Lagemaße Übung. Zentrale Methodenlehre, Europa Universität - Flensburg

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1 Lagemaße Übung M O D U S, M E D I A N, M I T T E L W E R T, M O D A L K L A S S E, M E D I A N, K L A S S E, I N T E R P O L A T I O N D E R M E D I A N, K L A S S E M I T T E Zentrale Methodenlehre, Europa Universität - Flensburg

2 Stichprobe: abstrakte Struktur 2 Man könnte sich eine Stichprobe als einen Schrank mit Schubladen vorstellen, dessen Inhalt nur einen Wert besitzt: Ausprägung in Position bzw. Schublade 7 Position n x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x n n Position 1 Schrank Komponenten: n Positionen bzw. Schubladen bzw. Stellen: 1, 2,.., n X i : Ausprägung in der Position bzw. Schublade i Stichprobenumfang

3 Lagemaße: Modus 3 Modus der Stichprobe (D): Die häufigste Ausprägung eines Merkmals. Diese Frage wurde 20 Schülern gestellt, es gab hierauf folgende Antworten: x 1 x 2 Quelle: Bundeszentrale für politische Bildung; Projekt: Mobbing bei uns nicht!? f 5 = 10 D = 5, das heißt: die häufigste Antwort der befragten Schüler/- innen war Nein, auf gar keinen Fall.

4 Lagemaße: Median 4 Median der Stichprobe ( x ): Die Ausprägung eines Merkmals, die genau in der Mitte liegt. Wichtig: Um den Median zu bestimmen, muss die Stichprobe nach Größe geordnet werden. Min 50% Max 0% 50% x 100% Symmetrische Verteilung Min 50% Max 0% 50% x 100% Linkssteile Verteilung Min 50% Max 0% 50% x 100% Rechtssteile Verteilung

5 Lagemaße: Median Median mit Häufigkeitstabellen: 5 USA: GSS 2010 Mit P i : 50% der Daten überschritten x = Moderate Mit F i : n ist ungerade: x = X (n+1)/2 x = X (1973+1)/2 = X 987 =?? Stelle 987 wird überschritten x = X 987 = Moderate n h i f i H i F i

6 Lagemaße: Mittelwert 6 Mittelwert der Stichprobe mit Häufigkeitstabellen: Man hat eine Stichprobe mit Umfang n und k verschiedenen Ausprägungen: i=1,2,.,k. Mittelwert mit absoluter Häufigkeit (f i ): Mittelwert mit relativer Häufigkeit (p i ): k i=1 x = n k x = i=1 f i i p i i Mit f i : x= i=1 6 Mit p i : 20 f i i = = = 3 6 x= i=1 p i i=0.15*1+0.35*2+0.15*3+0.1*4+0.2*5+0.05*6 x= 3

7 Lagemaße Zusammenfassung: Lagemaße für die verschiedenen Skalenniveaus 7 Nominal Ordinal D x x Quantitativ

8 Lagemaße: Verhältnis zueinander Symmetrische Verteilung 8 Größte Häufigkeit 50% (Symmetrie) x = D = x Ausreißer neutralisieren sich! Eine Häufigkeitsverteilung ist symmetrisch, wenn: D = x = x

9 Lagemaße: Verhältnis zueinander Linkssteile Verteilung 9 Größte Häufigkeit Ausreißer D x In Richtung Ausreißer verzerrt x Eine Häufigkeitsverteilung tendiert dazu, linkssteil zu sein, wenn D < x < x Aber auch, wenn D = x < x D < x = x

10 Lagemaße: Verhältnis zueinander 10 Rechtssteile Verteilung Größte Häufigkeit Ausreißer x In Richtung Ausreißer verzerrt x D Eine Häufigkeitsverteilung tendiert dazu, rechtssteil zu sein, wenn x < x < D Aber auch, wenn x = x < D x < x = D

11 Lagemaße Aufgabe 1 Aufgabe 1: Die Deutsch-Noten von 20 Schülern der Klasse 4.1 und Klasse 4.2: 11 Berechnen Sie jeweils Mittelwert und Median Formulieren Sie jeweils einen Ergebnissatz ohne statistische Begriffe Vergleichen Sie die Klassen Lösung: Als erstes werden die Häufigkeitstabellen für beide Klassen erstellt. So ordnen wir die Stichproben effizient ein:

