Vorlesung. Funktionen/Abbildungen

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1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert. Aber was ist eine Zuordnung, was wird zugeordnet und was bedeutet»eindeutig«? Um das zu klären, müssen wir die Definition etwas präzisieren: Definition 1 (Funktion, informell). Seien A, B nichtleere Mengen. f heißt Funktion, falls x A!y B, sodass f(x) = y. Alle Paare (x, f(x)) sind Elemente des Graphen Γ f von f. Definition 2 (Funktion bzw. Abbildung). Eine Funktion f ist ein Tripel f = (X, Y, Γ f ), wobei X und Y zwei nicht-leere Mengen sind und Γ f X Y mit den Eigenschaften: 1. x X y Y : (x, y) Γ f 2. x X y 1, y 2 Y : ( (x, y1 ) Γ f (x, y 2 ) Γ f ) = (y1 = y 2 ). Γ f heißt der Graph der Funktion f. Beispiel: Sei X = Y = {0, 1} und Γ f = {(0, 0), (1, 1)}, also ( ) f = {0, 1}, {0, 1}, {(0, 0), (1, 1)}. Aus Gründen der Anschaulichkeit werden Funktionen meist anders geschrieben. So kann man für die genannte Funktion auch schreiben: oder f : {0, 1} {0, 1} x x f : {0, 1} {0, 1} mit f(x) := x 1

2 Weitere Beispiele zur Demonstration der veschiedenen Schreibweisen: f : R \ {0} R x x x2 + 1 x 1 falls x < 0 f : R R, f(x) = sign(x) := 0 falls x = 0 1 sonst { f : R R + 0, f(x) = x := x falls x < 0 x sonst Die Abbildung f : R R x x heißt Identität, man schreibt auch id R. Falls N eine nicht-leere Teilmenge von M ist, so heißt f Inklusion (Einbettung) von N in M, wenn f : N M x x Definition 3. Sei M eine nicht-leere Menge. Eine Abbildung a : N M heißt Folge. Notation: Man schreibt häufig auch (a n ) mit n N oder kürzer (a n ) n N. Für die Folgenglieder schreibt man a n mit a n := a(n) für alle n N. 2

3 Beispiel: (a n ) n N\{0} mit a n := 1 n oder a : N R n 1 n 2 Bezeichnungen Sei f : X Y eine Funktion. Dann heißt 1. die Menge X Quelle/Definitionsbereich von f, 2. die Menge Y Ziel/Zielbereich von f, 3. die Menge f(x) = {y Y x X : f(x) = y} = Im(f) das Bild von f. 4. Für ein beliebiges y Y heißt die Menge f 1 (y) = {x X f(x) = y} das Urbild von y. 5. Falls Y = R, f also eine reellwertige Funktion, dann versteht man unter dem Kern von f die Menge f 1 (0), also die Menge der Elemente x X mit f(x) = f wohldefiniert, falls die Definition repräsentatenunabhähgig ist. Oft wird eine Eigenschaft einer Menge, einer Operation auf einer Menge oder einer Funktion mit Hilfe eines einzelnen Repräsentanten (Vertreters) der Menge definiert. Dann muss gezeigt werden, dass die Definition nicht von den ausgewählten Repräsentanten abhängt. Das Bild von f ist also die Menge der y, die von f»getroffen werden«. Das Urbild zu einem y Y ist die Menge aller x X, welche dieses y als Bild haben (nicht mit der Umkehrfunktion von f zu verwechseln!). Beispiele Wohldefiniertheit Beispiel: Multiplikation von Brüchen a, c Z, b, d Z \ {0} Ist diese Verknüpfung wohldefiniert? sei a b c ac := d bd zz.: Für a b = a b und c d = c d gilt: a b c d = ac bd 3

