1 Ägyptische Brüche. 1.1 Aufgabenstellung ÄGYPTISCHE BRÜCHE

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Marielies Hoch
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1 4 ÄGYPTISCHE BRÜCHE Ägytische Brüche In einer arithmetischen Abhandlung von Al-Hwarizmi steht folgende Geschichte: Als der alte Scheich im Sterben lag, rief er seine drei Söhne zu sich und sagte: Meine Tage sind gezählt und ich habe euch kommen lassen, um meinen letzten Willen kund zu tun. Das Wertvollste, was ich besitze, meine 7 Kamele, sollen nach meinem Tode wie folgt aufgeteilt werden. Du Achmed, du bist der Älteste, deshalb erhältst du die Hälfte der Herde. Du Mohamed, mein zweiter Sohn, erhältst ein Drittel der Herde und du Ali, mein jüngster Sohn, sollst ein Neuntel der Herde erhalten. Kurz darauf verstarb der alte Scheich, und da ging auch schon das Gezanke los. Wie sollten die drei Brüder auch eine Herde von 7 Kamelen durch 2, 3 oder 9 teilen können? Das Ganze schien in einer richtigen Rauferei zu enden, als lötzlich eine Staubwolke am Horizont sichtbar wurde. Ein Derwisch auf einem Kamel näherte sich Ihnen. Hört meine Worte! Ich komme aus der heiligen Stadt Mekka, wo mir eine innere Stimme sagte, dass ich zu euch eilen solle, weil ihr meine Hilfe braucht. Nehmt mein Kamel und teilt jetzt brüderlich! Jetzt bestand die Herde aus 8 Kamelen und endlich konnte man nach dem letzten Willen des alten Scheichs teilen. Achmed, der Älteste, erhielt die Hälfte der Herde, also 9 Kamele (8:2 9, Mohamed, der Zweite, erhielt ein Drittel, das waren 6 Kamele (8:36 und Ali, der Jüngste, erhielt zwei, was einem Neuntel der Herde entsrach (8:92. So und jetzt kommt das große Wunder: 9 lus 6 lus 2 7. Siehe da, ein Kamel blieb übrig. Die Brüder bedankten sich beim Derwisch und gaben ihm das Kamel zurück, und dieser ritt wieder nach Mekka zurück. Der Grund für das Wunder ist natürlich, daß sich die Anteile nicht zu addieren. Es ist eben nicht einfach, Stammbrüche zu addieren und noch schwieriger, gegebene Zahlen (hier war es in die Summe von Stammbrüchen zu zerlegen. Da die alten Ägyter nur Stammbrüche kannten (daher werden Stammbrüche auch ägytische Brüche genannt, kann man sich vorstellen, wie schwer sie es beim Rechnen hatten (aber keine Überheblichkeit: Das Zerlegen großer Zahlen in Primfaktoren war im römischen Zahlensystem auch kein Freude.. Aufgabenstellung Es ist in die Summe von n Stammbrüchen a a 2... a n mit a a 2... a n zu zerlegen. Für die ersten n kann man die Lösungen durch systematisches Probieren erhalten. n : Es gibt eine Möglichkeit:. n 2: Es gibt eine Möglichkeit: 2 2. n 3: Es gibt drei Möglichkeiten:

2 . Aufgabenstellung Ab n 4 muß man aufassen, daß man keine Möglichkeit vergißt. Dazu ist es sinnvoll, in der Gleichung a a 2 a 3 a 4 die möglichen Bereiche für die a i abzuschätzen. Es ist klar, daß stets a 2 gilt. Wegen a a 2 a 3 a 4 kann a höchstens so groß werden, wie die anderen a i. In diesem Fall ist das a i 4. Es gilt also 2 a 4. Ausgehend von dieser Abschätzung kann man a 2 abschätzen, usw. Schließlich erhält man folgende 4 Möglichkeiten: a a 2 a 3 a 4 a a 2 a 3 a Im Fall n gibt es 46 Möglichkeiten, die man sinnvollerweise aber mit einem Comuter ermittelt. a a 2 a 3 a 4 a a a 2 a 3 a 4 a a a 2 a 3 a 4 a a a 2 a 3 a 4 a

