Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie"

Transkript

1 Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie

2 Problem: Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? 2

3 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann ich verwende für reduzieren auf Finde jemand, der den Weg kennt! Alternativ: Finde eine Stadtkarte! Alternativ: Finde ein Taxi! P2 3

4 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann ich verwende für reduzieren auf Finde jemand, der den Weg kennt! Alternativ: Finde eine Stadtkarte! Alternativ: Reduziere Bestelle P1 ein auf Taxi! P2! P2 4

5 Reduktionen Ein mächtiges Konzept in der Theoretischen Informatik. Informelle Definition: Reduktion Problem P1 kann in ein Problem P2 transformiert werden (Funktion f), sodass Lösung von P2 zur Lösung von P1 verwendet werden kann. Transformation f P1 P2 verwende Lösung Löse! 5

6 Reduktionen Ein mächtiges Konzept in der Theoretischen Informatik. Informelle Definition: Reduktion Problem P1 kann in ein Problem P2 transformiert werden (Funktion f), sodass Lösung von P2 zur Lösung von P1 verwendet werden kann. P1 Transformation Definiert gerichtete f Relation auf der Menge der Probleme! Löse! P2 verwende Lösung Löse! 6

7 Reduktionen Ein mächtiges Konzept in der Theoretischen Informatik. Informelle Definition: Reduktion Einfach, aber Vorsicht: Richtung Problem P1 kann in ein Problem P2 transformiert der Relation, Eigenschaften der werden (Funktion f), sodass Lösung von P2 zur Reduktion, etc. wichtig! Lösung von P1 verwendet werden kann. P1 Transformation Definiert gerichtete f Relation auf der Menge der Probleme! Löse! P2 verwende Lösung Löse! 7

8 Beispiele Beispiele im Alltag: Rekursiv Das Problem von Berlin nach Hamburg zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden 8

9 Beispiele Beispiele im Alltag: Rekursiv Das Problem von Berlin nach Hamburg zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden Fläche? : P1 Beispiele in der Mathematik: Wie muss ich vorgehen, um Fläche des Rechtecks zu bestimmen? 9

10 Breite? Beispiele Beispiele im Alltag: Rekursiv Das Problem von Berlin nach Hamburg zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden Fläche? : P1 Beispiele in der Mathematik: Das Problem die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen reduziert sich auf das Problem, dessen Seitenlängen zu bestimmen. (Einfach!) P2: Länge? 10

11 Breite? Beispiele Beispiele im Alltag: Rekursiv Das Problem von Berlin nach Hamburg zu kommen reduziert sich auf das Problem, eine Fahrkarte zu kaufen das wiederum reduziert sich darauf, Geld für die Fahrkarte zu verdienen reduziert sich auf das Problem, einen Job zu finden P2: Fläche? Länge? : P1 Beispiele in der Mathematik: Das Problem die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen reduziert sich auf das Problem, dessen Seitenlängen zu bestimmen. (Einfach!) Das Problem ein lineares Gleichungssystem zu lösen reduziert sich auf das Problem, eine Matrix zu invertieren. 11

12 Eigenschaften der Reduktion Nützliche Eigenschaften? Transformation f P1 P2 verwende Lösung Löse! Beispiel: Sei P1: Finde Weg zum Hamburger Hbf. P2: Finde eine City Map. 12

13 Eigenschaften der Reduktion Nützliche Eigenschaften? Transformation f P1 P2 verwende Lösung Löse! Beispiel: Sei P1: Finde Weg zum Hamburger Hbf. P2: Finde eine City Map. Möchte nicht zuerst zu einem Shop am Hbf gehen, um P2 zu lösen! 13

14 Eigenschaften der Reduktion It depends! : Welches Ziel / welche Anwendung? Nützliche Eigenschaften? Transformation f P1 P2 verwende Lösung Löse! Beispiel: Sei P1: Finde Weg zum Hamburger Hbf. P2: Finde eine City Map. Möchte nicht zuerst zu einem Shop am Hbf gehen, um P2 zu lösen! 14

15 Komplexität vs Berechenbarkeit Reduktionen in der Komplexitätstheorie: Will effiziente Lösung für P1 mittels Lösung von P2 Auch Reduktion ( Umweg ) sollte Zeit/Speicher effizient sein Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Will zeigen, dass es möglich ist, P1 zu lösen (mit P2) Reduktion muss nur berechenbar sein Transformation f P1 P2 verwende Lösung 15

16 Anwendungen (1) Beispiel Komplexitätstheorie: Reduktionen für untere Schranken ( Lower Bounds ) Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 (z.b. SAT) NP-schwer, kann ich durch Reduktion zeigen, dass viele weitere Probleme P2 auch NP-schwer sind. effiziente Transformation f P1 P2 verwende Lösung 16

17 Anwendungen (1) Beispiel Komplexitätstheorie: Reduktionen für untere Schranken ( Lower Bounds ) Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 (z.b. SAT) NP-schwer, kann ich durch Reduktion zeigen, dass viele weitere Probleme P2 auch NP-schwer sind. P1 Komplexität K2? P2 17

18 Anwendungen (1) Beispiel Komplexitätstheorie: Reduktionen für untere Schranken ( Lower Bounds ) Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 (z.b. SAT) NP-schwer, kann ich durch Reduktion zeigen, dass viele weitere Probleme P2 auch NP-schwer sind. Komplexität K1 P1 Komplexität Kf Komplexität K2? P2 Komplexität Kf -1 18

