Aufgabensammlung Grundlagen der Finanzmathematik

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1 Aufgabensammlung Grundlagen der Finanzmathematik Marco Papatrifon Zi.2321 Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Universität Augsburg

2 1 Zinsrechnung Aufgabe 1 Fred überweist 6000 auf ein Sparkonto. Über welchen Betrag kann er in zwei Jahren und 6 Monaten verfügen, wenn das Kapital zu einem Zinssatz von,5 % p.a. angelegt werden kann a) bei einfacher Verzinsung, b) bei zinseszinslicher Verzinsung, sowie c) bei gemischter Verzinsung? Aufgabe 2 Herr Rossi möchte in einiger Zeit einmal mit einem Kreuzfahrtschiff auf Weltreise gehen. Die Reise kostet Wie lange muss Herr Rossi seine bereits angesparten 8000 anlegen, wenn seine Hausbank ihm zu einem Zinssatz von 8 % p.a. bei a) einfacher Verzinsung, b) rein zinseszinslicher Verzinsung anbietet? Da ihm unter diesen Konditionen die Dauer bis zur möglichen Erfüllung dieses Reisewunsches zu lange erscheint, beschließt er, sich auf die Suche nach Alternativen zu begeben: c) Welchen Zinssatz bei jährlicher Verzinsung muß er von einer Bank angeboten bekommen, um bei zinseszinslicher Verzinsung nur genau vier Jahre warten zu müssen? d) Welchen zusätzlichen Betrag müßte seine Tante ihm heute schenken, um bei Zinseszinsen in Höhe von 6 % p.a. in genau zwei Jahren die gewünschten zu erzielen? Aufgabe 3 Sarah möchte 2000 für ein halbes Jahr anlegen. Dabei stehen ihr folgende zwei Möglichkeiten zur Auswahl: (1) Anlage des Geldes zu 10 % einfachen Zinsen, und (2) Anlage zu 10 % Zinseszins. a) Für welche der beiden Möglichkeiten sollte sie sich entscheiden? b) Sollte Sarah ihre Entscheidung ändern, wenn sie das Geld für eine längere Zeit, namentlich für eineinhalb Jahre, anlegen möchte? Grundlagen der Finanzmathematik 1

3 Aufgabe Paula möchte 200 innerhalb von vier Jahren und sechs Monaten auf das Zweieinhalbfache anwachsen lassen. Welchen Zinssatz p.a. muss sie mit ihrer Bank aushandeln bei a) einfachen Zinsen, b) rein zinseszinslicher Verzinsung? c) Ermitteln Sie mithilfe des Newton-Verfahrens (mit ɛ = 0, 1) näherungsweise denjenigen Prozentzinssatz, der bei gemischter Verzinsung vorliegt. Aufgabe 5 Ein zinseszinslich angelegtes Kapital hat sich in 10 Jahren verdoppelt. In der ersten Hälfte der Laufzeit betrug der Zinssatz % p.a. Wie hoch war der Zinssatz in der zweiten Hälfte? Aufgabe 6 Welches Endkapital besitzt jemand, der zinseszinslich für drei Jahre anlegt, wenn die Verzinsung unterjährig zu a) 6 % pro Halbjahr, b) 3 % pro Quartal, c) 1 % pro Monat erfolgt? d) (I) Welches Endkapital ergibt sich bei einer stetigen Verzinsung zu einem nominellen Jahreszinsfuß in Höhe von 12 %? (II) Ermitteln Sie den effektiven Jahreszinssatz dieser stetigen Verzinsung. Aufgabe 7 Welchen nominellen Jahreszinssatz muß man verlangen, wenn sich ein Kapital bei stetiger Verzinsung innerhalb von 20 Jahren verdreifachen soll? Aufgabe entwickelten sich nach einer Anlagedauer von drei Jahren auf 200. Über die Verzinsung sei lediglich bekannt, dass die angefallenen Zinsen dem zinstragenden Kapital vierteljährlich zugeschlagen wurden. Ermitteln Sie den a) nominellen Jahreszinssatz, Grundlagen der Finanzmathematik 2

