich von den Fusssohlen bis zum Scheitel Mass nimmt und wendet dieses Mass auf die ausgestreckten Hände an, so wird sich die gleiche Breite und Höhe ergeben, wie bei Flächen, die nach dem Winkelmass quadratisch angelegt sind.

2 1. Einführung Im Skript Lineare Funktionen haben wir Preise für ADSL-Internet Anschlüsse studiert. Dabei hast du Funktionsgleichungen aufgestellt und die Funktionsgrafen gezeichnet. Betrachten wir zwei dieser Angebote noch einmal. Die Preise y berechnet sich aus dem Datenvolumen x bei diesen Angeboten wie folgt: Angebot A y = 0.4x Angebot B y = 0.x + 10 Aufgabe 1: Berechne noch einmal, für welche Datenmenge die beiden Angebote A und B gleich teuer sind. Zeichne den Punkt in der Figur ein. Aufgabe : Finde Werte für x und y, sodass beide Gleichungen erfüllt sind. Du musst also die Werte in den Gleichungen einsetzen können und die Gleichungen stimmen beide. I x + 5y = 0 II x 5y = 50 Aufgabe 3: Kannst du die Gleichungen I und II so umformen, dass du die zwei Gleichungen für die Angebote A und B erhältst? Definition: Das Objekt I x + 5y = 0 II x 5y = 50 nennen wir. Dieses System hat. x und y und. I und II. Da die Gleichungen sind, handelt es sich um ein Gleichungssystem. Das System sucht für die Unbekannten, sodass sie mehrere Bedingungen gleichzeitig erfüllen. Grafisch darge- stellt handelt es sich um zwei und wir suchen den... Aufgabe 4: Sie können bei zwei Firmen ein Auto mieten. Sie haben folgende Angebote: Firma A verrechnet 80 Fr Grundgebühr und 70 Rappen pro Kilometer. Firma B will nur 50 Rappen pro Kilometer, will jedoch 10 Fr Grundgebühr. Gib für jede Firma den Preis als Funktion der gefahrenen Kilometer an. Stelle die beiden Funktionen in einem Diagramm grafisch dar. Für wie viele Kilometer ist das Auto bei beiden Firmen gleich teuer? Was kostet es? Funktionen: Gleichungssysteme Seite (November 11)

3 Aufgabe 5: Löse diese Gleichungssysteme und zeichne die Funktionsgrafen dazu. I x y = 3 II 4x + y = 0 L = Das System hat.. Die Geraden.. I x y = 3 II x y = 4 L = Das System hat.. Die Geraden.. I x y = 3 II 4x y = 6 L = Das System hat.. Die Geraden.. Funktionen: Gleichungssysteme Seite 3 (November 11)

4 Lies die Aufgabe und versuche die darin enthaltenen Bedingungen als Gleichungen zu schreiben. Du findest zwei Gleichungen mit zwei unbekannten Grössen. Versuche diese zu lösen. Aufgabe 6: Gesucht sind zwei Zahlen x und y. Die Summe der beiden Zahlen beträgt 7.77, die Differenz Wie lauten die beiden Zahlen?. Lösungsmethoden Das Gleichsetzungsverfahren Lösungsidee Man löst beide Gleichungen nach einer der beiden Unbekannten auf, danach kann man die Gleichungen einander gegenüberstellen. Beispiel I II 6x 4y 1 (I) nach y auflösen: y =. (I ) (II) nach y auflösen: y =. (II ) Wir setzen nun die Gleichungen (I ) und (II ) gleich und finden so den Wert für x. x =.. Dieser Wert kann nun in (I ) oder (II ) eingesetzt werden. y =.. Aufgabe 7: Löse mit dem Gleichsetzungsverfahren: I x y = 9 II x = 3y + 5 I y = 3x 11 II y = 13 5x Funktionen: Gleichungssysteme Seite 4 (November 11)

5 Die Einsetzmethode Lösungsidee Wir lösen die erste Gleichung nach der Unbekannten x auf. Wir finden einen Term für x, den wir nun in der zweiten Gleichung einsetzen. Die zweite Gleichung kann nun gelöst werden. Beispiel I x3y19 II 3 3 Wir lösen die erste Gleichung (I) nach x auf. x =. (I ) Wir setzen diesen Term (I ) nun in der zweiten Gleichung (II) ein. Nun müssen wir diese Gleichung nach y auflösen. y =.. Wir können nun diesen Wert in der Gleichung (I ) einsetzen. x =.. Aufgabe 8: Löse mit dem Einsetzungsverfahren: I 6x 7y = 88 II x = 4 I 3x+ 4y = 16 II y = x Funktionen: Gleichungssysteme Seite 5 (November 11)