19 Anwendungen (1) Beispiel Komplexitätstheorie: Reduktionen für untere Schranken ( Lower Bounds ) Wenn K1 schwer und Kf und Kf -1 leicht, dann auch K2 schwer. Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 (z.b. SAT) NP-schwer, kann ich durch Reduktion zeigen, dass viele weitere Probleme P2 auch NP-schwer sind. Komplexität K1 P1 Komplexität Kf Komplexität K2? P2 Komplexität Kf -1 19

20 Anwendungen (2) Beispiel Berechenbarkeitstheorie: Reduktionen für negative Resultate ( Impossibility Results ) Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 unentscheidbar ist (z.b. Sprache der durch TMs M akzeptierte Wörter w, A TM : Diagonalisierung), kann ich durch Reduktion zeigen, dass andere Probleme P2 auch unentscheidbar sind. berechenbare Transformation f P1 P2 verwende Lösung 20

21 Anwendungen (2) Beispiel Berechenbarkeitstheorie: Reduktionen für negative Resultate ( Impossibility Results ) Wichtiges Konzept: Many-One Reduktion Beispiel: Wenn ich weiss, dass P1 unentscheidbar ist (z.b. Sprache der durch TMs M akzeptierte Wörter w, A TM : Diagonalisierung), kann ich durch Reduktion zeigen, dass andere Probleme P2 auch unentscheidbar sind. berechenbare Transformation f P1 P2 verwende Lösung 21

22 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Formalisierung der Konzepte: Fokus auf Entscheidungsprobleme In Sprachformalismus: Probleme P der Form w L? Definition: Many-One Reduktion f von L 1 auf L 2 Eine Funktion f heisst many-one Reduktion von Sprache L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: 1. f ist berechenbar und total 2. w Σ * gilt dass w L 1 f(w) L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 22

23 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Formalisierung der Konzepte: Fokus auf Entscheidungsprobleme In Sprachformalismus: Probleme P der Form w L? Definition: Many-One Reduktion f von L 1 auf L 2 D.h. es gibt eine TM M f Eine, die Funktion f berechnet. f heisst many-one total = für Reduktion alle Wörter von definiert Sprache L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: 1. f ist berechenbar und total 2. w Σ * gilt dass w L 1 f(w) L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 23

24 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Formalisierung der Konzepte: Fokus auf Entscheidungsprobleme In Sprachformalismus: Probleme P der Form w L? Definition: Many-One Reduktion f von L 1 auf L 2 D.h. es gibt eine TM M f Eine, die Funktion f berechnet. f heisst many-one total = für Reduktion alle Wörter von definiert Sprache L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: 1. f ist berechenbar und total Funktion muss weder injektiv 2. w Σ * gilt dass w L 1 f(w) noch surjektiv L 2 sein! L 1 L 2 L 1 L 2 24

25 Definition und Repetition Definition: Many-One Reduzierbare Sprachen Die Sprache L 1 heisst many-one reduzierbar auf Sprache L 2 gdw. es eine many-one Reduktion von L 1 auf L 2 gibt. Kurz: L 1 m L 2

26 Definition und Repetition Definition: Many-One Reduzierbare Sprachen Die Sprache L 1 heisst many-one reduzierbar auf Sprache L 2 gdw. es eine many-one Reduktion von L 1 auf L 2 gibt. Kurz: L 1 m L 2 Repetition: Akzeptierbare Sprache A Die Sprache L ist akzeptierbar, wenn es eine TM gibt, die für jedes Eingabewort w L mit «Ja» hält. Repetition: Entscheidbare Sprache E Die Sprache L ist entscheidbar, wenn es eine TM gibt, die für jedes w L mit «Ja» hält und für jedes w L mit «Nein».

27 Sehr mächtiges Theorem: Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. 27

28 Sehr mächtiges Theorem: Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beispiel: Wie kann ich damit zeigen, dass eine Sprache L E? 28

29 Sehr mächtiges Theorem: Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beispiel: Wie kann ich damit zeigen, dass eine Sprache L E? Zeige, dass es 1. eine many-one Reduktion f von einer 2. unentscheidbaren Sprache L E (=L 1 ) auf L (=L 2 ) gibt: L m L Dann folgt aus Theorem: falls L (=L 2 ) entscheidbar wäre, Widerspruch zu Annahme dass L (=L 1 ) unentscheibar: L E L E : Widerspruch zu L E 29

30 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Wie kann man ein solches Theorem beweisen? 30

31 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die TM M 1 : eine Hintereinanderschaltung von M f und M 2. Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. w M 1 f(w) M f M 2 31

32 Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die TM M 1 : eine Hintereinanderschaltung von M f und M 2. Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Eine solche TM muss existieren, da f per Definition berechenbar. Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. w M 1 f(w) M f M 2 32

33 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die TM M 1 : eine Hintereinanderschaltung von M f und M 2. Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. w M 1 f(w) M f M 2 33

34 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die Definition TM M 1 : von M 2 eine Hintereinanderschaltung Konstruktion von M f und von M 2. M 1 w M 1 f(w) M f M 2 Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. Definition Many-One Reduktion 34

35 Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt: L 2 E L 1 E. Beweis. Konstruktiv! Nehme an L 2 E : also gibt es eine TM M 2, die L 2 entscheidet Sei f eine many-one Reduktion m von L 1 auf L 2 : berechenbar! Sei M f die TM, die f berechnet Konstruiere die TM M 1 : eine Hintereinanderschaltung von M f und M 2. Es gilt: M 1 (w) akz. M 2 (f(w)) akz. f(w) L 2 w L 1 Also entscheidet M 1 L 1, und somit: L 1 E. w M 1 f(w) M f M 2 35

36 Beispiel: Das Halteproblem Definition: Sprache A TM Sprache des Problems «Akzeptiert eine gewisse Turing Maschine M einen gegebenen Input w?»: A TM = {<M,w> M akzeptiert w} Definition: Sprache HALT TM Sprache des Problems «Hält eine gewisse Turing Maschine M bei gegebenem Input w?»: HALT TM = {<M,w> M hält auf w} 36