4 Beweis: Gemäß der Definition der Brüche in Q ist und damit ergibt sich: a b = a b ab = a b (1) c d = c d cd = c d (2) a b c def. d = a c Erw. b d = ac(a c ) ac(b d ) Komm. = a ac c (1) ab cd = a ac c a bcd (2) = a ac c Kürzen a bc = ac d bd = a b c d Gegenbespiel: Sei f definiert durch: f : Q Z a b f ( a b ) := a + b Diese Funktion ist nicht wohldefiniert, denn es folgt: 3 = f ( 1 2) = f ( 2 4) = 6 Widerspruch 3 Eigenschaften von Funktionen Definition 4 (Injektivität, Surjektivität und Bijektivität). Eine Funktion f : X Y heißt injektiv genau dann, wenn gilt: x 1, x 2 X : f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 Eine Funktion f : X Y heißt surjektiv genau dann, wenn gilt: y Y x X : f(x) = y Eine Funktion f : X Y heißt bijektiv genau dann, wenn sie injektiv und surjektiv ist. 4

5 Beispiele zur Veranschaulichung Die Funktion f : R R, x x 2 ist weder injektiv (da f( 1) = f(1)), noch surjektiv (da f 1 ( 1) = ), also nicht bijektiv. Die Funktion f : R + 0 R, x x 2 ist injektiv, aber nicht surjektiv, also nicht bijektiv. Die Funktion f : R R + 0, x x2 ist nicht injektiv, also nicht bijektiv, aber surjektiv. Die Funktion f : R + 0 R + 0, x x2 ist bijektiv. 5

6 Zur leichteren Überprüfung einer Eigenschaft versucht man in der Mathematik gern möglichst viele äquivalente Aussagen dieser Eigenschaft zu formulieren. Ein Beispiel sei die folgende Bemerkung 1. Eine Funktion f : X Y ist genau dann surjektiv, wenn Imf = Y. Die Bijektivität lässt sich leicht mittels folgenden Satzes überprüfen: Satz 1. Eine Funktion f : X Y ist genau dann bijektiv, wenn es eine Funktion g : Y X gibt, so dass gilt: x X : g(f(x)) = x und y Y : f(g(y)) = y. Ein solches g heißt auch Umkehrfunktion von f in X. Beweis. Es müssen zwei Richtungen gezeigt werden. Zuerst die Hinrichtung ( = ): Sei f bijektiv. Dann gilt für alle y Y : f 1 (y), da f surjektiv. Da f außerdem injektiv ist, gilt, dass für jedes y Y genau ein x X existiert mit der Eigenschaft f(x) = y. Setze nun also g : Y X mit g(y) := x mit f 1 (y) = {x} für jedes y Y. g ist ebenfalls bijektiv und erfüllt die geforderten Eigenschaften. Nun die Rückrichtung ( =): Sei also g eine geeignete Abbildung zu f, welche die beiden Eigenschaften erfüllt. Wir müssen zeigen, dass daraus die Bijektivität von f folgt. Zuerst die Injektivität: Angenommen f wäre nicht injektiv. Dann exisitieren x 1 x 2 X mit f(x 1 ) = f(x 2 ). Es folgt x 1 = g(f(x 1 )) = g(f(x 2 )) = x 2. Das ist ein Widerspruch. f ist also injektiv. Bleibt zu zeigen, dass f auch surjektiv ist. Sei y Y beliebig. Dann ist für jedes y Y g(y) ein eindeutig bestimmtes Element aus X, weil g ja eine Funktion, also eine eindeutige Zuordnung ist. Außerdem erfüllt dieses g(y) laut Voraussetzung die Eigenschaft: f(g(y)) = y. Folglich ist f surjektiv. Bemerkung 2. Statt g(f(x)) schreibt man auch häufig: (g f)(x). 6

7 4 Verknüpfung von Funktionen Wir wollen die Operation noch an weiteren Beispielen üben. Zunächst benötigen wir aber noch zwei weitere Definitionen: Definition 5. Es seien X und Y zwei Mengen. Dann sind definiert Abb(X, Y ) := { f f : X Y ist Abbildung } Bij(X, Y ) := { f Abb(X, Y ) f ist bijektiv } Definition 6 (Komposition von Funktionen). Es seien X, Y, Z drei nicht-leere Mengen, f Abb(X, Y ) und g Abb(Y, Z). Dann wird die Komposition von f und g wie folgt definiert: (g f) : x g(f(x)) Abb(X, Z). Bemerkung 3. Mit Hilfe dieser Definition lässt sich der Satz 1 auch folgendermaßen formulieren: Satz. Eine Funktion f : X Y ist genau dann bijektiv, wenn es eine Funktion g : Y X gibt (also g Abb(Y, X)), so dass gilt: g f = id X und f g = id Y Für konkrete Mengen Y, können für Funktionen f, g : X Y auch noch andere Verknüpfungen definiert werden. Definition 7 (Addition und Multiplikation von Funktionen). Es seien X, Y = R f, g Abb(X, R) reellwertige Funktionen. Dann definiere: und (f + g) Abb(X, R) mit (f + g)(x) := f(x) + g(x) (f g) Abb(X, R) mit (f g)(x) := f(x) g(x) 7

