Berechne 40 % von 320. Wenn 1% = 0,01 ist, dann entspricht 40 % = 40 0,01 = 0,40; also: 320 0,4 = 128 ; oder mit Dreisatzschluss:

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1 2 2. Prozentrechnung Was du schon können musst: Du solltest proportionale Zusammenhänge kennen und wissen, wie man damit rechnet. Außerdem musst du Dreisatzrechnungen rasch und sicher durchführen können. Darum geht es Du lernst die Begriffe der Prozentrechnung kennen und erfährst, wie man mit ihnen rechnen kann. Merksatz Die Angabe Prozent bzw. % steht für den hundertsten Teil einer Größe oder Zahl. Dabei nennt man die Größe (oder Zahl), die das Ganze darstellt, Grundwert (G). Will man einen Teil des Grundwertes ermitteln, dann berechnet man den Prozentwert (W). Der jeweilige Anteil wird in Prozent angegeben und heißt Prozentsatz (P). Info Das Wort Prozent kommt aus dem Lateinischen und bedeutet für/von hundert. Beispiel Berechne 40 % von 320. Wenn % = 0,0 ist, dann entspricht 40 % = 40 0,0 = 0,40; also: 320 0,4 = 28 ; oder mit Dreisatzschluss: 00 % 320 s : 0 : 0 s 0 % 32 s 4 4 s 40 % 28 oder _

2 Merksatz Man berechnet den Prozentwert W bei einem Prozentsatz P von einem Grundwert G mit der Formel: W = G _ 00 P. Man kann die Formel zur Berechnung des Prozentsatzes P umstellen: P = W _ 00 G. Die Formel zur Berechnung des Grundwertes G lautet: G = W _ 00 P. Beispiele: () Ein Herrenanzug zum Preis von 275 wird um 24 % im Preis gesenkt. Wie viele Euro spart der Käufer ein? W = 275 0,24 = 66,00 Der Käufer spart 66 ein. (2) Ein Herrenanzug zum Preis von 275 wird um 66 billiger verkauft. Wie viel Prozent beträgt die Einsparung? P = = 0,24 00 = 24 Die Einsparung beträgt 24 %. (3) Beim Kauf eines Herrenanzugs wird ein Preisnachlass von 66 gewährt. Das sind 24 % des ursprünglichen Preises. Berechne den ursprünglichen Preis (Grundwert). G = = 00 2,75 = 275 Der Grundpreis beträgt 275. Bequeme Prozentsätze Mithilfe bequemer Prozentsätze kann man sich viele Rechenwege vereinfachen beziehungsweise leicht Überschlagsrechnungen ausführen. 2 %: teile G durch 50, denn 2 50 = 00 4 %: teile G durch 25, denn 4 25 = 00 5 %: teile G durch 20, denn 5 20 = 00 0 %: teile G durch 0, denn 0 0 = 00 2,5 %: teile G durch 8, denn 2,5 8 = %: teile G durch 4, denn 25 4 = %: teile G durch 2, denn 50 2 = %: multipliziere 25 % mit 3. Berechne mit allen bequemen Prozentsätzen die einzelnen Prozentwerte von G = 800 kg. 25

3 2 2 Berechne nur mittels Überschlag. a) G = 65,4 m 2 : () P = 2, %; W = (2) P = 48,9 %, W = b) G =.234 : () W = 2,20 ; P = (2) W = 32,67, P = c) P = 25,3 %: () W = 35,60 ; G = (2) G = m 3 : G = 3 In das Anfangsfeld kann man eine beliebige Größe (oder Zahl) einsetzen. Ergänze, den Pfeilen folgend, die Leerstellen. davon 50 % 4 davon 0 % davon 00 % 50 davon _ 3 davon 25 % davon 75 % 8 davon 20 % Landwirt Petermann hat 2,5 % seiner landwirtschaftlichen Nutzfläche, das sind 4,8 ha, mit Raps bestellt. Wie viele Hektar beträgt seine Gesamtfläche? Platz für Blumen Der Schulgarten der Theodor-Körner-Realschule hat eine Fläche von 240 m 2. _ 6 davon entfalle auf den Geräteschuppen, die Wege und den Komposthaufen. Auf 85 % der restlichen Fläche wird Gemüse angebaut. Wie viele Quadratmeter bleiben für Blumen übrig? Geld für die Klassenfahrt Die 7a hat fleißig Altpapier gesammelt und abgeliefert. Davon erzielten sie einen Erlös von 23,75. Das sind knapp 8 % der Summe, die für die Klassenfahrt geplant ist. Welcher Betrag ist geplant (runde sinnvoll)? Von 26 Schülern der 7b hatten nur 2 eine Note in der Mathearbeit. Wie viel Prozent sind das (runde sinnvoll)? 3 Schüler der Klasse 7c erhielten beim Diktat eine 4. Das entspricht etwa 8,3 %. Wie viele Schüler nahmen am Diktat teil? 26