37 Beispiel: Das Halteproblem Definition: Sprache A TM Sprache des Problems «Akzeptiert eine gewisse Turing Maschine M einen gegebenen Input w?»: A TM = {<M,w> M akzeptiert w} A TM ist unentscheidbar: A TM E Auch unentscheidbar: wie beweisen? Definition: Sprache HALT TM Sprache des Problems «Hält eine gewisse Turing Maschine M bei gegebenem Input w?»: HALT TM = {<M,w> M hält auf w} 37

38 Beispiel: Das Halteproblem Definition: Sprache A TM Sprache des Problems «Akzeptiert eine gewisse Turing Maschine M einen gegebenen Input w?»: A TM = {<M,w> M akzeptiert w} A TM ist unentscheidbar: A TM E Auch unentscheidbar: wie beweisen? Definition: Sprache HALT TM Sprache des Problems «Hält eine gewisse Turing Maschine M bei gegebenem Input w?»: HALT TM = {<M,w> M hält auf w} Zeige: A TM m HALT TM 38

39 Theorem: HALT TM E Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Beweis: Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): w M M(w) akz.: stopp verw.: zykel 1. Simuliere M(w) 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel 3. Sonst stopp Reduktion f(<m,w>):=<m,w> ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also: A TM m HALT TM HALT TM E 39

40 Theorem: HALT TM E Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Beweis: Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): w M M(w) akz.: stopp verw.: zykel 1. Simuliere M(w) 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel 3. Sonst stopp Reduktion f(<m,w>):=<m,w> ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also: A TM m HALT TM HALT TM E 40

41 Theorem: HALT TM E Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Beweis: Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): w M M(w) Definition von M akz.: stopp verw.: Konstruktion zykel 1. Simuliere M(w) 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel 3. Sonst stopp Reduktion f(<m,w>):=<m,w> ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also: A TM m HALT TM HALT TM E 41

42 Theorem: HALT TM E Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Beweis: Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): w M M(w) akz.: stopp verw.: zykel 1. Simuliere M(w) 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel 3. Sonst stopp Reduktion f(<m,w>):=<m,w> ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also many-one Reduktion: A TM m HALT TM HALT TM E 42

43 Theorem: HALT TM E Beweis: Das Problem HALT TM ist unentscheidbar. Zeige Reduktion f: A TM m HALT TM. Daraus folgt das Theorem! Idee: Reduziere P1=«Akzeptiert M w?» auf P2=«Hält M auf w?» wobei M (w): M 1. Simuliere M(w) akz.: stopp 2. Wenn M(w) verwirft, dann zykel w M(w) verw.: zykel 3. Sonst stopp Widerspruch zu Unentscheidbarkeit von A Reduktion f(<m,w>):=<m,w> TM ist berechenbar und total, ausserdem: <M,w> A TM M akz. w M (w) hält f(<m,w>) HALT TM Also many-one Reduktion: A TM m HALT TM HALT TM E 43

44 Ende

45 Anwendungen: Weiteres Beispiel Komplexitätstheorie: Viele negative Resultate ( Lower Bounds ) Beispiel: Lower Bound des Konvexe Hülle Problems CH ist auch eine Lower Bound für das Sortierungsproblem SORT Transformation: O(n) SORT Sortiere zahlen {x 1,, x n }! CH Finde konvexe Hülle von Punkten {(x 1, x 12 ),, {(x n, x n2 ) }! 45

46 Beispiel: Matching (1) Definition: Maximales Matching Input: Ungerichteter Graph G=(V,E) Output: Eine Teilmenge an Kanten M E ist ein gültiges Matching, gdw. keine zwei Kanten in M einen gemeinamen Knoten haben. M ist maximal gdw. es gültig ist und es keine Kante e E\M gibt, sodass {e} M auch ein gültiges Matching ist. Gültig? Maximal? Gültig? Maximal? Gültig? Maximal?

47 Beispiel: Matching (1) Definition: Maximales Matching Input: Ungerichteter Graph G=(V,E) Output: Eine Teilmenge an Kanten M E ist ein gültiges Matching, gdw. keine zwei Kanten in M einen gemeinamen Knoten haben. M ist maximal gdw. es gültig ist und es keine Kante e E\M gibt, sodass {e} M auch ein gültiges Matching ist. Ungültig! Gültig, nicht maximal! Gültig und maximal

48 Beispiel: Matching (2) Definition: Maximales Independent Set Input: Ungerichteter Graph G=(V,E) Output: Eine Teilmenge an Knoten I V ist ein gültiges Independent Set, gdw. es keine zwei Knoten in I gibt, die benachbart sind. I ist maximal gdw. es gültig ist und es keinen Knoten v V\I gibt, sodass {v} I auch ein gültiges Independent Set ist. Gültig? Maximal? Gültig? Maximal? Gültig? Maximal?