8 Beispiele I Komposition definiert: Seien X := Z, Y := N, Z := Q und seien folgende Abbildungen f : Z N mit z z und g : N Q mit n 1 n + 1. Dann ist g f : Z Q mit z 1 z + 1. Seien X, Y, Z drei nicht-leere Mengen. f Abb(X, Y ) und θ f definiert als θ f : Abb(Y, Z) Abb(X, Z) mit g g f Beispiele II Addition/Multiplikation definiert als: Sei X = {, } und Y = R. Weiter seien f, g : X R f( ) := 0 f( ) := 1 g( ) := 2 g( ) := 1 Dann sind (f + g)( ) = f( ) + g( ) = 2 (f + g)( ) = f( ) + g( ) = 2 (f g)( ) = f( ) g( ) = 0 (f g)( ) = f( ) g( ) = 1 Bemerkung 4. Ganz analog lassen sich natürlich auch Verknüpfungen für Funktionen definieren, wenn Y = N, Y = Q, Y = Z ist. Allerdings müssen die Verknüpfungen eine Bedeutung in der Zielmenge haben. So ist etwa eine Addition auf der Zielmenge Y = {, } nicht ohne Weiteres sinnvoll, denn was sollte + sein? 8

9 5 Einschränkung/Restriktion von Funktionen Es kommt vor, dass man Aussagen über die Funktion nicht auf dem ganzen Definitionsbereich treffen möchte. So haben wir bereits gesehen, dass nicht injektiv ist, die Funktion g : R R, mit x x 2 g : R + 0 R, mit x x 2 jedoch schon. So haben die beiden Funktionen, obwohl sie sich so ähnlich sehen, doch grundlegend verschiedene Eigenschaften. Wir können aber eine Beziehung zwischen ihnen herstellen, indem wir die Funktion g einschränken. Definition 8. Seien X und Y zwei nicht-leere Mengen und f Abb(X, Y ). Ferner sei M X eine nicht-leere Teilmenge von X. Die Funktion h : M Y, mit h(x) := f(x) für alle x M heißt Einschränkung von f auf M, geschrieben: f M. Linksstehendes Diagramm veranschaulicht die Situation. i bezeichne hierbei die Inklusion von M in X. 6 Reellwertige Funktionen 6.1 Eigenschaften In vielen Anwendungsgebieten der Mathematik werden Funktionen benötigt, die bestimmte Eigenschaften aufweisen, oder gegebene Funktionen werden auf diese untersucht. Beispielsweise kann die Betrachtung des Monotonieverhaltens bestimmter Funktionen Aufschluss geben, wo Extrema angenommen werden und Ähnliches. Wir wiederholen daher die folgende, aus der Schule bekannte Definition: Definition 9 (Monotonie). Es sei D eine Teilmenge von R. Eine Funktion f : D R heißt genau dann streng monoton wachsend auf D, wenn gilt: x 1, x 2 D : x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 ) 9

10 f heißt (schwach) monoton wachsend auf D, wenn gilt: x 1, x 2 D : x 1 < x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ) Analog heißt f [streng] monoton fallend, wenn gilt: f ist [streng] monoton wachsend. Oft ist es auch interessant, wie groß beziehungsweise klein Funktionswerte einer gegebenen Funktion überhaupt werden können. Hier hilft der Begriff der Beschränktheit. Definition 10 (Beschränktheit). Eine Funktion f : R R heißt nach oben beschränkt, falls: s R x R : f(x) s und nach unten beschränkt, falls s R x R : f(x) s. Weiterhin heißt f beschränkt, falls f sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist. Beispiel Die Funktion f : R R mit f(x) := x 2 ist nach unten, nicht jedoch nach oben beschränkt. 10

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