4 9 Im Englisch-Diktat gab es folgende Notenverteilung: Note : 3 Schüler; Note 2: 8 Schüler; Note 3: 5 Schüler; Note 4: 3 Schüler; Note 5: 4 Schüler; Note 6: 2 Schüler. a) Gib die Notenverteilung in Prozent an. b) Stelle den Sachverhalt in einem Kreisdiagramm dar. 2.2 Prozentuale Änderung Was du schon können musst: Du solltest die Grundbegriffe und Grundregeln aus der Prozentrechnung kennen. Darum geht es Sicherlich hast du beim Einkaufen schon erlebt, dass Produkte teuerer oder billiger wurden. Hier lernst du, wie du schnell feststellen kannst, wie groß die Änderung der Preise in Prozent war. Die prozentuale Veränderung spielt auch in vielen anderen Bereichen, wo es um Wachstum oder Abnahme geht, eine wichtige Rolle. Regel a) Wird ein Grundwert um P % vermehrt, so erhält man den neuen Wert (Prozentwert), indem man rechnet W = G ( + P ) 00. b) Wird ein Grundwert um P % vermindert, so erhält man den neuen Wert (Prozentwert), indem man rechnet W = G ( + P ) 00. Anwendungen a) Ein Fahrrad kostet ohne Mehrwertsteuer 450. Die Mehrwertsteuer beträgt 9 %. Wie teuer ist das Fahrrad mit Mehrwertsteuer? W = 450 ( ) = 450,9 = 535,50. Das Fahrrad kostet mit Mehrwertsteuer 535,50. 27

5 2 b) Ein Computer kostet ursprünglich.290. Bei einer Sonderaktion wird der Preis um 5 % gesenkt. Wie teuer ist der Computer nach der Preissenkung? W =.290 ( 5 00 ) =.290 0,85 =.096,50. Der Computer kostet nach der Preissenkung.096, Skonto Ein neuer Fernseher kostet 580. Wird er innerhalb von zwei Wochen bezahlt, darf man 2 % Skonto abziehen. Herr Schmidt bezahlt direkt beim Verkauf im Geschäft. Was muss er bezahlen? Mehrwertsteuer Ein Auto wird zu einem Nettopreis von angeboten. Es kommen noch 9 % Mehrwertsteuer hinzu. Wie teuer ist der Wagen? Gehaltserhöhung Herr Kieslowskis monatliches Gehalt ist bei der letzten Lohnerhöhung von auf gestiegen. Frau Wolfs Gehalt stieg zuletzt von auf Welche Lohnerhöhung ist prozentual höher ausgefallen? Sonderaktion Ein Elektronikkaufhaus wirbt bei einer Sonderaktion mit dem Slogan Wir erlassen Ihnen die Mehrwertsteuer. Lena möchte einen MP3-Player kaufen. Er kostet 29 einschließlich der Mehrwertsteuer von 9 %. Wie viel kostet das Gerät netto? 2.3 Zinsrechnung Was du schon können musst: Du solltest die Grundbegriffe und Grundregeln aus der Prozentrechnung kennen. Darum geht es Wenn man bei einer Sparkasse oder Bank ein Guthaben angelegt hat, erhält man nach Ablauf eines Jahres Zinsen gutgeschrieben. Hier lernst du, Zinsen mithilfe der Prozentrechnung zu bestimmen. 28