49 Beispiel: Matching (2) Definition: Maximales Independent Set Input: Ungerichteter Graph G=(V,E) Output: Eine Teilmenge an Knoten I V ist ein gültiges Independent Set, gdw. es keine zwei Knoten in I gibt, die benachbart sind. I ist maximal gdw. es gültig ist und es keinen Knoten v V\I gibt, sodass {v} I auch ein gültiges Independent Set ist. Gültig, nicht maximal! Ungültig! Gültig und maximal

50 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: Algorithmus für maximales Matching Methode: Effiziente Reduktion Maximales Matching? Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung 50

51 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: 1. Ersetze Algorithmus Kanten für durch maximales Knoten Matching Methode: 2. Verbinde Effiziente Knoten, Reduktion deren Kanten Maximales Matching? inzident sind im urspr. Graphen Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung

52 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: 1. Ersetze Algorithmus Kanten für durch maximales Knoten Matching Methode: 2. Verbinde Effiziente Knoten, Reduktion deren Kanten Maximales Matching? inzident sind im urspr. Graphen Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung

53 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: 1. Ersetze Algorithmus Kanten für durch maximales Knoten Matching Methode: 2. Verbinde Effiziente Knoten, Reduktion deren Kanten Maximales Matching? inzident sind im urspr. Graphen Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung

54 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: Algorithmus für maximales Matching Methode: Effiziente Reduktion Maximales Matching? Berechne maximales Transformation Independent f Set! Maximales Independent Set verwende Lösung

55 Beispiel: Matching (3) Beispiel Gegeben: Algorithmus für maximales Independent Set Gesucht: Algorithmus für maximales Matching Methode: Effiziente Reduktion Ist maximales Berechne maximales Maximales Matching? Matching! Transformation Independent f Set! Maximales Independent Set verwende Lösung

56 Beweisidee Gültig: Durch Widerspruch. Falls Matching ungültig, existiert Knote mit zwei anliegenden Kanten. Dann sind aber auch die entsprechenden Kantenknoten nicht independent. 1 Matching Independent Set Max. Matching Max. Independent Set Maximal: Durch Widerspruch. Falls eine weitere Kante hinzugefügt werden kann, muss ein weiterer unabhängiger Knote existieren im transformierten Graphen. Verletzt Maximalität.

57 Bemerkung Transformation ist nicht nur effizient, sondern auch lokal kann in einem verteilten System (z.b. Computer Netzwerk) lokal emuliert werden Verteilter Algorithmus für Independent Set als verteilter Algorithmus für Matching benutzbar Maximales Matching effiziente und lokale Transformation f Maximales Independent Set verwende Lösung

58 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Funktion muss weder injektiv noch Formalisierung mit Fokus auf Entscheidungsprobleme: hat ein surjektiv sein: ein Element in Zielmenge Objekt eine gewünschte Eigenschaft oder nicht? kann beliebig viel mal angenommen werden! Definition: Many-One Reduktion von L 1 auf L 2 D.h. Es gibt eine TM M f Die, die Funktion f berechnet. f heisst many-one total = für Reduktion alle Wörter von definiert Sprache L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: 1. f ist berechenbar und total 2. w Σ * : w L 1 f(w) L 2 L 1 L 2 L 1 L 2 58

59 Reduktionen in Berechenbarkeitstheorie Injektiv ( linkseindeutig ): Jedes Element der Formalisierung Zielmenge höchstens Funktion mit Fokus einmal muss weder injektiv noch auf Entscheidungsprobleme: hat ein angenommen. surjektiv sein: ein Element in Zielmenge Objekt eine gewünschte Eigenschaft oder nicht? kann beliebig viel mal angenommen werden! Definition: Many-One Reduktion von L 1 auf L 2 D.h. Es gibt eine TM M f Die, die Funktion f berechnet. f heisst many-one Reduktion von Sprache total total = = für für alle alle Wörter Wörter definiert definiert L 1 Σ * auf Sprache L 2 Σ * gdw.: Surjektiv 1. f ist ( rechtstotal ): berechenbar und Jedes total Element der Zielmenge wird mindestens einmal 2. w Σ * : w L 1 angenommen. f(w) L 2 L 1 L 1 L 2 L 1 L 2 59

60 Implikationen der Reduktion Theorem: Implikationen der Reduktion Sei L 1 m L 2, dann gilt 1. L 2 E L 1 E 2. L 2 A L 1 A 3. L 2 A co L 1 A co Beweis? 60

Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof?

Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof? NP-Vollständigkeit Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof? P Wie komme ich von hier zum Hauptbahnhof? kann ich verwende für reduzieren auf Finde jemand, der den Weg kennt! Alternativ: Finde eine Stadtkarte!

Mehr

Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen

Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen V7, 3.11.09 Willkommen zur Vorlesung Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen Friedhelm Meyer auf der Heide 1 Rückblick

Mehr

Teil III. Komplexitätstheorie

Teil III. Komplexitätstheorie Teil III Komplexitätstheorie 125 / 160 Übersicht Die Klassen P und NP Die Klasse P Die Klassen NP NP-Vollständigkeit NP-Vollständige Probleme Weitere NP-vollständige Probleme 127 / 160 Die Klasse P Ein

Mehr

Berechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion

Berechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion Berechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität 26. November 2007 Semi-Entscheidbarkeit

Mehr

Unentscheidbare Probleme: Diagonalisierung

Unentscheidbare Probleme: Diagonalisierung Unentscheidbare Probleme: Diagonalisierung Prof Dr Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen Oktober 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

Wir haben eine Beziehung zwischen entscheidbar und rekursiv aufzählbar hergeleitet.