12 Lagemaße Aufgabe 1 12 Aufgabe 1: Lagemaße der Klasse 4.1: Für den Median - (n=20) - Mit F i : D Klasse4.1 = 1 Häufigste Note Größte Häufigkeit x = (x n/2 + x n/2 +1 ) 2 = (x 10 + x 11 ) 2 Von Position 9 bis Position 11 gibt es eine 3. Also x 10 =3 und x 11 =3 (x x Klasse4.1 = 10 + x 11 ) 2 = (3 + 3) 2 = 3 Für den Mittelwert - Mit f i : x Klasse4.1 = i= f i i = = = 3,2 Also: Modus: Die häufigste Note in Klasse 4.1 ist 1. Median: 50% der Schüler in Klasse 4.1 haben die Note 3 oder besser/schlechter. Mittelwert: Die durchschnittliche Note der Klasse 4.1 ist 3,2.

13 Lagemaße Aufgabe 1 13 Aufgabe 1: Lagemaße der Klasse 4.2: Für den Median - (n=20) - Mit P i : 50% wird hier überschrittet x Klasse4.2 = 4 Für den Mittelwert - Mit f i : x Klasse4.2 = i= f i i = = = 3,85 Häufigste Note D Klasse4.2 = 5 Größte Häufigkeit Also: Modus: Die häufigste Note in Klasse 4.2 ist 5. Median: 50% der Schüler in Klasse 4.2 haben die Note 4 oder besser/schlechter. Mittelwert: Die durchschnittliche Note der Klasse 4.2 ist 3,85.

14 Lagemaße Aufgabe 1 Aufgabe 1: Vergleich der Klassen 4.1 und 4.2: 14 D 1 5 x 3 4 x 3,2 3,85 Klasse 4.1 ist entsprechend aller drei Lagemaße besser als Klasse 4.2. Klasse 4.1 hat z.b. eine bessere durchschnittliche Note, und Klasse 4.2 hat am häufigsten Schüler/-innen, die nicht bestanden haben. Der Median ist auch in Klasse 4.1 besser. Welche Verteilungsformen haben die zwei Klassen? D Klasse 4. 1 < x Klasse4.1 < Linkssteil. x Klasse4.1 Die Verteilungsform der Noten der Klasse 4.1 ist laut Folie 9 x Klasse 4.2 < x Klasse4.2 < D Klasse4.2 Die Verteilungsform der Noten der Klasse 4.2 ist laut Folie 10 Rechtssteil.

15 Lagemaße Aufgabe 2 15 Lesekompetenz wird als ordinal behandelt. Lagemaße: Modal Klasse und Median Klasse: Größte Häufigkeit Überschreitet die Position Median Klasse Modal Klasse Für den Median: n=32416 (gerade) Wir suchen in Position n/2= 16208

16 Lagemaße Aufgabe 2: Mittelwert 16 Lesekompetenz wird als Intervall behandelt. Lagemaße: Modus, Median und Mittelwert. Addiert, um alle Untergrenzen und Obergrenzen zu erhalten M 1 = ( ) Damit haben wir folgendes: D = 525 Punkte x = 475 Punkte n x = M 5 = ( ) 2 f i M i n = = Punkte f i M i

17 Lagemaße Aufgabe 2: Mittelwert 17 Die Verhältnis der Lagemaße zueinander ist nur eine empirische Betrachtung es passt ziemlich oft, aber es könnte sein, dass manchmal keiner der Fälle vorgekommen ist; in diesen Fällen würde es helfen, ein Histogramm der Daten zu zeichnen, um die Verteilungsform zu erkennen. Zum Beispiel in Aufgabe 2: Welche Verteilungsform hat das Merkmal Lesekompetenzpunkte? D = 525 Punkte x = 475 Punkte x < x < D x = Punkte In diesem Beispiel haben die Lagemaße des Merkmals keine der Verhältnisse zueinander, die die verschiedenen Verteilungsformen erkennen lassen. Das heißt, man kann mit Hilfe der Lagemaße keine eindeutige Verteilungsform erkennen. Man könnte aber die Vermutung haben, dass die Verteilung wahrscheinlich rechtssteil ist, weil D das größte Lagemaße ist. Um sicher zu sein, könnte man das Histogramm der Daten zeichnen oder später (Streuungsmaße Vorlesung) ein Boxplot erstellen.

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