3 6 ÄGYPTISCHE BRÜCHE Man sieht, daß die Zahl der Möglichkeiten mit n schnell wächst. Die Aufgabe, alle Lösungen zu finden, ist also nicht sehr sinnvoll. Aber man kann sich fragen, wieviele Lösungen es in Abhängigkeit von n gibt. Dieses Problem ist bis jetzt ungelöst. Eine weitere sinnvolle Frage ist, ob man für beliebiges n wenigstens eine Lösung finden kann. Oder, die Frage weiter eingeschränkt: Angenommen, man hat eine Lösung mit n Stammbrüchen gefunden. a a 2... a n Kann man hieraus eine Lösung mit n Stammbrüchen konstruieren? Erhöht man den Nenner von a n um, erhält man eine Zahl, die ein wenig kleiner ist als : > a a 2... a n Fall der Rest zu, also (... a a 2 a n stets ein Stammbruch ist, hätte man eine Möglichkeit gefunden, aus einer beliebigen Lösung mit n Stammbrüchen eine mit n Stammbrüchen zu konstruieren. Das ist tatsächlich der Fall. Dazu ein aar Beisiele, ausgehend von der Zerlegung 2 2 ( 2 3 ( ( ( ( ( Dabei fällt auf, daß sich die Nenner einfach berechnen lassen. Es sei b 2 und b n b b 2 b n. Das ergibt b 2 b 2 b 3 b 3 b b b 4 b b 2 b Als universelle Zerlegung kann man also b b 2... b n b n (

4 .2 Aufgabenstellung 2 7 vermuten. Das läßt sich mit vollständiger Induktion beweisen (der Anfang stimmt: Angenommen ( ist richtig. Setzt man X... b b 2 b n b n b n muß also X gezeigt werden. Es gilt unter Benutzung der Induktionsvoraussetzung X... b b 2 b n b n b n b n b n b n b n (b n b n b n (b b 2 b n b b 2 b n b n.2 Aufgabenstellung 2 Eine weiter Aufgabe im Zusammenhang mit ägytischen Brüchen ist folgende: Welche gebrochenen Zahlen mit < q sind als Summe von n Stammbrüchen darstellbar? q Diese Frage ist natürlich sofort zu beantworten: Jede Zahl ist als Summe von Brüchen q q darstellbar. Ist eine Zahl als Summe von 2 Stammbrüchen darstellbar q a b, so gilt auch q a 2b 2b. Das ist eine allgemeine Eigenschaft. Läßt sich eine Zahl als Summe von n Stammbrüchen darstellen, dann sicher auch als Summe von mehr als n Stammbrüchen. Die interessante Aufgabe ist also: Was ist für eine gegebene rationale Zahl die kleinste Zerlegung in eine Summe von Stammbrüchen?.2. Der Fall n Das sind genau die Zahlen der Form q..2.2 Der Fall n 2 Alle Zahlen der Form 2 q 2 q q q sind wegen als Summe von 2 Stammbrüchen darstellbar. Aber es gibt viele Zahlen, die sich so nicht darstellen lassen. Die ersten (gezählt nach Summe Zähler Nenner 30 sind 4, 3,, 6, 3,, 4,, 6, 4, 0, 3, , 0,, 7,, 6,, 2, 7,,, 0,, 3,,, 3, 4, 2, 3, ,,

5 8 ÄGYPTISCHE BRÜCHE.2.3 Der Fall n 3 Alle Zahlen der Form 3 q sind wegen 3 q q q q als Summe von 3 Stammbrüchen darstellbar. Es gibt nur noch wenige Zahlen, die sich nicht so darstellen lassen. Die ersten (gezählt nach 8 Summe Zähler Nenner 30 sind:, 0, 8, 2, 3, Der Fall n 4 Es gibt kaum noch Zahlen, die sich nicht so darstellen lassen. Die ersten (gezählt nach Summe Zähler Nenner 0 sind: 6, 2, Es gibt aber einige mit wenigen Darstellungsmöglichkeiten: Im allgemeinen ist ungelöst, wieviele Stammbrüche man für eine gegebene Zahl mindestens braucht. Aber es gibt einige Vermutungen: Erdös-Straus Vermutung: Für alle natürlichen n gibt es natürliche Zahlen a, b und c mit 4 n a b c Sierinski Vermutung: Für alle natürlichen n gibt es natürliche Zahlen a, b und c mit n a b c Es scheint, daß sich Zahlen der Form schlecht darstellen lassen. und 2, wobei eine Primzahl ist, besonders

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