Wir haben eine Beziehung zwischen entscheidbar und rekursiv aufzählbar hergeleitet. Rückschau 12.11.04 Wir haben eine Beziehung zwischen entscheidbar und rekursiv aufzählbar hergeleitet. Wir haben das Prinzip der Diagonalisierung eingeführt und mit DIAG eine erste nicht rek. aufz. Sprache

Mehr

abgeschlossen unter,,,, R,

abgeschlossen unter,,,, R, Was bisher geschah Turing-Maschinen können Sprachen L X akzeptieren entscheiden Funktionen berechnen f : X X (partiell) Menge aller Turing-akzeptierbaren Sprachen genau die Menge aller Chomsky-Typ-0-Sprachen

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Relationen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

Übungsblatt Nr. 5. Lösungsvorschlag

Übungsblatt Nr. 5. Lösungsvorschlag Institut für Kryptographie und Sicherheit Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Dirk Achenbach Tobias Nilges Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Übungsblatt Nr. 5 Aufgabe 1: Eine schöne Bescherung (K)

Mehr

Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität

Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Reidl Ries Rossmanith Sanchez Tönnis WS 2012/13 Probeklausur 25.01.2013 Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Aufgabe 1 (1+2+6+3 Punkte)

Mehr

Referat rekursive Mengen vs. rekursiv-aufzählbare Mengen

Referat rekursive Mengen vs. rekursiv-aufzählbare Mengen Kapitel 1: rekursive Mengen 1 rekursive Mengen 1.1 Definition 1.1.1 informal Eine Menge heißt rekursiv oder entscheidbar, wenn ihre charakteristische Funktion berechenbar ist. 1.1.2 formal Eine Menge A

Mehr

Theoretische Informatik II

Theoretische Informatik II Theoretische Informatik II Einheit 7.3 Beweistechniken für unlösbare Probleme 1. Diagonalisierung 2. Monotonieargumente 3. Problemreduktion 4. Der Satz von Rice Grenzen der Berechenbarkeit Wie beweist

Mehr

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik

Kapitel L:II. II. Aussagenlogik Kapitel L:II II. Aussagenlogik Syntax der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Eigenschaften des Folgerungsbegriffs Äquivalenz Formeltransformation Normalformen Bedeutung der Folgerung Erfüllbarkeitsalgorithmen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Institut für Informatik Sommersemester 2007 B. Beckert Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Ausgewählte unentscheidbare Sprachen

Ausgewählte unentscheidbare Sprachen Proseminar Theoretische Informatik 15.12.15 Ausgewählte unentscheidbare Sprachen Marian Sigler, Jakob Köhler Wolfgang Mulzer 1 Entscheidbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit Definition 1: L ist entscheidbar

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik 0 KIT 17.05.2010 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik nationales Forschungszentrum Vorlesung in am

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II.

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Probleme über Sprachen. Teil II. Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Unentscheidbarkeit. Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen

Unentscheidbarkeit. Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: und effiziente Algorithmen Wintersemester 2011/12 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan & Jan Stückrath Worum geht

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsblatt 11 1. August 2011 Einführung in die Theoretische Informatik

Mehr

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Teil VI. Komplexitätstheorie.

Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Teil VI. Komplexitätstheorie. Dank Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Bernhard Beckert Diese Vorlesungsmaterialien basieren ganz wesentlich auf den Folien zu den Vorlesungen

Mehr

Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I Wichtige Begriffe

Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I Wichtige Begriffe Automaten, Formale Sprachen und Berechenbarkeit I Wichtige Begriffe Eine partielle Funktion ist eine Relation f A B; für jedes x dom(f) gibt es ein y range(f) mit x f y; wir schreiben statt f A B und x

Mehr

Musterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14

Musterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14 Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Musterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 23/4 Vorname Nachname Matrikelnummer Hinweise Für die

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 Theoretische Informatik 1 Nichtdeterminismus David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung TU Graz SS 2012 Übersicht Nichtdeterminismus NTM Nichtdeterministische Turingmaschine Die

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 11 15. Juli 2010 Einführung in die Theoretische

Mehr

Wiederholung zu Flüssen

Wiederholung zu Flüssen Universität Konstanz Methoden der Netzwerkanalyse Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft SS 2008 Prof. Dr. Ulrik Brandes / Melanie Badent Wiederholung zu Flüssen Wir untersuchen Flüsse in Netzwerken:

Mehr

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten

Mehr

Grundlagen der Informatik Kapitel 20. Harald Krottmaier Sven Havemann

Grundlagen der Informatik Kapitel 20. Harald Krottmaier Sven Havemann Grundlagen der Informatik Kapitel 20 Harald Krottmaier Sven Havemann Agenda Klassen von Problemen Einige Probleme... Approximationsalgorithmen WS2007 2 Klassen P NP NP-vollständig WS2007 3 Klasse P praktisch

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

Berechenbarkeit und Komplexität

Berechenbarkeit und Komplexität Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2010/11 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien und Übungsblätter

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014

Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Ulrich Furbach. Sommersemester 2014 Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I Ulrich Furbach Institut für Informatik Sommersemester 2014 Furbach Grundlagen d. Theoretischen Informatik:

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben

Grundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben Dieses Dokument soll mehr dazu dienen, Beispiele für die formal korrekt mathematische Bearbeitung von Aufgaben zu liefern, als konkrete Hinweise auf typische Klausuraufgaben zu liefern. Die hier gezeigten

Mehr

Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion

Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 15. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

Komplexitätstheorie Einführung und Überblick (Wiederholung)

Komplexitätstheorie Einführung und Überblick (Wiederholung) Literatur C. Papadimitriou UC Berkeley Zum Komplexitätsbegriff Strukturelle Komplexität Average Case Analyse Effiziente Algorithmen Logische Komplexität Beschreibungssprachen: SQL Kolmogorov Komplexität

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 Theoretische Inforatik 1 Teil 6 Bernhard Nessler Institut für Grundlagen der Inforationsverabeitung TU Graz SS 2008 Übersicht 1 Reduktionen 2 Definition P- NP- 3 Sprachbeziehungen Klassenbeziehungen Turingreduktion

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Lösungsvorschläge Blatt Z1

Lösungsvorschläge Blatt Z1 Theoretische Informatik Departement Informatik Prof. Dr. Juraj Hromkovič http://www.ita.inf.ethz.ch/theoinf16 Lösungsvorschläge Blatt Z1 Zürich, 2. Dezember 2016 Lösung zu Aufgabe Z1 Wir zeigen L qi /