4 b) relativen Periodenzinssatz, c) effektiven Jahreszinssatz. Aufgabe 9 (Klausuraufgabe SS 2002) Student K. Toffel überzieht sein Girokonto und hat am einen Kontostand in Höhe von 1 500,. Da sein Dispositionskredit somit erschöpft ist, beachtet er das Konto vier Jahre lang nicht und findet am einen Kontostand von 2 07, vor. Das Konto wird vierteljährlich (zinseszinslich) verzinst. a) Wie hoch ist sein nomineller (Jahres )Zins? b) Um ihn zum Bezahlen zu bewegen, beschließt die Bank ab dem einen nominellen Überziehungszins von 13% p.a. zu verlangen und diesen jährlich um einen Prozentpunkt zu erhöhen. Welchen Kontostand hätte demzufolge K. Toffel am bei vierteljährlicher Verzinsung? Lösungen Aufgabe 1: a) K 2,5 = 6000 (1 + 2, 5 0, 05) = 6675 b) K 2,5 = , 05 2,5 = 6697, , 95. c) K 2,5 = 60001, 05 2(1+0, 50, 05) = 6699, , 57. Aufgabe 2: a) n = 1 0,08 ( ) = 6, 25, also 6 Jahre und 3 Monate. b) n = ln1,5 ln1,08 = 5, , 268, also 5 Jahre, 3 Monate und ca. 6 Tage. c) i = 1, 5 1 = 0, , 1067 also p 10, 67 % p.a.. d) Für den gesuchten Betrag (= B) muß gelten: K n = K 2 = ( B) 1, 06 2 = B = , = 2679, , 96. Aufgabe 3: a) bei Möglichkeit (1) beträgt K 0,5 = 2000 (1 + 0, 5 0, 1) = 2100,während sich bei Möglichkeit (2) K 0,5 = , 1 0,5 = 2097, 62 ergibt. Da (1) eine höhere Verzinsung erbringt, sollte sich Sarah für diese Alternative entscheiden. b) Für n = 1, 5 ergibt Möglichkeit (1): K 1,5 = 2000 (1 + 1, 5 0, 1) = Dagegen Möglichkeit (2): K 1,5 = , 1 1,5 = 2307, 38. Folglich sollte Sarah ihre Entscheidung ändern. Aufgabe : a) i = 1,5 ( ) = 0, 33, b) i =, = 0, , 2258 c) f(i) = (1+i) (1+0, 5i) f (i) = 800(1+i) 3 (1+0, 5i)+0, 5200(1+i) = 100(1 + i) 3 [9 + 5i] Newton-Verfahren 1.Start: Startwert: (z.b.) i o = 0, 2258 (vgl. b)), f (0, 2258) = 1865, 63 0 (Bedingung erfüllt) Grundlagen der Finanzmathematik 3

5 2.Iteration: i 1 = 0, 2258 f(0,2258) 2,533 f (0,2258) = 0, 2258 Stop. i = 0, 22 also p = 22, %. 1865,63 = 0, 22, f(0, 22) = 0, 07 < ɛ Aufgabe 5: a) K 10 = 2 K 0 = K 5 (1 + i) 5 = K 0 1, 0 5 (1 + i) 5 2 = 1, (1 + i) 5 i = 0, , 105, also 10, 5 % p.a. Aufgabe 6: n = 3,K 0 = a) m = 2, N = 2 3 = 6, i = 0, 06 K N = K 6 = (1 + 0, 06) 6 = 70925, 96, b) m =, N = 12, i = 0, 03, K N = K 12 = (1, 03) 12 = 71288, 0, c) K N = K 36 = (1, 01) 36 = 71538,. d) (I): i = 0, 12,K n = e in = e 0,123 = 71666, 7. d) (II): Für i eff muß hier gelten: K 1 = K 0 (1 + i eff ) 1 = K 0 e i i eff = e 0,12 1 = 0, , Aufgabe 7: 3 K 0 = K 0 e 20i 3 = e 20i ln 3 = 20i ln e i = ln3 20 = 0, , 059. Aufgabe [ 8: a) gesucht:i.n = 3,m =,N = 12,K n = K 3 = 200 = 100 (1 + i )12 12 i = ] 2 1 i = 0, , 2379, also p 23, 79 % p.a. b) i rel = i m = 0,2379 = 0, , c) Bedingung: 200 = 100 (1 + i eff ) 3 i eff = = 0, , 2599, also p 25, 99 % p.a. (oder Ermittlung über i rel,vgl.b):(k 1 =)K 0 (1 + i rel ) = K 0 (1 + i eff ) i eff = 1, = 0, , 2599) ( ) Aufgabe 9: a) K 16 = 207 = 1500 (1 + i nom ) i nom = = 0, ,12, also p 12% ( ( ( ( ( ( b) 207 0,13 0,1 0,15 0,16 0,17 0,18 = 5 993, 12 Grundlagen der Finanzmathematik

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