6 Merksatz Die Grundbegriffe der Prozentrechnung lassen sich auf die Zinsrechnung übertragen: Grundwert G (00%) p Kapital K (Guthaben, Spareinlage ) Prozentwert W p Zinsen Z Prozentsatz P p Zinssatz p Beispiel: Herr Förster bekommt für seine Spareinlage K =.807,50 pro Jahr (p. a.: von lateinisch per annum pro Jahr ) Zinsen mit einem Zinssatz von 3 _ 4 %. Wir berechnen seine Zinsen nach Ablauf eines Kalenderjahres. Z =.807,50 3,25 00 =.807,50 0,0325 = 58,74 Herr Förster besitzt nach Ablauf eines Jahres nun ein Guthaben von.807, ,74 =.866,24. Merksatz Berechnung der Jahreszinsen Z von einem Kapital K zu einem Zinssatz p %. Z = K _ p 00. Man kann die Formel zur Berechnung des Kapitals K umstellen: K = Z _ 00 p. Umstellung zur Berechnung des Zinssatzes p: p = Z _ 00 K. Beispiele: () Frau Fröhlich erhält auf ihr Sparguthaben in Höhe von von ihrer Sparkasse für ein Jahr 290,95 an Zinsen. Herr Schmidt bekommt für von seiner Bank 262,50 Zinsen. Welcher Zinssatz ist besser? 00 Frau Fröhlich: p = 290, = 2,75 Das ist ein Zinssatz von 2,75 %. Herr Schmidt: p = 262, = 3,0. Das ist ein Zinssatz von 3 %. Eine Spareinlage bei der Bank wäre demnach günstiger. (2) Welche Spareinlage hat Claudia vor einem Jahr vorgenommen, wenn sie bei einem Zinssatz von 3,25 % Zinsen in Höhe von 28,43 erhält? K = 28, ,25 = 874,77 Claudia hat 874,77 angelegt. 29

7 4 2 Berechne die Jahreszinsen für folgende Guthaben bei einem Zinssatz von 3,5 %. a) 375 b) c) Gut angelegt Tommy freut sich über 98,75 Zinsen bei einem Zinssatz von 4 %. Berechne sein Guthaben vom Vorjahresende. Welcher Zinssatz wurde gewährt, wenn im Jahr 942 Zinsen bringen? Ergänze die Tabelle. Kapital Zinssatz 4 % 3,75 % Zinsen 42,50 3, Zinsrechnung Monats- und Tageszinsen Was du schon können musst: Du solltest die Grundbegriffe und Grundregeln aus der Prozentrechnung kennen. Darum geht es Leiht man sich bei Bank Geld, so verlangt diese im Gegenzug Zinsen. Die Zinsen werden sehr häufig nicht nur für ein Jahr berechnet, sondern auch für Monate und Tage. Hier erfährst Du, wie dies funktioniert. Berechnung von Monatszinsen Nadine hat zum Jahresbeginn 250 auf ihrem Sparbuch. Im Laufe des Jahres zahlt sie nichts ein und hebt nichts ab. Nach fünf Monaten möchte sie eine neue Digitalkamera für 259 kaufen und das Geld vom Sparbuch nehmen. Sind inzwischen genügend Zinsen hinzugekommen, um die Kamera zu kaufen, wenn der Zinssatz für das Sparbuch 3 % beträgt? 30

8 Lösung: Wir berechnen die Zinsen wie für ein Jahr, multiplizieren jedoch noch mit 5 2 um die fünf Monate zu berücksichtigen. Zinsen ( Z t ) = 250 _ = 3,25 3,3. Nadine erhält in fünf Monaten 3,3 Zinsen. Das reicht nicht, um die Digitalkamera mit dem Geld auf dem Sparbuch zu kaufen. Regeln Berechnung der Monatszinsen. Gegeben sind Kapital K, Zinssatz p %, Laufzeit t Monate. Gesucht: Zinsen Z t. Z t = K p 00 t 2 Die Formel lässt sich zur Berechnung des Kapitals umstellen. Berechnung des Kapitals. Gegeben sind Zinsen Z t, Zinssatz p %, Laufzeit t Monate. Gesucht: Kapital K. K = Z t 00 p 2 t Die Formel lässt sich auch zur Berechnung des Zinssatzes p % umstellen. Berechnung des Zinssatz p %. Gegeben sind Kapital K, Zinsen Z t, Laufzeit t Monate. Gesucht: Zinssatz p % p = Z t 00 K 2 t Anwendungen der Regeln () Eine Bank bietet für ein Vierteljahr einen Zinssatz von 3,2 % an. Welche Summe muss Herr Mayer anlegen, wenn er 20 Zinsen für diesen Zeitraum erhalten möchte? Lösung: K = 20 _ 00 3,2 2 3 = Herr Mayer muss anlegen. (2) Ein Darlehen über soll nach 9 Monaten mit zurückgezahlt werden. Welchem Zinssatz entspricht das? Lösung: p = = 7. Der Zinssatz beträgt 7 %. 3