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik Lektion 10: Entscheidbarkeit Kurt-Ulrich Witt Wintersemester 2013/14 Kurt-Ulrich Witt Theoretische Informatik Lektion 10 1/15 Inhaltsverzeichnis Kurt-Ulrich Witt Theoretische Informatik

Mehr

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 9. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/23

Formale Methoden 1. Gerhard Jäger 9. Januar Uni Bielefeld, WS 2007/2008 1/23 1/23 Formale Methoden 1 Gerhard Jäger Gerhard.Jaeger@uni-bielefeld.de Uni Bielefeld, WS 2007/2008 9. Januar 2008 2/23 Automaten (informell) gedachte Maschine/abstraktes Modell einer Maschine verhält sich

Mehr

Die Church-Turing-These

Die Church-Turing-These Die Church-Turing-These Elmar Eder () Die Church-Turing-These 1 / 12 Formale Systeme Formale Systeme µ-partiellrekursive Funktionen Logikkalküle SLD-Resolution (Prolog) Chomsky-Grammatiken Turing-Maschinen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (II) 2.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

Wir suchen Antworten auf die folgenden Fragen: Was ist Berechenbarkeit? Wie kann man das intuitiv Berechenbare formal fassen?

Wir suchen Antworten auf die folgenden Fragen: Was ist Berechenbarkeit? Wie kann man das intuitiv Berechenbare formal fassen? Einige Fragen Ziel: Wir suchen Antworten auf die folgenden Fragen: Wie kann man das intuitiv Berechenbare formal fassen? Was ist ein Algorithmus? Welche Indizien hat man dafür, dass ein formaler Algorithmenbegriff

Mehr

Einführung in die Computerlinguistik Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Halteproblem

Einführung in die Computerlinguistik Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Halteproblem Einführung in die Computerlinguistik Berechenbarkeit, Entscheidbarkeit, Halteproblem Dozentin: Wiebke Petersen 14.1.2009 Wiebke Petersen Einführung CL (WiSe 09/10) 1 Hinweis zu den Folien Der Text dieser

Mehr

Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen

Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen Prof. Dr. F. Otto 26.09.2011 Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universität Kassel Klausur zur Vorlesung Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen SS 2011 Name:................................

Mehr

Die Klassen P und NP. Dr. Eva Richter. 29. Juni 2012

Die Klassen P und NP. Dr. Eva Richter. 29. Juni 2012 Die Klassen P und NP Dr. Eva Richter 29. Juni 2012 1 / 35 Die Klasse P P = DTIME(Pol) Klasse der Probleme, die sich von DTM in polynomieller Zeit lösen lassen nach Dogma die praktikablen Probleme beim

Mehr

Entscheidungsprobleme. Berechenbarkeit und Komplexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit. Die Entscheidbarkeit von Problemen

Entscheidungsprobleme. Berechenbarkeit und Komplexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit. Die Entscheidbarkeit von Problemen Berechenbarkeit und Komlexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit Wolfgang Schreiner Wolfgang.Schreiner@risc.uni-linz.ac.at Research Institute for Symbolic Comutation (RISC) Johannes Keler University,

Mehr

Wie viel Mathematik kann ein Computer?

Wie viel Mathematik kann ein Computer? Wie viel Mathematik kann ein Computer? Die Grenzen der Berechenbarkeit Dr. Daniel Borchmann 2015-02-05 Wie viel Mathematik kann ein Computer? 2015-02-05 1 / 1 Mathematik und Computer Computer sind schon

Mehr

Informatik-Grundlagen

Informatik-Grundlagen Informatik-Grundlagen Komplexität Karin Haenelt 1 Komplexitätsbetrachtungen: Ansätze Sprachentheorie Klassifiziert Mengen nach ihrer strukturellen Komplexität Komplexitätstheorie Klassifiziert Probleme

Mehr

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt.

5. Musterlösung. Problem 1: Vitale Kanten * ω(f) > ω(f ). (a) Untersuchen Sie, ob es in jedem Netzwerk vitale Kanten gibt. Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 05/06 ITI Wagner 5. Musterlösung Problem : Vitale Kanten * In einem Netzwerk (D = (V, E); s, t; c) mit Maximalfluß f heißen Kanten e

Mehr

EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK 0. ORGANISATORISCHES UND ÜBERBLICK

EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK 0. ORGANISATORISCHES UND ÜBERBLICK EINFÜHRUNG IN DIE THEORETISCHE INFORMATIK Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Sommersemester 2014 0. ORGANISATORISCHES UND ÜBERBLICK Theoretische Informatik (SoSe 2014) 0. Organisatorisches und Überblick 1 / 16

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Prof. Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Effiziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (III) 17.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

Spiele in der Informatik

Spiele in der Informatik Spiele in der Informatik Martin Lange Lehr- und Forschungseinheit Theoretische Informatik Informatik-Schnupperstudium an der LMU, 29.3.2010 Übersicht Teil 1 Schokoladenessen für Spieltheoretiker ein kleines

Mehr

Prinzipien der modernen Kryptographie Sicherheit

Prinzipien der modernen Kryptographie Sicherheit Prinzipien der modernen Kryptographie Sicherheit Prinzip 1 Sicherheitsmodell Das Sicherheitsmodell (Berechnungsmodell, Angriffstypen, Sicherheitsziele) muss präzise definiert werden. Berechnungsmodell:

Mehr

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984)

NP-Vollständigkeit. Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) NP-Vollständigkeit Krautgartner Martin (9920077) Markgraf Waldomir (9921041) Rattensberger Martin (9921846) Rieder Caroline (0020984) 0 Übersicht: Einleitung Einteilung in Klassen Die Klassen P und NP

Mehr

Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen

Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen Johannes Blömer Skript zur Vorlesung Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen Universität Paderborn Wintersemester 2011/12 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Ziele der Vorlesung...................................