6 Additionsverfahren Lösungsidee Man multipliziert die beiden Gleichungen mit Faktoren, die so gewählt werden, dass in den neuen Gleichungen die Koeffizienten bei einer der beiden Unbekannten gleich sind. Anschliessend Addieren oder Subtrahieren wir die beiden Gleichungen und eine Unbekannte verschwindet. (Reduktion einer Unbekannten). Beispiel I 15xy 16 II 3x 4y 1 Wir multiplizieren die erste Gleichung mit und addieren die beiden Gleichungen: I + II Wir lösen diese Gleichung nach x auf. x =.. Wir setzen nun diesen Wert in eine der beiden Gleichungen (I) oder (II) ein: y =.. Aufgabe 9: Löse mit dem Additionsverfahren: I x + y = 6 II x y = 8 I 8x 7y = 38 II 3x 7y = 3 Funktionen: Gleichungssysteme Seite 6 (November 11)

7 Welches Verfahren ist geeignet? Aufgabe 10: Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren. x = 5y 1 x = 3y+ 0 4x = 1 4y 4x = 5y + 10 x+ y = 11x+ 16 x+ y = 3x y = 6 x y = x Aufgabe 11: Löse das Gleichungssystem mit der Einsetzmethode. 5x y = 4x y = 10 x = 5y 1 y = 3x 11x + 3y = 39 x 3y = 10 x + 11y = 57 x 3y = 14 Aufgabe 1: Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren. x+ y = x 5y = 6 4x 9y = 11 x y = 10 3x 5y = 1 x+ 8y = 3 10x + 11y + 5 = 0 1x + 13y + 7 = 0 Aufgabe 13: Wähle selber das beste Verfahren! x 4y = 1 x+ y = 15 x 5y = 9 x+ y = 16 x 4y = 0 5x + y = y = y+ 0 5x + y = 16 e) i) 3x + 50 = 6x + 5y y + 10 = 3x + y x = 5x 7y+ 9 y = 5x 7y+ 9 f) k) x 3 = y 10 x = y ( ) ( ) 3y+ 3 = x+ 7y 4x+ = 5x 3y g) 11y 6 = 9x 9x = x + 13y 10 h) 6x = x + y 41x + 10 x = y 6 Aufgabe 14: Nun hat es auch Parameter im Gleichungssystem! ax 4y = x+ 6y = w x + a y = 1 ax + y = 8 x 8y = 10 a x = 6 Aufgabe 15: Nun wird s noch schwieriger. Wählst Du jedoch das beste Verfahren, so geht es schnell! x+ y 4y + = 10 3 x+ y 5 y = ax by = ab cx by = bc x cy = 1 g) x+ y = c y = x x+ y = 6a + = 1 a+ b a b a + b = a+ b a b a b e) f) ax + by = c y = mx + = c+ d a b = c d a b Funktionen: Gleichungssysteme Seite 7 (November 11)

8 3. Nicht-lineare Gleichungssysteme Manchmal sind Gleichungssysteme nicht linear. Im Allgemeinen können wir diese nicht lösen. Es gibt jedoch Fälle, wo wir die Lösungen finden können: Scheinbar nicht-lineare Gleichungssysteme Das folgende Gleichungssystem ist nicht-linear: I x4 yx 16 II 4x 3y 16x 1 Durch Ausmultiplizieren und Vereinfachen der beiden Gleichungen (I) und (II) finden wir: I II I II Dieses System ist linear und wir können die Lösung finden: L = {( )} Solche Gleichungssysteme stellen kein neues Problem dar, da sie sich auf lineare Gleichungssysteme reduzieren lassen. Aufgabe 16: Vereinfache die Gleichungen zuerst: I (x+ 5)(y ) = (x+ )(y 1) II (x 4)(y + 7) = (x 3)(y + 4) x 4 = 1 I x y = II y x I II 1 = x + 5 3y = 4x 3 6y 1 I II x+ 30 y+ 1 = x+ 15 y x 17 x+ 7 = y 3 y 9 Funktionen: Gleichungssysteme Seite 8 (November 11)

9 Echte, nicht lineare Gleichungssysteme Das folgende Gleichungssystem kann nicht auf ein lineares System reduziert werden: I xy0 II 8 Im Allgemeinen können wir solche Gleichungssysteme nicht lösen. Für dieses System hier im speziellen finden wir jedoch eine Lösung. Da das Produkt x y = 0, gilt: x = oder y = Aus der Gleichung (II) folgt für die beiden Fälle: y = oder x = Die Lösungsmenge ist also: L = {( ),( )} Aufgabe 17: Diese Gleichungssysteme sind nicht linear. Du kannst sie manchmal mit diesem Trick oder in anderen Fällen einfach durch das Einsetzverfahren lösen. I xy0 II 0 I x y 1 0 II 0 I 1 + = II x+ y = 8 I 149 II 40 e) I 3 II x4y 0 f) I 3 II x4y0 g) I x y = II x+ y = 6 h) I x 1 x y 16 y II yx 1 Funktionen: Gleichungssysteme Seite 9 (November 11)