9 2 Berechung von Tageszinsen Die Berechnung von Tageszinsen ist ähnlich zu der Berechung von Monatszinsen. Jedoch anders als das Kalenderjahr rechnen die Banken nicht mit 365 Tagen, sondern mit 360 Tagen. Ein Monat wird mit 30 Tagen gezählt. Folgende Formeln ergeben sich daher: Regeln Berechnung der Tageszinsen. Gegeben sind Kapital K, Zinssatz p %, Laufzeit t Tage Gesucht: Zinsen Z t (). Z t = K p 00 t 360 Berechnung des Kapitals. Gegeben sind Zinsen Z t, Zinssatz p %, Laufzeit t Monate. Gesucht: Kapital K (2) K = Z t 00 p 360 t Berechnung des Zinssatz p %. Gegeben sind Kapital K, Zinsen Z t, Laufzeit t Monate. Gesucht: Zinssatz p % (3) p = Z t 00 K 360 t Anwendungen der Regeln () Guila hat 4 Monate und 8 Tage lang 20 auf dem Sparbuch. Berechne die Zinsen bei einem Zinssatz von 2,5 %. Lösung: Z t = 20 _ 2, _ 360 2,0. Sie erhält in diesem Zeitraum 2,0 Zinsen. (2) Frau Hager hat ihr Gehaltskonto 45 Tage lang überzogen. Bei einem Zinssatz von,5 % berechnet die Bank 6,90 Zinsen. Um wie viel Euro hat sie ihr Konto überzogen? Lösung: K = 6,90 _,5 00 _ = 480. Sie hat ihr Konto um 480 überzogen. (3) Das Bergmann-Kreditinstitut bietet folgendes Angebot: Bei uns kostet ein Kredit über nur Zinsen am Tag! Wie hoch ist der Zinssatz? Lösung: p = _ 360 = 8. Der Zinssatz beträgt 8 %. 32

10 2 Herr Schmidt hat sein Konto für 4 Monate um überzogen. Die Bank verlangt von ihm 8 % Zinsen. Wieviel Zinsen muss er zahlen? Berechne die Monatszinsen für ein Sparbuch mit einem Zinssatz von 2,5 %. a) Fabian hat 9 Monate lang 600 auf seinem Sparbuch. b) Aylin hat Monate lang 450 auf ihrem Sparbuch. 3 Ergänze die folgende Tabelle. a) b) c) Kapital Zinssatz 2 % 2,5 Laufzeit 5 Monate 3 Monate 7 Monate Monatszinsen 7, Berechne die Tageszinsen für ein Sparbuch mit einem Zinssatz von 2,5 %. a) Jakob hat 20 Tage lang 600 auf seinem Sparbuch. b) Sarah hat Monate und 0 Tage lang 450 auf ihrem Sparbuch. 5 Ergänze folgende Tabelle. a) b) c) Kapital Zinssatz 2 % 4 % Laufzeit 50 Tage 2 Tage Tageszinsen,75 2,50 6 Familie Ortner will ein neues Auto kaufen. Sie kann den Verkaufspreis von nicht sofort bezahlen. Das Autohaus Rottmayer bietet an: werden sofort bezahlt. Der Rest ist bei einem Zinssatz von 4,5 % in 2 Monatsraten zu begleichen. Wie hoch ist eine Monatsrate? 33

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