Mehr

Theoretische Informatik. Probabilistische Turingmaschinen PTM PTM. Rainer Schrader. 10. Juni 2009

Theoretische Informatik. Probabilistische Turingmaschinen PTM PTM. Rainer Schrader. 10. Juni 2009 Theoretische Informatik Rainer Schrader Probabilistische Turingmaschinen Institut für Informatik 10. Juni 009 1 / 30 / 30 Gliederung probabilistische Turingmaschinen Beziehungen zwischen und NDTM es stellt

Mehr

11. Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P

11. Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P 11 Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P 11 Woche: Turingmaschinen, Entscheidbarkeit, P 239/ 333 Einführung in die NP-Vollständigkeitstheorie

Mehr

Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz

Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz Referent: Tobias Gleißner 29. Januar 2013 (syntaktischer Aufbau eines arithmetischen Terms) - Jede Zahl ist ein Term - Jede Variable ist ein Term - Sind und Terme,

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6 Komplexitätstheorie

Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6 Komplexitätstheorie Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6 Komplexitätstheorie Einführung in P und NP Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 11. November 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de

Mehr

Lösungen zur 1. Klausur. Einführung in Berechenbarkeit, formale Sprachen und Komplexitätstheorie

Lösungen zur 1. Klausur. Einführung in Berechenbarkeit, formale Sprachen und Komplexitätstheorie Hochschuldozent Dr. Christian Schindelhauer Paderborn, den 21. 2. 2006 Lösungen zur 1. Klausur in Einführung in Berechenbarkeit, formale Sprachen und Komplexitätstheorie Name :................................

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Mengen Eine Menge ist eine Gruppe von Elementen, die eine Einheit bilden (siehe z.b. Halmos 1976). Formale Sprachen und Automaten Mathematisches Rüstzeug Mengen können verschiedene Typen von Elementen

Mehr

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe

Abbildungen. Kapitel Definition: (Abbildung) 5.2 Beispiel: 5.3 Wichtige Begriffe Kapitel 5 Abbildungen 5.1 Definition: (Abbildung) Eine Abbildung zwischen zwei Mengen M und N ist eine Vorschrift f : M N, die jedem Element x M ein Element f(x) N zuordnet. Schreibweise: x f(x) 5. Beispiel:

Mehr

1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie

1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie 1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 15 Ziele vgl. AFS: Berechnungsmodelle für Typ-0- und Typ-1-Sprachen (Nicht-)Abschlußeigenschaften

Mehr

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph.

Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. Aufgabe 4.2 Sei G = (V, E, l) ein ungerichteter, gewichteter und zusammenhängender Graph. a) Es seien W 1 = (V, E 1 ), W 2 = (V, E 2 ) Untergraphen von G, die beide Wälder sind. Weiter gelte E 1 > E 2.

Mehr

Das Heiratsproblem. Definition Matching

Das Heiratsproblem. Definition Matching Das Heiratsproblem Szenario: Gegeben: n Frauen und m > n Männer. Bekanntschaftsbeziehungen zwischen allen Männern und Frauen. Fragestellung: Wann gibt es für jede der Frauen einen Heiratspartner? Modellierung

Mehr

Geradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden

Geradenarrangements und Dualität von Punkten und Geraden Vorlesung Algorithmische Geometrie von Punkten und Geraden INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg 12.06.2012 Dualitätsabbildung Bisher haben wir Dualität für planare

Mehr

Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität. Motivation, Übersicht und Organisatorisches

Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität. Motivation, Übersicht und Organisatorisches Berechenbarkeit und Komplexität: Motivation, Übersicht und Organisatorisches Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen Berechenbarkeit die absoluten Grenzen

Mehr

Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem

Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem Agenda Motivation Reduzierbarkeit Definition Bedeutung Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP)

Mehr

Algorithmen II Vorlesung am

Algorithmen II Vorlesung am Algorithmen II Vorlesung am 0..0 Minimale Schnitte in Graphen INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK PROF. DR. DOROTHEA WAGNER KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und Algorithmen nationales Forschungszentrum

Mehr

Bipartite Graphen. Beispiele

Bipartite Graphen. Beispiele Bipartite Graphen Ein Graph G = (V, E) heiÿt bipartit (oder paar), wenn die Knotenmenge in zwei disjunkte Teilmengen zerfällt (V = S T mit S T = ), sodass jede Kante einen Knoten aus S mit einem Knoten

Mehr

Definitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}.

Definitionen. b) Was bedeutet V ist die direkte Summe von U und W? V ist direkte Summe aus U und W, falls V = U + W und U W = {0}. Technische Universität Berlin Wintersemester 7/8 Institut für Mathematik 9. April 8 Prof. Dr. Stefan Felsner Andrea Hoffkamp Lösungsskizzen zur Nachklausur zur Linearen Algebra I Aufgabe ++ Punkte Definieren

Mehr

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17

Übungsblatt 6. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 6 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Ausgabe 22. Dezember 2016 Abgabe 17. Januar 2017, 11:00 Uhr

Mehr

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09

Felix Brandt, Jan Johannsen. Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Felix Brandt, Jan Johannsen Vorlesung im Wintersemester 2008/09 Übersicht Übersicht Definition Ein Matching in G = (V, E) ist eine Menge M E mit e 1 e 2 = für e 1, e 2 M, e 1 e 2 Ein Matching M ist perfekt,

Mehr

Datenstrukturen und Algorithmen SS07

Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datenstrukturen und Algorithmen SS07 Datum: 27.6.2007 Michael Belfrage mbe@student.ethz.ch belfrage.net/eth Programm von Heute Online Algorithmen Update von Listen Move to Front (MTF) Transpose Approximationen

Mehr

Lösungsvorschläge zu Blatt Nr. 6

Lösungsvorschläge zu Blatt Nr. 6 Institut für Algorithmen und Kognitive Systeme Dr. Jörn Müller-Quade Carmen Kempka Christian Henrich Nico Döttling Vorlesung Informatik III Lösungsvorschläge zu Blatt Nr. 6 Aufgabe 1 (K) (4 Punkte) i.)