10 Linearisierung durch Substitution In einigen Spezialfällen können wir auch für nicht-lineare Gleichungssysteme Lösungen finden. Gewisse Systeme lassen sich durch Substitution auf ein lineares System zurückführen. Das Wort Substitution bedeutet ersetzen. Wir ersetzen also bestimme Ausdrücke durch neue Variablen: I 9 II 3 11 Wir ersetzen (substituieren) die beiden Unbekannten durch X = x und Y = y I II Dieses Gleichungssystem ist in X und Y linear. Wir berechnen also X und Y: X =.. Y =.. Für die beiden ursprünglichen Unbekannten x und y gilt also: x =.. y =.. Die Lösungsmenge ist: L = {( ), ( ),( ),( )} Aufgabe 18: Löse das Gleichungssystem: 5x + y = 77 7x + 3y = 111 6x + 7y = 59 9x 5y = 11 + = x 3y 4z 11 5x y 7z = 11 + = 3x 8y z 11 Aufgabe 19: Löse mithilfe einer geeigneten Substitution: = 17 3xy 7y = xy + 3y = 1 = 1 + = 10 y 8 x 4 = 4 y 8 x 4 Funktionen: Gleichungssysteme Seite 10 (November 11)

11 4. Textaufgaben Stelle anhand des Textes zwei Gleichungen auf und löse sie mit dem besten geeigneten Verfahren: Aufgabe 0: Die Summe zweier Zahlen ist zehnmal so gross wie ihre Differenz und die Summe ihrer reziproken Werte zehnmal so gross wie das Produkt ihrer reziproken Werte. Aufgabe 1: Gesucht sind Zähler und Nenner eines Bruches. Wenn man bei Zähler und Nenner 5 subtrahiert, dann ergibt die Division von Zähler durch Nenner 0.5. Wenn man bei Zähler und Nenner 11 addiert, dann ergibt die Division von Zähler durch Nenner 0.9. Wie lauten Zähler und Nenner? Aufgabe : Ein Kapital wird zu 4% verzinst, ein anderes zu 5%. Die Summe der beiden Jahreszinsen beträgt Fr Wird nach einem Jahr jeder Zins zu seinem Kapital geschlagen, werden die beiden Kapitalien gleich gross. Wie gross waren sie am Anfang? Aufgabe 3: Ein Autofahrer legt eine 6 km lange Strecke in einer Stunde zurück. Auf dem Autobahnteilstück kann er eine mittlere Geschwindigkeit von 90 km/h einhalten, auf dem Rest der Strecke eine solche von 50 km/h. Wie lang ist das Autobahnteilstück? Aufgabe 4: Eine Leiter ist an eine vertikale Wand gestellt. Schiebt man ihren Fuss auf dem horizontalen Boden um 1 m gegen die Wand, so rutscht das andere Ende der Leiter um 0.4 m nach oben. Zieht man stattdessen den Fuss um 1 m von der Wand weg, so rutscht das andere Ende um 0.6 m nach unten. Wie weit ist anfänglich der Leiterfuss von der Wand entfernt und das obere Ende vom Boden? Berechne ferner die Länge der Leiter. 5. Gleichungssysteme mit mehr als zwei Unbekannten Die Lösung einer Gleichung mit einer Unbekannten ist eindeutig. Wir haben nun auch gelernt mit zwei Unbekannten umzugehen. Damit die Lösung eindeutig ist, brauchen wir dazu zwei Gleichungen. Im Allgemeinen gilt: Satz: Pro Unbekannte, brauchen wir Gleichung, damit die Lösung eindeutig ist. Wenn wir ein lineares Gleichungssystem mit mehr als zwei Unbekannten haben, so können so können wir auch dieses lösen. Das Prinzip ist genau gleich wie oben. Aufgabe 5: Löse diese Gleichungssysteme: 3x + 4y 16z = 0 5x 8y + 10z = 0 x+ y+ z = 33 3x 8y + 7z = 6 x + 6y + 7z = 5 5y 3z = 19 x + 3y + 4z = 49 3x + 4y + 5z = 64 4x + 5y + 5z = 79 x+ y = 8 y+ z = 14 z+ w = w x = 10 Funktionen: Gleichungssysteme Seite 11 (November 11)

12 6. Die Determinante Definition: Die Determinante von 4 quadratisch angeordneten Zahlen ist: a b a b det = = a1 b a b1 a b a b Satz: Mithilfe der Determinante können wir die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems ax+ by= c ax+ by= c direkt bestimmen. Die Determinante dieses Systems ist D = Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, falls D 0 Es hat unendlich viele Lösungen oder keine Lösung, falls D = 0 Beispiele Wir betrachten dieses Gleichungssystem: x + 7y = 5 3x 8y = Bestimme die Determinante und vergleiche sie mit Null. a a b 1 1 b = ( 8) 3 7 = 16 1 = 37 0 Das Gleichungssystem hat also genau eine Lösung! Übungen Aufgabe 6: Bestimme diese Determinanten. 6 7? 8 9 = =? =? Aufgabe 7: Wie viele Lösungen haben folgende Gleichungssysteme? y = x+ 9x 4y = 1 y = 3x+ y+ 4= x y = x 11x 5y = 0 Funktionen: Gleichungssysteme Seite 1 (November 11)

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