Mehr

Formale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER

Formale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER Formale Sprachen Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marian KOGLER Grammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind Grammatiken.

Mehr

[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V.

[Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1] , enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V. Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung falls und nur falls ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv

Mehr

Die Komplexitätsklassen P und NP

Die Komplexitätsklassen P und NP Die Komplexitätsklassen P und NP Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 3. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit und

Mehr

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen

Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Fortgeschrittene Netzwerk- und Graph-Algorithmen Dr. Hanjo Täubig Lehrstuhl für Eziente Algorithmen (Prof. Dr. Ernst W. Mayr) Institut für Informatik Technische Universität München Wintersemester 2007/08

Mehr

Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie

Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 07.02.2006 28. und letzte Vorlesung 1 Die Chomsky-Klassifizierung Chomsky-Hierachien 3: Reguläre Grammatiken

Mehr

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5) Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff

Mehr

Massive Parallelität : Neuronale Netze

Massive Parallelität : Neuronale Netze Massive Parallelität : Neuronale Netze PI2 Sommer-Semester 2005 Hans-Dieter Burkhard Massive Parallelität : Neuronale Netze Knoten: Neuronen Neuronen können erregt ( aktiviert ) sein Kanten: Übertragung

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

1 Raumwechsel: Gr. 19 (Fr 12-14, F-334) diese Woche in D Studie zum Arbeitsverhalten von Studierenden unter Leitung

1 Raumwechsel: Gr. 19 (Fr 12-14, F-334) diese Woche in D Studie zum Arbeitsverhalten von Studierenden unter Leitung Organisatorisches Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6 Komplexitätstheorie in P und NP Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1 Raumwechsel: Gr. 19 (Fr 12-14, F-334) diese Woche in D-129.

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen

Übung Theoretische Grundlagen Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory

Mehr

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse

Algorithmentheorie. 13 - Maximale Flüsse Algorithmentheorie 3 - Maximale Flüsse Prof. Dr. S. Albers Prof. Dr. Th. Ottmann . Maximale Flüsse in Netzwerken 5 3 4 7 s 0 5 9 5 9 4 3 4 5 0 3 5 5 t 8 8 Netzwerke und Flüsse N = (V,E,c) gerichtetes Netzwerk

Mehr

Lineare Algebra 6. Übungsblatt

Lineare Algebra 6. Übungsblatt Lineare Algebra 6. Übungsblatt Fachbereich Mathematik M. Schneider 16.05.01 Konstantin Pertschik, Daniel Körnlein Gruppenübung Aufgabe G19 Berechnen Sie das inverse Element bzgl. Multiplikation in der

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise)

Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) WS 2014/15 Diskrete Strukturen Kapitel 2: Grundlagen (Beweise) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_14

Mehr

Einführung in die Informatik

Einführung in die Informatik Einführung in die Informatik Jochen Hoenicke Software Engineering Albert-Ludwigs-University Freiburg Sommersemester 2014 Jochen Hoenicke (Software Engineering) Einführung in die Informatik Sommersemester

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen

Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul

Mehr

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III Name Vorname Matrikelnummer Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik o. Prof. Dr. P. Sanders 26. Feb. 2007 Klausur: Informatik III Aufgabe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgabe 2. Teilmengenkonstruktion

Mehr

Reduktionen. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6.2 Komplexitätstheorie. Exkurs: Reduktionen allgemein. Reduktionen: Erläuterungen

Reduktionen. Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6.2 Komplexitätstheorie. Exkurs: Reduktionen allgemein. Reduktionen: Erläuterungen en Algorithmen und Datenstrukturen Kapitel 6.2 Komplexitätstheorie P, und C Definition () Seien L 1, L 2 {0, 1} zwei Sprachen. Wir sagen, dass L 1 auf L 2 in polynomialer Zeit reduziert wird, wenn eine

Mehr

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem

Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Ferienkurs zur algorithmischen diskreten Mathematik Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Dipl-Math. Wolfgang Kinzner 4.4.2012 Kapitel 6: Matchings und TSP-Problem Matching und Matchingproblem Flussalgorithmus

Mehr

7. Transitive Hülle. Kante des Graphen. Zusatz-Kante der transitiven Hülle

7. Transitive Hülle. Kante des Graphen. Zusatz-Kante der transitiven Hülle In Anwendungen ist es oft interessant zu wissen, ob man überhaupt von einem Knoten v zu einem Knoten w gelangen kann, ganz gleich wie lang der Weg auch ist. Gegeben sei dabei ein gerichteter Graph G =

Mehr

Übungsblatt 2 - Lösung

Übungsblatt 2 - Lösung Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 2 - Lösung Vorlesung Algorithmentechnik im WS 08/09 Ausgabe 04. November 2008 Abgabe 8. November, 5:0 Uhr (im Kasten vor Zimmer

Mehr

Kapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14

Kapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen

Mehr

5. Äquivalenzrelationen

5. Äquivalenzrelationen 5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)

Mehr